萬有引力與航天章末測試(建議用時：75分鐘)一、單項選擇題1、（2022·全國乙卷·T14）2022年3月，中國航天員翟志剛、王亞平、葉光富在離地球表面約400km的“天宮二號”空間站上通過天地連線，為同學們上了一堂精彩的科學課。通過直播畫面可以看到，在近地圓軌道上飛行的“天宮二號”中，航天員可以自由地漂浮，這表明他們（）A．所受地球引力的大小近似為零B．所受地球引力與飛船對其作用力兩者的合力近似為零C．所受地球引力的大小與其隨飛船運動所需向心力的大小近似相等D．在地球表面上所受引力的大小小于其隨飛船運動所需向心力的大小【答案】C【解析】ABC．航天員在空間站中所受萬有引力完全提供做圓周運動的向心力，飛船對其作用力等于零，故C正確，AB錯誤；D．根據萬有引力公式，可知在地球表面上所受引力的大小大于在飛船所受的萬有引力大小，因此地球表面引力大于其隨飛船運動所需向心力的大小，故D錯誤。故選C。2、（2021·全國甲卷·T18）2021年2月，執行我國火星探測任務的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后，進入運行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m。已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7m/s2，則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠距離約為（）A．6×105m B．6×106m C．6×107m D．6×108m【答案】C【解析】忽略火星自轉則①可知，設與為1.8×105s的橢圓形停泊軌道周期相同的圓形軌道半徑為，由萬引力提供向心力可知②設近火點到火星中心為③設遠火點到火星中心為④由開普勒第三定律可知⑤由以上分析可得故選C。3、近地衛星繞地球的運動可視為勻速圓周運動，若其軌道半徑近似等于地球半徑R，運行周期為T，地球質量為M，引力常量為G，則()A．近地衛星繞地球運動的向心加速度大小近似為eq\f(2π2R,T2)B．近地衛星繞地球運動的線速度大小近似為eq\r(\f(R,GM))C．地球表面的重力加速度大小近似為eq\f(M,GR2)D．地球的平均密度近似為eq\f(3π,GT2)【答案】D【解析】由向心加速度公式可知，近地衛星繞地球運動的向心加速度大小an＝w2R＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R＝eq\f(4π2R,T2)，故A錯誤；近地衛星繞地球運動的向心力由萬有引力提供，由向心力公式得Geq\f(Mm,R2)＝eq\f(mv2,R)解得近地衛星繞地球運動的線速度大小v＝eq\r(\f(GM,R))，故B錯誤；地球表面物體的重力等于萬有引力，所以有Geq\f(Mm,R2)＝mg地球表面的重力加速度大小為g＝eq\f(GM,R2)，故C錯誤；近地衛星繞地球運動的向心力由萬有引力提供，由向心力公式得Geq\f(Mm,R2)＝mrω2＝mReq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2解得地球的質量為M＝eq\f(4π2R3,GT2)地球的平均密度近似為ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(4π2R3,GT2),\f(4πR3,3))＝eq\f(3π,GT2)，故D正確。4、2020年5月，我國航天局組織最后一次北斗衛星發射后，北斗全球系統建設全面完成。其中北斗三號系統首創了由MEO衛星(中圓地球軌道衛星)、GEO衛星(地球靜止軌道衛星)和IGSO衛星(傾斜地球同步軌道衛星)三種不同軌道的衛星組網。假設圖中A、B、C分別為GEO衛星、IGSO衛星、MEO衛星，其中衛星B、C的軌道共面，它們都繞地球做勻速圓周運動。已知衛星C離地高度為h，地球自轉周期為T，地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，則下列判斷正確的是()A．衛星C的線速度小于衛星A的線速度B．衛星B的角速度大于衛星A的角速度C．衛星C的周期為D．