立體幾何專題復(fù)習(xí)

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、多選題

1.（多選題）如圖，在下列四個(gè)正方體中，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),

則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ平行的是（）

二_________一B

M

M

二S°?

2.已知正三棱錐P—ABC的底面邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P到底面ABC的距離為血，則（）

A.該三棱錐的內(nèi)切球半徑為變B.該三棱錐外接球半徑為逆

612

D.該三棱錐體積為逅

C.該三棱錐體積為在

1212

3.如圖，在正方體A5C￡>—A|4C]￡）|中，點(diǎn)P在線段耳。上運(yùn)動(dòng)，則（）

%g

3

B

A.直線平面ACQ

TT

B.二面角與一CD-8的大小為萬

C.三棱錐尸-AG。的體積為定值

TT7C

D.異面直線AP與4。所成角的取值范圍是

4.如圖，點(diǎn)尸在正方體ABC。—44GA的面對(duì)角線3G上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.三棱錐A—RPC的體積不變B.AP//平面AC?

C.DPABGD.平面POg人平面ACA

5.已知私〃是兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題，其中所有正確的命題

是（）

A.若〃2_La,〃_L民〃2_L〃，則a_L￡

B.若ml/a、n//p,m工〃,則a//，

C.若m上a,n//0,m上幾,則a//〃

D.若機(jī)_La,〃//民a///?,則m

6.如圖，在四棱錐尸—A3C￡＞中，底面ABCO是正方形，94,平面ABC。，PA=AB^點(diǎn)、E為

Q4的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）

p

A.PB與CO所成的角為60°

B.8。_L平面尸AC

C.PC〃平面EDE

D?VB_CDE：Vp-ABCD=1：4

二、單選題

7.已知在正四面體ABC。中，點(diǎn)E為棱AO的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD成角的余弦值為（）

加B旦1D6

A.C

6633

8.若〃7,〃表示直線，a表示平面，則下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）

mlln\_m±m(xù)La\mlla

①}n〃_La；②③④>=>n±a.

mLa\〃-LaJn!/a\mLn

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

9.用斜二測(cè)畫法畫水平放置的AABC1的直觀圖VA'QC'如圖所示，則在AABC的三邊及中線A。

中，最長(zhǎng)的線段是（）

A.ABB.ADC.BCD.AC

10.棱長(zhǎng)為，z的正四面體的表面積為（)

AV32B.包2「百2

A.——a-C.——aD.G/

1284

11.三棱錐尸—A5c中，若PA=PB=PC,則P在底面ABC上的投影0為6c的（）

A.垂心B.外心C.內(nèi)心D.中心

12.已知加，〃表示兩條不同的直線，名尸表示兩個(gè)不重合的平面，下列說法正確的是（）

A.若mlla,m//。，則。///?B.若〃〃/a,〃//a,則加〃〃

C.若〃z_La,〃-La,則根〃〃D.若〃z_La,根_L〃，則〃//a

13.如圖正三棱柱ABC-A'3'C'的底面邊長(zhǎng)為百，高為2,一只螞蟻要從頂點(diǎn)A沿三棱柱的表面

爬到頂點(diǎn)C',若側(cè)面AA'C'C緊貼墻面（不能通行），則爬行的最短路程是（）

A.V13B.2+百C.4D.V3+V7

14.如圖，ABCD-ABCR為正方體，則以下結(jié)論:①B。//平面CBQ|；②_LB￡＞；③AG±

平面C耳。.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

三、填空題

15.已知加，〃是兩條不同的直線，a僅是兩個(gè)不同平面，則以下命題不成立的是一

(1)若a///，加ua,nu/3,則加〃〃

（2）若根//月，PX.a,則加_Lc

(3)若m_La,〃zu/7,則a_L/?

(4)若/〃//2,n!I(3,mHn,則a〃尸

16.已知a,夕是兩個(gè)平面，m,〃是兩條直線，則下列四個(gè)結(jié)論中，正確的有_(填寫所有正確

結(jié)論的編號(hào))

①若〃?//a,nlla,則

②若加_La，nJla,則zw_L〃；

③若。///，mua,則〃2//4；

④若m_L〃.m±tz>n!I[3,則a_L/?

