第04講有理數乘法與除法【學習目標】1．理解有理數的乘法與除法法則；2．能利用有理數的乘法與除法法則進行簡單的有理數乘法運算；(重點)3．會利用有理數的乘法與除法解決實際問題．(難點)【基礎知識】一．倒數（1）倒數：乘積是1的兩數互為倒數．一般地，a?1（a≠0），就說a（a≠0）的倒數是．（2）方法指引：①倒數是除法運算與乘法運算轉化的“橋梁”和“渡船”．正像減法轉化為加法及相反數一樣，非常重要．倒數是伴隨著除法運算而產生的．②正數的倒數是正數，負數的倒數是負數，而0沒有倒數，這與相反數不同．【規律方法】求相反數、倒數的方法求一個數的相反數求一個數的相反數時，只需在這個數前面加上“﹣”即可求一個數的倒數求一個整數的倒數，就是寫成這個整數分之一求一個分數的倒數，就是調換分子和分母的位置注意：0沒有倒數．二．有理數的乘法（1）有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．（2）任何數同零相乘，都得0．（3）多個有理數相乘的法則：①幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正．②幾個數相乘，有一個因數為0，積就為0．（4）方法指引：①運用乘法法則，先確定符號，再把絕對值相乘．②多個因數相乘，看0因數和積的符號當先，這樣做使運算既準確又簡單．三．有理數的除法（1）有理數除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數，即：a÷b＝a?（b≠0）（2）方法指引：（1）兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數，都得0．（2）有理數的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數與整數相除一般采用“同號得正，異號得負，并把絕對值相除”．如果有了分數，則采用“除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數”，再約分．乘除混合運算時一定注意兩個原則：①變除為乘，②從左到右．【考點剖析】一．倒數（共2小題）1．(2023?陽新縣校級模擬）﹣?﹣5?的倒數是（）A．5 B．﹣5 C． D．2．(2023?鎮江模擬）的倒數等于．二．有理數的乘法（共7小題）3．（真題?佛山月考）計算：（﹣36）×（）．4．（真題?儀征市期中）規定：水位上升為正，水位下降為負：幾天后為正，幾天前為負．若水位每天下降3cm，今天的水位記為0cm，那么2天前的水位用算式表示正確的是（）A．（+3）×（+2） B．（+3）×（﹣2） C．（﹣3）×（+2） D．（﹣3）×（﹣2）5．（2017秋?亭湖區校級月考）﹣9936．6．(2023秋?天寧區校級月考）學習了有理數之后，老師給同學們出了一道題：計算：17（﹣9）下面是小方給出的答案，請判斷是否正確，若錯誤給出正確解答過程．解：原式＝﹣179＝﹣1725．7．（真題?無錫期末）有理數a、b在數軸上的對應點的位置如圖所示，則下列判斷正確的是（）A．a＞﹣3 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．|a|＞|b|8．（真題?朝陽區校級期末）在數﹣5，1，3，﹣3，4中，任取兩個數相乘，所得積的最大是．9．(2023春?阜寧縣校級月考）規定：M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）．（1）計算：M（5）+M（6）；（2）求2×M(2023）+M(2023）的值；（3）試說明：2×M（n）與M（n+1）互為相反數．三．有理數的除法（共11小題）10．(2023?永嘉縣模擬）計算﹣6÷2的結果是（）A．3 B． C．﹣3 D．﹣1211．（﹣81）÷（）（﹣16）．12．計算：（﹣32）÷4×（﹣8）．13．（真題?宜興市月考）如果兩個有理數在數軸上對應的點分別在原點的兩側，則這兩個數相除所得的商是（）A．一定是負數 B．一定是正數 C．