§1.1集合課標要求1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義.2.理解元素與集合的屬于關系，理解集合間的包含和相等關系.3.會求兩個集合的并集、交集與補集.4.能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關系和基本運算．知識梳理1．集合與元素(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，用符號∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常見數集的記法集合非負整數集(或自然數集)正整數集整數集有理數集實數集符號NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本關系(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A?B(或B?A)．(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)．(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本運算表示運算集合語言圖形語言記法并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B補集{x|x∈U，且x?A}?UA常用結論1．若集合A有n(n≥1)個元素，則集合A有2n個子集，2n－1個真子集．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.4．?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列舉法表示為{－1,0,1}．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若1∈{x2，x}，則x＝－1或x＝1.(×)(4)對任意集合A，B，都有(A∩B)?(A∪B)．(√)2．(必修第一冊P14T4改編)設集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，則(?RA)∩B等于()A．{x|2<x≤3}B．{x|7<x<10}C．{x|2<x<3或7≤x<10}D．{x|2<x≤3或7<x<10}答案C解析因為?RA＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|2<x<10}，所以(?RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．3．(必修第一冊P35T9改編)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，則實數a＝________.答案2解析因為A∪B＝A，所以B?A，所以a＋2∈A.當a＋2＝3，即a＝1時，A＝{1,3,1}，不滿足集合中元素的互異性，不符合題意；當a＋2＝a2時，a＝－1(舍去)或a＝2，此時A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合題意．綜上，實數a＝2.4．(必修第一冊P9T5改編)已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|0<x<2}，若B?A，則實數a的取值范圍為________．答案[2，＋∞)解析因為B?A，所以利用數軸分析法(如圖)，可知a≥2.題型一集合的含義與表示例1(1)(2023·長春模擬)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|x＋y＝0}，則A∩B的子集個數為()A．1B．2C．3D．4答案D解析集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}表示以(0,0)為圓心，2為半徑的圓上的所有點，集合B＝{(x，y)|x＋y＝0}表示直線x＋y＝0上的所有點，因為直線x＋y＝0經過圓心(0,0)，所以直線與圓相交，所以A∩B的元素個數為2，則A∩B的子集個數為4.(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，則實數m的值為()A．2B．3C．0D．－2答案B解析因為集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，則m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m∈{0,2,3}．當m＝0時，集合A中的元素不滿足互異性；當m＝2時，m2－3m＋2＝0，集合A中的元素不滿足互異性；當m＝3時，A＝{0,3,2}，符合題意．綜上所述，m＝3.思維升華解決集合含義問題的關鍵點(1)一是確定構成集合的元素．(2)確定元素的限制條件．(3)根據元素的特征(滿足的條件)構造關系式解決相應問題．跟蹤訓練1(1)(2023·蘇州模擬)設集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，則C中元素的個數為()A．3B．4C．5D．6答案B解析因為集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5,6,7,8}．即C中元素的個數為4.(2)若含有3個實數的集合既可表示成eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))，又可表示成{a2，a＋b,0}，則a2024＋b2024＝________.答案1解析因為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，顯然a≠0，所以eq\f(b,a)＝0，即b＝0；此時兩集合分別是{a,1,0}，{a，a2,0}，則a2＝1，解得a＝1或a＝－1.當a＝1時，不滿足互異性，故舍去；當a＝－1時，滿足題意．所以a2024＋b2024＝(－1)2024＋02024＝1.題型二集合間的基本關系例2(1)(2023·海口質檢)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}，則()A．