17.如圖，在四面體4一38中，AC=BD=a，AC與BQ所成的角為6(?，M、N分別為4?、

CD的中點(diǎn)，則線段MN的長(zhǎng)為

18.在正三棱錐S-A3C中，AB=BC=CA=6,點(diǎn)。是SA的中點(diǎn)，若S8_LCZ),則該三棱錐

外接球的表面積為.

四、解答題

19.如圖，在正方體ABC。-44GA中，點(diǎn)E為棱。A的中點(diǎn).

(1)求證：由)"/平面ACE；

(2)求異面直線AE與所成角的余弦值.

20.如圖，已知在長(zhǎng)方體ABC。-43GA中，Z)A=DC=1,A&=2,點(diǎn)七是的中點(diǎn).

01G

(1)求證：AR〃平面EBD；

(2)求三棱錐A-BOE的體積.

21.如圖所示，在三棱柱ABC-中，側(cè)棱AA|_L底面ABC,為AC的中點(diǎn),A4i=AB=2,

BC=3.

(1)求證：ABi//平面BCD；

(2)求ABi與8。所成角的余弦值.

22.如圖所示，在四棱錐A—BCDE中，底面8CDE為菱形，側(cè)面/WE為等邊三角形，且側(cè)面

垂直底面8CDE,0,F分別為BE,￡>E的中點(diǎn).

(1)求證：CEA.AF；

(2)在棱AC上是否存在點(diǎn)尸，使得5P//平面AOE?若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)尸的位置，若不存在,

請(qǐng)說明理由.

23.如圖，在三棱柱ABC—4gG中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，Ag,4G的中點(diǎn)，

求證：

(1)B,C>H>G四點(diǎn)共面；

(2)平面EFA//平面BCHG.

24.如圖所示，在四棱錐P—A8CD中，AD//BC,AD=3,BC=4,M為線段上點(diǎn)，且

滿足AA/=2MD，N為PC的中點(diǎn).

(I)證明：MN〃平面Q43；

(II)設(shè)三棱錐N-BCM的體積為乂，四棱錐尸-ABCD的體積為匕，求

V2

25.如圖，三棱柱ABC—AgC中，AB=BC=AC=^BB—用在底面4?。上的射影恰好是

點(diǎn)A,E是4C的中點(diǎn).

(1)證明：AB”平面BCE；

(2)求4B與平面BCCg所成角的正弦值.

26.如圖，在三棱柱ABC—4B1G中，尸為AC中點(diǎn).

(1)若此三棱柱為正三棱柱，且求異面直線AB】與Bb所成角的大小；

(2)求證：A8J/平面BFC.

27.如圖，在四棱錐P—A8CZ)中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，孫，底面ABCD,PA=AB,

點(diǎn)M是棱尸。的中點(diǎn).

(1)求證：PB〃平面ACM；

(2)求三棱錐P-ACW的體積.

28.在棱長(zhǎng)為2的正方體A8CD—A與GA中，0是底面A8CO的中心.

GB\

Dy

(1)求證:80〃平面D41c1；

(2)求點(diǎn)。到平面。AG的距離.

29.在三棱錐A-3C￡)中，△BCD為等腰直角三角形，點(diǎn)E，G分別是線段80，CD的中點(diǎn),

點(diǎn)廠在線段A8上，且8尸=2%.若A￡>=1，A8=6，CB=CD=O.

(1)求證：47//平面。跖；

(II)求直線AO與平面C即所成的角.

30.如圖所示，在直三棱柱ABC-AgG中，AC=BC=AA]=2,ZACB=9Q°,。是A8的

中點(diǎn).

(I)求證：直線ACJ/平面61c。；

(II)設(shè)0為線段AG上的動(dòng)點(diǎn)，求三棱錐。-4。的體積.

31.如圖：在正方體ABC。-中，E為。2的中點(diǎn).

(1)求證：89〃平面ASC；

(2)若F為CG的中點(diǎn)，求證：平面4EC〃平面

32.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，M>N分別為棱AC、A4的中點(diǎn)，且AB=BC

(1)求證：平面BAW_L平面ACGA；

(2)求證：MN//平面BCC&1.

33.在矩形ABCD中，AB=2AD=4,E是A8的中點(diǎn)，沿。E將AADE折起，得到如圖所示

的四棱錐尸一BCDE.

B

(1)若平面DDE，平面3CDE,求四棱錐P—BCDE的體積；

(2)若PB=PC,求證：平面尸。E_L平面BCDE.

