押中考數學第13-14題（填空拿分題：解方程（組）和不等式（組））專題詮釋：方程（組）和不等式（組）的相關問題，在中考里是必考題型，大多出現在填空題中，難度在簡單和中等之間，尤其含參數的方程和不等式的綜合需要細心解題。因此做題的時候需要細心，是中考里必須做對的題型。目錄知識點一：方程（組）相關問題 1模塊一〖真題回顧〗 1模塊二〖押題沖關〗 3模塊三〖考前預測〗 4知識點二：不等式（組）相關問題 5模塊一〖真題回顧〗 5模塊二〖押題沖關〗 6模塊三〖考前預測〗 7知識點一：方程（組）相關問題模塊一〖真題回顧〗1．(2023·山東威海·統考中考真題）幻方的歷史很悠久，傳說最早出現在夏禹時代的“洛書”．把洛書用今天的數學符號翻譯出來，就是一個三階幻方（如圖1），將9個數填在3×3（三行三列）的方格中，如果滿足每個橫行、每個豎列、每條對角線上的三個數字之和都相等，就得到一個廣義的三階幻方．圖2的方格中填寫了一些數字和字母，若能構成一個廣義的三階幻方，則m＝_____．2．(2023·遼寧沈陽·統考中考真題）二元一次方程組x+2y=5y=2x3．(2023·吉林·統考中考真題）《九章算術》中記載了一道數學問題，其譯文為：有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛．1個大桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？設1個大桶可以盛酒x斛、1個小桶可以盛酒y斛．根據題意，可列方程組為__________．4．(2023·四川攀枝花·統考中考真題）如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解．則稱該一元一次方程為該一元一次不等式組的關聯方程．若方程13x?1=0是關于x的不等式組x?2≤n2n?2x<05．(2023·福建·統考中考真題）推理是數學的基本思維方式、若推理過程不嚴謹，則推理結果可能產生錯誤．例如，有人聲稱可以證明“任意一個實數都等于0”，并證明如下：設任意一個實數為x，令x=m，等式兩邊都乘以x，得x2=mx等式兩邊都減m2，得x2等式兩邊分別分解因式，得x+mx?m=m等式兩邊都除以x?m，得x+m=m．④等式兩邊都減m，得x＝0.⑤所以任意一個實數都等于0.以上推理過程中，開始出現錯誤的那一步對應的序號是______．6．(2023·廣西·統考中考真題）閱讀材料：整體代值是數學中常用的方法．例如“已知3a?b=2，求代數式6a?2b?1的值．”可以這樣解：6a?2b?1=23a?b?1=2×2?1=3．根據閱讀材料，解決問題：若x=2是關于x的一元一次方程ax+b=3的解，則代數式7．(2023·四川雅安·中考真題）若(x2+8．(2023·四川資陽·中考真題）若a是一元二次方程x2+2x?3=0的一個根，則9．(2023·浙江衢州·統考中考真題）將一個容積為360cm3的包裝盒剪開鋪平，紙樣如圖所示．利用容積列出圖中x（cm）滿足的一元二次方程：_____（不必化簡）．10．(2023·遼寧錦州·中考真題）若關于x的方程x2?3x+m=0有兩個不相等的實數根，且m≥?3，則從滿足條件的所有整數11．(2023·湖北黃石·統考中考真題）已知關于x的方程1x+112．(2023·江蘇淮安·統考中考真題）方程3x?213．(2023·遼寧鞍山·統考中考真題）某加工廠接到一筆訂單，甲、乙車間同時加工，已知乙車間每天加工的產品數量是甲車間每天加工的產品數量的1.5倍，甲車間加工4000件比乙車間加工4200件多用3天．設甲車間每天加工x件產品，根據題意可列方程為_________．14．(2023·黑龍江齊齊哈爾·統考中考真題）若關于x的分式方程1x?2+215．(2023·四川巴中·統考中考真題）若關于x的分式方程x+3x?1=m模塊二〖押題沖關〗1．（2023·四川成都·校考二模）若關于x的一元二次方程x2?3x?k+1=0有實數根，則2．（2023·遼寧撫順·統考一模）方程x+123．（2023·山東聊城·統考一模）不等式組x?324．（2023·山東濟南·統考一模）菱形的兩條對角線長分別為方程x25．（2023·江蘇宿遷·統考二模）若關于x的一元二次方程mx2+nx?2022=0m≠0的一個解是6．（2023·四川成都·統考二模）一個三角形的兩邊長分別為和，第三邊的長為一元二次方程x27．（2023·重慶大渡口·統考二模）若關于x的一元一次不等式組2x?4>3x?23x?a≤2的解集為x<?2，且關于y的分式方程8．（2023·山東濟南·統考一模）代數式x2x?3的值比代數式23?2x的值大4，則9．（2023·江蘇揚州·校考二模）已知將一個多位自然數分解為個位與個位之前的數，讓個位之前的數減去個位數的兩倍，若所得之差能被7整除，則原多位自然數一定能被7整除，也稱這個數為“美好數”．例如：將數1078分解為8和107，107?8×2=91，因為91能被7整除，所以1078能被7整除，就稱1078為“美好數”．若一個四位自然數M是“美好數”，設M的個位數字為x，十位數字為y，且個位數字與百位數字的和為13，十位數字與千位數字的和也為13，記FM=x?y10．（2023·浙江寧波·統考二模）某超市按照一種定價法則來制定商品的售價：商品的成本價a元，工商局限價b元b>a，以及定價系數k0≤k≤1來確定定價c，a、b、c滿足關系式c=a+kb?a，經驗表明，最佳定價系數k恰好使得c?ab?a模塊三〖考前預測〗1．（2023·四川成都·統考二模）若實數a，b，c滿足a2=b3=2．（2023·浙江寧波·統考一模）方程術是中國傳統數學著作《九章算術》中最高的代數成就．《九章算術》中記載了這樣一個問題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”譯文：“相同時間內，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步為長度單位）”，根據題意可求得走路快的人要走__________步才能追上走路慢的人．3．（2023·四川南充·統考一模）已知關于x，y的二元一次方程組x+y=2a+1x?y=2?3a的解都為非負數，若W=a?2，則W4．（2023·山東威海·統考一模）已知x=1y=?2是二元一次方程組3x+3y=m?1nx?y=4的解，則5．（2023·浙江金華·統考一模）《水滸傳》中關于神行太保戴宗有這樣一段描述：程途八百里，朝去暮還來．某日，戴宗去180里之外的地方打探情報，去時順風，用了2小時；回來時逆風，用了6小時，則戴宗的速度為_______里/小時．6．（2023·遼寧朝陽·校考一模）對于任意的x值都有2x+7x2+x?2=M7．（2023·廣東深圳·深圳市南山外國語學校校聯考二模）若4x+y?42與2x?y+1互為相反數，則x8．（2023·湖北荊州·統考模擬預測）若一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0滿足a+b+c=0且有兩個相等實數根，則9．（2023·湖北鄂州·統考一模）若實數a、b分別滿足a2?4a+2=0，b2?4b+2=0，且10．（2023·山東濟南·統考一模）分式方程5x?311．（2023·江西南昌·統考一模）為陶冶孩子情操，磨煉孩子意志，某父母鼓勵自己的兩個孩子利用寒假時間練好中國字，哥哥寒假要寫8000字，弟弟寒假要寫6000字，哥哥每天比弟弟多寫100字，哥哥和弟弟完成各自任務的天數相同，設哥哥每天寫x字，則可列方程為_______________．12．（2023·內蒙古包頭·校考一模）已知關于x的分式方程2x?mx?1?313．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考一模）若數m使關于x的不等式組3x?m≤0x+23?x2>1的解集為14．（2023·湖南株洲·一模）已知x=2是方程kx?3?115．（2023·浙江臺州·統考一模）定義一種新運算，當a≠b時，a※b=aba?ba>b知識點二：不等式（組）相關問題模塊一〖真題回顧〗1．(2023·四川攀枝花·統考中考真題）如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解．