FundamentalsofMechanicalControlTheory機械控制理論

基礎FrequencyCharacteristicsofControlSystems控制系統的頻率特性CHAPTER51對系統性能的評價：穩定性、準確性、快速性時域分析：在穩定前提下，解決系統的快速性、準確性問題頻域分析：解決系統的穩定性、快速性問題頻率特性分析是經典控制理論的核心內容工程實際中：振動問題：對以周期性振動的輸入信號的響應分析問題材料的疲勞試驗：施加的作用力為周期性交變信號汽車的減振效果橋梁（跨海大橋）的設計生活中：士兵過橋，挑擔子2圖（a）振蕩初起之時圖（b）災難發生之時1940年7月1日建成通車的美國塔科馬海灣（TacomaNarrows）大橋，在四個月后的11月7日被大風吹塌。大橋坍塌后，美國組建了一個事故調查委員會。其中成員就包括空氣動力學家馮·卡門（TheodorevonKármán）。卡門是匈牙利猶太人，1930年移居美國后負責指導古根海姆氣動力實驗室和加州理工大學第一個風洞的設計和建設。NASA著名的噴氣推進實驗室（JPL）亦是由他創建。調查發現這場災難源于一種卡門渦街現象，卡門渦街類似于將木樁插入水流時在木樁下游形成的兩列非對稱漩渦，進而形成側向力作用，該作用是有規律的周期性現象（即具有一定頻率），而塔科馬大橋本身也有自己的頻率，當兩個頻率接近的時候便會發生共振。而發生共振的后果，現在大家都知道了。4本章主要內容(MainContents)頻率特性

(frequencyresponse)對數坐標圖(LogMagnitudeandPhaseDiagram,BodeDiagram)極坐標圖(PolarcoordinatePlot，NyquistPlot)最小相位系統(dynamicanalysisofhigh-ordersystem)閉環頻率特性與頻域性能指標(frequencycharacteristicsofclosed-loopsystems&

performancespecificationsinthefrequencydomain)5本章重點內容基本概念：頻率特性、幅頻特性、相頻特性Bode圖：注意對數幅頻圖的漸近線作圖，強調工程應用的簡化計算！！Nyquist圖：頻域性能指標特別強調：大學思維再加：高中知識（主要是復數的模與幅角的知識）65.1頻率特性1.頻率響應線性定常系統對正弦(諧波)輸入的穩態響應，稱為頻率響應。一、頻率響應與頻率特性這里強調：系統為線性定常系統，且是穩定的，輸入為正弦（諧波）信號（那么，余弦信號輸入是否可以？）7其中：—幅頻特性，穩態輸出與輸入的幅值比—相頻特性，穩態輸出與輸入的相位差—頻率特性，是幅頻特性與相頻特性的總稱2.頻率特性8由以上表達可知，頻率特性本質上是個以為自變量的復變函數，其模與幅角的表達就是頻率特性的幅值（幅頻特性）與相位（相頻特性）

系統的頻率特性亦可表示為由于也可以寫成實部和虛部之和，即實頻特性虛頻特性關于相位的符號：相位逆時針為正，順時針為負；相位超前為正，相位滯后為負。對實際的物理系統，相位一般都是滯后的。9例5-1設系統傳遞函數為

當輸入信號為時，求其穩態響應。解：系統的頻率特性為

系統的穩態輸出為

其中

所以系統的穩態響應為10頻率響應只是時間響應的一個特例。當諧波頻率不同時，其輸出的幅值與相位也不同。進行拉氏反變換，可得響應為若要求其輸出，則由指數衰減項諧波振蕩項

11二、頻率特性的含義與特點1.頻率特性的含義將系統的傳遞函數G(s)中的s換為jω，即為系統的頻率特性。即系統的頻率特性為系統單位脈沖響應的傅里葉變換。12即系統的頻率特性為系統穩態輸出與輸入的傅里葉變換之比。頻率特性與輸出和輸入的關系：13求解觀察線性微分方程性能指標傳遞函數時間響應頻率響應拉氏變換拉氏反變換估算估算計算傅氏變換S=jω頻率特性至此，建立起時域分析與頻域分析以及各種數學模型之間的聯系：為獲取系統的動態特性，時域分析采用的方法是分析線性系統的過渡過程（瞬態響應）；而頻域分析采用的方法是分析不同的諧波輸入時系統的穩態響應。14采用頻域分析的主要優點：（1）在研究系統結構及參數的變化對系統性能的影響時，許多情況下，在頻域中分析要容易得多。特別是利用頻率特性可方便地判別系統的穩定性和穩定儲備量，參數選擇或系統校正，使系統盡可能達到預期的性能指標。根據頻率特性，易于確定系統頻率范圍。2.頻率特性分析的優點（2）若線性系統的階次較高，采用頻率特性分析比在時域中分析系統的性能要容易。（3）采用頻率特性分析法可設計出合適的通頻帶，以抑制系統中混入的噪聲干擾的影響。（4）對任意時間函數的輸入，只要滿足傅氏變換的條件，頻率特性分析方法都是適用的。15實際系統存在的非線性使得頻率特性分析會產生誤差難應用于時變系統和MIMO系統難以在線識別頻率特性分析的缺點16對于機械系統而言，頻率特性反映了系統機械阻抗的特性。三、機械系統動剛度的概念如圖所示質量—彈簧—阻尼構成的機械系統：