34.如圖，在四棱錐尸-ABC。中，ABA.AD,CDA,AD,B4_L平面ABC。，PA=AD=CD=2AB=2,

M為PC的中點(diǎn).

(1)求證：BM//平面PAD.

(2)平面以。內(nèi)是否存在一點(diǎn)N,使MN,平面PBO?若存在，確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請(qǐng)

說明理由.

35.如圖所示，已知三棱錐尸—ABC，ZACB=90，CB=4,AB=20，。為AB的中點(diǎn)，且

△PDB是正三角形,PALPC.

(1)求證：平面平面ABC；

(2)求二面角。一AP-C的正弦值；

(3)若點(diǎn)〃為PB的中點(diǎn)，求三棱錐M-BC。的體積.

36.如圖1,在直角梯形ABCD中，AB//CD,AB1AD,且AB=A。=1.現(xiàn)以AO為

2

一邊向梯形外作矩形AOEF,然后沿邊將矩形印翻折，使EDLDC,如圖2.

E

EDC

圖2

(1)求證：3C_L平面BOE；

(2)若多面體ABCDE尸的體積為求直線CO與平面8CE所成角的正弦值.

37.如圖，43是圓。的直徑，點(diǎn)C是圓。上異于A,8的點(diǎn)，直線PCJ_平面A8C.

(1)證明：平面PBC_L平面PAC；

(2)設(shè)AB=PC=2,AC=\,求二面角3—Q4—C的余弦值.

38.如圖，在矩形A3CD中，AB=五,BC=2,E為8c的中點(diǎn)，把△ABE和△C0E分別沿

AE,DE折起，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合于點(diǎn)P.

(1)求證：PE_L平面P4。；

(2)求二面角P—4)—E的大小.

參考答案

1.BCD

【分析】

利用線面平行的判定定理逐一分析選項(xiàng)可得答案.

【詳解】

。為底面對(duì)角線的交點(diǎn)，可得AB〃OQ,

又0QC1平面MNQ=Q,所以直線A8與平面MNQ不平行；

對(duì)于B,由于A8〃MQ,結(jié)合線面平行的判定定理可知AB與平面MN。平行;

對(duì)于C,由于AB〃MQ,結(jié)合線面平行的判定定理可知AB與平面MNQ平行;

對(duì)于D,由于AB〃NQ,結(jié)合線面平行的判定定理可知AB與平面MNQ平行.

故選：BCD.

2.ABD

【分析】

設(shè)尸M是棱錐的高，則M是△A3C的中心，。是A3中點(diǎn)，易得幾何體的體積，進(jìn)而結(jié)

合等體積法求得內(nèi)切球的半徑，利用直角三角形求解外接球的半徑.

【詳解】

如圖，是棱錐的高，則M是AABC的中心，。是中點(diǎn)，

S"BC=4X『=4'VP_ABCJS-BC.PM=上又0~乂6=回，故C錯(cuò)D正確;

ZAA6c44*-AoC-3ZAA6c34].

口「115>/35A/3

SfBCxBCxPD=—xlx------,

2612

所以S=3SL&\rpi5Bxc-+SZ■-A/BioCU=3x]242，

.J指

13x丘近

設(shè)內(nèi)切球半徑為，則一Sr=%_Asc，r=-盧=一,A正確;

33弋36

F

易知外接球球心在高PM上，球心為。，設(shè)外接球半徑為R,

則（0-7?丫+當(dāng)=R；解得R=哈,B正確；

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間幾何體的內(nèi)切球，外接球問題，三棱錐的體積求解，考查空間想象能力，運(yùn)算

求解能力，是中檔題.本題內(nèi)切球的半徑的求解利用等體積法求解，即：V=表面積〃（其

中「為內(nèi)切球半徑）.

3.AC

【分析】

在A中推導(dǎo)出AiG_LB￡>”DGlBDi,從而直線BDi，平面AiG。；在B中根據(jù)正方體性

質(zhì)顯然不成立；在C中由BC〃平面A.C.D,得到P到平面4G。的距離為定值，再由

△AC1。的面積是定值，從而三棱錐P-4G。的體積為定值；在D中異面直線AP與4。

所成角的取值范圍是［(,'］即可求解.

