8.4拋物線五年高考高考新風向(多選)(2024新課標Ⅱ,10,6分,中)拋物線C:y2=4x的準線為l,P為C上動點.過P作☉A:x2+(y-4)2=1的一條切線,Q為切點.過P作l的垂線,垂足為B.則(ABD)A.l與☉A相切B.當P,A,B三點共線時,|PQ|=15C.當|PB|=2時,PA⊥ABD.滿足|PA|=|PB|的點P有且僅有2個考點1拋物線的定義和標準方程1.(2023北京,6,4分,易)已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,點M在C上.若M到直線x=-3的距離為5,則|MF|=(D)A.7B.6C.5D.42.(2021新高考Ⅱ,3,5分,易)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點到直線y=x+1的距離為2,則p=(B)A.1B.2C.22D.43.(2020課標Ⅰ理,4,5分,易)已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點,點A到C的焦點的距離為12,到y軸的距離為9,則p=(C)A.2B.3C.6D.94.(2022全國乙,文6,理5,5分,中)設F為拋物線C:y2=4x的焦點,點A在C上,點B(3,0),若|AF|=|BF|,則|AB|=(B)A.2B.22C.3D.325.(2023全國乙,文13,理13,5分,易)已知點A(1,5)在拋物線C:y2=2px上,則A到C的準線的距離為

946.(2021全國乙文,20,12分,中)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F到準線的距離為2.(1)求C的方程;(2)已知O為坐標原點,點P在C上,點Q滿足PQ=9QF,求直線OQ斜率的最大值.解析(1)∵拋物線y2=2px(p>0)的焦點F到準線的距離為2,∴p=2.∴拋物線C的方程為y2=4x.(2)第一步:設點寫向量坐標,利用向量相等坐標相同得點Q的坐標.設點P(4x02,4x0),Q(x1,y則PQ=(x1-4x02,y1-4x∵F(1,0),∴QF=(1-x1,-y1),∵PQ=9QF,∴x1?4第二步:用參數x0表示kOQ,利用基本不等式求其最值.∴kOQ=y1x1當kOQ最大時,x0>0,∴kOQ=49x0+4x當且僅當4x0=9x0時取“=”,此時x0=32,點P的坐標為(9,6),因此kOQ考點2拋物線的幾何性質1.(2020課標Ⅲ文,7,5分,中)設O為坐標原點,直線x=2與拋物線C:y2=2px(p>0)交于D,E兩點,若OD⊥OE,則C的焦點坐標為(B)A.14,0B.12,0C.(1,0)D.(2.(2020北京,7,4分,中)設拋物線的頂點為O,焦點為F,準線為l,P是拋物線上異于O的一點,過P作PQ⊥l于Q,則線段FQ的垂直平分線(B)A.經過點OB.經過點PC.平行于直線OPD.垂直于直線OP3.(多選)(2023新課標Ⅱ,10,5分,中)設O為坐標原點,直線y=-3(x-1)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點,且與C交于M,N兩點,l為C的準線,則(AC)A.p=2B.|MN|=8C.以MN為直徑的圓與l相切D.△OMN為等腰三角形4.(多選)(2022新高考Ⅰ,11,5分,中)已知O為坐標原點,點A(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上,過點B(0,-1)的直線交C于P,Q兩點,則(BCD)A.C的準線為y=-1B.直線AB與C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|25.(多選)(2022新高考Ⅱ,10,5分,中)已知O為坐標原點,過拋物線C:y2=2px(p>0)焦點F的直線與C交于A,B兩點,其中A在第一象限,點M(p,0).若|AF|=|AM|,則(ACD)A.直線AB的斜率為26B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF|D.∠OAM+∠OBM<180°6.(2020新高考Ⅰ,13,5分,易)斜率為3的直線過拋物線C:y2=4x的焦點,且與C交于A,B兩點,則|AB|=

1637.(2021新高考Ⅰ,14,5分,中)已知O為坐標原點,拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,P為C上一點,PF與x軸垂直,Q為x軸上一點,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,則C的準線方程為x=-32

