第四章圖形的相似7相似三角形的性質(zhì)（第一課時）數(shù)學九年級上冊BS版01課前預習◎要點歸納相似三角形的對應高的比、對應角平分線的比、對應中線

的比都等于

?.相似比

數(shù)學九年級上冊BS版課前導入02導入新課ACBA1C1B1問題1：△ABC與

△A1B1C1相似嗎？ACBA1C1B1相似三角形對應角相等、對應邊成比例.△ABC∽△A1B1C1思考：三角形中，除了角度和邊長外，還有哪些幾何元素？高、角平分線、中線，周長、面積等高角平分線中線量一量猜一猜D1A1C1B1∟ACBD∟△ABC∽△A1B1C1CD和

C1D1分別是它們的高，你知道

等于多少嗎？如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為

k，它們對應邊上的高的比各是多少？ABCA'B'C'合作探究相似三角形對應高的比等于相似比解：如圖，分別作出△ABC和△A'B'C'

的高AD和A'D’．

則∠ADB=∠A'D'B'=90°.

∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B=∠B'.∴△ABD∽△A'B'D'.ABCA'B'C'D'D由此得到：相似三角形對應邊上的高的比等于相似比．類似的，我們可以得到其余兩組對應邊上高的比也等于相似比．歸納總結(jié)1.△ABC∽

△A1B1C1，BD和

B1D1

是它們的中線，已知

，B1D1=4cm，則

BD=

cm.62.△ABC∽

△A1B1C1，AD和

A1D1

是

BC和

B1C1邊上的高，已知

AB

=8cm，

A1B1=3cm，則

△ABC與

△A1B1C1

的對應高之比為

.8:3練一練3.如圖、電燈

P

在橫桿

AB的正上方，AB

在燈光下的影子為

CD，AB∥CD，AB=2m，CD=4m，點

P

到

CD

的距離是3m，則

P

到

AB

的距離是

m.1.5PADBC24數(shù)學九年級上冊BS版03典例講練

如圖，已知△ABC∽△A'B'C'，且△ABC與△A'B'C'的相似比為k.點D，E在邊BC上，點D'，E'在邊B'C'上.

【點撥】解這類問題的關鍵在于根據(jù)原來的兩個三角形相似得

到新的三角形相似.

已知△ABC∽

△A'B'C'，求證：對應角平分線之比等于相似比.證明：設

△ABC中∠BAC的平分線交BC邊于點D，△A'B'C'

中∠B'A'C'的平分線交B'C'邊于點D‘.∵△ABC∽△A'B'C'，

∴∠B＝∠B'，∠BAC＝∠B'A'C‘.∴∠BAD＝∠B'A'D‘.∴△

ABD∽

△A'B'D‘.∴AD∶A'D'＝AB∶A'B'，即對應角平分線之比等于相似比.

一張銳角三角形的硬紙片如圖所示,AD是邊BC上的高,BC＝40cm,AD＝30cm，從這張硬紙片上剪下一個長HG

是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點

G，H分別在邊AC，AB上，AD與HG的交點為點M.

求矩形EFGH的周長.

【點撥】三角形中截取矩形或正方形問題是相似圖形知識應用的熱點問題，解決它的方法一般是抽象為相似的數(shù)學模型，利用相似三角形中對應高之比等于相似比來解答.

如圖，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC（矩形各頂點在三角形的邊上）,點E,F在BC上，點H,G分別在AB,AC上,且AD⊥

BC于點D,交HG于點N.

若AD＝3,BC＝9，設EH＝x，矩形EFGH的面積為y，求出y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍.

已知一塊直角三角形木板的直角邊AB的長為1.5m，面積為1.5m2.工人師傅要用它截取一個面積最大的正方形桌面，請甲、乙兩位同學進行設計加工方案，甲同學設計方案如圖1，乙同學設計方案如圖2.你認為哪位同學設計的方案中的正方形面積大？

試說明理由.圖1圖2

【點撥】解本題的關鍵點有兩個：一是用等面積法求出斜邊上的高；二是運用相似三角形的對應高之比等于相似比進行計算.

如圖，有一塊銳角三角形卡紙余料ABC，它的邊BC＝120cm，高AD＝80cm，為使卡紙余料得到充分利用，現(xiàn)把它裁剪成一個鄰邊之比為2∶5的矩形紙片EFGH和正方形紙片PMNQ，裁剪時，矩形紙片的較長邊在BC上，正方形紙片的一邊在矩形紙片的較長邊EH上，其余頂點均分別在AB，AC上，AD分別交

PQ，EH于點K，R.

（1）求矩形紙片的較長邊EH