【詳解】

如圖，

在A中，'：A\C\LB\D\,AiCilBBi,

...41?_1平面881。1,：.AiCt±BDt,同理，DC\LBD\,

?.?4GnOG=G,.,.直線B￡h_L平面4G。，故A正確；

在B中，由正方體可知平面gC。不垂直平面ABQD,故B錯(cuò)誤；

在C中，'：A\D//B\C,AQu平面4C￡),BCC平面4cQ,

...BiC〃平面AiCiD,

???點(diǎn)P在線段8C上運(yùn)動(dòng)，到平面AiCiD的距離為定值，

又△AiGO的面積是定值，...三棱錐P-AiGD的體積為定值，故C正確;

在D中，當(dāng)點(diǎn)尸與線段與。的端點(diǎn)重合時(shí)，異面直線4P與4。所成角取得最小值為;TT,

故異面直線AP與4。所成角的取值范用是［工，工］,故D錯(cuò)誤.

32

故選：AC

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)正方體的圖形與性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定，三棱錐的體積公式，二面角、

異面直線所成角的概念，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

4.ABD

【分析】

由BC"/平面ARC知P到平面ADtC的距離不變故可得三棱錐A-QPO的體積不變；由

面面平行可得4尸〃平面AC。成立；當(dāng)P與C1重合時(shí)顯然。P與BG不垂直；根據(jù)正方

A

體對(duì)角線性質(zhì)可證B[D，平面ACD],即可得平面PDB,平面ACDX.

【詳解】

如圖，

正方體中8C"/AQ,則有BC"/平面ARC,到平面ARC的距離不變，AARC面

積不變，因此三棱錐A—APC的體積不變，A正確；

同理A8//平面ARC,由A8c8G=8,從而平面A^G//平面ARC,A///平

面ACR,B正確；

當(dāng)P與G重合時(shí)，0P與BG所成角為60。，不垂直，C錯(cuò)；

由正方體中4G，與。1，由4G，8與，得AC_L平面5月。。，可得同

理46,4。，由=可知4。，平面,而平面A18G//平面4RC，

所以用。，平面ARC，而與。U平面尸。瓦，所以平面「。4人平面AC。，D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)正方體的性質(zhì)，利用線面平行、面面平行，可證明棱錐體積不變及線面平

行，根據(jù)正方體體對(duì)角線的性質(zhì)可得線面垂直，進(jìn)而求出面面垂直，利用特殊化思想可確定

C選項(xiàng)錯(cuò)誤，屬于中檔題.

5.AD

【分析】

由線線、面面間的位置關(guān)系及判定、性質(zhì)定理逐個(gè)判斷即可.

【詳解】

A項(xiàng)根據(jù)面面垂直判斷易知正確；

B項(xiàng)由根//a,〃//￡,機(jī)_L〃也可得出。J■力，B項(xiàng)錯(cuò)誤；

C項(xiàng)由根n/1（3,機(jī)也可得出a_L/?,C項(xiàng)錯(cuò)誤；

D項(xiàng)由根al//3得mL/3,又因?yàn)椤āㄏΓ约觃L〃，D項(xiàng)正確.

故選：AD.

6.BCD

【分析】

對(duì)A,可得ZPBA即為PB與CO所成的角，求出ZPBA=45°可判斷;對(duì)B,通過8。_LAC

和可得；對(duì)C,通過線面判定定理可得；對(duì)D,分別表示出三棱錐和四棱錐的體

積可得.

【詳解】

對(duì)A,?.?底面ABC。是正方形，.?.AB〃CZ）,則NP84即為與8所成的角，

平面ABC。，.?.Q4_LAB，\'PA=AB,:.^PBA=45^故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,連接AC，?.?底面ABC。是正方形，.?.BO_LAC,：PAL平面ABCD,BDu平

^ABCD,:.PA±BD,QFAIAC=A,，_L平面PAC，故B正確；

對(duì)C,設(shè)BDcAC=O,連接QE,則。是AC中點(diǎn)，又點(diǎn)E為24的中點(diǎn)，，。。〃。石，

?.?OEu平面BOE，PC（Z平面8DE，，PC〃平面8￡）￡，故C正確；

x

對(duì)D,VR_CDE=VE-BCD=2S.BCD'班，^P-ABCD~§^ABCD'尸、=§"2SRCD2EA=4VB,

VR-CDE:%-ABCO=1：4,故D正確.