衛星B離地高度為eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))－R【答案】D【解析】根據Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)解得v＝eq\r(\f(GM,r))，衛星C的軌道半徑小于衛星A的軌道半徑，則衛星C的線速度大于衛星A的線速度，A錯誤；根據Geq\f(Mm,r2)＝mrω2解得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，衛星B的軌道半徑大于衛星A的軌道半徑，則衛星B的角速度小于衛星A的角速度，B錯誤；由地面上的物體所受重力近似等于萬有引力，有Geq\f(Mm,R2)＝mg，對衛星C，根據G＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2(R＋h)，解得T＝，C錯誤；根據G＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2(R＋h′)，解得h′＝eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))－R，D正確。5、（2022·廣東肇慶市高三下學期三模）2021年12月9日，中國空間站“天宮課堂”第一課正式開講，這是時隔8年之后，中國航天員再次進行太空授課。空間站轉一圈的時間約90分鐘，保證太空授課信號通暢的功臣是中繼衛星，中繼衛星在地球同步靜止軌道運行，空間站、中繼衛星繞地球的運動均可視為勻速圓周運動，下列說法正確的是（）A.空間站的角速度小于中繼衛星的角速度B.空間站的加速度大于中繼衛星的加速度C.空間站的線速度小于中繼衛星的線速度D.中繼衛星的線速度等于第一宇宙速度【答案】B【解析】A．中繼衛星在地球同步靜止軌道運行，周期為24小時，空間站轉一圈約90分鐘，由公式知，空間站角速度大于中繼衛星角速度，故A錯誤；B．由開普勒第三定律知，中繼衛星軌道半徑大于空間站軌道半徑，由得知空間站的加速度大于中繼衛星的加速度，故B正確；CD．由萬有引力定律提供向心力得可知空間站的線速度大于中繼衛星的線速度，中繼衛星的線速度小于第一宇宙速度，故CD錯誤。故選B。6、（2022·河北石家莊市高三下學期二模）1970年4月我國發射了首顆人造地球衛星“東方紅一號”，目前依然在太空翱翔。其運行軌道為繞地球的橢圓，遠地點A距地球表面的高度為2129km，近地點B距地球表面的高度為429km；地球同步衛星距地面的高度約為36000km。已知地球可看成半徑為6371km的勻質球體，地球自轉周期為24h，引力常量，根據以上數據不能計算出（）A.地球的質量B.“東方紅一號”繞地球運動的周期C.“東方紅一號”通過B點時的速度大小D.“東方紅一號”經過A點時的加速度大小【答案】C【解析】A．對同步衛星可以計算地球質量，故A不符合題意；B．根據題意可以計算“東方紅一號”繞地球運動的半長軸，根據同步衛星周期及半徑，結合開普勒第三定律，可以計算“東方紅一號”繞地球運動的周期，故B不符合題意；C．“東方紅一號”通過B點時的速度大小無法計算，因為是橢圓軌道的近地點，故C符合題意；D．“東方紅一號”經過A點時的加速度大小可以計算，根據萬有引力等于合外力，故D不符合題意；故選C。7、2022年左右我國將建成載人空間站，軌道高度距地面約400km，在軌運營10年以上，它將成為中國空間科學和新技術研究實驗的重要基地。設該空間站繞地球做勻速圓周運動，其運動周期為T，軌道半徑為r，引力常量為G，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，下列說法正確的是()A．地球的質量為M＝eq\f(4π2r3,GT2)B．空間站的線速度大小為v＝eq\r(gr)C．空間站的向心加速度為a＝eq\f(4π2,T2)RD．空間站的運行周期大于地球自轉周期【答案】A【解析】由萬有引力提供空間站做圓周運動所需的向心力得Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，可得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，故A正確；由于在地表，g＝eq\f(GM,R2)，空間站的向心加速度a＝eq\f(GM,r2)＝eq\f(v2,r)＝eq\f(4π2,T2)r，可得v＝eq\r(\f(gR2,r))故B、C錯誤；因為空間站軌道半徑小于同步衛星軌道半徑，根據開普勒第三定律可知，空間站的運行周期小于地球自轉周期，故D錯誤。