等于0 D．以上都不是14．（真題?東臺市期中）有兩個整數a，b，且a＜b，把大于等于a且小于等于b的所有數記作[a，b]．例如，大于等于1且小于等于4的所有數記作[1，4]．若整數m在[5，15]內，整數n在[﹣30，﹣20]內，那么的一切值中屬于整數的個數為（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個15．（真題?大豐區期末）有理數a、b在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列式子成立的是（）A．|a|＜|b| B．a＞b C．a+b＞0 D．16．（真題?相城區月考）下列各式中計算正確的有（）①（﹣24）÷（﹣8）＝﹣3；②（﹣8）×（﹣2.5）＝﹣20；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個17．(2023?順義區一模）《九章算術》之“粟米篇”中記載了中國古代的“粟米之法”：“粟率五十，糲米三十…”（粟指帶殼的谷子，糲米指糙米），其意為：“50單位的粟，可換得30單位的糲米…”問題：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，則可以換得糲米為升．18．（真題?東莞市期中）若|x﹣1|＝2，|y+1|＝3，且x，y異號，求x÷y的值．19．(2023秋?交城縣期中）閱讀下題解答：計算：．分析：利用倒數的意義，先求出原式的倒數，再得原式的值．解：（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．所以原式．根據閱讀材料提供的方法，完成下面的計算：．20．（真題?淮南期中）我們知道，正整數按照能否被2整除可以分成兩類：正奇數和正偶數，小浩受此啟發，按照一個正整數被3除的余數把正整數分成了三類：如果一個正整數被3除余數為1，則這個正整數屬于A類，例如1，4，7等；如果一個正整數被3除余數為2，則這個正整數屬于B類，例如2，5，8等；如果一個正整數被3整除，則這個正整數屬于C類，例如3，6，9等．（1）2020屬于類（填A，B或C）；（2）①從A類數中任取兩個數，則它們的和屬于類（填A，B或C）；②從A類數中任意取出15個數，從B類數中任意取出16個數，從C類數中任意取出17個數，把它們都加起來，則最后的結果屬于類（填A，B或C）；（3）從A類數中任意取出m個數，從B類數中任意取出n個數，把它們都加起來，若最后的結果屬于C類，則下列關于m，n的敘述中正確的是（填序號）．①m+2n屬于C類；②|m﹣n|屬于B類；③m屬于A類，n屬于C類；④m，n屬于同一類．【過關檢測】一、單選題1．(2023·江蘇）下列各組的兩個數中，互為倒數的是（）A．3和﹣3 B．﹣3和 C．﹣3和 D．和2．(2023·江蘇七年級月考）兩個不為0的有理數相除，如果交換被除數與除數的位置，它們的商不變，那么這兩個數（）A．一定相等 B．一定互為倒數 C．一定互為相反數 D．相等或互為相反數3．(2023·江蘇七年級期末）某商場舉辦“迎新春送大禮”的促銷活動，全場商品一律打八折銷售．小明買了一件商品，比標價少付了40元，那么他購買這件商品花了（）A．80元 B．120元 C．160元 D．200元4．(2023·興化市樂吾實驗學校）在1，，，4這四個數中，任取兩個數相乘，所得積最大的是（）A． B． C．4 D．65．(2023·江蘇）已知，試求的值不可能為（）A．3 B．-3 C．0 D．-16．(2023·興化市板橋初級中學七年級月考）一個大于1的正整數a，與其倒數，相反數-a比較，大小關系正確的是（）A．-a＜≤a B．-a＜＜a C．＞a＞-a D．-a≤a≤7．(2023·江蘇七年級期中）有兩個正數，，且，把大于等于且小于等于的所有數記作．例如，大于等于且小于等于的所有數記作．若整數在內，整數在內，那么的一切值中屬于整數的個數為（）A．5個 B．個 C．個 D．個二、填空題8．(2023·南通市東方中學七年級月考）計算：=______．9．