故選：BCD.

p

【點(diǎn)睛】

本題考查異面直線所成角的求解，考查線面垂直和線面平行的判斷，考查棱錐體積的計(jì)算,

解題的關(guān)鍵是正確理解定義和平行垂直的判定定理.

7.A

【分析】

如圖，取A8的中點(diǎn)/，連接則由題意可得NCE五為異面直線CE與80所成

的角，然后在△CEF中利用余弦定理求解即可

【詳解】

解：設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為"，如圖，取A3的中點(diǎn)尸，連接

因?yàn)辄c(diǎn)E為棱A。的中點(diǎn)，所以EF〃BD，EF=-BD=一a,

22

所以NCEF為異面直線CE與3。所成的角或其補(bǔ)角，

因?yàn)檎拿骟wABC。的棱長(zhǎng)為“，所以CE=CF=x3a，

2

3212321

a——a4_后

CE2+EF—CF?+彳4

所以cosNCEE=厄=不

2CEEF2x遮1

ax-a

22

故選：A

D

8.C

【分析】

根據(jù)空間中的線面關(guān)系逐一判斷即可.

【詳解】

mlInml.amLa\

>=>n±a,正確,>=>,〃//〃，正確，>=>/〃_!_〃，正確

m_La〃_LaJn!la]

若m//a,mln,則〃可以與a平行，相交或”ua,故④錯(cuò)誤

故選：C

9.D

【分析】

根據(jù)VA'B'C'的形狀還原得到AABC的形狀，由此確定出最長(zhǎng)的線段.

【詳解】

根據(jù)VA'8'C'的形狀可知AABC的形狀如下圖：

由圖可知，最長(zhǎng)的線段為AC,

故選：D.

10.D

【分析】

根據(jù)正四面體是各面都是全等的等邊三角形，即可由三角形面積公式求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)檎拿骟w是各面都是全等的等邊三角形，

又該正四面體的棱長(zhǎng)為。，

所以該正四面體的表面積為S=4xgxaxJa2_(S=屈2

故選：D.

11.B

【分析】

由題意可得QA=QB=QC,從而可得結(jié)論

【詳解】

解：由題意可得，NPQA=NPQB=NPQC=90。,

因?yàn)?==公共邊，

所以△PQA絲△PQB絲△PQC,

所以QA=QB=QC,

所以。為AABC的外心，

故選：B

12.C

【分析】

由線面和面面的位置關(guān)系可判斷A；根據(jù)線面平行及線線的位置關(guān)系判斷B；根據(jù)線面垂直

的性質(zhì)定理判斷C：由線面平行的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)，可判斷O.

【詳解】

解：對(duì)于A：若m//a,加//力，則a//〃或a,￡相交，A錯(cuò)；

對(duì)于B,若〃z//a,nlla,則加與〃相交、平行或異面，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若/〃_La,nVa,則加〃〃，故C正確；

對(duì)于D,若m_La,m±n.則或〃ua,故D錯(cuò)誤；

故選：c

13.A

【分析】

將側(cè)面與BCC'B'展開，在展開圖中，連接AC'求解即可.

【詳解】

將側(cè)面ABB'A與BCC'B'展開，如圖：

將側(cè)面ABB'A與AC'B'展開，如圖:

連接AC',則AC'=J(G)2+22-2x73x2x(-y-)=V13

故選：A

14.D

【分析】

對(duì)于①，由正方體的性質(zhì)可知3。〃用〃，再由線面平行的判定定理可得結(jié)論；對(duì)于②，

由正方體的性質(zhì)可得AC再結(jié)合三垂直線定理可得結(jié)論；對(duì)于③，由正方體的性質(zhì)

可得AC/BR,AG人CBI,從而可由線面垂直的判定定理得到結(jié)論

【詳解】

由正方體的性質(zhì)得，g2,所以結(jié)合線面平行的判定定理可得：3。//平面。旦2；

所以①正確.

由正方體的性質(zhì)得4CJ.30,因?yàn)锳C是AG在底面ABCO內(nèi)的射影，所以由三垂線定

理可得：AC,1BD,所以②正確.

由正方體的性質(zhì)得,由②可得AG工8。，所以AC/,同理可得

4。1人CB{,進(jìn)而結(jié)合線面垂直的判定定理得到：平面C4A，所以③正確.