三年模擬練速度1.(2024山東濰坊一模,2)已知拋物線C:x2=y上點M的縱坐標為1,則M到C的焦點的距離為(B)A.1B.54C.322.(2024安徽黃山一模,2)已知拋物線C:y2=2px的焦點為F12,0,則p的值為(CA.14B.12C.13.(2024浙江杭州二中、湖南長沙長郡中學、江蘇南京師大附中聯考,4)拋物線y2=2px(p>0)上的點P(2,2)到焦點的距離為(A)A.52B.2C.324.(2024T8聯盟聯考一,3)若圓C:x2+y2-4x+3=0與拋物線x2=2py(p>0)的準線相切,則拋物線的焦點坐標為(C)A.(2,0)B.(0,2)C.(0,1)D.(1,0)5.(2024湖北武漢二調,5)設拋物線y2=2x的焦點為F,過拋物線上點P作其準線的垂線,設垂足為Q,若∠PQF=30°,則|PQ|=(A)A.23B.33C.346.(2024江西南昌一模,5)已知拋物線C:x2=4y的焦點為F,A是拋物線C在第一象限部分上一點,若|AF|=4,則拋物線C在點A處的切線方程為(A)A.3x-y-3=0B.2x-y-1=0C.x-y-1=0D.2x-y-2=07.(2024廣東五粵名校第一次聯考,3)拋物線y2=4x的焦點為F,過F的直線交拋物線于A,B兩點,則|AF|+4|BF|的最小值為(D)A.6B.7C.8D.98.(2024河北唐山一模,6)已知拋物線E:y2=4x的焦點為F,以F為圓心的圓與E交于A,B兩點,與E的準線交于C、D兩點,若|CD|=221,則|AB|=(D)A.3B.4C.6D.89.(2024浙江金麗衢十二校聯考,6)已知拋物線C1:x2=2y的焦點為F,以F為圓心的圓C2交C1于A,B兩點,交C1的準線于C,D兩點,若四邊形ABCD是矩形,則圓C2的方程為(D)A.x2+(y-1)2=12B.x2+(y-1)2=16C.x2+y?122=3D.x10.(2024安徽阜陽一模,13)拋物線C1:y2=2px(p>0)繞其頂點逆時針旋轉θ0<θ<π2之后,得到拋物線C2,其準線方程為3x+y+4=0,則拋物線C1的焦點坐標為(2,練思維1.(2024安徽蚌埠第三次教學質量檢查,8)已知拋物線C:y2=4x,過其焦點F的直線交C于A,B兩點,M為AB中點,過M作準線的垂線,垂足為N,若|AF|=4,則|NF|=(B)A.43B.433C.82.(2024山東棗莊一模,8)已知F為拋物線E:y2=4x的焦點,△ABC的三個頂點都在E上,P為AB的中點,且CF=2FP,則|FA|+|FB|的最大值為(B)A.4B.5C.33D.423.(多選)(2024山東臨沂一模,11)已知圓C:x2+y2-10x+13=0,拋物線W:y2=4x的焦點為F,P為W上一點.(AC)A.存在點P,使△PFC為等邊三角形B.若Q為C上一點,則|PQ|的最小值為1C.若|PC|=4,則直線PF與圓C相切D.若以PF為直徑的圓與圓C相外切,則|PF|=22-1234.(多選)(2024湖南長沙雅禮中學月考七,10)拋物線的弦與弦的端點處的兩條切線形成的三角形稱為阿基米德三角形,該三角形以其深刻的背景、豐富的性質產生了無窮的魅力.設A,B是拋物線C:x2=4y上兩個不同的點,以A(x1,y1),B(x2,y2)為切點的切線交于P點.若弦AB過點F(0,1),則下列說法正確的有(ABD)A.x1x2=-4B.若x1=2,則A點處的切線方程為x-y-1=0C.存在點P,使得PA·PB>0D.△PAB面積的最小值為45.(多選)(2024浙江杭州二模,11)過點P(2,0)的直線與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點.拋物線C在點A處的切線與直線x=-2交于點N,作NM⊥AP交AB于點M,則(BC)A.直線NB與拋物線C有2個公共點B.直線MN恒過定點C.點M的軌跡方程是(x-1)2+y2=1(x≠0)D.|MN|3|AB|6.(多選)(2024東北三省三校一模,10)在平面直角坐標系xOy中,拋物線C:y2=4x的焦點為F,點P在拋物線C上,點Q在拋物線C的準線上,則以下命題正確的是(ABD)A.|PQ|+|PF|的最小值是2B.|PQ|≥|PF|C.當點P的縱坐標為4時,存在點Q,使得QF=3FPD.若△PQF是等邊三角形,則點P的橫坐標是37.(多選)(2024福建畢業班適應性練習,10)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,準線交x軸于點D,過F的直線交C于A,B兩點,AF的中點M在y軸上的射影為點N,|MN|=|NF|,則(ABD)A.|AF|=3|BF|B.∠ADB是銳角C.△BDN是銳角三角形D.四邊形DFMN是菱形8.(2024遼寧大連三校聯考,13)已知拋物線C1:y2=2x,C2:y2=4x的焦點分別為F1,F2,點P,Q分別在C1,C2上,且線段PQ平行于x軸.若△F2PQ是等腰三角形,則|PQ|=