(2023·江蘇南京一中七年級月考）直接寫出計算結果：（﹣8）×（﹣2020）×（﹣0.125）＝________．10．(2023·江蘇）絕對值小于2020的所有整數的和為_____，積為_____．11．(2023·常州市麗華中學七年級月考）________×（﹣）＝﹣1．三、解答題12．(2023·江蘇匯文實驗初中）若m、n互為相反數，p、q互為倒數，且=6，求的值．13．(2023·常州市麗華中學七年級月考）學習了有理數之后，老師給同學們出了一道題：計算：17×（﹣9），下面是小方給出的答案，請判斷是否正確，若錯誤給出正確解答過程．解：原式＝﹣17×9＝﹣17＝﹣25．14．(2023·南通西藏民族中學七年級期中）計算（1）（2）15．(2023·興化市陳堡初級中學）在解決數學問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數學思想，下面是運用分類討論的數學思想解決問題的過程，請仔細閱讀，并解答題目后提出的“探究”．（提出問題）三個有理數a、b、c滿足，求的值．（解決問題）解：由題意得：a，b，c三個有理數都為正數或其中一個為正數，另兩個為負數．①當a，b，c都是正數，即，，時，則：；②當a，b，c有一個為正數，另兩個為負數時，設，，則：所以：的值為3或-1．（探究）請根據上面的解題思路解答下面的問題：（1）三個有理數a，b，c滿足，求的值；（2）已知，，且，求的值．16．(2023·泰州市姜堰區勵才實驗學校七年級月考）學習了有理數的運算后，薛老師給同學們出了這樣一道題目：計算：，看誰算得又對又快兩名同學給出的解法如下：小強：原式小莉：原式（1）對于以上兩種解法，你認為誰的解法最好？理由是什么？對你有何啟發？（2）此題還有其他解法嗎？如果有，用另外的方法把它解出來？17．(2023·江蘇七年級月考）閱讀下題的計算方法：計算：分析：利用倒數的意義，先求出原式的倒數，再得原式的值．解：所以原式根據材料提供的方法，嘗試完成下面的計算：18．(2023·徐州市樹人初級中學七年級月考）小軍在計算時，使用運算律解題過程如下：解：．他的解題過程是否正確？如果不正確，請你幫他改正．第04講有理數乘法與除法【學習目標】1．理解有理數的乘法與除法法則；2．能利用有理數的乘法與除法法則進行簡單的有理數乘法運算；(重點)3．會利用有理數的乘法與除法解決實際問題．(難點)【基礎知識】一．倒數（1）倒數：乘積是1的兩數互為倒數．一般地，a?1（a≠0），就說a（a≠0）的倒數是．（2）方法指引：①倒數是除法運算與乘法運算轉化的“橋梁”和“渡船”．正像減法轉化為加法及相反數一樣，非常重要．倒數是伴隨著除法運算而產生的．②正數的倒數是正數，負數的倒數是負數，而0沒有倒數，這與相反數不同．【規律方法】求相反數、倒數的方法求一個數的相反數求一個數的相反數時，只需在這個數前面加上“﹣”即可求一個數的倒數求一個整數的倒數，就是寫成這個整數分之一求一個分數的倒數，就是調換分子和分母的位置注意：0沒有倒數．二．有理數的乘法（1）有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．（2）任何數同零相乘，都得0．（3）多個有理數相乘的法則：①幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正．②幾個數相乘，有一個因數為0，積就為0．（4）方法指引：①運用乘法法則，先確定符號，再把絕對值相乘．②多個因數相乘，看0因數和積的符號當先，這樣做使運算既準確又簡單．三．有理數的除法（1）有理數除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數，即：a÷b＝a?（b≠0）（2）方法指引：（1）兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數，都得0．（2）有理數的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數與整數相除一般采用“同號得正，異號得負，并把絕對值相除”．