則稱該一元一次方程為該一元一次不等式組的關聯方程．若方程13x?1=0是關于x的不等式組x?2≤n2n?2x<02．(2023·湖北黃石·統考中考真題）已知關于x的方程1x+13．(2023·湖北襄陽·統考中考真題）不等式組2x>x+14x?1>74．(2023·四川綿陽·統考中考真題）已知關于x的不等式組2x+3≥x+m2x+53?3<2?x5．(2023·遼寧盤錦·中考真題）從不等式組2x+3≤x+92x+46．(2023·江蘇常州·統考中考真題）如圖，數軸上的點A、B分別表示實數a、b，則1a______17．(2023·黑龍江·統考中考真題）若關于x的一元一次不等式組2x?1＜3x?a<0的解集為x<28．(2023·黑龍江綏化·統考中考真題）不等式組{3x?6>0x>m的解集為x>2，則9．(2023·山西·中考真題）某品牌護眼燈的進價為240元，商店以320元的價格出售．“五一節”期間，商店為讓利于顧客，計劃以利潤率不低于20%的價格降價出售，則該護眼燈最多可降價_________元．10．(2023·四川達州·統考中考真題）關于x的不等式組?x+a<23x?12?x+1模塊二〖押題沖關〗1．（2023·重慶·模擬預測）若整數a使關于x的分式方程ax?3+43?x=12的解為非負數，且使關于y2．（2023·重慶·模擬預測）若關于x的分式方程xx?2?m?12?x=3的解為正整數，且關于y3．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學校考一模）若關于x的一元一次不等式組x+a3≥a?x31154．（2023·重慶·模擬預測）若關于y的不等式組y?2≤y?223y+1?m≥0有解，且關于x的分式方程3?5．（2023·四川成都·統考二模）不等式組?2x<?4x?1>06．（2023·廣東深圳·深圳市高級中學校聯考二模）定義新運算“?”，規定：a?b=a?2b，若關于x的不等式組x?3>0x?a>a的解集為x>6，則a7．（2023·四川南充·統考一模）已知關于x，y的二元一次方程組x+y=2a+1x?y=2?3a的解都為非負數，若W=a?2，則W8．（2023·河南三門峽·統考一模）已知點P1?a,2a+6在第二象限，則a9．（2023·黑龍江·校聯考一模）若關于x的不等式組5x?3<4x,3x?5>m有解，則m10．（2023·黑龍江大慶·統考一模）若關于x的不等式3x?2m<x?m只有3個正整數解，則m的取值范圍是___________．模塊三〖考前預測〗1．（2023·河北承德·校聯考模擬預測）在疫情防控期間，陽光學校要購買A、B兩種型號的測溫計，已知A型號測溫計的單價為a元，B型號測溫計的單價比A型號測溫計的單價貴10元．（1）B型號測溫計的單價為______元（用含a的式子表示）；（2）若用1200元購買A型號測溫計的數量與用1500元購買B型號測溫計的數量相同，則可列方程為______．陽光學校計劃購買兩種型號的測溫計共60個，費用不超過2600元，則至少購買A型號測溫計______個．2．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學校校考模擬預測）某學校醫務室采購了一批水銀溫度計和額溫槍，其中有10支水銀溫度計，若干支額溫槍．已知水銀溫度計每支5元，額溫槍每支230元，如果總費用不超過1000元，那么額溫槍至多有______支．3．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考一模）一個數位大于等于4的多位數n，規定其末三位數與末三位數以前的數字所組成的數之差記為Fn，則F73988211=______；若Fn能被11整除，則這個多位數就一定能被11整除，反之，一個數位大于等于4的多位數n能被11整除，則n的末三位數與末三位數以前的數字所組成的數之差Fn一定能被11整除．若兩個四位數s，t，其中s能被11整除，且s=2000a+321，t的千位數字為b?2，百位數字為4，十位數字為3，個位數字為c?3（a，b，c均為整數），規定4．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考一模）若數m使關于x的不等式組3x?m≤0x+23?x2>1的解集為5．（2023·湖北荊門·統考一模）若關于x的一元一次不等式組23x>x?14x+1≥a恰有3個整數解，且一次函數y=(a?2)x+a+16．（2023·湖南長沙·統考一模）先閱讀，再解答：對于三個數a、b、c中，我們用符號來表示其中最大的數和最小的數，規定mina,b,c表示這三個數中最小的數，maxa,b,c表示這三個數中最大的數．例如：min?1,2,3（1）maxx,1+x,x?1（2）若min5,5?2x,2x+5=max7．（2023·河南周口·統考一模）不等式組x≤1x≥n無解，則n8．（2023·江蘇徐州·模擬預測）要使方程x4+(m?4)x9．（2023·黑龍江佳木斯·統考一模）若關于x的一元一次不等式組a?4x<02x?15?1≤010．（2023·北京朝陽·統考一模）一個33人的旅游團到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4間一人間和若干間三人間，住宿價格是一人間每晚100元，三人間每晚130元（說明：男士只能與男士同住，女士只能與女士同住，三人間客房可以不住滿，但每間每晚仍需支付130元）．（1）若該旅游團一晚的住宿房費為1530元，則他們租住了_______間一人間；（2）若該旅游團租住了3間一人間，且共有19名男士，則租住一晚的住宿房費最少為______元．11．（2023·河南周口·統考一模）方程組2x+y=k+1x+2y=3的解滿足0<x+y<1，則k12．（2023·遼寧盤錦·統考一模）若點P的坐標為x?15,2x?10，其中x滿足不等式組1213．（2023·江蘇蘇州·統考一模）對某一個函數給出如下定義：若存在正數M，函數值y都滿足y≤M，則稱這個函數是有界函數．其中，M的最小值稱為這個函數的邊界值．若函數y=2x+1（a≤x≤b，且a≠b）中，y的最大值是2，邊界值小于3，則a14．（2023·遼寧葫蘆島·統考一模）若關于x的一元二次方程kx2+x+4=015．（2023·重慶南岸·統考一模）若關于x的一元一次不等式組x≥?2x+7,2x?x?12<a無解，且使關于y的分式方程16．（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學校考二模）若整數a使關于x的分式方程ax?2x?3=2?13?x的解為整數，且使關于x的一元一次不等式組17．（2023·河南·模擬預測）新定義：對于任何實數m，符號[m]表示不大于m的最大整數．已知[x]=a，則a≤x<a+1．例如：若[x]=4，則4≤x<5．如果[x?1]=2021，那么x的取值范圍是_________．18．（2023·甘肅酒泉·統考一模）已知關于x的一元二次方程m?1x2+2x?3=019．（2023·吉林長春·統考一模）在平面直角坐標系xOy中，若點Am?1,y1，Bm,y2在二次函數y=ax20．（2023·重慶·模擬預測）若關于x的不等式組3x+76≤x+43x+1>a+x2押中考數學第13-14題（填空拿分題：解方程（組）和不等式（組））專題詮釋：因式分解和分式化簡求值在中考里是必考題型，大多出現在填空題中，難度在簡單和中等之間，尤其含參數的方程和不等式的綜合需要細心解題。因此做題的時候需要細心，是中考里必須做對的題型。目錄知識點一：方程（組）相關問題 1模塊一〖真題回顧〗 1模塊二〖押題沖關〗 9模塊三〖考前預測〗 14知識點二：不等式（組）相關問題 21模塊一〖真題回顧〗 21模塊二〖押題沖關〗 26模塊三〖考前預測〗 32知識點一：方程（組）相關問題模塊一〖真題回顧〗1．(2023·山東威海·統考中考真題）幻方的歷史很悠久，傳說最早出現在夏禹時代的“洛書”．把洛書用今天的數學符號翻譯出來，就是一個三階幻方（如圖1），將9個數填在3×3（三行三列）的方格中，如果滿足每個橫行、每個豎列、每條對角線上的三個數字之和都相等，就得到一個廣義的三階幻方．