第第頁重難點拓展：整式中兩種規律探索問題題型01遞推型規律探索【典例分析】【例1-1】（2022秋?安慶期末）一只小球落在數軸上的某點處，第一次從處向右跳1個單位到處，第二次從向左跳2個單位到處，第三次從向右跳3個單位到處，第四次從向左跳4個單位到處，若小球按以上規律跳了次時，它落在數軸上的點處所表示的數恰好是，則這只小球的初始位置點所表示的數是A． B． C． D．【分析】根據題意可以用代數式表示出前幾個點表示的數，從而可以發現它們的變化規律，進而求得這只小球的初始位置點所表示的數．【解答】解：設點所表示的數是，則點所表示的數是，點所表示的數是，點所表示的數是，點所表示的數是，點所表示的數是，，解得，，故選：．【點評】本題考查列代數式，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的代數式．【例1-2】（22-23七年級上·福建龍巖·期中）已知整數、、、、滿足下列條件：，，，，，（為正整數）依此類推，則值為．【答案】【分析】根據題意，計算出前幾個數的結果，然后觀察即可發現數字的變化特點，從而可以計算出的值．【詳解】由題意可得，，，，，，，，，由上可得，從第二個數開始，每兩個為一組，依次出現，，，，，，，并且偶數個數的結果是這個數除以的結果的相反數，，，故答案為：．【點睛】本題考查數字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發現數字的變化特點【例1-3】（23-24七年級上·安徽蕪湖·階段練習）有一列單項式，按一定規律排列成：，，，，，…．根據其中的規律，回答問題．(1)第8個單項式是______，第，（，且為正整數）個單項式是______．(2)若某三個相鄰的單項式的系數之和是，則這三個單項式分別是多少？【答案】(1)，(2)，，【分析】本題考查的是單項式的規律探究，一元一次方程的應用，掌握“從具體到一般的探究方法”是解本題的關鍵．（1）觀察單項式發現，系數的絕對值為，字母指數為序數，據此即可求解．（2）設所求的三個單項式的系數分別為，，，根據單項式的系數之和是，列出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：∵，，，，，…∴第8個單項式是，第，（，且為正整數）個單項式是；故答案為：；．（2）解：設所求的三個單項式的系數分別為，，，由題意得：，解得：，

∵，，，∴這三個單項式分別是，，【變式演練】【變式1-1】（2022秋?裕安區校級期中）一只小球從數軸上的原點出發，第一次向左跳1個單位長度到點，第二次從點向右跳2個單位長度到點，第三次從點向左跳3個單位長度到點，第四次從點向右跳4個單位長度到點，若小球按以上規律跳了6次，它在數軸上的點所表示的數是，若小球按以上規律跳了次，它在數軸上的點所表示的數是（用含的代數式表示）．【分析】由題意可得表示的數，表示的數是1，表示的數，表示的數2，則可得表示的數3，點所表示的數是，即可求解．【解答】解：由題意可得表示的數，表示的數是，表示的數，表示的數，表示的數則可得表示的數，點所表示的數是，故點所表示的數是．故答案為：3，．【點評】此題考查數字的變化規律，數軸的認識，找出其中的變化規律是解題的關鍵．【變式1-2】（23-24七年級上·江蘇無錫·期中）有一個數字游戲，第一步：取一個自然數，計算得，第二步：算出的各位數字之和得，計算得，第三步算出的各位數字之和得，計算得；以此類推，則的值為（）A．80 B．200 C．210 D．14【答案】B【分析】本題考查數字變化類規律探究，有理數的運算，理解題意，探究出結果的變化規律是解題的關鍵．通過計算前面幾步的數值可以得到整個游戲數字的出現規律，從而得到所求答案．【詳解】解：由題意知：，；，；，；，；；由上可知，，，，是按照80、200、14、，80、200、14三個數的組合重復出現的數列，，．故選：B【變式1-3】（2023秋?六盤水期中）已知整數、、、、滿足下列條件：，，，，，為正整數）依此類推，則的值為．【分析】已知字母的值，求代數式的值，先把整數、、、、的規律找出來，即當為偶數時，，再把代入計算，即可作答．【解答】解：，，，，，，，，，，，故當為偶數時，，那么時，，則的值為，故答案為：．【點評】本題考查了數字型規律，發現規律是關鍵．【變式1-4】觀察下列單項式：，，，，，，寫出第個單項式，為了解這個問題，特提供下面的解題思路．