A?B B．B?AC．A∩B＝? D．A∪B＝R答案A解析因為集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|1－log2x<0}＝{x|x>2}，所以A?B.(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B?A，則實數a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))C．(－∞，－1)∪[0，＋∞)D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))∪(0,1)答案A解析∵B?A，∴①若B＝?，即ax＋1≤0無解，此時a＝0，滿足題意．②若B≠?，即ax＋1≤0有解，當a>0時，可得x≤－eq\f(1,a)，要使B?A，則需要eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,－\f(1,a)<－1，))解得0<a<1；當a<0時，可得x≥－eq\f(1,a)，要使B?A，則需要eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,－\f(1,a)≥3，))解得－eq\f(1,3)≤a<0，綜上，實數a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1)).思維升華(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解．(2)已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將條件轉化為元素或區間端點間的關系，進而轉化為參數所滿足的關系，常用數軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．跟蹤訓練2(1)已知集合M＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，則集合M，N的關系是()A．MN B．NMC．M??RN D．N??RM答案B解析因為M＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以NM.(2)設集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}，當x∈Z時，集合A的非空真子集的個數為________；當B?A時，實數m的取值范圍是________．答案254{m|m≤－2或－1≤m≤2}解析易得A＝{x|－2≤x≤5}．若x∈Z，則A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A中含有8個元素，∴A的非空真子集的個數為28－2＝254.①當m－1≥2m＋1，即m≤－2時，B＝?，B?A；②當m>－2時，B＝{x|m－1<x<2m＋1}≠?，因此，要使B?A，則需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≥－2，,2m＋1≤5，))解得－1≤m≤2.綜上所述，m的取值范圍是{m|m≤－2或－1≤m≤2}．題型三集合的基本運算命題點1集合的運算例3(1)(2022·新高考全國Ⅰ)若集合M＝{x|eq\r(x)<4}，N＝{x|3x≥1}，則M∩N等于()A．{x|0≤x<2} B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<2))))C．{x|3≤x<16} D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<16))))答案D解析因為M＝{x|eq\r(x)<4}，所以M＝{x|0≤x<16}；因為N＝{x|3x≥1}，所以N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,3))))).所以M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<16)))).(2)(多選)已知M，N均為實數集R的子集，且N∩(?RM)＝?，則下列結論中正確的是()A．M∩(?RN)＝?B．M∪(?RN)＝RC．(?RM)∪(?RN)＝?RMD．(?RM)∩(?RN)＝?RM答案BD解析∵N∩(?RM)＝?，∴N?M，如圖，若N是M的真子集，則M∩(?RN)≠?，故A錯誤；由N?M可得M∪(?RN)＝R，故B正確；由N?M可得?RN??RM，故C錯誤，D正確．命題點2利用集合的運算求參數的值(范圍)例4(1)(多選)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，則m的值可能為()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．0D．－eq\f(1,2)答案BCD解析由題意知A＝{x|x2＋x－6＝0}，由x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3，所以A＝{2，－3}，因為A∪B＝A，所以B?A，當B＝?時，m＝0，滿足題意；當B≠?時，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m)))，－eq\f(1,m)＝2或－eq\f(1,m)＝－3，解得m＝－eq\f(1,2)或m＝eq\f(1,3)，綜上，m＝0或－eq\f(1,2)或eq\f(1,3).(2)(2024·本溪模擬)設集合A＝{x|x<a2}，B＝{x|x>a}，若A∩(?RB)＝A，則實數a的取值范圍為()A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)答案A解析因為B＝{x|x>a}，所以?RB＝{x|x≤a}，又A∩(?RB)＝A，所以A??RB，又A＝{x|x<a2}，所以a2≤a，解得0≤a≤1，即實數a的取值范圍為[0,1]．思維升華對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；如果集合中的元素是連續的，可用數軸表示，此時要注意端點的情況．