圖2的方格中填寫了一些數字和字母，若能構成一個廣義的三階幻方，則m＝_____．答案:1分析：由第二行方格的數字，字母，可以得出第二行的數字之和為m，然后以此得出可知第三行左邊的數字為4，第一行中間的數字為m-n+4，第三行中間數字為n-6，第三行右邊數字為，再根據對角線上的三個數字之和相等且都等于m可得關于m，n方程組，解出即可．【詳解】如圖，根據題意，可得第二行的數字之和為：m+2+(-2)=m可知第三行左邊的數字為：m-(-4)-m=4第一行中間的數字為：m-n-(-4)=m-n+4第三行中間數字為m-2-(m-n+4)=n-6第三行右邊數字為：m-n-(-2)=m-n+2再根據對角線上的三個數字之和相等且都等于m可得方程組為：n+6=m?4+2+m?n+2=m解得m=6n=0∴mn故答案為：1【點睛】本題考查了有理數加法，列代數式，以及二元一次方程組，解題的關鍵是根據表格，利用每行，每列，每條對角線上的三個數之和相等列方程．2．(2023·遼寧沈陽·統考中考真題）二元一次方程組x+2y=5y=2x答案:x=1y=2/分析：利用代入消元法進行求解方程組的解即可．【詳解】解：x+2y=5①把②代入①得：5x=5，解得：x=1，把x=1代入②得：y=2；∴原方程組的解為x=1y=2故答案為x=1y=2【點睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關鍵．3．(2023·吉林·統考中考真題）《九章算術》中記載了一道數學問題，其譯文為：有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛．1個大桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？設1個大桶可以盛酒x斛、1個小桶可以盛酒y斛．根據題意，可列方程組為__________．答案:5x+y=3分析：根據題中兩個等量關系：5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛；1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛，列出方程組即可．【詳解】由題意得：5x+y=3故答案為：5x+y=3x+5y=2【點睛】本題考查了列二元一次方程組解實際問題，理解題意、找到等量關系并列出方程組是解題的關鍵．4．(2023·四川攀枝花·統考中考真題）如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解．則稱該一元一次方程為該一元一次不等式組的關聯方程．若方程13x?1=0是關于x的不等式組x?2≤n2n?2x<0答案:1≤n<3分析：解一元一次方程得出方程的解x=3，代入不等式組可得答案．【詳解】解：解方程13x?1=0得∵x=3為不等式組x?2≤n2n?2x<0∴1≤n2n?6≤0，解得1≤n<3即n的取值范圍為：1≤n<3，故答案為：1≤n<3．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組和一元一次方程，解題的關鍵是理解并掌握“關聯方程”的定義和解一元一次不等式組、一元一次方程的能力．5．(2023·福建·統考中考真題）推理是數學的基本思維方式、若推理過程不嚴謹，則推理結果可能產生錯誤．例如，有人聲稱可以證明“任意一個實數都等于0”，并證明如下：設任意一個實數為x，令x=m，等式兩邊都乘以x，得x2=mx等式兩邊都減m2，得x2等式兩邊分別分解因式，得x+mx?m=m等式兩邊都除以x?m，得x+m=m．④等式兩邊都減m，得x＝0.⑤所以任意一個實數都等于0.以上推理過程中，開始出現錯誤的那一步對應的序號是______．答案:④分析：根據等式的性質2即可得到結論．【詳解】等式的性質2為：等式兩邊同乘或除以同一個不為0的整式，等式不變，∴第④步等式兩邊都除以x?m，得x+m=m，前提必須為x?m≠0，因此錯誤；故答案為：④．【點睛】本題考查等式的性質，熟知等式的性質是解題的關鍵．6．(2023·廣西·統考中考真題）閱讀材料：整體代值是數學中常用的方法．例如“已知3a?b=2，求代數式6a?2b?1的值．”可以這樣解：6a?2b?1=23a?b?1=2×2?1=3．根據閱讀材料，解決問題：若x=2是關于x的一元一次方程ax+b=3的解，則代數式答案:14分析：先根據x=2是關于x的一元一次方程ax+b=3的解，得到2a+b=3，再把所求的代數式變形為2a+b2+22a+b【詳解】解：∵x=2是關于x的一元一次方程ax+b=3的解，∴2a+b=3，∴4===14．故答案為：14．【點睛】本題考查了代數式的整體代入求值及一元一次方程解的定義，把所求的代數式利用完全平方公式變形是解題的關鍵．7．(2023·四川雅安·中考真題）若(x2+答案:6分析：設x2+y2=t．則原方程轉化為關于t的一元二次方程t【詳解】解：設x2t2?5t?6=0，即解得，t=6或t=?1(不合題意，舍去)；故x2故答案是：6．【點睛】本題考查了換元法解一元二次方程．解答該題時，注意x2+y2=t8．(2023·四川資陽·中考真題）若a是一元二次方程x2+2x?3=0的一個根，則答案:6分析：將a代入x2+2x?3=0，即可得出a2+2a=3，再把【詳解】∵a是一元二次方程x2∴a2∴a2∴2a故答案為：6．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的定義，整體思想是本題的關鍵．9．(2023·浙江衢州·統考中考真題）將一個容積為360cm3的包裝盒剪開鋪平，紙樣如圖所示．利用容積列出圖中x（cm）滿足的一元二次方程：_____（不必化簡）．答案:20?2x分析：根據題意分別找出包裝盒的長、寬、高，再利用長方體的體積即可列出關于x的方程．【詳解】由包裝盒容積為360cm3可得，20?2x2故答案為：20?2x2【點睛】本題主要考查了將實際問題轉化為一元二次方程，能夠利用長方形的體積列出方程是解題關鍵．10．(2023·遼寧錦州·中考真題）若關于x的方程x2?3x+m=0有兩個不相等的實數根，且m≥?3，則從滿足條件的所有整數答案:12分析：根據題意，由關于x的一元二次方程的根的判別式Δ>0，可計算m<94，再結合m≥?3可知【詳解】解：根據題意，關于x的方程x2故該一元二次方程的根的判別式Δ>0，即Δ=(?3)解得m<9又∵m≥?3，∴?3≤m<9∴滿足條件的所有整數為-3、-2、-1、0、1、2共計6個，其中負數有-3、-2、-1共計3個，∴滿足條件的所有整數m中隨機選取一個，恰好是負數的概率是P=3故答案為：12【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式、簡單概率計算等知識，解題關鍵是讀懂題意，綜合運用所學知識解決問題．11．(2023·湖北黃石·統考中考真題）已知關于x的方程1x+1答案:a<1且a≠0分析：把a看作常數，去分母得到一元一次方程，求出x的表達式，再根據方程的解是負數及分母不為0列不等式并求解即可．【詳解】解：由1x+1∵關于x的方程1x∴x<0x≠0x≠?1，即a?1<0a?1≠0a?1≠?1，解得a<1a≠1故答案為：a<1且a≠0．【點睛】本題考查解分式方程，根據題意及分式的分母不等于零列出不等式組是解決問題的關鍵．12．(2023·江蘇淮安·統考中考真題）方程3x?2答案:x=5分析：方程兩邊都乘x?2得出3?x?2【詳解】解：3x?2方程兩邊都乘x?2，得3?x?2解得：x=5，檢驗：當x=5時，x?2≠0，所以x=5是原方程的解，即原方程的解是x=5，故答案為：x=5.【點睛】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉化成整式方程是解此題的關鍵．13．(2023·遼寧鞍山·統考中考真題）某加工廠接到一筆訂單，甲、乙車間同時加工，已知乙車間每天加工的產品數量是甲車間每天加工的產品數量的1.5倍，甲車間加工4000件比乙車間加工4200件多用3天．設甲車間每天加工x件產品，根據題意可列方程為_________．答案:4000分析：根據題意可得出乙車間每天加工1.5x件產品，再根據甲車間加工4000件比乙車間加工4200件多用3天，即可得出關于x的分式方程，此題得解．