如果有了分數，則采用“除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數”，再約分．乘除混合運算時一定注意兩個原則：①變除為乘，②從左到右．【考點剖析】一．倒數（共2小題）1．(2023?陽新縣校級模擬）﹣?﹣5?的倒數是（）A．5 B．﹣5 C． D．分析：根據乘積為1的兩個數互為倒數，可得答案．【解答】解：﹣?﹣5?＝﹣5﹣5的倒數是：，即﹣?﹣5?的倒數是．故選：D．【點評】此題主要考查了倒數，正確把握倒數的定義是解題的關鍵．2．(2023?鎮江模擬）的倒數等于2．分析：直接利用倒數的定義得出答案．【解答】解：的倒數是：2．故答案為：2．【點評】此題主要考查了倒數的定義，正確掌握相關定義是解題關鍵．二．有理數的乘法（共7小題）3．（真題?佛山月考）計算：（﹣36）×（）．分析：根據乘法分配律，可得答案．【解答】解：原式＝﹣36×（）﹣3636＝16﹣30+21＝7．【點評】本題考查了有理數的乘法，利用乘法分配律是解題關鍵．4．（真題?儀征市期中）規定：水位上升為正，水位下降為負：幾天后為正，幾天前為負．若水位每天下降3cm，今天的水位記為0cm，那么2天前的水位用算式表示正確的是（）A．（+3）×（+2） B．（+3）×（﹣2） C．（﹣3）×（+2） D．（﹣3）×（﹣2）分析：根據題意可以用相應的正負數表示題目中所求的問題，本題得以解決．【解答】解：由題意可得，2天前的水位用算式表示是：（﹣3）×（﹣2），故選：D．【點評】本題考查有理數的乘法的運算法則，涉及正數和負數的理解，解答本題的關鍵是明確題意，用相應的正負數表示出來．5．（2017秋?亭湖區校級月考）﹣9936．分析：先把﹣99寫成﹣100，再根據乘法分配律計算即可．【解答】解：﹣9936＝（﹣100）×36＝﹣100×3636＝﹣3600＝﹣3599．【點評】本題考查了有理數的乘法，掌握有理數的乘法法則是解題的關鍵．6．(2023秋?天寧區校級月考）學習了有理數之后，老師給同學們出了一道題：計算：17（﹣9）下面是小方給出的答案，請判斷是否正確，若錯誤給出正確解答過程．解：原式＝﹣179＝﹣1725．分析：利用乘法分配律進行計算即可．【解答】解：小方給出的答案錯誤；17（﹣9）＝﹣[（17）×9]＝﹣（17×99）＝﹣161．【點評】此題主要考查了有理數的乘法，關鍵是正確確定積的符號，掌握乘法分配律．7．（真題?無錫期末）有理數a、b在數軸上的對應點的位置如圖所示，則下列判斷正確的是（）A．a＞﹣3 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．|a|＞|b|分析：由數軸上的點得出a與b的正負及絕對值的大小，再結合運算法則進行判斷即可．【解答】解：由數軸可知，﹣4＜a＜﹣3，2＜b＜3，∵a＜﹣3，∴A選項錯誤，不符合題意；∵ab＜0，∴B選項錯誤，不符合題意；∵|a|＞|b|，a＜0，b＞0，∴a+b＜0，∴C選項錯誤，不符合題意；∵|a|＞|b|，∴D選項正確，符合題意．故選：D．【點評】本題主要考查數的大小，有理數的加法運算，乘法運算，由數軸上的點得出a與b的正負及絕對值的大小關系是解題的關鍵．8．（真題?朝陽區校級期末）在數﹣5，1，3，﹣3，4中，任取兩個數相乘，所得積的最大是15．分析：在﹣5，1，3，﹣3，4這五個數中，絕對值最大的四個數是﹣5，3，﹣3，4，再根據正數大于負數，可得：任取兩個數相乘，所得的積最大的是﹣5與﹣3的積．【解答】解：在﹣5，1，3，﹣3，4這五個數中，任取兩個數相乘，所得的積最大的是：（﹣5）×（﹣3）＝15．故答案為：15．【點評】本題考查的是有理數的大小比較、有理數的乘法．解答此題的關鍵是要明確：①正數都大于0；②負數都小于0；③正數大于一切負數；④兩個負數，絕對值大的其值反而小．9．(2023春?阜寧縣校級月考）規定：M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）．（1）計算：M（5）+M（6）；（2）求2×M(2023）+M(2023）的值；（3）試說明：2×M（n）與M（n+1）互為相反數．