跟蹤訓練3(1)(多選)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1<x<3}，則()A．(?RA)∪B＝{x|0≤x<3}B．(?RA)∩B＝{x|1<x<2}C．A∩B＝{x|2<x<3}D．A∩B是{x|2<x<5}的真子集答案ACD解析由x2－2x>0，得x<0或x>2，所以A＝{x|x<0或x>2}，所以?RA＝{x|0≤x≤2}，對于A，因為B＝{x|1<x<3}，所以(?RA)∪B＝{x|0≤x<3}，所以A正確；對于B，因為B＝{x|1<x<3}，所以(?RA)∩B＝{x|1<x≤2}，所以B錯誤；對于C，因為A＝{x|x<0或x>2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∩B＝{x|2<x<3}，所以C正確；對于D，因為A∩B＝{x|2<x<3}，所以A∩B是{x|2<x<5}的真子集，所以D正確．(2)已知集合A，B滿足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝?，則實數a的取值范圍為()A．(－∞，1] B．(－∞，2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)答案B解析因為集合A，B滿足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，且A∩B＝?，則a－1≤1，解得a≤2.題型四集合的新定義問題例5(多選)群論是代數學的分支學科，在抽象代數中具有重要地位，且群論的研究方法也對抽象代數的其他分支有重要影響，例如一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識證明．群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設G是一個非空集合，“·”是G上的一個代數運算，即對所有的a，b∈G，有a·b∈G，如果G的運算還滿足：①?a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；②?e∈G，使得?a∈G，有e·a＝a·e＝a；③?a∈G，?b∈G，使a·b＝b·a＝e，則稱G關于“·”構成一個群．則下列說法正確的有()A．G＝{－1,0,1}關于數的乘法構成群B．G＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,k)，k∈Z，k≠0))))∪{x|x＝m，m∈Z，m≠0}關于數的乘法構成群C．實數集關于數的加法構成群D．G＝{m＋eq\r(2)n|m，n∈Z}關于數的加法構成群答案CD解析對于A，若G＝{－1,0,1}，則對所有的a，b∈G，有a·b∈{1,0，－1}＝G，滿足乘法結合律，即①成立，滿足②的e為1，但當a＝0時，不存在b∈G，使得a·b＝b·a＝e＝1，即③不成立，故A錯誤；對于B，因為a＝eq\f(1,2)∈G，且b＝3∈G，但a·b＝eq\f(1,2)×3＝eq\f(3,2)?G，故B錯誤；對于C，若G＝R，則對所有的a，b∈R，有a＋b∈R，滿足加法結合律，即①成立，滿足②的e為0，?a∈R，?b＝－a∈R，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故C正確；對于D，若G＝{m＋eq\r(2)n|m，n∈Z}，則對所有的a＝m1＋eq\r(2)n1，b＝m2＋eq\r(2)n2∈G，有a＋b＝(m1＋m2)＋eq\r(2)(n1＋n2)∈G，?a，b，c∈G，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)成立，即①成立，當a＝b＝0時，a＋eq\r(2)b＝0，滿足②的e＝0，即②成立，?a＝m＋eq\r(2)n∈G，?b＝－m－eq\r(2)n∈G，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故D正確．思維升華集合新定義問題的“三定”(1)定元素：確定已知集合中所含的元素，利用列舉法寫出所有元素．(2)定運算：根據要求及新定義運算，將所求解集合的運算問題轉化為集合的交集、并集或補集的基本運算問題，或轉化為數的有關運算問題．(3)定結果：根據定義的運算進行求解，利用列舉法或描述法寫出所求集合中的所有元素．跟蹤訓練4(多選)設A為非空實數集，若對任意x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，則稱A為封閉集．下列敘述中，正確的為()A．集合A＝{－2，－1,0,1,2}為封閉集B．集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}為封閉集C．封閉集一定是無限集D．若A為封閉集，則一定有0∈A答案BD解析對于A，在集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，∴集合A不是封閉集，故A錯誤；對于B，集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}，設x，y∈A，則x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，∴x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，∴集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}為封閉集，故B正確；對于C，封閉集不一定是無限集，如：{0}為封閉集，故C錯誤；對于D，若A為封閉集，則取x＝y，得x－y＝0∈A，故D正確．課時精練一、單項選擇題1．(2022·全國乙卷)設全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M滿足?UM＝{1,3}，則()A．2∈MB．3∈MC．4?MD．5?M答案A解析由題意知M＝{2,4,5}．2．(2023·新高考全國Ⅰ)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N等于()A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2}C．