【詳解】解：∵甲車間每天加工x件產品，乙車間每天加工的產品數量是甲車間每天加工的產品數量的1.5倍，∴乙車間每天加工1.5x件產品，又∵甲車間加工4000件比乙車間加工4200件多用3天，∴4000x故答案為：4000x【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．14．(2023·黑龍江齊齊哈爾·統考中考真題）若關于x的分式方程1x?2+2答案:m>0且m≠1分析：先解分式方程得到解為x=m+1，根據解大于1得到關于m的不等式再求出m的取值范圍，然后再驗算分母不為0即可．【詳解】解：方程兩邊同時乘以x+2x?2得到：x+2+2(x?2)=x+2m整理得到：x=m+1，∵分式方程的解大于1，∴m+1>1，解得：m>0，又分式方程的分母不為0，∴m+1≠2且m+1≠?2，解得：m≠1且m≠?3，∴m的取值范圍是m>0且m≠1．故答案為：m>0且m≠1．【點睛】本題考查分式方程的解法，屬于基礎題，要注意分式方程的分母不為0這個隱藏條件．15．(2023·四川巴中·統考中考真題）若關于x的分式方程x+3x?1=m答案:?4或0分析：先確定最簡公分母，令最簡公分母為0求出x的值，然后把分式方程化為整式方程，再將x的值代入整式方程，解關于m的方程即可得解．【詳解】解：分式方程最簡公分母為x(x?1)，由分式方程有增根，得到x?1=0或x=0，即x=0或x=1，分式方程去分母得：x2把x=0代入方程得：0=?m，解得：m=0．把x=1代入方程得：1+3=?m，解得：m=?4．故填：?4或0．【點睛】本題考查了分式方程的增根問題，增根問題可按如下步驟進行：①讓最簡公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．模塊二〖押題沖關〗1．（2023·四川成都·校考二模）若關于x的一元二次方程x2?3x?k+1=0有實數根，則答案:k≥?分析：根據一元二次方程有實數根的條件是Δ≥0，代入求解即可求解即可．【詳解】根據題意得Δ=?3解得k≥?5∴k的取值范圍為k≥?故答案為：k≥?【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式Δ=b2?4ac與根的關系，熟練掌握根的判別式與根的關系式解答本題的關鍵．當2．（2023·遼寧撫順·統考一模）方程x+12答案:x分析：兩邊開方，然后解關于x的一元一次方程．【詳解】解：由原方程，得x+1=±3．解得x1故答案是：x1【點睛】本題考查了解一元二次方程?直接開平方法．用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a(a≥0)；ax2=b(a，b同號且a≠0)；(x+a)2=b(b≥0)3．（2023·山東聊城·統考一模）不等式組x?32答案:?1，0，1分析：分別求出不等式組中兩個不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集，進而確定出整數解即可．【詳解】x?3解：由①得：x≤1，由②得：x>?2，∴不等式組的解集為?2<x≤1，則不等式組的整數解為?1，0，1．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組的整數解，正確的計算是解題的關鍵．4．（2023·山東濟南·統考一模）菱形的兩條對角線長分別為方程x2答案:10分析：解方程，可得菱形的對角線長，根據菱形的性質，可通過菱形的對角線求得菱形的邊長，進而求出周長．【詳解】解：解方程x2?7x+12=0，解得x1∵菱形的對角線互相垂直且邊長相等，根據勾股定理可得，邊長為32∴菱形的周長為52故答案為：10．【點睛】本題考查了解一元二次方程，菱形的性質，熟知菱形性質是解題的關鍵．5．（2023·江蘇宿遷·統考二模）若關于x的一元二次方程mx2+nx?2022=0m≠0的一個解是答案:2023分析：把x=1代入原方程，可得m+n=2022，即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程mx2+nx?2022=0∴m+n?2022=0，∴m+n=2022，∴m+n+1=2023．故答案為：2023【點睛】本題考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即為能使方程成立的未知數的值是解本題的關鍵．6．（2023·四川成都·統考二模）一個三角形的兩邊長分別為和，第三邊的長為一元二次方程x2答案:20分析：因式分解法解方程求出x的值，再根據三角形三邊之間的關系求出符合條件的x的值，最后求出周長即可．【詳解】解：∵x2?14x+48=0∴x?6=0或x?8=0，解得：x=6或x=8，當x=6時，三角形的三邊3+6=9，構不成三角形，舍去；當x=8時，這個三角形的周長為3+8+9=20，故答案為：20．【點睛】本題考查了解一元二次方程?因式分解法和三角形三邊關系，求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應養成檢驗三邊長能否成三角形的好習慣．7．（2023·重慶大渡口·統考二模）若關于x的一元一次不等式組2x?4>3x?23x?a≤2的解集為x<?2，且關于y的分式方程答案:?13分析：由一元一次不等式組的解集為x<?2，可求出a≥?8，解分式方程可得y=a?13，結合分式方程的解為負整數且【詳解】2x?4>3x?2①3x?a≤2②解不等式①得：x<?2，解不等式②得：x≤2+a∵關于x的一元一次不等式組2x?4>3x?23x?a≤2的解集為x<?2∴2+a3∴a≥?8，解分式方程2yy+1=a∵分式方程的解為負整數且y≠?1，∴a?13是負整數且a?1∴a=?8或a=?5，∴所有滿足條件的整數a的值之和是?8+?5故答案是?13．【點睛】本題主要考查了分式方程的解以及解分式方程、一元一次不等式組的解集，正確求解分式方程和一元一次不等式組是解題的關鍵，注意分式有意義的條件．8．（2023·山東濟南·統考一模）代數式x2x?3的值比代數式23?2x的值大4，則答案:2分析：根據題意可得：x2x?3【詳解】解：由題意得：x2x?3去分母得：x+2=42x?3解得：x=2，檢驗：當x=2時，2x?3≠0，∴x=2是原方程的根，故答案為：2．【點睛】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗．9．（2023·江蘇揚州·校考二模）已知將一個多位自然數分解為個位與個位之前的數，讓個位之前的數減去個位數的兩倍，若所得之差能被7整除，則原多位自然數一定能被7整除，也稱這個數為“美好數”．例如：將數1078分解為8和107，107?8×2=91，因為91能被7整除，所以1078能被7整除，就稱1078為“美好數”．若一個四位自然數M是“美好數”，設M的個位數字為x，十位數字為y，且個位數字與百位數字的和為13，十位數字與千位數字的和也為13，記FM=x?y答案:4分析：由已知這個四位數的千位數字是13?y，百位數字是13?x，且4≤x≤9，4≤y≤9，由已知可得100(13?y)+10(13?x)+y?2x=1430?99y?12x能被7整除，分別代入數驗證可得x=8，y=4；x=5，y=5；x=6，y=7；x=7，y=9；x=9，y=6，即可求解．【詳解】解：由已知這個四位數的千位數字是13?y，百位數字是13?x，∵0≤13?y≤90≤y≤9∴4≤y≤9，4≤x≤9，∵四位數是“美好數”，∴100(13?y)+10(13?x)+y?2x=1430?99y?12x能被7整除，∴x=8，y=4；x=5，y=5；x=6，y=7；x=7，y=9；x=9，y=6；∴F(M)=|x?y|的最大值是4，故答案為：4．【點睛】本題考查因式分解的應用，解題的關鍵是能夠理解題意，通過已知條件列出正確的代數式，并將數進行合理的分解．10．（2023·浙江寧波·統考二模）某超市按照一種定價法則來制定商品的售價：商品的成本價a元，工商局限價b元b>a，以及定價系數k0≤k≤1來確定定價c，a、b、c滿足關系式c=a+kb?a，經驗表明，最佳定價系數k恰好使得c?ab?a答案:5分析：根據c=a+kb?a，得到k=c?ab?a【詳解】解：∵c=a+kb?a∴k=c?a∴k=1k?1解得：k=5?12經檢驗，k=5∴k=5故答案為：5?1【點睛】本題考查解分式方程．