故選：D.

15.(1)(2)(4)

【分析】

由線線、線面、面面的位置關(guān)系，判斷線、面有關(guān)命題的真假即可.

【詳解】

由加，〃是兩條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同平面，知：

在(1)中，若a//夕，"?ua,nu0,則加與"平行或異面，錯(cuò)誤；

在(2)中，若根//夕，p\-a,則加與e相交、平行或〃?ua,錯(cuò)誤；

在(3)中，若mup,則由面面垂直的判定定理得aJ■尸，正確；

在(4)中，若m//a，nil(3,mlln,則a與夕相交或平行，錯(cuò)誤.

故答案為：(1)(2)(4).

16.②③

【分析】

由線線、線面、面面的位置關(guān)系，判斷線、面有關(guān)命題的真假即可.

【詳解】

①若〃//a,則〃與〃的關(guān)系不確定，故錯(cuò)誤；

②如果加_La,nlla,那么平面a內(nèi)存在直線/使，mil,n//l,故故正確;

③如果a//〃，mua,那么加與￡無公共點(diǎn)，則機(jī)//尸，故正確；

④如果加，“，mVa,nll(3,那么a與￡的關(guān)系不確定，故錯(cuò)誤；

故答案為：②③.

17.巴或里

22

【分析】

取3c的中點(diǎn)E，連接EM、EN,求出NMEN的值，利用余弦定理可求得線段MN的

長(zhǎng).

【詳解】

取8c的中點(diǎn)E，連接EM、EN,

?.?/、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，.?.ME//AC且ME=^AC=二，

22

同理可得EN〃BDREN=-BD=-,

22

:"MEN為異面直線AC與8。所成的角或其補(bǔ)角，則NMEN=60,或120。.

在AMEN中,EM=EN=%.

2

若NMEN=60"，則為等邊三角形，此時(shí)，MN=%；

2

百

若AMEN=120°，由余弦定理可得MN=yjEM2+EN2-2EM-ENcosl200——a

2

綜上所述，MN=巴或

22

故答案為：-或.

22

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異

面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：

（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形：

（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是（0,看，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)

角作為兩條異面直線所成的角.

18.54%

【分析】

通過線面垂直的判定定理和性質(zhì)可得出SA，SB，SC兩兩垂直，則可求出外接球的半徑，

進(jìn)而求出球的表面積.

【詳解】

設(shè)AABC的中心為G,連接SG,BG,...SG，平面ABC,

又ACLBG,BGcSG=G,...AC,平面SBG,

SBu平面S3G,???ACSB,

又SB上CD,ACp|CD=C，，S3_L平面ACS.

?.?&4,5。＜=平面405,，58_1514,55_15。，

：S—ABC為正三棱錐，，SA,SB,SC兩兩垂直,

:.SA=SB=SC=30，

故外接球直徑為3拒『+（山『+（3垃『=3巫，

故三棱錐S-ABC外接球的表面積為4〃xj平］=547.

故答案為：54%.

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐的外接球問題，解題的關(guān)鍵是通過線面垂直的判定定理和性質(zhì)可得出SA，

SB,SC?兩兩垂直，即可求出半徑.

19.（1）證明見解析；（2）姮.

5

【分析】

（1）連接BO與AC交于點(diǎn)。，根據(jù)0,￡為為中點(diǎn)，易得。E//8。,再利用線面平行的判

定定理證明；

（2）根據(jù)（1）,由。E//B。得到NAE0異面直線AE與所成的角，然后證得

ACA.OE,得到八40￡是直角三角形求解.

【詳解】

（1）如圖所示：

連接80與AC交于點(diǎn)0,

因?yàn)?,E為為中點(diǎn)，

所以。E/，又QEu平面ACE,BDt（z平面ACE,

所以8，//平面ACE；

（2）由（1）知。E//BR,則NAE0異面直線AE與所成的角,

在正方體A6CD-A4G2中，

因?yàn)锳C，3r）,AC，02，且

所以AC_L平面與8。4，又因?yàn)镺Eu平面48。。，

所以ACLOE,

所以"OE是直角三角形，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為則AO=—a，OE=—a，

22

所以AE=yJOE2+AO2=—,

2

3

2近

OF

所以cosNAEO=——=一=5

AE五

2

故答案為：叵

5

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三種類型：利用圖中已

有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)（線段的端點(diǎn)或中點(diǎn)）作平行線平移；補(bǔ)形平移.