（1）這組單項式的系數依次為多少，絕對值規律是什么？（2）這組單項式的次數的規律是什么？（3）根據上面的歸納，你可以猜想出第個單項式是什么？（4）請你根據猜想，寫出第2020個，第2021個單項式．【分析】（1）根據題目中的單項式，可以寫出這組單項式的系數依次為多少，絕對值規律是什么；（2）根據題目中的單項式，可以寫出這組單項式的次數的規律是什么；（3）根據（1）和（2）中的發現，可以寫出第個單項式；（4）根據（3）中的猜想可以寫出第2020個，第2021個單項式．【解答】解：（1）一組單項式：，，，，，，，這組單項式的系數依次為，3，，7，，，39，，絕對值規律是從1開始的連續的奇數；（2）一組單項式：，，，，，，，這組單項式的次數的規律是從1開始的一些連續的整數；（3）根據上面的歸納，猜想出第個單項式是；（4）當時，這個單項式是，當時，這個單項式是．【點評】本題考查數字的變化類、單項式，解答本題的關鍵是明確題意，發現單項式的變化特點，寫出相應的單項式．【變式1-5】觀察下列關于的單項式：，，，，（1）直接寫出第5個單項式：；（2）第20個單項式的系數和次數分別是多少？（3）系數的絕對值為2023的單項式的次數是多少？【分析】（1）根據所給的式子，直接寫出即可；（2）通過觀察可得第個單項式為，當時，即可求解；（3）由題意可得，求出，再由（2）的規律求解即可．【解答】解：（1）第5個單項式為，故答案為：；（2），，，，第個單項式為，第20個單項式為，第20個單項式的系數是，次數是41；（3）系數的絕對值為2023，，次數為．【點評】本題考查數字的變化規律，通過觀察所給的單項式，探索出單項式的一般規律是解題的關鍵．題型02累加型規律探索【典例分析】【例2-1】（24-25七年級上·全國·假期作業）按照下面的方式堆放小球，第5堆有個小球，第n堆有個小球．【答案】15【分析】本題考查了圖形規律探索，第一堆1層1個；第二堆2層3個；第三堆3層6個；第四堆4層10個；根據每一堆的層數和個數，發現可以用梯形的面積公式來計算出個數，上底是1，下底與它的堆數相同，高與底相同，據此求出第5堆和第n堆小球的個數即可．【詳解】解：由圖可知：第一堆1層1個；第二堆2層3個；第三堆3層6個；第四堆4層10個，則第n堆小球共有：，第五堆小球共有：（個），故答案為：15；【例2-2】（23-24七年級上·山東濰坊·期末）觀察下列圖中所示的一系列圖形，它們是按一定規律排列的，依照此規律，那么第2023個圖形中共有個○．【答案】6070【分析】本題考查圖形類規律探索，根據題目中的圖形，可以發現○的變化規律，從而可以得到第2023個圖形中○的個數．【詳解】解：由圖可得，第1個圖象中○的個數為：，第2個圖象中○的個數為：，第3個圖象中○的個數為：，第4個圖象中○的個數為：，……∴第2023個圖形中共有：個○，故答案為：6070【例2-3】（23-24七年級上·河北保定·期末）如圖所示的圖案是由正方形和三角形組成的，有著一定的規律，請完成下列問題：(1)第4個圖案中，三角形有______個，正方形有______個；(2)若用字母分別代替三角形和正方形，則第1、第2個圖案可表示為多項式則第5個圖案可表示為多項式______；(3)在（2）的條件下，若第5個圖案所表示的多項式值為90，且求的值．【答案】(1)16，16(2)(3)【分析】本題考查了規律型的圖形的變化類，解決本題的關鍵是根據圖形的變化尋找規律．（1）觀察圖形得出規律，即可得出第4個圖案中，三角形有16個，正方形有16個；（2）根據第1、2個圖案可表示多項式，，可知第5個圖案可表示為多項式；（3）根據（1）得出的規律，列式計算即可求解．【詳解】（1）觀察圖形可知：第1個圖案中，三角形有個，正方形有個；第2個圖案中，三角形有個，正方形有個；第3個圖案中，三角形有個，正方形有個；第4個圖案中，三角形有個，正方形有個；故答案為：16，16；（2）第1第2個圖案可表示為多項式，，可知第5個圖案可表示為多項式，故答案為：；（3）第5個圖案所表示的多項式值為90，，又，，的值為：2【例2-4】將正方形（如圖作如下劃分，第1次劃分：分別連接正方形對邊的中點（如圖，得線段和，它們交于點，此時圖2中共有5個正方形；第2次劃分：將圖2左上角正方形再劃分，得圖3，則圖3中共有9個正方形；（1）若把左上角的正方形依次劃分下去，則第100次劃分后，圖中共有401個正方形；（2）繼續劃分下去，第次劃分后圖中共有個正方形；（3）能否將正方形劃分成有2020個正方形的圖形？