解題的關鍵是得到k=c?a模塊三〖考前預測〗1．（2023·四川成都·統考二模）若實數a，b，c滿足a2=b3=答案:2分析：先根據等式的性質得：a=2k，b=3k，c=4k，再代入到等式a+2b+3c=40中，得到關于k的一元一次方程，解這個方程即可．【詳解】解：由a2=b3=c4代入到等式a+2b+3c=40中，得：2k+6k+12k=40，解得：k=2．故答案為：2．【點睛】本題考查了等式的基本性質、代入消元法及一元一次方程的解法，熟練掌握等式的基本性質是本題的關鍵．2．（2023·浙江寧波·統考一模）方程術是中國傳統數學著作《九章算術》中最高的代數成就．《九章算術》中記載了這樣一個問題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”譯文：“相同時間內，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步為長度單位）”，根據題意可求得走路快的人要走__________步才能追上走路慢的人．答案:250分析：設走路快的人要走x步才能追上，根據題意，列出方程進行求解即可．【詳解】解：設走路快的人要走x步才能追上，則相同時間內，走路慢的人走了x100根據題意得：x100解得：x=250，∴走路快的人要走250步才能追上走路慢的人故答案為：250．【點睛】本題考查一元一次方程的應用．找準等量關系，正確的列出方程，是解題的關鍵．3．（2023·四川南充·統考一模）已知關于x，y的二元一次方程組x+y=2a+1x?y=2?3a的解都為非負數，若W=a?2，則W答案:1分析：先求出方程組的解，再由二元一次方程組的解都為非負數，可得關于a的不等式組，確定a的取值范圍，再由一次函數的增減性求解即可．【詳解】解：x+y=2a+1①x?y=2?3a②解得：x=3?a∵二元一次方程組的解都為非負數，∴x=3?a解得：15∵W=a?2，W隨a的增大而增大，∴當a=3時，Wmax故答案為：1【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組及一次函數的基本性質，熟練掌握解二元一次方程組，解一元一次不等式組的方法是解題的關鍵．4．（2023·山東威海·統考一模）已知x=1y=?2是二元一次方程組3x+3y=m?1nx?y=4的解，則答案:14分析：將x=1y=?2，代入方程組，求出m,n【詳解】解：由題意，得：3×1+3×?2解得：m=?2n=2∴nm故答案為：14【點睛】本題考查了對二元一次方程組的解，理解二元一次方程組的解的定義是解此題的關鍵．5．（2023·浙江金華·統考一模）《水滸傳》中關于神行太保戴宗有這樣一段描述：程途八百里，朝去暮還來．某日，戴宗去180里之外的地方打探情報，去時順風，用了2小時；回來時逆風，用了6小時，則戴宗的速度為_______里/小時．答案:60分析：設戴宗的速度為x里/小時，風速為y里/小時，根據順風行走的速度等于戴宗的速度加上風速，逆風行走的速度等于戴宗的速度減去風速，列出二元一次方程組，即可求解．【詳解】戴宗順風行走的速度為：180÷2=90（里/小時），戴宗逆風行走的速度為：180÷6=30（里/小時），設戴宗的速度為x里/小時，風速為y里/小時，由題意得：x+y=90解得：x=60∴設戴宗的速度為60里/小時，答：戴宗的速度為60里/小時．故答案為：60．【點睛】本題考查二元一次方程組解決實際問題，解題的關鍵是能夠根據題意找到相應的等量關系．6．（2023·遼寧朝陽·校考一模）對于任意的x值都有2x+7x2+x?2=M答案:?35分析：先計算Mx+2+Nx+1得到M+Nx+【詳解】解：∵M===M+N2x+7x∴M+N=2M+2N=7解得M=?3N=5故答案為：?3，5【點睛】此題考查了分式的加法運算，二元一次方程組的解法，熟練掌握分式運算法則是解題的關鍵．7．（2023·廣東深圳·深圳市南山外國語學校校聯考二模）若4x+y?42與2x?y+1互為相反數，則x答案:14/分析：利用互為相反數兩數之和為0列出等式，再利用非負數的性質列出方程組，求出方程組的解即可得到x與y的值．【詳解】解：∵4x+y?42∴4x+y?4=02x?y+1=0解得：x=1∴xy故答案為：14【點睛】此題考查了解二元一次方程組，以及非負數的性質，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．8．（2023·湖北荊州·統考模擬預測）若一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0滿足a+b+c=0且有兩個相等實數根，則答案:a=c分析：先求出一元二次方程兩個相等實數根x1【詳解】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0∴x=1是方程的根，且x1∴x1∴a=c，故答案為：a=c．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，熟記知識點是解題關鍵。．9．（2023·湖北鄂州·統考一模）若實數a、b分別滿足a2?4a+2=0，b2?4b+2=0，且答案:2分析：先根據題意可以把a、b看作是一元二次方程x2?4x+2=0的兩個實數根，利用根與系數的關系得到a+b=4，ab=2，再根據【詳解】解：∵a、b分別滿足a2?4a+2=0∴可以a、b看作是一元二次方程x2∴a+b=4，ab=2，∴1a故答案為：2．【點睛】本題主要考查了分式的求值，一元二次方程根與系數的關系，熟知一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．10．（2023·山東濟南·統考一模）分式方程5x?3答案:x=分析：兩邊都乘以x?3得5?x=4x?3【詳解】解：5兩邊都乘以x?3得，5?x=4x?3解得x=17當x=175時，∴x=17故答案為：x=【點睛】此題考查了分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．11．（2023·江西南昌·統考一模）為陶冶孩子情操，磨煉孩子意志，某父母鼓勵自己的兩個孩子利用寒假時間練好中國字，哥哥寒假要寫8000字，弟弟寒假要寫6000字，哥哥每天比弟弟多寫100字，哥哥和弟弟完成各自任務的天數相同，設哥哥每天寫x字，則可列方程為_______________．答案:8000分析：設哥哥每天寫x字，可得弟弟每天寫x?100字，根據哥哥寒假要寫8000字，弟弟寒假要寫6000字，哥哥和弟弟完成各自任務的天數相同，列分式方程即可．【詳解】設哥哥每天寫x字，可得弟弟每天寫x?100字，由題意得8000x故答案為：8000x【點睛】本題考查了列分式方程解決實際問題，熟練掌握知識點，找出等量關系是解題的關鍵．12．（2023·內蒙古包頭·校考一模）已知關于x的分式方程2x?mx?1?3答案:m>4且m≠5分析：分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解表示出x，根據解為正數，求出m的范圍即可．【詳解】解：去分母得：2x?m+3=x?1，解得：x=m?4，∵該方程的解是正數∴m?4>0，解得m>4，又∵當m=5時，該分式方程的左邊兩項分母為0，∴m≠5，故答案為：m>4且m≠5．【點睛】本題考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判斷方法是解題的關鍵．13．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考一模）若數m使關于x的不等式組3x?m≤0x+23?x2>1的解集為答案:10分析：根據不等式組的解集確定m的取值范圍，再根據分式方程的解為正數，得出m的所有可能的值，再進行計算即可．