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文檔簡介

人教2019A版選擇性必修第一冊1.1

空間向量及其運算第一章空間向量與立體幾何1.1.2

空間向量的數量積運算空間向量的夾角.OAB空間向量的數量積已知非零向量

，則

叫做

的數量積，記作

，即

特別地，零向量與任意向量的數量積為0由向量數量積定義，可以得到：

①

若

是非零向量，

②注意：

不能寫成

或者

在平面向量中我們學習過投影向量的概念.ONMM1空間向量的投影向量.Oα將空間向量

，平移到同一個平面

α內，利用平面上向量的投影得到與向量

共線的向量

，即:向量

稱為向量

在向量

上的投影向量空間向量數量積的運算律①②（交換律）

③（分配律）

×思考1：對于三個均不為零的實數

a，b，c，若

ab＝

ac，則

b＝

c.對于非零向量

，由

，能得到

嗎？思考2：對于三個均不為零的數a，b，c，若

ab＝c，則

或.那么對于向量

，若

，能寫成

或

嗎？×因為向量沒有除法運算思考3：對于三個均不為零的數

a，b，c，有(ab)c＝

a(bc).對于向量

，

成立嗎？×一、空間向量數量積的計算由向量數量積的定義知，要求

，需已知

，

和

，

與

的夾角與方向有關，一定要根據方向正確判定夾角的大小已知向量

a和

b的夾角為120°，且|a|＝2，|b|＝5，則

(2a－b)·a等于A.12 B.8C.4 D.13√已知空間四邊形

ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點

E，F分別是

AB，AD的中點，計算：二、利用數量積證明空間中的垂直關系用向量法證明垂直關系的步驟：(1)把幾何問題轉化為向量問題(2)用已知向量表示所證向量(3)結合數量積公式和運算律證明數量積為0(4)將向量問題回歸到幾何問題正四棱錐P－ABCD的各棱長都為a，用向量法證明

BD⊥PC.三、利用數量積求夾角求夾角：設向量

所成的角為θ，則進而可求兩異面直線所成的角[提醒]（1）求向量夾角，必須特別關注兩向量的方向（2）注意向量夾角與異面直線所成角的區別向量夾角范圍：異面直線所成角范圍：在長方體

ABCD－A1B1C1D1中，設AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中點，已知空間四邊形

OABC各邊及對角線長都相等，E，F分別為

AB，OC的中點，則異面直線

OE與

BF所成角的余弦值為________．四、利用數量積求距離（線段長）用數量積求兩點間距離的步驟：(1)將兩點確定的線段用向量表示(2)用其他向量表示此向量(3)用公式

，求

在空間四面體

OABC中，OA，OB，OC兩兩成

60°角，

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