8、據報道，我國將于2020年發射火星探測器。假設圖示三個軌道是探測器繞火星飛行的軌道，其中軌道Ⅰ、Ⅲ均為圓形軌道，軌道Ⅱ為橢圓形軌道，三個軌道在同一平面內，軌道Ⅱ與軌道Ⅰ相切于P點，與軌道Ⅲ相切于Q點，不計探測器在變軌過程中的質量變化，則下列說法正確的是()A．探測器在軌道Ⅱ的任何位置都具有相同速度B．探測器在軌道Ⅲ的任何位置都具有相同加速度C．不論在軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ運行，探測器在P點的動量都相同D．不論在軌道Ⅱ還是軌道Ⅲ運行，探測器在Q點的加速度都相同【答案】D【解析】根據開普勒第二定律可知，探測器在軌道Ⅱ上運動時，在距離地球較近的點速度較大，較遠的點速度較小，選項A錯誤；探測器在軌道Ⅲ的任何位置都具有相同大小的加速度，但是方向不同，選項B錯誤；探測器從軌道Ⅰ到軌道Ⅱ要在P點加速，則探測器在軌道Ⅰ上P點的動量小于在軌道Ⅱ上P點的動量，選項C錯誤；不論在軌道Ⅱ還是軌道Ⅲ運行，探測器在Q點時受到火星的萬有引力相同，則加速度相同，選項D正確。9、(2022·南京秦淮中學檢測)如圖，“食雙星”是指在相互引力作用下繞連線上O點做勻速圓周運動，彼此掩食(像月亮擋住太陽)而造成亮度發生周期性變化的兩顆恒星。在地球上通過望遠鏡觀察這種雙星，視線與雙星軌道共面。觀測發現每隔時間T兩顆恒星與望遠鏡共線一次，已知兩顆恒星A、B間距為d，引力常量為G，則可推算出雙星的總質量為()A．eq\f(π2d2,GT2) B．eq\f(π2d3,GT2)C．eq\f(2π2d2,GT2) D．eq\f(4π2d3,GT2)【答案】B【解析】設A、B兩天體的軌道半徑分別為r1、r2，兩者做圓周運動的周期相同，設為T′，由于經過時間T兩者在此連成一條直線，故T′＝2T，對兩天體，由萬有引力提供向心力可得Geq\f(mAmB,d2)＝mAeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T′)))eq\s\up12(2)r1，Geq\f(mAmB,d2)＝mBeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T′)))eq\s\up12(2)r2，其中d＝r1＋r2，聯立解得mA＋mB＝eq\f(π2d3,GT2)，故B正確。10、2020年7月23日，我國成功發射了“天問一號”火星探測器，將一次實現火星的“環繞、著陸、巡視”三個目標。假設探測器到達火星附近時，先在高度恰好等于火星半徑的軌道上環繞火星做勻速圓周運動，測得運動周期為T，之后通過變軌、減速落向火星。探測器與火星表面碰撞后，以速度v豎直向上反彈，經過時間t再次落回火星表面。不考慮火星的自轉及火星表面大氣的影響，已知引力常量為G，則火星的質量M和火星的半徑R分別為()A．M＝eq\f(v3T4,128π4Gt3)，R＝eq\f(vT2,16π2t)B．M＝eq\f(v3T2,128π4Gt3)，R＝eq\f(vT2,16π2t)C．M＝eq\f(v3T4,1024π4Gt3)，R＝eq\f(vT2,32π2t)D．M＝eq\f(v3T4,1024π4Gt2)，R＝eq\f(vT,32π2t)【答案】A【解析】探測器與火星表面碰撞后，以速度v豎直向上反彈，經過時間t再次落回火星表面，則火星表面的重力加速度g＝eq\f(2v,t)，火星表面物體所受重力近似等于萬有引力，有Geq\f(Mm,R2)＝mg，探測器在高度恰好等于火星半徑的軌道上環繞火星做勻速圓周運動周期為T，則Geq\f(Mm,2R2)＝meq\f(4π2,T2)·2R，聯立解得R＝eq\f(vT2,16π2t)，M＝eq\f(v3T4,128π4Gt3)，故A項正確，B、C、D錯誤。11、科學家計劃在2025年將首批宇航員送往火星進行考察。