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2017年高考“最終2017年高考“最終三十天”專題透析好教化云平臺——教化因你我而變小題必練13導數及其應用1.依據導數幾何意義求解函數切線問題.2.依據導數正負求解函數單調性.3.利用函數極值點求函數最值.4.通過導數求出單調性和極值,分析函數圖象探討求解恒成立問題.1.【2024全國Ⅰ卷文】曲線的一條切線的斜率為,則該切線的方程為.【答案】【解析】由題意可得,設切點為,則,得,∴,∴切點坐標為,∴切線方程為,即.【點睛】設出切點,依據導數幾何意義求出切點坐標,由點斜式求出切線方程.2.【2024全國Ⅲ卷文】設函數,若,則________.【答案】【解析】,,解得.【點睛】求出,依據,求出.一、單選題.1.若函數恰有兩個不同的零點,則實數的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】B【解析】明顯,不是函數的零點,令,得,構造函數,,則,令,得到;令,得到且,即函數在上單調遞減,在上單調遞減,在上單調遞增,所以函數有微小值,畫出函數的圖象,如圖所示,由圖像可知,當時,直線與的圖象不行能有兩個交點;當,只需,的圖象與直線即有兩個不同的交點,即函數恰有兩個不同的零點,∴的取值范圍為,故選B.2.函數在區間上的最大值是()A. B. C. D.【答案】C【解析】對于函數,.當時,;當時,.所以,函數在區間上單調遞增,在區間上單調遞減.所以,,故選C.3.已知函數,則其單調增區間是()A. B. C. D.【答案】A【解析】由,函數定義域為,求導,令,得或(舍去),所以單調增區間是,故選A.4.函數是上的單調函數,則的范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】函數是上的單調函數,即或(舍)在上恒成立,,解得,故選D.5.已知函數,若直線過點,且與曲線相切,則直線的斜率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】設切點坐標為,,,直線的斜率為,所以,直線的方程為,將點的坐標代入直線的方程得,解得,因此,直線的斜率為,故選B.6.已知函數的圖像與x軸切于點,則的極值為()A.極大值為,微小值為0 B.極大值為0,微小值為C.微小值為,極大值為0 D.微小值為0,極大值為【答案】A【解析】由題意,函數,則,因為函數的圖像與軸切于點,則,且,聯立方程組,解得,,即,則,當時,,函數單調遞增;當時,,函數單調遞減;當時,,函數單調遞增,所以函數的極大值為,微小值為,故選A.7.已知偶函數對于隨意的滿意(其中是函數的導函數),則下列不等式中成立的是()A. B.C. D.【答案】D【解析】試題分析:令,因,故由題設可得,即函數在上單調遞增且是偶函數.又因,故,即,所以,故應選D.8.已知函數,,若恰有個零點,則實數的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】由恰有個零點,即方程恰有個實數根.即函數的圖像與的圖像有三個交點,如圖.與函數的圖像恒有一個交點,即函數與有兩個交點.設與函數相切于點,由,所以,得,所以切點為,此時,切線方程為,將向下平移可得與恒有兩個交點,所以,故選D.二、多選題.9.關于函數,下列說法正確的是()A.是的極大值點B.函數有且只有個零點C.存在正整數,使得恒成立D.對隨意兩個正實數,,且,若,則【答案】BD【解析】對于A選項,函數的的定義域為,函數的導數,∴時,,函數單調遞減;時,,函數單調遞增,∴是的微小值點,故A錯誤;對于B選項,,∴,∴函數在上單調遞減,又∵,,∴函數有且只有1個零點,故B正確;對于C選項,若,可得,令,則,令,則,∴在上,,函數單調遞增;上,,函數單調遞減,∴,∴,∴在上函數單調遞減,函數無最小值,∴不存在正實數,使得成立,故C錯誤;對于D選項,由,,可知,,要證,即證,且,由函數在是單調遞增函數,所以有,由于,所以,即證明,令,則,所以在是單調遞減函數,所以,即成立,故成立,所以D正確,綜上,故正確的是BD,故選BD.10.設函數,若方程有六個不等的實數根,則實數a可取的值可能是()A. B. C.1 D.2【答案】BC【解析】當時,,則,由,得,即,此時為減函數;由,得,即,此時為增函數,即當時,取得微小值,作出的圖象如圖:由圖象可知當時,有三個不同的x與對應,設,方程有六個不等的實數根,所以在內有兩個不等的實根,設,即,,,則實數a可取的值可能是,1,故選BC.11.對于函數,下列說法正確的是()A.在處取得極大值 B.有兩個不同的零點C. D.若在上恒成立,則【答案】ACD【解析】由題意,函數,可得,令,即,解得,當時,,函數在上單調遞增;當時,,函數在上單調遞減,所以當時,函數取得極大值,極大值為,所以A正確;由當時,,因為在上單調遞增,所以函數在上只有一個零點,當時,可得,所以函數在上沒有零點,綜上可得函數在只有一個零點,所以B不正確;由函數在上單調遞減,可得,由于,,則,因為,所以,即,所以,所以C正確;由在上恒成立,即在上恒成立,設,則,令,即,解得,所以當時,,函數在上單調遞增;當時,,函數在上單調遞減,所以當時,函數取得最大值,最大值為,所以,所以D正確,故選ACD.12.已知函數,則下列說法正確的是()A.當時,在單調遞增B.當時,在處的切線為軸C.當時,在存在唯一微小值點,且D.對隨意,在肯定存在零點【答案】AC【解析】對于A,當時,,,因為時,,,即,所以在上單調遞增,故A正確;對于B,當時,,,則,,即切點為,切線斜率為,故切線方程為,故B錯誤;對于C,當時,,,,當時,,,則恒成立,即在上單調遞增,又,,因為,所以,所以存在唯一,使得成立,所以在上單調遞減,在上單調遞增,即在存在唯一微小值點,由,可得,因為,所以,則,故C正確;對于選項D,,,令,得,,,則,令,得,則,令,得,則,此時函數單調遞減,令,得,則,此時函數單調遞增,所以時,取得微小值,微小值為,在的微小值中,最小,當時,單調遞減,所以函數的最小值為,當時,即時,函數與無交點,即在不存在零點,故D錯誤,故選AC.三、填空題.13.已知三個函數,,.若,,都有成立,求實數b的取值范圍________.【答案】【解析】由題知,,.在上單調遞增;在上單調遞減,易知在區間上的最大值為,,,都有成立,即在上的最大值大于等于在上的最大值,即,即,解得,故答案為.14.已知函數,若恒成立,則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】當時,,明顯恒成立,此時;當時,等價于;當,等價于.構造函數,求導得,當時,,此時函數單調遞減,且,只需,即可滿意恒成立;當時,,此時函數單調遞減;當時,,函數單調遞增,所以在上的最小值為,只需,即可滿意恒成立.綜上,實數需滿意,即,故答案為.15.已知函數恰有3個不同的零點,則的取值范圍是_______.【答案】【解析】,,由,得或,此時函數單調遞增,由,得,此時函數單調遞減,即當時,函數取得極大

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