【詳解】解：解不等式3x?m≤0得：解不等式x+23?x∵整數m使關于x的一元一次不等式組3x?m≤0x+2∴m≥?2，解分式方程m1?y+2y?1=4∵分式方程的解是正數，∴y=6?m∴?2≤m<6，且m≠2，∵m為整數，∴m=?2,?1,0,1,3,4,5，∴符合條件的所有整數k的值之和為?1?2+0+1+3+4+5=10，故答案為：10．【點睛】本題考查分式方程的整數解，解一元一次不等式組，掌握分式方程的解法、一元一次不等式組的解法，理解分式方程的整數解的意義是正確解答的前提．14．（2023·湖南株洲·一模）已知x=2是方程kx?3?1答案:?2分析：根據分式方程的解的定義，將x=2代入方程，得到關于k的一元一次方程，解方程即可求解．【詳解】解：∵x=2是方程kx?3∴k解得：k=?2，故答案為：?2．【點睛】本題考查了分式方程的解的定義，熟練掌握分式方程的解的定義是解題的關鍵．15．（2023·浙江臺州·統考一模）定義一種新運算，當a≠b時，a※b=aba?ba>b答案:4或4分析：根據題中所給新定義運算可分類進行求解．【詳解】解：由題意可知：當x<2時，則2x2?x解得：x=4經檢驗當x=43時，2?x≠0∴x=4當x>2時，則2xx?2解得：x=4，經檢驗當x=4時，x?2≠0，且x>2∴x=4是原方程的解；故答案為4或43【點睛】本題主要考查分式方程的解法，熟練掌握分式方程的解法是解題的關鍵．知識點二：不等式（組）相關問題模塊一〖真題回顧〗1．(2023·四川攀枝花·統考中考真題）如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解．則稱該一元一次方程為該一元一次不等式組的關聯方程．若方程13x?1=0是關于x的不等式組x?2≤n2n?2x<0答案:1≤n<3分析：解一元一次方程得出方程的解x=3，代入不等式組可得答案．【詳解】解：解方程13x?1=0得∵x=3為不等式組x?2≤n2n?2x<0∴1≤n2n?6≤0，解得1≤n<3即n的取值范圍為：1≤n<3，故答案為：1≤n<3．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組和一元一次方程，解題的關鍵是理解并掌握“關聯方程”的定義和解一元一次不等式組、一元一次方程的能力．2．(2023·湖北黃石·統考中考真題）已知關于x的方程1x+1答案:a<1且a≠0分析：把a看作常數，去分母得到一元一次方程，求出x的表達式，再根據方程的解是負數及分母不為0列不等式并求解即可．【詳解】解：由1x+1∵關于x的方程1x∴x<0x≠0x≠?1，即a?1<0a?1≠0a?1≠?1，解得a<1a≠1故答案為：a<1且a≠0．【點睛】本題考查解分式方程，根據題意及分式的分母不等于零列出不等式組是解決問題的關鍵．3．(2023·湖北襄陽·統考中考真題）不等式組2x>x+14x?1>7答案:x＞2分析：分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到，確定不等式組的解集．【詳解】解：2x>x+1①解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x＞2，∴不等式組的解集為x＞2，故答案為：x＞2．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，掌握求不等式公共解集的方法是解題的關鍵．4．(2023·四川綿陽·統考中考真題）已知關于x的不等式組2x+3≥x+m2x+53?3<2?x答案:0<分析：分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：大大小小找不到并結合不等式組的解集可得答案．【詳解】解∶2x+3≥x+m①2x+5解不等式①得：x≥m?3，解不等式②得：x<2，∵不等式組無解，∴m?3≥2，解得：m≥5，∴0<1故答案為：0<【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．5．(2023·遼寧盤錦·中考真題）從不等式組2x+3≤x+92x+4答案:35分析：首先求得不等式組的所有整數解，然后由概率公式求得答案．【詳解】解：2x+3≤x+9①2x+4由①得：x≤6，由②得：x＞1，∴不等式組的解集為：1＜x≤6，∴整數解有：2，3，4，5，6；∴它是偶數的概率是35故答案為：35【點睛】本題考查了概率公式的應用以及不等式組的解集，解題的關鍵是掌握這些知識點．6．(2023·江蘇常州·統考中考真題）如圖，數軸上的點A、B分別表示實數a、b，則1a______1答案:>分析：由圖可得：1<a<b，再根據不等式的性質即可判斷．【詳解】解：由圖可得：1<a<b，由不等式的性質得：1a故答案為：>．【點睛】本題考查了數軸，不等式的性質，解題的關鍵是掌握不等式的性質．7．(2023·黑龍江·統考中考真題）若關于x的一元一次不等式組2x?1＜3x?a<0的解集為x<2答案:a≥2分析：先求出每個不等式的解集，根據已知不等式組的解集即可得出答案．【詳解】解：2x?1＜3①x?a<0②解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x＜a，∵關于x的不等式組2x?1＜3x?a<0的解集為x＜2∴a≥2．故答案為：a≥2．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解，求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）．8．(2023·黑龍江綏化·統考中考真題）不等式組{3x?6>0x>m的解集為x>2，則答案:m≤2分析：先求出不等式①的解集，再根據已知條件判斷m范圍即可．【詳解】解：{3x?6>0①解①得：x>2，又因為不等式組的解集為x>2∵x>m，∴m≤2，故答案為：m≤2．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，能根據不等式的解集和已知得出m的范圍是解此題的關鍵．9．(2023·山西·中考真題）某品牌護眼燈的進價為240元，商店以320元的價格出售．“五一節”期間，商店為讓利于顧客，計劃以利潤率不低于20%的價格降價出售，則該護眼燈最多可降價_________元．答案:32分析：設該商品最多可降價x元，列不等式320?240?x240【詳解】解：設該商品最多可降價x元；由題意可得，320?240?x240解得：x≤32；答：該護眼燈最多可降價32元．故答案為：32．【點睛】本題主要考查一元一次不等式的應用，正確理解題意列出不等式是解題的關鍵．10．(2023·四川達州·統考中考真題）關于x的不等式組?x+a<23x?12?x+1答案:2≤a<3分析：首先確定不等式組的解集，先利用含a的式子表示，根據整數解的個數就可以確定有哪些整數解，根據解的情況可以得到關于a的不等式，從而求出a的范圍【詳解】解：?x+a<2①解不等式①得：x>a?2，解不等式②得：x≤3，∵不等式組有解,∴不等式組的解集為：

a?2<x≤3，∵不等式組?x+a<23x?1∴0≤a?2<1，解得2≤a<3．故答案為：2≤a<3．【點睛】考查不等式組的解法及整數解的確定．求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．本題要根據整數解的取值情況分情況討論結果，取出合理的答案．模塊二〖押題沖關〗1．（2023·重慶·模擬預測）若整數a使關于x的分式方程ax?3+43?x=12的解為非負數，且使關于y答案:21分析：先解分式方程，根據分式方程的解為非負數，所以2a?5≥0，得出a≥52，根據分式有意義的條件得出a≠4，然后解不等式組，根據不等式組有3個整數解，得出7≥a>2，繼而求得整數【詳解】解：分式方程可得：x=2a?5，因為分式方程的解為非負數，所以2a?5≥0，解得：a≥5由于方式方程分母為x?3，所以x≠3，即2a?5≠3，所以a≠4，解關于y的不等式組y+7≤2y+4y≥?1y<因不等式組有3個整數解，即?1，0，1三個整數解，故2≥a+3解得：7≥a>2，綜上所得：7≥a>52且a≠4，則a的整數值為：3，5，6，因為3+5+6+7=21，故答案為：21【點睛】本題考查含參數的分式方程和含參數的不等式組，掌握由解集倒推參數范圍是解本題關鍵．2．