一質量為m的物體，假設在火星兩極宇航員用彈簧測力計測得的讀數為F1，在火星赤道上宇航員用同一個彈簧測力計測得的讀數為F2，通過天文觀測測得火星的自轉角速度為ω，引力常量為G，將火星看成是質量分布均勻的球體，則火星的密度和半徑分別為()A．，eq\f(F1－F2,mω2)B．eq\f(3ω2,4πG)，eq\f(F1F2,mω2)C．，eq\f(F1＋F2,mω2)D．eq\f(3ω2,4πG)，eq\f(F1－F2,ω2)【答案】A【解析】在火星的兩極，宇航員用彈簧測力計測得的讀數F1等于萬有引力，即Geq\f(Mm,R2)＝F1，在火星的赤道上，物體的重力不等于萬有引力，有Geq\f(Mm,R2)－F2＝mω2R，聯立解得R＝eq\f(F1－F2,mω2)，又M＝eq\f(4,3)πR3ρ，解得ρ＝，選項A正確，B、C、D錯誤。12、假設宇宙中有兩顆相距無限遠的行星A和B，自身球體半徑分別為RA和RB。兩顆行星各自周圍的衛星的軌道半徑的三次方(r3)與運行公轉周期的平方(T2)的關系如圖所示；T0為衛星環繞各自行星表面運行的周期。則()A．行星A的質量小于行星B的質量B．行星A的密度小于行星B的密度C．行星A的第一宇宙速度等于行星B的第一宇宙速度D．當兩行星周圍的衛星的運動軌道半徑相同時，行星A的衛星的向心加速度大于行星B的衛星的向心加速度【答案】D【解析】根據萬有引力提供向心力，有eq\f(GMm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，解得T＝eq\r(\f(4π2R3,GM))，對于環繞行星A表面運行的衛星，有T0＝eq\r(\f(4π2RA3,GMA))①，對于環繞行星B表面運行的衛星，有T0＝eq\r(\f(4π2RB3,GMB))②，聯立①②得eq\f(RA3,MA)＝eq\f(RB3,MB)③，由題圖知，RA>RB，所以MA>MB，故A錯誤；A行星質量MA＝ρAeq\f(4,3)πRA3，B行星的質量MB＝ρBeq\f(4,3)πRB3，代入③解得ρA＝ρB，故B錯誤；行星的近地衛星的線速度即第一宇宙速度，根據萬有引力提供向心力，有eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(\f(4,3)Gρπ)R∝R，因為RA>RB，所以vA>vB，故C錯誤；根據eq\f(GMm,r2)＝ma知a＝eq\f(GM,r2)，由于MA>MB，行星運動的軌道半徑相等，則行星A的衛星的向心加速度大于行星B的衛星的向心加速度，故D正確。二、多項選擇題13、(2022·梧州3月聯考)宇宙中兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間的萬有引力作用互相繞轉，稱之為雙星系統。設某雙星系統A、B繞其連線上的某固定點O點做勻速圓周運動，如圖所示。若A、B兩星球到O點的距離之比為3∶1，則()A．星球A與星球B所受引力大小之比為1∶1B．星球A與星球B的線速度大小之比為1∶3C．星球A與星球B的質量之比為3∶1D．星球A與星球B的動能之比為3∶1【答案】AD【解析】星球A所受的引力與星球B所受的引力均為二者之間的萬有引力，大小是相等的，故A正確；雙星系統中，星球A與星球B轉動的角速度相等，根據v＝ωr，則線速度大小之比為3∶1，故B錯誤；A、B兩星球做勻速圓周運動的向心力由二者之間的萬有引力提供，可得Geq\f(mAmB,L2)＝mAω2rA＝mBω2rB，則星球A與星球B的質量之比為mA∶mB＝rB∶rA＝1∶3，故C錯誤；星球A與星球B的動能之比為eq\f(EkA,EkB)＝eq\f(\f(1,2)mAveq\o\al(2,A),\f(1,2)mBveq\o\al(2,B))＝eq\f(mA（ωrA）2,mB（ωrB）2)＝eq\f(3,1)，故D正確。14、(2022·河北省開學摸底)探測器接近火星后，需經歷如圖所示的變軌過程，軌道Ⅰ為圓軌道，已知引力常量為G，則下列說法正確的是()A．探測器在軌道Ⅰ上的機械能大于在軌道Ⅱ上的機械能B．探測器在軌道上運動時，運行的周期TⅢ>TⅡ>TⅠC．探測器若從軌道Ⅱ變軌到軌道Ⅰ，需要在P點朝速度的反向噴氣D．