湘豫名校聯(lián)考（2022年5月）數(shù)學（理科）試卷第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.已知集合，，則（）A.B.C.D.2.已知復數(shù)（為虛數(shù)單位，）為實數(shù)，則（）A.B.C.D.3.已知實數(shù)滿足約束條件，則的最大值為（）A.B.C.D.4.近年來，我國人口老齡化在不斷加速，年至年，我國老年（歲及以上）撫養(yǎng)比逐年攀升．下圖為國家統(tǒng)計局對年中國歲及以上人口數(shù)量與老年撫養(yǎng)比統(tǒng)計．根據(jù)上圖進行分析，下列說法不正確的是（）A.年中國歲及以上人口數(shù)量為億，同比年增長了約B.年老年撫養(yǎng)比為，較年增加了C.年的老年撫養(yǎng)比增速不低于年的老年撫養(yǎng)比增速D.年中國歲及以上人口數(shù)量的極差為億，中位數(shù)為億5.已知的展開式中所有項的系數(shù)之和為，則該展開式中項的系數(shù)是（）A.B.C.D.6.如圖，在正方體中，分別為棱的中點，為正方形的對角線與的交點，則下列結論不正確的是（）A.平面B.平面C.平面D.平面7.已知，則（）A.B.C.D.8.已知，，，則（）A.B.C.D.9.已知函數(shù)部分圖象如圖所示．其中陰影部分的面積為，則函數(shù)在上的最小值為（）A.B.C.D.10.過拋物線的焦點的直線與拋物線相交于兩點，點為拋物線上一點，為坐標原點，滿足，且直線與直線相交于點，則（）A.B.C.D.11.在直三棱柱中，，，點為的中點，則四面體的外接球的表面積為（）A.B.C.D.12.已知函數(shù)，若對任意的，都有成立，則整數(shù)a的最大值為（）A.3B.4C.5D.6第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則______．14.在正六邊形中，已知點，，則點坐標為______．15.《九章算術》是中國古代第一部數(shù)學專著．《九章算術》中的“邪田”意為直角梯形，上、下底稱為“畔”，高稱為“正廣”，非高腰邊稱為“邪”．如圖所示，邪長為，東畔長為，在A處測得C，D兩點處的俯角分別為49°和19°，則正廣長約為______．（注：）16.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，直線與雙曲線C相交于A，B兩點，且點A在x軸上方，若，，則雙曲線C的離心率的取值范圍是______．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.某醫(yī)院為篩查某種疾病，需要檢驗一項血液指標是否為陽性．（1）現(xiàn)有份血液樣本，其中有份樣本為陽性．若采取逐份檢驗的方式，求恰好經(jīng)過次檢驗就能把陽性樣本全部找出來的概率；（2）現(xiàn)有份血液樣本送檢，該醫(yī)院打算分別采用甲試劑檢驗其中的份，采用乙試劑檢驗另外的份，檢驗結果如下表：使用甲試劑使用乙試劑合計陰性陽性合計根據(jù)上面的列聯(lián)表判斷，是否有的把握認為檢驗結果與使用甲、乙試劑的選擇有關．附：，其中．19.已知數(shù)列的前項和為，，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和．21.如圖，在四棱錐中，平面PAB，平面PAB，．．（1）求證：平面平面ABCD；（2）求平面PCD與平面PAD所成銳二面角的余弦值．23.已知橢圓的四個頂點構成的平行四邊形的周長為，短軸頂點與焦點構成的平行四邊形的周長為12．（1）求橢圓C的標準方程；（2）分別過橢圓的左、右頂點，作直線，，與橢圓C分別相交于點M，N（M，N分別在x軸的上方與下方），與y軸分別相交于點P，Q，若直線MN恒過定點，且（O為坐標原點），求的值．25.已知函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)的極值；（2）若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根，證明：．（二）選考題：共10分．請考生在第22~23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程27.在平面直角坐標系中，直線參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓的圓心為，半徑為