（2023·重慶·模擬預測）若關于x的分式方程xx?2?m?12?x=3的解為正整數，且關于y答案:?2分析：分別求出分式方程與一元一次不等式組的解，再由已知得到m+52＜4，m+52是2【詳解】解：化簡不等式組為2y?m≤56+3y＞y+2解得：?2＜y≤m+5∵不等式組至多有五個整數解，∴m+5∴m＜3，將分式方程的兩邊同時乘以x?2，得x+m?1=3x?6，解得：x=m+5∵分式方程的解為正整數，∴m+5是2的倍數，∵m＜3，∴m=?3或m=?1或m=1，∵x≠2，∴m+5∴m≠?1，∴m=?3或m=1，∴符合條件的所有整數m的取值之和為?2，故答案為：?2．【點睛】本題考查分式方程的解、一元一次不等式組的解，熟練掌握分式方程的解法、一元一次不等式組的解法，對分式方程切勿遺漏增根的情況是解題的關鍵．3．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學校考一模）若關于x的一元一次不等式組x+a3≥a?x3115答案:9分析：先解不等式組，根據不等式組無解，得出a>?2，解分式方程，根據分式方程的解為正整數，得出a=2,3,4,7，求其和，即可求解．【詳解】解：x+解不等式①得：x≥解不等式②得：x≤?1∵不等式組無解∴a解得：a>?2，解分式方程7解得：y=∵y≠1或0∴a≠1或a≠7∵分式方程的解為正整數，∴6a?1>0解得：a>1，a=2,3,4,7∵a≠7∴a=2,3,4∴2+3+4=9，故答案為：9．【點睛】本題考查含參數的分式方程和含參數的不等式組，掌握由解集倒推參數范圍是解本題關鍵．4．（2023·重慶·模擬預測）若關于y的不等式組y?2≤y?223y+1?m≥0有解，且關于x的分式方程3?答案:9分析：通過一元一次不等式的解的條件可得m≤7，再解分式方程可得x=2+m3，根據分式方程解得情況確定m的值為m=?2或m=4或【詳解】解：不等式組y?2≤y?2由①得y≤2，由②得y≥m?1∵不等式組有解，∴m?13解得m≤7，3?1∴x=m+2∵方程有非負整數解，∴m=?2或m=1或m=4或m=7，∵x≠1，∴m≠1，∴滿足條件的所有整數m的和為9，故答案為：9【點睛】本題考查一元一次不等式組的解，分式方程的解，熟練掌握一元一次不等式組的解法，分式方程的解法，注意方程的增根情況是解題的關鍵．5．（2023·四川成都·統考二模）不等式組?2x<?4x?1>0答案:x>2分析：分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】由?2x<?4得：x>2，由x?1>0得：x>1，則不等式組的解集為x>2．故答案為：x>2．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．6．（2023·廣東深圳·深圳市高級中學校聯考二模）定義新運算“?”，規定：a?b=a?2b，若關于x的不等式組x?3>0x?a>a的解集為x>6，則a答案:a≤2分析：先根據定義的新運算法則化簡不等式組，然后解不等式組，最后根據解集為x>6確定a的取值范圍即可．【詳解】解：根據新定義關于x的不等式組x?3>0x?a>a可化為：解不等式①可得：x>6解不等式①可得：x>3a因為該不等式組的解集為x>6∴3a≤6，解得：a≤2．故答案為：a≤2．【點睛】本題主要考查了新定義運算在不等式組中的應用，解題的關鍵是準確理解新定義的運算．7．（2023·四川南充·統考一模）已知關于x，y的二元一次方程組x+y=2a+1x?y=2?3a的解都為非負數，若W=a?2，則W答案:1分析：先求出方程組的解，再由二元一次方程組的解都為非負數，可得關于a的不等式組，確定a的取值范圍，再由一次函數的增減性求解即可．【詳解】解：x+y=2a+1①x?y=2?3a②解得：x=3?a∵二元一次方程組的解都為非負數，∴x=3?a解得：15∵W=a?2，W隨a的增大而增大，∴當a=3時，Wmax故答案為：1【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組及一次函數的基本性質，熟練掌握解二元一次方程組，解一元一次不等式組的方法是解題的關鍵．8．（2023·河南三門峽·統考一模）已知點P1?a,2a+6在第二象限，則a答案:a>1/1<a分析：根據直角坐標系的性質，通過列一元一次不等式組并求解，即可得到答案．【詳解】∵點P1?a,2a+6∴1?a<02a+6>0∴a>1故答案為：a>1．【點睛】本題考查了直角坐標系、一元一次不等式組的知識；解題的關鍵是熟練掌握象限、一元一次不等式組的性質，從而完成求解．9．（2023·黑龍江·校聯考一模）若關于x的不等式組5x?3<4x,3x?5>m有解，則m答案:m<4/4>m分析：先分別解出兩個不等式得x<3，x>5+m3，再根據不等式組有解可得【詳解】解：5x?3<4x①,由不等式①得x<3，由不等式②得x>5+m∵不等式組有解，∴5+m3解得m<4，故答案為：m<4．【點睛】本題考查利用一元一次不等式組有解求字母參數的取值范圍，解題關鍵是列出關于字母參數的不等式．10．（2023·黑龍江大慶·統考一模）若關于x的不等式3x?2m<x?m只有3個正整數解，則m的取值范圍是___________．答案:6<m≤8分析：首先解關于x的不等式，然后根據x只有3個正整數解，來確定關于m的不等式組的取值范圍，再進行求解即可．【詳解】解：由3x?2m<x?m得：x<m關于x不等式3x?2m<x?m只有3個正整數解，∴3<m∴6<m≤8，故答案為：6<m≤8．【點睛】本題考查了解不等式及不等式的整數解，熟練掌握解不等式的步驟是解題的關鍵．模塊三〖考前預測〗1．（2023·河北承德·校聯考模擬預測）在疫情防控期間，陽光學校要購買A、B兩種型號的測溫計，已知A型號測溫計的單價為a元，B型號測溫計的單價比A型號測溫計的單價貴10元．（1）B型號測溫計的單價為______元（用含a的式子表示）；（2）若用1200元購買A型號測溫計的數量與用1500元購買B型號測溫計的數量相同，則可列方程為______．陽光學校計劃購買兩種型號的測溫計共60個，費用不超過2600元，則至少購買A型號測溫計______個．答案:a+10/10+a1200a=分析：（1）根據“B型號測溫計的單價比A型號測溫計的單價貴10元”填空；（2）根據關鍵描述語“用1200元購買A型號測溫計的數量與用1500元購買B型號測溫計的數量相同”列出方程；通過解方程求得A、B兩種型號測溫計的單價，然后由“費用不超過2600元”列一元一次不等式，求解即可．【詳解】解：（1）A型號測溫計的單價為a元，而B型號測溫計的單價比A型號測溫計的單價貴10元，所以B型號測溫計的單價為a+10元．故答案為：a+10；（2）根據題意，得1200a解得a=40．經檢驗a=40是所列方程的解，且符合題意．所以a+10=50．即A型號測溫計的單價為40元，B型號測溫計的單價為50元．設購買A型號測溫計x個，則購買B型號測溫計60?x個，依題意，得40x+5060?x解得x≥40．則至少購買A型號測溫計40個．故答案為：1200a【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用，由實際問題抽象出分式方程等知識點，理解題意并根據題意建立關系式是解題的關鍵．2．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學校校考模擬預測）某學校醫務室采購了一批水銀溫度計和額溫槍，其中有10支水銀溫度計，若干支額溫槍．已知水銀溫度計每支5元，額溫槍每支230元，如果總費用不超過1000元，那么額溫槍至多有______支．答案:4分析：設購進額溫槍x支，根據總價=單價×數量結合總費用不超過1000元，即可得出關于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，再取其中最小的整數值即可得出結論．【詳解】解：設購進額溫槍x支，由題意得，5×10+230x≤1000解得x≤4∵x為正整數∴x的最小值為4故答案為4．【點睛】本題考查了一元一次不等式的應用，根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式是解題的關鍵．3．