20.（1）證明見解析；（2）

6

【分析】

（1）連接0E,利用中位線的性質(zhì)得出ADJ/OE,再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論

成立；

（2）計(jì)算出S△明￡,利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】

（1）因?yàn)樗倪呅蜛8CD為矩形，且=則。為AC的中點(diǎn),

又因?yàn)镋為CR的中點(diǎn)，則OE〃AQ,

?.?人口?平面目見，OEu平面EBD,因此，AD"/平面EBD；

（2）因?yàn)椤?，cr>,CD=1,=2且E為CR的中點(diǎn)，

所以，SADDLE=/^ACDDI=‘°'，

在長(zhǎng)方體A3CO-A4GA中，8CL平面CQQG,

=

因此，Vc）1-BOE^B-DD,E~W^^DDtE'BC=~.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：常見的線面平行的證明方法有：

（1）通過面面平行得到線面平行；

（2）通過線線平行得到線面平行，在證明線線平行中，經(jīng)常用到中位線定理或平行四邊形

的性質(zhì).

21.（I）證明見解析；（2）也5.

13

【分析】

（1）利用三角形中位線定理證明0D//AB\,再用線面平行的判定定理證明ABi//平面BCiD；

（2）先判斷出NODB（或其補(bǔ)角）為45與3。所成的角，再解三角形求出余弦值.

【詳解】

(1)證明：如圖，連接BC,設(shè)8C與BG相交于點(diǎn)O,連接0D

V四邊形BCGB是平行四邊形.

.??點(diǎn)。為BiC的中點(diǎn).

?.?。為AC的中點(diǎn)，六。。為△A8C的中位線，：.OD//ABi.

平面BGO,ATQ平面BCQ,

.?.A8i〃平面BCiD.

(2)解：由(1)可知，為AS與8。所成的角或其補(bǔ)角,

；M=4B=2,:.AB\=2yfi,0。=血，

在RSABC中，。為AC的中點(diǎn)，則80=46=13,

22

同理可得，08=巫，

2

在^OBD中,

【點(diǎn)睛】

立體幾何解答題的基本結(jié)構(gòu):

(1)第一問一般是幾何關(guān)系的證明，用判定定理；

(2)第二問是計(jì)算，求角或求距離(求體積通常需要先求距離)，通常可以用幾何法，也可以

用向量法計(jì)算.

22.(1)證明見解析；(2)存在，點(diǎn)尸在棱AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)處.

【分析】

(1)由BCDE為菱形知CE_LBO,由中位線、平行線的性質(zhì)得CEJ_0尸，根據(jù)面面垂

直的性質(zhì)可得4。_1面BCDE,進(jìn)而由線面垂直的判定及性質(zhì)即可證CELA/7.

(2)設(shè)8。交CE于M，OF交CE于N,過M作MP//AN交AC于P,根據(jù)面面平行

的判定可證面面AO/7,由面面平行的性質(zhì)有BP//面AO/7,進(jìn)而可確定所得P點(diǎn)

即為所求，且處于棱AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)處.

【詳解】

(1)證明：連接8。，

?.?四邊形8C。七為菱形，

：.CE±BD,

-.0,F分別為BE,OE的中點(diǎn)，即OE//BO,

.,.CE1OF,

???面ABE為等邊三角形，且。為防的中點(diǎn)，

：.AO±BE,又面鉆后,面^⑺石，AOu面ABE,

面ABED面3C￡)E=BE,

面又CEu面BCDE,

.-.AOA.CE,又AOcOF=O,4。。尸匚面40尸，

.?.CEL面AOE,又AFu面AOF,

CELAF.

A

(2)解：設(shè)BD交CE于M，OF交CE于N,

則”為CE的中點(diǎn)，N為EA7的中點(diǎn)，

在AACE中，過點(diǎn)〃作砂//AN交AC于點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸即為所求.

理由如下：

?：0,F分別為BE,。石的中點(diǎn)，

:.ON!IBM,ONU面PBM，BMu面PBM，

ONII面PBM，同理ANH面PBM,

ONCAN=N,ON、ANu面AON,

.?.面P8A7//面AON,即面PB”〃面AO/7,

BPu面PBM，..BP//面AOF

APNM1

■.■MP//AN,；.—=——=-,

ACNC3

故點(diǎn)P在棱AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)處.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

(1)應(yīng)用菱形、中位線、平行線的性質(zhì)證線線垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判

定及性質(zhì)證線線垂直.

