3.2簡單的三角恒等變換(二)

關鍵能力·合作學習類型一角的變換問題(邏輯推理、數學運算)【典例】1.求值:sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)=________.

2.求值:=________.

3.已知tan(α+β)=λtan(α-β),其中λ≠1,求證:【思路導引】1.注意角的變換,分析角之間的關系,令α=θ+15°;2.注意切化弦;3.注意變角,用已知角α+β,α-β表示2α,2β.【解析】1.令α=θ+15°,則原式=sin(α+60°)+cos(α+30°)-cosα

答案:02.答案:【解題策略】角的三種變換(1)常見的配角變換.α=2·,α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=[(α+β)+(α-β)],β=[(α+β)-(α-β)],(2)輔助角變換.asinx+bcosx=sin(x+φ),其中tanφ=.(3)注意常值的代換.用某些三角函數值代替某些常數,使之代換后能用相關公式,如1=sin2α+cos2α,1=sin90°,=sin30°,=cos30°等.【跟蹤訓練】1.(2020?宜賓高一檢測)已知α∈,且3sin2α-5cos2α+sin2α=0,則sin2α+cos2α= (

)A.1

B.-

C.-或1

D.-1【解析】選A.由3sin2α-5cos2α+sin2α=0,得所以即3tan2α+2tanα-5=0,解得tanα=1或tanα=-.因為α∈,所以tanα=1,即α=,所以sin2α+cos2α=sin+cos=1.

【解析】選A.由3sin2α-5cos2α+sin2α=0,得所以即3tan2α+2tanα-5=0,解得tanα=1或tanα=-.因為α∈,所以tanα=1,即α=,所以sin2α+cos2α=sin+cos=1.

2.化簡:=________(0<α<π).

【解析】因為tan,所以(1+cosα)tan=sinα,又因為cos=-sinα,且1-cosα=2sin2,所以原式=因為0<α<π,所以0<<.所以sin>0.所以原式=-2cos.答案:-2cos3.求證:【證明】方法一:左邊==cosαsincos=sinαcosα=sin2α=右邊.所以原等式成立.方法二:左邊=cos2αtanα=cosαsinα=sin2α=右邊.所以原等式成立.類型二三角恒等變換與函數問題(直觀想象、數學運算)角度1與三角函數性質有關的問題

【典例】已知函數f(x)=cos-2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求證:當x∈時,f(x)≥-.類型二三角恒等變換與函數問題(直觀想象、數學運算)角度1與三角函數性質有關的問題

【典例】已知函數f(x)=cos-2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求證:當x∈時,f(x)≥-.【思路導引】

【解析】(1)f(x)=cos-2sinxcosx=cos2x+sin2x-sin2x=sin2x+cos2x=sin,所以T==π.(2)令t=2x+,因為-≤x≤,所以,因為y=sint在上單調遞增,在上單調遞減,所以f(x)≥sin,得證.角度2與三角函數圖象有關的問題

【典例】函數f(x)=4cos2-2sinx-|ln(x+1)|的零點個數為__________.

【思路導引】利用三角恒等變換公式化簡函數解析式后再結合圖象解答.【解析】因為f(x)=4cos2-2sinx-|ln(x+1)|=2(1+cosx)sinx-2sinx-|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|,所以函數f(x)的零點個數為函數y=sin2x與y=|ln(x+1)|圖象的交點的個數,函數y=sin2x與y=|ln(x+1)|的圖象如圖,由圖知,兩函數圖象有2個交點,所以函數f(x)有2個零點.答案:2【變式探究】本例若把函數改為f(x)=sinxcosx-ln|x|,試求零點的個數.【解析】因為f(x)=sinxcosx-ln|x|=sin2x-ln|x|,所以函數f(x)的零點個數為函數y=sin2x與y=ln|x|圖象的交點的個數,如圖知,零點的個數為2個.【解題策略】三角恒等變換與三角函數圖象性質的綜合問題的解題策略運用三角函數的和、差、倍角公式將函數關系式化成y=asinωx+bcosωx+k的形式,借助輔助角公式化為y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,將ωx+φ看作一個整體研究函數的性質.研究圖象問題時用數形結合的方法直觀解題,由“數”想圖,借“圖”解題.【題組訓練】1.(2018·全國卷Ⅲ)函數f的最小正周期為(