如果能，請算出是第幾次劃分，如果不能，需說明理由．【分析】（1）根據題意找出規律進行計算即可；（2）根據規律解答即可；（3）根據題意得出值，進而解答即可．【解答】解：（1）第一次可得5個正方形，第二次可得9個正方形，第三次可得13個正方形，第次可得個正方形，第100次可得正方形：（個；故答案為：401；（2）由（1）得：第次可得個正方形，故答案為：；（3）不能，，解得：，不是整數，不能將正方形劃分成有2020個正方形的圖形．【點評】本題考查規律型數字問題，解題的關鍵是學會探究規律，利用規律解決問題，屬于中考常考題型．【變式演練】【變式2-1】（24-25七年級上·全國·假期作業）如圖所示的點陣圖中，圖①中有3個點，圖②中有7個點，圖③中有個點，圖④中有個點，按此規律，圖⑩中有個點．【答案】【分析】本題考查了數與形的規律，能總結出一般規律是解題關鍵．列出給出的幾幅圖的點數依次為，，，，，分析這些數我們可以得到，，，據此總結規律求解即可．【詳解】觀察題圖可知：圖①中點的個數為；圖②中點的個數為；圖③中點的個數為；圖④中點的個數為；圖n中點的個數為；當時，圖中點的個數有（個）點，故答案為：【變式2-2】（24-25七年級上·全國·假期作業）用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規律，拼成若干個圖案：第七個圖案中有白色地磚塊．【答案】30【分析】此題主要考查圖形的變化規律，通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力．對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的．通過分析找到各部分的變化規律后直接利用規律求解．第一個圖案有白色地面磚6塊，第二個有10塊，第三個有14塊……即第n個圖案中白色地磚數有塊，利用這個規律即可求解．【詳解】解：因為第一個圖案有白色地面磚塊，第二個有塊，第三個有塊，據此總結出規律，第n個圖案中白色地磚數有塊，所以第7個圖案中有白色地面磚數為：（塊）即第七個圖案中有白色地磚30塊．故答案為：30．【變式2-3】（23-24七年級上·山西陽泉·期中）用火柴棒按圖中所示的方法搭圖形．(1)發現：搭第①個圖形用7根火柴棒，搭第②個圖形用根火柴棒，搭第③個圖形用根火柴棒；搭第n個圖形需根火柴棒；(2)應用：搭第202個圖形用根火柴棒；若使用2023根火柴，（填“能”或“不能”）搭建完整的正方形組建的圖形；(3)嘗試：按照這種方式搭圖形，會產生若干個正方形，第①個圖形產生2個正方形，第②個圖形產生5個正方形，若使用187根火柴搭圖形，圖中會產生多少個正方形？【答案】(1)12；17；（5n＋2）(2)1012；不能(3)110個【分析】（1）依次求出圖形中用的火柴棒的根數，發現規律即可解決問題．（2）根據（1）中發現的規律即可解決問題．（3）先求出187根火柴搭成的是第幾個圖形，再根據圖形中正方形個數變化的規律即可解決問題．【詳解】（1）解：（1）由所給圖形可知，第①個圖形用的火柴棒根數為：7＝1×5＋2；第②個圖形用的火柴棒根數為：12＝2×5＋2；第③個圖形用的火柴棒根數為：17＝3×5＋2；…，所以第n個圖形用的火柴棒根數為（5n＋2）根．故答案為：12，17，（5n＋2）．（2）解：（2）由（1）知，當n＝202時，5n＋2＝5×202＋2＝1012（根），即第202個圖形用的火柴棒根數為1012根．使用2023根火柴棒不能搭建完整的正方形組建的圖形．當5n＋2＝2023時，解得n＝404.2，因為n為正整數，所以不能搭建完整的正方形組建的圖形．故答案為：1012，不能．（3）解：（3）令5n＋2＝187，解得n＝37，即第37個圖形用的火柴棒根數為187根．又因為第①個圖形產生的正方形個數為：2＝1×3﹣1；第②個圖形產生的正方形個數為：5＝2×3﹣1；第③個圖形產生的正方形個數為：8＝3×3﹣1；…，所以第n個圖形產生的正方形個數為（3n﹣1）個，當n＝37時，3n﹣1＝3×37﹣1＝110（個），即第37個圖形產生的正方形個數為110個，所以使用187根火柴搭圖形，圖中會產生110個正方形．【點睛】本題考查圖形變化的規律，能根據所給圖形發現所用火柴棒的根