分析：（1）根據新定義的法則及有理數乘法的法則進行計算即可；（2）根據新定義的法則進行計算，即可得出結果；（3）根據新定義的法則分別計算2×M（n）與M（n+1），即可得出結果．【解答】解：（1）M（5）+M（6）＝（﹣2）5+（﹣2）6＝﹣32+64＝32；（2）2M(2023）+M(2023）＝2×（﹣2）202l+（﹣2）2022＝2×（﹣22021）+22022＝﹣22022+22022＝0；（3）2M（n）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M（n+1）＝（﹣2）n+1，∵﹣（﹣2）n+1與（﹣2）n+1互為相反數，∴2M（n）與M（n+1）互為相反數．【點評】本題考查了有理數的乘法及相反數，掌握新定義的含義及有理數的乘法法則是解決問題的關鍵．三．有理數的除法（共11小題）10．(2023?永嘉縣模擬）計算﹣6÷2的結果是（）A．3 B． C．﹣3 D．﹣12分析：有理數除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數，依此計算即可求解．【解答】解：﹣6÷2＝﹣3．故選：C．【點評】考查了有理數除法，方法指引：（1）兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數，都得0．（2）有理數的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數與整數相除一般采用“同號得正，異號得負，并把絕對值相除”．如果有了分數，則采用“除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數”，再約分．乘除混合運算時一定注意兩個原則：①變除為乘，②從左到右．11．（﹣81）÷（）（﹣16）．分析：根據有理數的乘除法法則計算即可．【解答】解：原式＝（﹣81）×（）（）＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題主要考查了有理數的乘除法，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．12．計算：（﹣32）÷4×（﹣8）．分析：根據有理數乘除法的運算法則進行計算即可．【解答】解：原式＝328＝64．【點評】本題考查了有理數的乘除法，掌握運算法則是解題的關鍵．13．（真題?宜興市月考）如果兩個有理數在數軸上對應的點分別在原點的兩側，則這兩個數相除所得的商是（）A．一定是負數 B．一定是正數 C．等于0 D．以上都不是分析：根據數軸的性質即可求出答案．【解答】解：由于兩個有理數分布在原點兩側，故必為一正一負，所以兩個數相除所得的商是負數，故選：A．【點評】本題考查有理數的運算，解題的關鍵是熟練運用有理數的運算，本題屬于基礎題型．14．（真題?東臺市期中）有兩個整數a，b，且a＜b，把大于等于a且小于等于b的所有數記作[a，b]．例如，大于等于1且小于等于4的所有數記作[1，4]．若整數m在[5，15]內，整數n在[﹣30，﹣20]內，那么的一切值中屬于整數的個數為（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個分析：根據已知條件得出5≤m≤15，﹣30≤n≤﹣20，再得出的范圍，即可得出整數的個數．【解答】解：∵m在[5，15]內，n在[﹣30，﹣20]內，∴5≤m≤15，﹣30≤n≤﹣20，∴，即﹣6，∴的一切值中屬于整數的有﹣2，﹣3，﹣4，﹣5，﹣6，共5個；故選：A．【點評】此題考查了有理數的除法，求出5≤m≤15和﹣30≤n≤﹣20是解題的關鍵．15．（真題?大豐區期末）有理數a、b在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列式子成立的是（）A．|a|＜|b| B．a＞b C．a+b＞0 D．