{－2} D．{2}答案C解析方法一因為N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－2}．方法二因為M＝{－2，－1,0,1,2}，將－2，－1，0,1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}．3．(2024·南京模擬)集合A＝{x∈N|1<x<4}的子集個數為()A．2B．4C．8D．16答案B解析A＝{x∈N|1<x<4}＝{2,3}，故子集個數為22＝4.4．已知全集U，若集合A和集合B都是U的非空子集，且滿足A∪B＝B，則下列集合中表示空集的是()A．(?UA)∩B B．A∩BC．(?UA)∩(?UB) D．A∩(?UB)答案D解析由Venn圖表示集合U，A，B如圖，由圖可得(?UA)∩B＝?BA，A∩B＝A，(?UA)∩(?UB)＝?UB，A∩(?UB)＝?.5．(2024·綿陽模擬)已知A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，若B?A，則m等于()A．0或4 B．1或4C．0 D．4答案A解析∵B?A且A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，∴m＝4或m＝m2，當m＝4時，A＝{1,4,16}，B＝{1,4}，滿足題意；當m＝m2時，得m＝0或m＝1，當m＝0時，A＝{1,4,0}，B＝{1,0}，滿足題意；當m＝1時，代入集合中，不滿足集合的互異性．綜上，m可取0,4.6．已知M，N均為R的子集，若存在x使得x∈M，且x??RN，則()A．M∩N≠? B．M?NC．N?M D．M＝N答案A解析因為x??RN，所以x∈N，又因為x∈M，所以x∈M∩N，故M∩N≠?，故A正確；由于題目條件是存在x，所以不能確定集合M，N之間的包含關系，故B，C，D錯誤．7.已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x>0}，則圖中的陰影部分表示的集合為()A．(－∞，1]∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪(1,2)C．[1,2) D．(1,2]答案A解析B＝{x|x2－x>0}＝{x|x<0或x>1}，由題意可知陰影部分對應的集合為?U(A∩B)∩(A∪B)，所以A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝R，即?U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}，所以?U(A∩B)∩(A∪B)＝(－∞，1]∪(2，＋∞)．8．設集合I＝{1,3,5,7}，若非空集合A同時滿足：①A?I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中元素的個數，min(A)表示集合A中最小的元素)，稱集合A為I的一個“好子集”，則I的所有“好子集”的個數為()A．7B．8C．9D．10答案B解析當|A|＝1時，即集合A中元素的個數為1時，A的可能情況為{1}，{3}，{5}，{7}；當|A|＝2時，即集合A中元素的個數為2時，A的可能情況為{3,5}，{3,7}，{5,7}；當|A|＝3時，即集合A中元素的個數為3時，A的可能情況為{3,5,7}，綜上所述，I的所有“好子集”的個數為8.二、多項選擇題9．已知I為全集，集合M，N?I，若M?N，則()A．M∪N＝N B．M∩N＝NC．?IM??IN D．(?IN)∩M＝?答案AD解析因為M?N，則M∪N＝N，M∩N＝M，則A正確，B錯誤；又I為全集，集合M，N?I，則?IM??IN，(?IN)∩M＝?，C錯誤，D正確．10．已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，且A∪B＝A，則實數a的取值可以是()A．－1B．0C．1D．2答案ABC解析A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，集合B表示關于x的方程ax＝1的解集，因為A∪B＝A，所以B?A，當a＝0時方程ax＝1無解，此時B＝?，符合題意；當B＝{1}時，a＝1；當B＝{－1}時，－a＝1，解得a＝－1，綜上可得a＝0或±1.三、填空題11．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，則A∩B中元素的個數為________．答案4解析根據題意，A∩B的元素是x＋y＝8上滿足x，y∈N*且y≥x的點，即點(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)．12．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{m,4,5}，且A∪B中的所有元素的和為12，則m＝________.答案－3解析當m＝1或m＝2或m＝3時，A∪B＝{1,2,3,4,5}，所有元素的和為15，不符合題意；當m≠1且m≠2且m≠3時，A∪B＝{1,2,3，m,4,5}，由題意得1＋2＋3＋m＋4＋5＝12，所以m＝－3.13．高三某班共有55人，其中有14人參加了球類比賽，16人參加了田徑比賽，4人既參加了球類比賽，又參加了田徑比賽，則該班這兩項比賽都沒有參加的人數是________．答案29解析由題意畫出Venn圖，如圖所示，由Venn圖知，參加比賽的人數為26，所以該班這兩項比賽都沒有參加的人數是29.14．對于任意兩集合A，B，定義A－B＝{x|x∈A且x?B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，記A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，則B－A＝________，A*B＝________.答案{x|－3<x<0}{x|－3<x<0或x≥3}解析由題意得A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3<x<3}，所以A－B＝{x|x≥3}，B－A＝{x|－3<x<0}．因此A*B＝{x|x≥3}∪{x|－3<x<0}＝{x|－3<x<0或x≥3}．15．(多選)由無理數引發的數學危機