239.(2024湖南衡陽第二次聯考,13)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,過點F的直線與拋物線交于A,B兩點(點A在第一象限),∠AFO=120°(O為坐標原點),|AF|=4,則|BF|=

4310.(2024浙江金華十校模擬,18)設拋物線C:y2=2px(p>0),直線x=-1是拋物線C的準線,且與x軸交于點B,過點B的直線l與拋物線C交于不同的兩點M,N,A(1,n)是不在直線l上的一點,直線AM,AN分別與準線交于P,Q兩點.(1)求拋物線C的方程;(2)證明:|BP|=|BQ|;(3)記△AMN,△APQ的面積分別為S1,S2,若S1=2S2,求直線l的方程.解析(1)由題意知-p2=-1,則p=2故拋物線C的方程為y2=4x.(3分)(2)證明:設l:x=ty-1,M(x1,y1),N(x2,y2),聯立y2=4x,x=ty?1,消去則Δ=16(t2-1)>0,且y1+y2=4AM:y-n=y1?nx1?1(x-1),令x同理可得Q?1,n?2(y2?則|BP|=|yP|,|BQ|=|yQ|,因為yP+yQ=n-2(y1?n)x1?1=2n-2(=2n-4ty1y2?(2所以|yP|=|yQ|,故|BP|=BQ|.(10分)(3)解法一:設點A到直線PQ,MN的距離分別為d1,d2,易知d1=2.由(2)可得,d2=|2?nt|t2+1,|MN|=(t2+1)[(y1+y2)2?4y1y2]=4(t2S1=12|MN|d2=12×4(t2+1)(t2?1)·|2?nt|t由S1=2S2得t2-1=2,解得t=±3,所以直線l的方程為x±3y+1=0.(17分)解法二:S1S2=12|AM|·|AN|·sin∠MAN12|AP|·|AQ|·所以S1S2=|(ty1?2)(ty2?2)由S1=2S2得t2-1=2,解得t=±3,所以直線l的方程為x±3y+1=0.(17分)11.(2024湖北武漢四調,18)已知拋物線E:y=x2,過點T(1,2)的直線與拋物線E交于A,B兩點,設拋物線E在點A,B處的切線分別為l1和l2,已知l1與x軸交于點M,l2與x軸交于點N,設l1與l2的交點為P.(1)證明:點P在定直線上;(2)若△PMN面積為2,求點P的坐標;(3)若P,M,N,T四點共圓,求點P的坐標.解析(1)證明:設A(x1,y1),B(x2,y2),P(xP,yP).由y=x2,得y'=2x,所以l1的方程為y=2x1(x-x1)+y1,整理得y=2x1x-x12.同理,l2的方程為y=2x2x-聯立得y=2x1x?x12,y=2x2x設直線AB的方程為y=k(x-1)+2,聯立得y消y得x2-kx+k-2=0,故x1+x2=k,x1x2=k-2,所以xP=k2,yP=k-2,有yP=2xP-2所以點P在定直線y=2x-2上.(6分)(2)在l1,l2的方程中,令y=0,得Mx12,0,所以△PMN的面積S=12|MN|·|yP|=14|(x1-x2)x1x2|=故(x1-x2)2(x1x2)2=32,即[(x1+x2)2-4x1x2](x1x2)2=32,則(k2-4k+8)(k2-4k+4)=32.即[(k-2)2+8][(k-2)2-4]=0,解得k=0或k=4.所以點P的坐標為(0,-2)或(2,2).(11分)(3)拋物線的焦點坐標為F0,14,由Mx12,0得直線MF的斜率kMF=-12x1同理NF⊥NP,所以PF是△PMN外接圓的直徑.若點T也在該圓上,則TF⊥TP.由kTF=74,得直線TP的方程為y=-47(x-1)又