分析：根據絕對值的定義判斷A選項；根據數軸上右邊的數總比左邊的數大比較大小判斷B選項；根據有理數的加法法則判斷C選項；根據有理數的除法法則判斷D選項．【解答】解：A選項，∵|a|＞1，|b|＜1，∴|a|＞|b|，故該選項不符合題意；B選項，a＜b，故該選項不符合題意；C選項，∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，故該選項不符合題意；D選項，∵a＜0，b＞0，∴0，故該選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了絕對值，數軸，有理數的加法，有理數的除法，掌握兩個數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除是解題的關鍵．16．（真題?相城區月考）下列各式中計算正確的有（）①（﹣24）÷（﹣8）＝﹣3；②（﹣8）×（﹣2.5）＝﹣20；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個分析：根據有理數的乘法和除法法則分別計算即可得出答案．【解答】解：①原式＝3，故①計算不正確；②原式＝20，故②計算不正確；③原式＝1，故③計算正確；④原式3，故④計算不正確；故選：A．【點評】本題考查了有理數的乘法和除法法則，注意先確定符號．17．(2023?順義區一模）《九章算術》之“粟米篇”中記載了中國古代的“粟米之法”：“粟率五十，糲米三十…”（粟指帶殼的谷子，糲米指糙米），其意為：“50單位的粟，可換得30單位的糲米…”問題：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，則可以換得糲米為18升．分析：根據題意列出算式，再按照法則計算即可．【解答】解：根據題意得：3×10÷（50÷30）＝30＝30＝18（升），答：可以換得的糲米為18升．故答案為：18．【點評】本題考查有理數的乘除法的實際應用，根據題意列出算式是解題關鍵．18．（真題?東莞市期中）若|x﹣1|＝2，|y+1|＝3，且x，y異號，求x÷y的值．分析：根據絕對值的意義求得x和y的值，然后再根據x，y異號確定x和y的取值，最后代入計算即可．【解答】解：∵|x﹣1|＝2，|y+1|＝3，∴x﹣1＝±2，y+1＝±3，解得：x＝3或﹣1，y＝2或﹣4，又∵x，y異號，∴x＝3，y＝﹣4或x＝﹣1，y＝2，當x＝3，y＝﹣4時，x÷y，當x＝﹣1，y＝2時，x÷y，綜上，x÷y的值為或．【點評】本題考查絕對值的意義，有理數的除法運算，理解絕對值的定義，掌握有理數除法運算法則是解題關鍵．19．(2023秋?交城縣期中）閱讀下題解答：計算：．分析：利用倒數的意義，先求出原式的倒數，再得原式的值．解：（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．所以原式．根據閱讀材料提供的方法，完成下面的計算：．分析：原式根據閱讀材料中的計算方法變形，計算即可即可得到結果．【解答】解：根據題意得：[（）2×（﹣6）]÷（）＝[（﹣6）]×（﹣42）＝﹣21+14﹣30+112＝75，則原式．【點評】此題考查了有理數的除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．20．（真題?淮南期中）我們知道，正整數按照能否被2整除可以分成兩類：正奇數和正偶數，小浩受此啟發，按照一個正整數被3除的余數把正整數分成了三類：如果一個正整數被3除余數為1，則這個正整數屬于A類，例如1，4，7等；如果一個正整數被3除余數為2，則這個正整數屬于B類，例如2，5，8等；如果一個正整數被3整除，則這個正整數屬于C類，例如3，6，9等．（1）2020屬于A類（填A，B或C）；（2）①從A類數中任取兩個數，則它們的和屬于B類（填A，B或C）；②從A類數中任意取出15個數，從B類數中任意取出16個數，從C類數中任意取出17個數，把它們都加起來，則最后的結果屬于B類（填A，B或C）；（3）從A類數中任意取出m個數，從B類數中任意取出n個數，把它們都加起來，若最后的結果屬于C類，則下列關于m，n的敘述中正確的是①④（填序號）．