)

A. B. C.π D.2π【解析】選C.f(x)==sinxcosx=sin2x,所以f(x)的最小正周期為T==π.2.已知函數f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,x∈R.求函數f(x)的單調增區間.【解析】f(x)=-(1-2sin2x)+(2sinxcosx)+(2cos2x-1)+=sin2x+cos2x+=sin由題意得2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的單調增區間為,k∈Z.【拓展延伸】三角恒等變換在平面向量中的應用1.向量是一種解決問題的工具,是一個載體,通常是用向量的數量積運算或性質轉化成三角函數問題.2.三角函數要結合三角恒等變換進行轉化,注意角的范圍對變形過程的影響.【拓展訓練】已知向量a=(1,-),b=(sinx,cosx),f(x)=a·b.(1)若f(θ)=0,求的值.(2)當x∈[0,π]時,求函數f(x)的值域.【解析】(1)因為a=(1,-),b=(sinx,cosx).所以f(x)=a·b=sinx-cosx,因為f(θ)=0,即sinθ-cosθ=0,所以tanθ=,所以=(2)f(x)=sinx-cosx=2sin,因為x∈[0,π],所以x-∈,當x-=-,即x=0時,f(x)min=-,當x-=,即x=時,f(x)max=2,所以當x∈[0,π]時,函數f(x)的值域為[-,2].【補償訓練】已知三點A,B,C的坐標分別為A(cosα,sinα)B(3,0),C(0,3),若=-1,求的值.【解析】由題意,得=(3-cosα,-sinα),=(-cosα,3-sinα).因為·=-1,所以(cosα-3)·cosα+sinα(sinα-3)=-1.整理,得sinα+cosα=.所以1+2sinαcosα=,所以2sinαcosα=-.又因為=2sinαcosα,所以原式=-.類型三三角恒等變換在幾何中的應用(邏輯推理、數學建模)【典例】若點P在直徑AB=1的半圓上移動,過P作半圓的切線PT,且PT=1,∠PAB=α,問α為何值時,四邊形ABTP的面積最大?【思路導引】先作圖,再寫出面積關于α的函數,利用三角函數性質求解.【解析】如圖,連接PB,因為AB為直徑,所以∠APB=90°.因為∠PAB=α,AB=1,所以PB=sinα,PA=cosα,又PT切半圓于P點,則∠TPB=∠PAB=α.所以S四邊形ABTP=S△PAB+S△TPB=PA·PB+PT·PB·sinα=cosα·sinα+sin2α=sin2α+(1-cos2α)

因為0<α<,-<2α-<π,所以當2α-=,即α=π時,四邊形ABTP的面積最大.【解題策略】解決三角恒等變換在幾何中的應用問題的注意事項(1)充分借助平面幾何,尋找數量關系.(2)注意實際問題中變量的范圍.(3)直視三角的有界性的影響.【跟蹤訓練】如圖所示,要把半徑為R的半圓形木料截成矩形,應怎樣截取,才能使△OAB的周長最大?

【解析】設∠AOB=α,△OAB的周長為l,則AB=Rsinα,OA=Rcosα,所以l=OB+AB+OA=R+Rsinα+Rcosα=R(sinα+cosα)+R=Rsin+R.因為0<α<,所以<α+<,所以l的最大值為R+R=(+1)R,此時,α+=,即α=,即當α=時,△OAB的周長最大.【補償訓練】在本題條件下,求矩形面積的最大值.【解析】如圖所示,設∠AOB=α,則AB=Rsinα,OA=Rcosα.設矩形ABCD的面積為S,則S=2OA·AB,所以S=2Rcosα·Rsinα=R2·2sinαcosα=R2sin2α.因為α∈,所以2α∈(0,π).因此,當2α=,即α=時,Smax=R2.這時點A,D到點O的距離均為R,矩形ABCD面積的最大值為R2.

