解方程常用公式總結(jié)第1篇解方程常用公式總結(jié)第1篇兩角和公式：

sin(AB)=sinAcosBcosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(AB)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosBsinAsinB

tan(AB)=(tanAtanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1tanAtanB)

ctg(AB)=(ctgActgB-1)/(ctgBctgA)

ctg(A-B)=(ctgActgB1)/(ctgB-ctgA)

解方程常用公式總結(jié)第2篇由于高階一元線性方程可以寫作\frac{d\vecx}{dt}=A(t)\vecx+F(t)的形式，所以這里的方法也適用于一元高階線性微分方程。

朗斯基行列式就是把函數(shù)向量組放在一起的det。

解的朗斯基行列式可以表示為：

W(t)=W(t_0)exp(\int_{t_0}^{t}trA(s)ds)

\frac{d\vecx}{dt}=A(t)\vecx

設(shè)\lambda_i對應(yīng)的特征向量為v_i（列向量），則基解矩陣

\phi(t)=(v_1e^{\lambda_1t},v_2e^{\lambda_2t},\cdots)

我們知道，\frac{d\vecx}{dt}=A(t)\vecx的基解矩陣為e^{At}，關(guān)鍵就在于算這個exp矩陣了。

定義：

e^{At}=\sum_{k=0}^\infty\frac{t^k}{k!}A^k

(可以驗證這個級數(shù)是對任何確定的A都是絕對收斂的)

不能對角化，那就Jordan標(biāo)準(zhǔn)化。目的是把A寫作P^{-1}JP的形式，把每一個特征值的廣義特征向量全部寫滿,就組成P了。J的對角線是特征值重復(fù)代數(shù)重數(shù)次，幾何重數(shù)少了代數(shù)重數(shù)幾個就在對角線右上添幾個1.（我這抽象描述一下，實在是忘了Jordan標(biāo)準(zhǔn)化的話你還是專門去找文章看下吧）

計算得組成基解的線性無關(guān)向量：（第j個特征值的第i個向量,vij是廣義特征向量）

\vecy_{ji}(x)=e^{\lambda_jx}[\sum_{m=0}^{n_j-1}\frac{x^m}{m!}(A-\lambda_jI)^m]\vecv_{ji}

設(shè)\phi(t)是線性齊次的基解矩陣，F(xiàn)(t)是方程組右側(cè)的那個“常數(shù)項”。

則方程組的通解為

x(t)=\phi(t)(\int_{t_0}^tF(s)\phi^{-1}(s)ds+C)

解方程常用公式總結(jié)第3篇x^{(n)}+a_1(t)x^{(n-1)}+a_2(t)x^{(n-2)}+\cdots+a_n(t)x=f(t)

向量形式：

\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}=A\overrightarrow{x}+\overrightarrow{F}(t)

\begin{pmatrix}0&1&\cdots&0\\0&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\-a_n(t)&-a_{n-1}(t)&\cdots&-a_1(t)\end{pmatrix}

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若函數(shù)組xi線性相關(guān)，則W(t)=0。(但是W(t)！=0不一定函數(shù)族線性無關(guān))

高階線性微分方程線性無關(guān)的解組的Wronsky行列式永不為0.（如果行列式有零點那就線性相關(guān)）

W(t)=W(t_0)exp(-\int_{t_0}^ta_1(s)ds)

自己看上面的方程，a1是次高導(dǎo)數(shù)項的系數(shù)

用途：一個k階方程，已知了k-1個解，還差一個解，就把W(t)列出來，右邊等于一個常數(shù)C乘上exp積分。

y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_ny=0

跟之前一階一樣的，把導(dǎo)數(shù)換成次方解方程,拿到特征根塞給exp。如果有重根，就在exp前面堆多項式，如果有復(fù)根，就寫成\rhoe^{i\theta}然后分開設(shè)expsin+expcos，和組合數(shù)學(xué)那里一樣的。

x^{(n)}+a_1(t)x^{(n-1)}+a_2(t)x^{(n-2)}+\cdots+a_n(t)x=f(t)

ODEppt講這里沒有一圖流，直接看組合數(shù)學(xué)得了

常數(shù)部分=r^nb(n)

特解形式=n^m(k_0+k_2n+\cdots+k_qn^q)r^n

可以拆成三個部分相乘，第一部分：n的{重根}次方，第二部分：和等式右側(cè)多項式次數(shù)相等的未定系數(shù)多項式，第三部分：直接把特征根部分搬下來

先把幾個通解基搞出來，再把前面系數(shù)寫成c(t)帶進去解c（t）.等式常數(shù)部分怪怪的用不了湊特解就用這個。

設(shè)線性通解為y=c_1x_1+\cdots+c_nx_n，則常數(shù)變易法得到的方程組為；

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y''-y=xe^xcosx

y''+y=4sinx

用常數(shù)變易

y''+y=\frac{1}{sin^3x}

就不能叫什么歐拉第一方程第二方程？還有個變分也叫歐拉方程

x^{n}y^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}xy'+a_ny=f(x)

特點：x的次數(shù)和y的導(dǎo)數(shù)次數(shù)一致

更新解法：更適合物理系思路的理解方式

令x=e^t

\doty=y'\dotx=y'x

\ddoty=(y'x)'\dotx=(y''x+y')x=y''x^2+y'x

...