①m+2n屬于C類；②|m﹣n|屬于B類；③m屬于A類，n屬于C類；④m，n屬于同一類．分析：（1）計算2020÷3，根據計算結果即可求解；（2）①從A類數中任取兩個數進行計算，即可求解；②從A類數中任意取出15個數，從B類數中任意取出16個數，從C類數中任意取出17個數，把它們的余數相加，再除以3，根據余數判斷即可求解；（3）根據m，n的余數之和，舉例，觀察即可判斷．【解答】解：（1）2020÷3＝673…1，所以2020被3除余數為1，屬于A類；故答案為：A；（2）①從A類數中任取兩個數，如：（1+4）÷3＝1…2，（4+7）÷3＝3…2，被3除余數為2，則它們的和屬于B類；②從A類數中任意取出15個數，從B類數中任意取出16個數，從C類數中任意取出17個數，把它們的余數相加，得（15×1+16×2+17×0）＝47，47÷3＝15…2，∴余數為2，屬于B類；故答案為：①B；②B；（3）從A類數中任意取出m個數，從B類數中任意取出n個數，余數之和為：m×1+n×2＝m+2n，∵最后的結果屬于C類，∴m+2n能被3整除，即m+2n屬于C類，①正確；②若m＝1，n＝1，則|m﹣n|＝0，不屬于B類，②錯誤；③若m＝1，n＝1，③錯誤；④觀察可發現若m+2n屬于C類，m，n必須是同一類，④正確；綜上，①④正確．故答案為：①④．【點評】本題考查了新定義的應用和有理數的除法，解題的關鍵是熟練掌握新定義進行解答．【過關檢測】一、單選題1．(2023·江蘇）下列各組的兩個數中，互為倒數的是（）A．3和﹣3 B．﹣3和 C．﹣3和 D．和答案:B分析：根據倒數的意義，兩個數的積等于1，這兩個數互為倒數，分別把每組的兩個數相乘，看其積是否等于1；據此解答．【詳解】解：A、3×=-9，不是互為倒數；

B、，是互為倒數；

C、，不是互為倒數；

D、，不是互為倒數；

故選：B．【點睛】本題是考查倒數的意義及特征，判斷兩個數是否是互為倒數，可以根據倒數的意義，也可看兩個數的分子、分母的位置是否相反（整數看作分母為1的分數）．2．(2023·江蘇七年級月考）兩個不為0的有理數相除，如果交換被除數與除數的位置，它們的商不變，那么這兩個數（）A．一定相等 B．一定互為倒數 C．一定互為相反數 D．相等或互為相反數答案:D分析：設這兩個數分別為a，b，根據題意可得，從而可得，從而判斷出a和b的關系.【詳解】設這兩個數分別為a，b依題意可得：化簡得：∴a=b或a=-b故答案選擇：D.【點睛】本題考查的是有理數的除法：除以一個數等于乘以這個數的倒數.3．(2023·江蘇七年級期末）某商場舉辦“迎新春送大禮”的促銷活動，全場商品一律打八折銷售．小明買了一件商品，比標價少付了40元，那么他購買這件商品花了（）A．80元 B．120元 C．160元 D．200元答案:C分析：八折是指售價是標價的80%，把標價看成單位“1”，實際少付的錢數就是標價的（1-80%），它對應的數量是40元，根據分數除法的意義，用40除以（1-80%）即可求出標價，再減去40元，就是實際花的錢數．【詳解】解：40÷（1-80%）

=40÷20%

=200（元）

200-40=160（元）

答：他購買這件商品花了160元．

故選：C．【點睛】解決本題關鍵是理解打折的含義，找出單位“1”，再根據分數除法的意義求出標價，從而解決問題．4．(2023·興化市樂吾實驗學校）在1，，，4這四個數中，任取兩個數相乘，所得積最大的是（）A． B． C．4 D．6答案:D分析：根據有理數的乘法以及有理數的大小比較，列出乘積最大的算式計算即可得解．【詳解】解：所得的積最大的是：．故選D．【點睛】本題考查有理數的乘法，是基礎考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．5．(2023·江蘇）已知，試求的值不可能為（）A．3 B．-3 C．0 D．-1答案:C分析：根據可分情況，然后根據絕對值的性質進行計算．【詳解】解：∵，∴當a＞0，b＞0時，=1+1+1=3，當a＞0，b＜0時，=1-1-1=-1，當a＜0，b＞0時，=-1+1-1=-1，當a＜0，b＜0時，=-1-1-1=-3，∴的值不可能為0，故選C．