(2)利用線面平行的性質(zhì)，通過作圖找到滿足題設(shè)要求的P點(diǎn)，并確定位置在線段AC靠

近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)處.

23.(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】

(1)根據(jù)中位線定理證得G////MG,再由棱柱的性質(zhì)證得G”/ABC,根據(jù)平面公理可

得證；

(2)根據(jù)面面平行的判定定理的推論可得證.

【詳解】

證明：(1)分別為44，4a中點(diǎn)，.?.G”//gG，

?.?三棱柱ABC—48cl中，fiC//B,C,,：.GH//BC

.?.5、C、H、G四點(diǎn)共面;

(2)?：E、F分別為AB、AC中點(diǎn)、，：.EF//BC,：.EF"BC"B?"GH,

又不在平面BC”G中，BCu平面BCHG,所以所//平面BCHG

又?.?￡、G分別為三棱柱側(cè)面平行四邊形對(duì)邊AB、44中點(diǎn)，

四邊形4EBG為平行四邊形，\EHBG,又4E不在平面BC”G,BGu平面8C”G

平面EFAt中有兩條直線4E、EF分別與平面BCHG平行

平面EE4,〃平面BCHG.

V2

24.(I)證明見解析：(II)—L=y.

//

【分析】

(I)要證明線面平行，需證明線線平行，取8P的中點(diǎn)T，連接AT，7N，證明MN//AT；

(H)利用錐體體積公式，分別求兩個(gè)錐體底面積和高的比值，表示體積比值.

【詳解】

(I)如圖，取3P的中點(diǎn)T，連接AT,TN.

因?yàn)镹為PC的中點(diǎn)，所以7N〃BC,且TN」BC=2.

2

又因?yàn)?M=工4。=2,且

3

所以77V〃4M,TN=AM，即四邊形AAWT為平行四邊形，

所以犯〃47\

因?yàn)锳Tu平面巳鉆，MNu平面所以MV〃平面

p

(II)設(shè)四棱錐尸—ABC。的高為〃，AD與8C間的距離為d.

ii]7

則匕=[X/zxS梯形"o=?x/(3+4)=Jd,

332o

I71AcTh1hd

?3233223

V.2

因此7=,.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題考查了線面平行的判斷定理，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸和計(jì)算求解能力，不管是

證明面面平行，還是證明線面平行，都需要證明線線平行，證明線線平行的幾種常見形式,

1.利用三角形中位線得到線線平行；2.構(gòu)造平行四邊形；3.構(gòu)造面面平行.

25.(1)證明見解析；(2)《型.

35

【分析】

(1)連接BG與印。相交于〃，連接EM,證明再由線面平行的判定定理

證明即可；

(2)證明平面A4/，平面3CG4,得出NOJ_平面BCG4,結(jié)合線面角的定義得出

NO8N即為4由與平面8CG4所成角，再由相似三角形、勾股定理、直角三角形邊角關(guān)

系得出AXB與平面BCC&I所成角的正弦值.

【詳解】

(1)連接BG與相交于M,連接KW

由于E，M分別是AG，BC的中點(diǎn)，則EM//AB

因?yàn)椤闙u平面用CE,AB0平面BCE,所以4B//平面與。石.

c

(2)取BC中點(diǎn)尸，連接AE,Bp,則APJ_3C

因?yàn)镸AJ,平面ABC，所以用ALBC

又AF,B|Au平面AB/,AFcB|A=A,所以8C_L平面

又BCu平面BCG用，所以平面?平面BCC4,過N作N。，8尸于。

因?yàn)镸?u平面AB/,平面AB/c平面BCC4=53

所以NO_L平面BCC4,連接OB,則NO8N即為AB與平面BCC4所成角

與=?，AF=?，B*

設(shè)BB]=2,易用BN=《AN。+AB?

2222

RNJ42

由AON與?△APB-ON=^-AF=二

B.F14

./八"“ONV105

所以sinNOBN=----=-------

BN35

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決第一問的關(guān)鍵在于由中位線定理證明線線平行，再由線面平行的判定定理證

明線面平行；解決第二問