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考一模）一個數位大于等于4的多位數n，規定其末三位數與末三位數以前的數字所組成的數之差記為Fn，則F73988211=______；若Fn能被11整除，則這個多位數就一定能被11整除，反之，一個數位大于等于4的多位數n能被11整除，則n的末三位數與末三位數以前的數字所組成的數之差Fn一定能被11整除．若兩個四位數s，t，其中s能被11整除，且s=2000a+321，t的千位數字為b?2，百位數字為4，十位數字為3，個位數字為c?3（a，b，c均為整數），規定答案:131211/分析：先求出根據定義求出F739882，即可求解；由題意可知，s=2000a+321，t=1000b+c?1573，s，t均為四位數，Fs=321?2a，Ft=429+c?b，由Ft11?Fs11=10，得c?b+2a=2，在根據s能被11整除，得a=1，則c?b=0，即b=c，再根據1≤b?2≤9，0≤c?3≤9，b，【詳解】解：由題意可得F739882∴F739882由題意可得：s=2000a+321，t=1000b?2Fs=321?2a，∵s能被11整除，Ft∴Fs=321?2a能被11整除，則則429+c?b11?321?2a∴c?b+2a=2，∵s=2000a+321=181×11a+9a+29×11+2能被11整除，且1≤a≤4，a為整數，∴a=1，則c?b=0，即b=c∵t=1000b+c?1573=1001c?1573=91×11c?142×11能被11整除，且1≤b?2≤9，0≤c?3≤9，b，c為整數，即：3≤b≤11，3≤c≤12，∵b=c，∴3≤c≤11，∴Ks,t=1+bc=1+當c越大，Ks,t即：當c=11時，Ks,t有最小值，K故答案為：13；1211【點睛】此題主要考查了整除問題，能被11整除的數的特征，求出c?b=0是解本題的關鍵．4．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考一模）若數m使關于x的不等式組3x?m≤0x+23?x2>1的解集為答案:10分析：根據不等式組的解集確定m的取值范圍，再根據分式方程的解為正數，得出m的所有可能的值，再進行計算即可．【詳解】解：解不等式3x?m≤0得：解不等式x+23?x∵整數m使關于x的一元一次不等式組3x?m≤0x+2∴m≥?2，解分式方程m1?y+2y?1=4∵分式方程的解是正數，∴y=6?m∴?2≤m<6，且m≠2，∵m為整數，∴m=?2,?1,0,1,3,4,5，∴符合條件的所有整數k的值之和為?1?2+0+1+3+4+5=10，故答案為：10．【點睛】本題考查分式方程的整數解，解一元一次不等式組，掌握分式方程的解法、一元一次不等式組的解法，理解分式方程的整數解的意義是正確解答的前提．5．（2023·湖北荊門·統考一模）若關于x的一元一次不等式組23x>x?14x+1≥a恰有3個整數解，且一次函數y=(a?2)x+a+1答案:?1≤a≤1/1≥a≥?1分析：根據關于x的一元一次不等式組23x>x?14x+1≥a【詳解】解：由不等式組23x>x?14x+1≥a∵關于x的一元一次不等式組23∴?1<a?1解得?3<a≤1，∵一次函數y=(a?2)x+a+1不經過第三象限，∴a?2<0且a+1≥0，∴?1≤a<2，又∵?3<a≤1，∴?1≤a≤1，故答案為：?1≤a≤1．【點睛】本題考查一次函數的性質、一元一次不等式組的整數解，解答本題的關鍵是明確題意，求出a的取值范圍，利用一次函數的性質和不等式的性質解答．6．（2023·湖南長沙·統考一模）先閱讀，再解答：對于三個數a、b、c中，我們用符號來表示其中最大的數和最小的數，規定mina,b,c表示這三個數中最小的數，maxa,b,c表示這三個數中最大的數．例如：min?1,2,3（1）maxx,1+x,x?1（2）若min5,5?2x,2x+5=max答案:x+1?32分析：（1）根據x+1>x>x?1，即可得出答案；（2）分情況分別列出關于x的方程，解方程可得．【詳解】解：（1）∵x+1>x>x?1，∴maxx,1+x,x?1故答案為：x+1；（2）①當5最小時，∴2x+5>5，5?2x>5，此種情況不成立，②當2x+5最小時，∴5≥2x+5，5?2x≥2x+5，∴x≤0，2x+5=2，解得：x=?3③當5?2x最小時，5>5?2x，5+2x>5?2x，∴x>0，Ⅰ、當2最大時，∴2≥x+1，2≥2x，∴x≤1，∴5?2x=2，解得：x=3Ⅱ、當2x最大時，∴2x>2，2x>x+1，∴x>1，∴5?2x=2x，解得：x=5Ⅲ、當x+1最大時，∴x+1>2，x+1>2x，此種情況不成立，綜上，x的值為?32或【點睛】本題主要考查新定義下解不等式組和一元一次方程的能力，根據新定義列出不等式組和一元一次方程是根本，由已知等式找到x的兩個分界點以準確分類討論是解題的關鍵．7．（2023·河南周口·統考一模）不等式組x≤1x≥n無解，則n答案:2（答案不唯一）分析：根據不等式組解集情況即可得到參數的取值范圍，進而得到答案．【詳解】解：∵不等式組x≤1x≥n∴n>1，∴n的值可能是2（答案不唯一），故答案為：2（答案不唯一）．【點睛】本題考查利用不等式組解集求參數值，熟練掌握一元一次不等式組解集求法是解決問題的關鍵．8．（2023·江蘇徐州·模擬預測）要使方程x4+(m?4)x答案:m≤?1分析：首先設y=x2，將四次方程轉化為二次方程：y2+(m?4)y+2(1?m)=0，然后設f(y)=y2+(m?4)y+2(1?m)，由判別式△可得此二次方程有兩個不等的實數根，又由開口向上與方程x4+(m?4)【詳解】解：設y=x則原方程為：y2設f(y)=y∴△=(m?4)∴方程y2∵方程x4∴方程y2∴f4解得：m≤?1．∴m的取值范圍是m≤?1．故答案為：m≤?1．【點睛】此題考查了一元二次方根的分布，函數的性質與一元一次不等式的解法．此題難度較大，解題的關鍵是掌握函數思想與數形結合思想的應用，還要注意二次函數的性質的靈活應用．9．（2023·黑龍江佳木斯·統考一模）若關于x的一元一次不等式組a?4x<02x?15?1≤0答案:0≤a<4分析：先求出不等式組的解集，再根據不等式組有3個整數解，求出a的取值范圍即可【詳解】解：關于x的一元一次不等式組a?4x<02x?15?1≤0∵關于x的不等式組恰有3個整數解，∴0≤a解得0≤a<4．故答案為：0≤a<4．【點睛】本題考查的是一元一次不等式組的整數解，正確求出每一個不等式解集是基礎，根據不等式組的整數解得出關于a的不等式組是解答此題的關鍵．10．（2023·北京朝陽·統考一模）一個33人的旅游團到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4間一人間和若干間三人間，住宿價格是一人間每晚100元，三人間每晚130元（說明：男士只能與男士同住，女士只能與女士同住，三人間客房可以不住滿，但每間每晚仍需支付130元）．（1）若該旅游團一晚的住宿房費為1530元，則他們租住了_______間一人間；（2）若該旅游團租住了3間一人間，且共有19名男士，則租住一晚的住宿房費最少為______元．答案:11600分析：（1）設它們租住了x間1人間，y間三人間，且x、y均為自然數，根據題意列出不等式組，解不等式組即可求解；（2）33人中共有19名男士，則女士有14名，根據19÷3=6??1，14÷3=4??2，再結合該團已經租住了3間1人間，可得：安排2名女士和1名男士住1人間，剩下的18名男士和12名女士住三人間，即可最節省，問題得解．【詳解】（1）設它們租住了x間1人間，y間三人間，且x、y均為自然數，根據題意有：0≤x≤4x+3y≥33解得：x≤30∵且x、y均為自然數，∴x可以取0和1，當x=0時，y=153當x=1時，y=11，即他們租住了1間一人間；（2）33人中共有19名男士，則女士有14名，∵19÷3=6??1，14÷3=4??2，又∵該團已經租住了3間1人間，∴安排2名女士和1名男士住1人間，剩下的18名男士和12名女士住三人間，即可最節省，即：183故答案為：1，1600．【點睛】本題考查了不等式組的應用以及有理數的運算的應用，明確題意列出不等式組，是解答本題的關鍵．11．（2023·河