【點睛】本題考查了絕對值的性質和有理數的乘法．一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．6．(2023·興化市板橋初級中學七年級月考）一個大于1的正整數a，與其倒數，相反數-a比較，大小關系正確的是（）A．-a＜≤a B．-a＜＜a C．＞a＞-a D．-a≤a≤答案:B分析：先根據倒數、相反數的定義可得，再根據有理數的大小比較法則即可得．【詳解】因為，且為正整數，所以，所以，故選：B．【點睛】本題考查了相反數、倒數、有理數的大小比較法則，熟練掌握倒數與相反數的定義是解題關鍵．7．(2023·江蘇七年級期中）有兩個正數，，且，把大于等于且小于等于的所有數記作．例如，大于等于且小于等于的所有數記作．若整數在內，整數在內，那么的一切值中屬于整數的個數為（）A．5個 B．個 C．個 D．個答案:A分析：先根據題意確定m、n的范圍，然后用列舉法即可解答．【詳解】解：∵整數在內，整數在內∴5≤m≤15，-30≤n≤-20∴，即∴的一切值中屬于整數有-2、-3、-4、-5、-6．故答案為A．【點睛】本題主要考查了有理數的除法，根據題意確定m、n的取值范圍是解答本題的關鍵．二、填空題8．(2023·南通市東方中學七年級月考）計算：=______．答案:-28分析：根據有理數的乘法法則計算．【詳解】解：=-28，故答案為：-28．【點睛】本題考查了有理數的乘法，解題的關鍵是掌握運算法則．9．(2023·江蘇南京一中七年級月考）直接寫出計算結果：（﹣8）×（﹣2020）×（﹣0.125）＝________．答案:﹣2020分析：根據乘法的交換和結合律，進行簡便計算，即可求解．【詳解】解：（﹣8）×（﹣2020）×（﹣0.125）＝（﹣8）×（﹣0.125）×（﹣2020）＝1×（﹣2020）＝﹣2020．故答案為：﹣2020．【點睛】本題主要考查有理數的乘法運算，掌握乘法交換律和結合律，是解題的關鍵．10．(2023·江蘇）絕對值小于2020的所有整數的和為_____，積為_____．答案:00分析：根據題意寫出絕對值小于2020的所有整數，然后進行求解即可．【詳解】解：∵絕對值小于2020的所有整數是：0、±1、±2、…、±2019，∴絕對值小于2020的所有整數的和為0，積為0．故答案為：0、0．【點睛】本題主要考查有理數的運算，熟練掌握有理數的加法及乘法運算是解題的關鍵．11．(2023·常州市麗華中學七年級月考）________×（﹣）＝﹣1．答案:分析：根據題意直接利用倒數積為1進行分析即可得答案．【詳解】解：×（﹣）＝﹣1，故答案為：．【點睛】本題主要考查有理數的乘法，解題的關鍵是掌握有理數的乘法法則．三、解答題12．(2023·江蘇匯文實驗初中）若m、n互為相反數，p、q互為倒數，且=6，求的值．答案:4或分析：先根據相反數的定義，倒數的定義，絕對值的含義，求解的值，再整體代入即可得到答案.【詳解】解：互為相反數，互為倒數，當時，原式當時，原式綜上：代數式的值為或【點睛】本題考查的是相反數的定義，倒數的定義，絕對值的含義，有理數的加減運算，掌握以上知識是解題的關鍵.13．(2023·常州市麗華中學七年級月考）學習了有理數之后，老師給同學們出了一道題：計算：17×（﹣9），下面是小方給出的答案，請判斷是否正確，若錯誤給出正確解答過程．解：原式＝﹣17×9＝﹣17＝﹣25．答案:小方給出的答案錯誤；原式=﹣161．分析：根據題意直接利用乘法分配律進行計算即可．【詳解】解：小方給出的答案錯誤；17×（﹣9）＝﹣[（17+）×9]＝﹣（17×9+×9）＝﹣161．【點睛】本題主要考查有理數的乘法，解題的關鍵是正確確定積的符號并熟練掌握乘法分配律．14．(2023·南通西藏民族中學七年級期中）計算（1）（2）答案:（1）-5；（2）分析：（1）原式利用乘法分配律計算即可得到結果；

（2）原式變形后，利用乘法分配律計算即可得到結果.【詳解】解：（1）原式=-9+30-28+2=-5；

（2）原式=