若軌道Ⅰ貼近火星表面，并已知探測器在軌道Ⅰ上運動的角速度，可以推知火星的密度【答案】BD【解析】探測器在軌道Ⅱ上的P點需要朝速度方向噴氣減速降低至軌道Ⅰ，所以在軌道Ⅰ上的機械能小于在軌道Ⅱ上的機械能，A、C錯誤；根據開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k，圖中半長軸和半徑的關系aⅢ>aⅡ>aⅠ，繞同一中心天體運行，所以TⅢ>TⅡ>TⅠ，B正確；若軌道Ⅰ貼近火星表面，軌道半徑近似為火星半徑，萬有引力提供向心力：Geq\f(Mm,R2)＝mω2R，火星密度：ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，解得ρ＝eq\f(3ω2,4πG)，可以求出火星密度，D正確。15、2021年2月15日17時，我國首次火星探測任務“天問一號”探測器成功實施“遠火點平面軌道調整”。如圖為該過程的示意圖，圖中虛線軌道所在平面，與實線軌道所在平面垂直。探測器由遠處經A點進入軌道1，經B點進入軌道2，經C點進入軌道3，再經C點進入軌道4，上述過程僅在點A、B、C啟動發動機點火，A、B、C、D、E各點均為各自所在軌道的近火點或遠火點，各點間的軌道均為橢圓。以下說法正確的是（）A．探測器在軌道3的運動周期大于在軌道4的運動周期B．探測器從軌道3經過C點的向心加速度小于軌道4經過C點的向心加速度C．探測器在B點變軌后機械能增加D．探測器在B點變軌前的速度大于變軌后的速度【答案】AD【解析】A．由于軌道3的半長軸大于軌道4的半長軸，根據開普勒第三定律可知，探測器在軌道3的運動周期大于在軌道4的運動周期，A正確；B．根據萬有引力提供向心力，可得由于軌道3和軌道4在C點到地心的距離相等，故探測器從軌道3經過C點的向心加速度等于軌道4經過C點的向心加速度，B錯誤；C．探測器在B點變軌時，速度減小，故機械能減小，C錯誤；D．探測器在B點變軌時，做近心運動，速度減小，故探測器在B點變軌前的速度大于變軌后的速度，D正確。16、兩顆人造衛星繞地球逆時針運動，衛星1、衛星2分別沿圓軌道、橢圓軌道運動，圓的半徑與橢圓的半長軸相等，兩軌道相交于A、B兩點，某時刻兩衛星與地球在同一直線上，如圖所示，下列說法中正確的是()A．兩衛星在圖示位置的速度v2＝v1B．兩衛星在A處的加速度大小相等C．兩顆衛星在A或B點處可能相遇D．兩衛星永遠不可能相遇【答案】BD【解析】v2為衛星2在橢圓軌道的遠地點的速度，速度小于對應圓軌道的環繞速度，v1表示做勻速圓周運動的速度，根據v＝eq\r(\f(GM,r))可知，v1>v2，故A錯誤；兩個軌道上的衛星運動到A點時，所受的萬有引力產生加速度a＝eq\f(GM,r2)，加速度相同，故B正確；橢圓的半長軸與圓軌道的半徑相同，根據開普勒第三定律知，兩顆衛星的運動周期相等，則不會相遇，故C錯誤，D正確。17、某同學認為只要測出地球赤道位置處的重力加速度g，就可以利用一些常見的數據計算出地球的半徑和質量。已知常見數據為萬有引力常量G，地球的自轉周期T，地球兩極處的重力加速度g0。若視地球為質量分布均勻的球體，赤道處的重力加速度g已經測出，則下列說法中正確的是()A．地球的半徑為B．地球的半徑為C．地球的質量為D．地球的質量為【答案】BD【解析】在兩極地區，物體受到地球的萬有引力等于其所受的重力，則有eq\f(GMm,R2)＝mg0，在赤道處，則有eq\f(GMm,R2)－mg＝meq\f(4π2R,T2)，聯立可得地球的半徑為R＝，將R＝代入eq\f(GMm,R2)＝mg0可得地球的質量為M＝，故A、C錯誤，B、D正確。18、下表是一些有關火星和地球的數據，利用引力常量G和表中選擇的一些信息可以完成的估算是()信息序號①②③④⑤信息內容地球一年約為365天地表重力加速度約為9.8m/s2火星的公轉周期約為687天日地距離大約是1.5億千米地球半徑約為6400千米A．選擇②⑤可以估算地球的質量B．選擇①④可以估算太陽的密度C．選擇①③④可以估算火星公轉的線速度D．選擇①②④可以估算太陽對地球的吸引力【答案】AC【解析】由Geq\f(M地m,R地2)＝mg，解得地球質量M地＝eq\f(gR地2,G)，所以選擇②⑤可以估算地球質量，選項A正確；由Geq\f(M太M地,r2)＝M地req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2，解得M太＝eq\f(4π2r3,GT2)，所以選