D(D-1)...(D-(n-1))y=x^ny^{(n)}

下面是原ppt講法

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令D=\frac1yur6k9{dt}，則：

xy'=Dy

x^2y''=D(D-1)y

...

代回原方程，化為g(D)*y=\varphi(x)的形式，相當(dāng)于是個非齊次線性方程，用特征方程隨便解下就行了。記得最后把t換成x。

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解方程常用公式總結(jié)第4篇公式法

首先要通過Δ=b2-4ac的根的'判別式來判斷一元二次方程有幾個根

1.當(dāng)Δ=b2-4ac<0時x無實數(shù)根(初中)

2.當(dāng)Δ=b2-4ac=0時x有兩個相同的實數(shù)根即x1=x2

3.當(dāng)Δ=b2-4ac>0時x有兩個不相同的實數(shù)根

當(dāng)判斷完成后，若方程有根可根屬于2、3兩種情況方程有根則可根據(jù)公式：x={-b±√(b2-4ac)}/2a

來求得方程的根

公式法就是解一元二次方程的萬能方法，就是打開關(guān)鍵之門的鑰匙。

解方程常用公式總結(jié)第5篇Image

\frac{dy}{dx}=P(x)y+Q(x)

齊次通解：e^{\intP(x)dx}+C

常數(shù)變易法，得到非齊次通解：

e^{\intP(x)dx}[\intQ(x)e^{-\intP(x)dx}dx+C]

括號里再塞一個積分，用原方程的“常數(shù)（只含x）”部分除上齊次通解，積起來。

y'+\frac1xy=\frac{e^x}x

這太標(biāo)志了。

\frac{dy}{dx}=P(x)y+Q(x)y^n

特點：把y'的系數(shù)清干凈之后，還出現(xiàn)一項除了x以外帶個一次的y（就是說和y'的y次數(shù)就相差一個），那就把第三項那個y^n等式兩邊同除了。

1^{\circ}y\neq0，兩端同除y^n，得：

y^{-n}\frac{dy}{dx}=P(x)y^{1-n}+Q(x)

令z=y^{1-n},則\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}，代入上式：

\frac{dz}{dx}=(1-n)P(x)z+(1-n)Q(x)

即化為關(guān)于z的線性方程。

2^{\circ}n>0時，y=0也是原方程的解。

2yy'+2xy^2=xe^{-x^2}

總共三項，y'前面帶一個y，還有一項帶y平方，正好差一個y，OK伯努利登場。

\frac{dy}{dx}=\frac{1}{xsin^2(xy)}-\frac{y}{x}

很明顯這個就是硬蹭，不知道老師為什么把這個放ppt里。解法是z=xy，等式兩邊同乘x后可以拼出來個dz/dx.

\frac{dy}{dx}=\frac1{x+y}

方程倒過來（兩邊取倒數(shù)），然后爽解線性方程。

\frac{dy}{dx}=f(x)+P(x)y+Q(x)y^2

也是先把y'的系數(shù)清干凈之后，還有三個座位允許你帶y^0,y^1,y^2。只能通過已知特解推通解。

已知特解y*，則令z=y-y*，將y=z+y*帶入原方程，化簡一下就是伯努利方程了。

\frac{dz}{dx}=[P(x)+2y*(x)Q(x)]z+Q(x)z^2

\frac{dy}{dx}=y^2-\frac2{x^2}

先蒙個特解y=1/x，然后y=z+1/x代回即可。

解方程常用公式總結(jié)第6篇1、去分母：在觀察方程的構(gòu)成后，在方程左右兩邊乘以各分母的最小公倍數(shù)；

2、去括號：仔細觀察方程后，先去掉方程中的小括號,再去掉中括號,最后去掉大括號；

3、移項：把方程中含有未知數(shù)的項全部都移到方程的另外一邊，剩余的幾項則全部移動到方程的另一邊；

4、合并同類項：通過合并方程中相同的幾項，把方程化成ax=b(a≠0)的形式；

5、系數(shù)化為1：通過方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，使得x前面的系數(shù)變成1，從而得到方程的解。

解方程常用公式總結(jié)第7篇T(p)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-pt}dt

f(t)=\frac1{2\pij}\int_{\beta-j\infty}^{\beta+j\infty}T(p)e^{pt}dp

感覺有點像fly？

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有沒有覺得好像歐拉方程（完整版）（bushi

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用來解決高階線性很好玩，先做個變換：

s^2X(s)-2sX(s)+2X(s)=\mathcal{L}[2e^tcost]=\frac{2(s-1)}{(s-1)^2+1}

X(s)=\frac{2(s-1)}{[(s-1)^2+1]^2}

x(t)=te^tsi