備選類型三角變換在實際生活中的應用(數學運算、數學建模)【典例】某高校專家樓前現有一塊矩形草坪ABCD,已知草坪長AB=100米,寬BC=50米,為了便于專家平時工作、起居,該高校計劃在這塊草坪內鋪設三條小路HE,HF和EF,并要求H是CD的中點,點E在邊BC上,點F在邊AD上,且∠EHF為直角,如圖所示.(1)設∠CHE=x(弧度),試將三條路的全長(即△HEF的周長)L表示成x的函數,并求出此函數的定義域.(2)這三條路,每米鋪設預算費用均為400元,試問如何設計才能使鋪路的總費用最低?并求出最低總費用(結果保留整數)(可能用到的參考值:

取1.732,取1.414).【解析】(1)因為在Rt△CHE中,CH=50,∠C=,∠CHE=x,所以HE=在Rt△HDF中,HD=50,∠D=,∠DFH=x,所以HF=.又∠EHF=,所以EF=所以三條路的全長(即△HEF的周長)L=當點F在A點時,x最小,求得此時x=;當點E在B點時,x最大,求得此時x=.故此函數的定義域為(2)由題意知,要求鋪路總費用最低,只要求出△HEF的周長L的最小值即可.由(1)得L=設sinx+cosx=t,則sinxcosx=所以L=由t=sinx+cosx=,x∈,得當x=,即CE=50時,Lmin=100(+1),所以當CE=DF=50米時,鋪路總費用最低,最低總費用約為96560元.【解題策略】

此類問題,關鍵是合理引入輔助角,確定各變量之間的關系,將實際問題轉化為三角函數問題,再利用三角函數的有關知識求解.提醒:在利用三角變換解決實際問題時,常因忽視角的范圍而致誤.【跟蹤訓練】如圖,某工匠要將一塊圓心角為120°,半徑為20cm的扇形鐵片裁成一塊面積最大的矩形,現有兩種裁法:(1)讓矩形一邊在扇形的半徑OA上(如圖①),(2)讓矩形一邊與弦AB平行(如圖②),請問該工匠應采用哪種裁法?并求出這種裁法面積的最大值.【解析】在題圖①中,MN=20sinθ,ON=20cosθ,所以S1=ON·NM=400sinθcosθ=200sin2θ,所以當sin2θ=1,即θ=45°時,(S1)max=200cm2.題圖②中,MQ=40sin(60°-α),MN=sinα,所以S2=[cos(2α-60°)-cos60°],當cos(2α-60°)=1,即2α-60°=0,α=30°時,(S2)max=cm2.因為>200,所以用圖②這種裁法得到的矩形的面積大,最大為cm2.1.化簡cosx+sinx等于 (

)

【解析】選B.課堂檢測·素養達標2.(教材二次開發:練習改編)若f(x)=cosx-sinx在[0,a]是減函數,則a的最大值是(

)

【解析】選C.f(x)=cosx-sinx=.當x∈[0,a]時,x+所以結合題意可知,a+≤π,即a≤,故所求a的最大值是.3.函數y=sin2x+cos2x的最小正周期為________.

【解析】因為y=sin2x+cos2x=sin2x+cos2x+=sin所以函數的最小正周期T==π.答案:π4.北京召開的國際數學家大會,會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的.弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示).如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為θ,則cos2θ=________.

【解析】由題意知,5cosθ-5sinθ=1,θ∈,所以cosθ-sinθ=.又(cosθ+sinθ)2+(cosθ-sinθ)2=2,所以cosθ+sinθ=(負值舍去),所以cos2θ=cos2θ-sin2θ=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)=.答案:

5.形如的符號叫二階行列式,現規定=a11a22-a21a12,如果f(θ)=0<θ<π,求θ的值.【解析】因為

=,所以f(θ)==cosθsin-sinθcos=cosθ-sinθ=sin因為

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