其傳遞函數為：

17與虎克定律相似

所以

動剛度

而

動柔度

當時，

即該機械系統的靜剛度。

其頻率特性為：

18當時，動剛度幅值為：

令，可得：

稱作系統的諧振頻率。

此時系統的最小動剛度幅值：當時，19工程應用-動態吸振器彈簧吸振器簡化模型如圖5-6所示。若質量受到干擾力，如何選擇吸振器參數，使質量產生的振幅為最小。解：建立系統微分方程為：求得位移x1與輸入力之間的傳遞函數為：20動態吸振器該吸振器按輸入干擾力的頻率確定參數，若輸入干擾力頻率發生變化，其減振作用將會減弱。若要使，須動剛度為：而在車內螺紋時車刀柄過長，一次性加工會出現抖動情況，如果在刀柄內加個重力塊能減輕震動，這靠譜嗎？

21動態吸振器應用實例-減振刀柄這個減振刀柄是一個被動動態減振系統，內置預調過的重金屬阻尼單元，由彈性原件支撐在刀柄的腔體內。選用密度最高的物質做成阻尼體，這樣可以在有限的空間內達到最大的質量。22阻尼體的位置在設計時必須盡可能靠近刀柄前端，這樣可以最大化阻尼效果。而阻尼體也必須經過預調，以使其自身頻率與整個刀柄的頻率一致。在實際加工過程中，刀柄前端刀具發生的振動變形在第一時間被阻尼體抵消，不會沿著刀柄向后傳遞，從而減少了整個刀柄的振動變形。

刀柄內的結構通過下面這個視頻就能一目了然：23其它例子：磁共振儀（MRI：MagneticResonanceImaging）梯度線圈的被動式動態吸振24四.頻率特性的作圖表示方法

Bode圖（對數坐標圖，logarithmicplot）Nyquist圖（極坐標圖,NyquistPlot）Nichols圖（對數幅-相圖,NicholsPlot）重點要求學會Bode圖和Nyquist圖的作圖方法，特別是其工程計算（簡化計算），對Nichols圖不作要求。25

1.對數坐標圖5.2

頻率特性的對數坐標圖由對數幅頻圖和對數相頻圖組成:

橫坐標：表示輸入信號的頻率，取對數分度縱坐標：表示對數幅值和相位差26橫坐標的分度所以，橫坐標采用對數分度，對低頻段的頻率特性表達比較充分！倍頻：oct

十倍頻：dec

lg1lg10027用Bode圖表示頻率特性的優點幅值采用對數形式，可將串聯環節幅值的乘、除，化為幅值的加、減，因而簡化了計算與作圖過程。可用漸近線近似的方法作圖，在進行控制系統設計、校正和辨識時，特別方便。橫坐標采用對數分度，有效地擴展了低頻段（工程上較為關心）的范圍。28（1）比例環節2.典型環節的Bode圖29（2）積分環節當時，即：積分環節的對數幅頻圖是過（1,0）點斜率是-20dB/dec的直線，相頻特性為一條-90度線。兩個積分環節時？30（3）微分環節當時，即：微分環節的對數幅頻圖是過（1,0）點斜率是20dB/dec的直線，相頻特性為一條90度線。兩個微分環節時？31（4）慣性環節在低頻段誤差

在高頻段誤差3233（5）一階微分環節即一階微分環節的對數幅頻與相頻圖分別與慣性環節的對數幅頻和相頻圖關于0dB線和0度線對稱。

34（6）振蕩環節35在低頻段誤差在高頻段誤差36振蕩環節的bode圖37振蕩環節對數幅頻特性的誤差圖38（7）二階微分環節二階微分環節的對數幅頻與相頻圖分別與振蕩環節的對數幅頻和相頻圖關于0dB線和0度線對稱。

39（8）延時環節40（1）將系統傳遞函數轉化為若干個標準形式的環節的傳遞函數的乘積形式，并求出頻率特性。（2）確定各典型環節的轉角頻率、固有頻率以及阻尼比等參數，并將各典型環節按照轉折頻率從小到大排序。（3）將橫坐標按照對數進行分度，將個典型環節按序以漸近線的方式繪制和疊加，畫出整個系統的對數幅頻曲線。（4）將得到的對數幅頻漸近線，根據阻尼比對其進行修正。（5）按照相頻特性表達式將整個系統的相頻曲線畫出，注意關鍵點。（6）當有延時環節時，對數幅頻特性不變，對數相頻特性則應加上-τω/π*180

。3.繪制系統Bode圖的步驟與實例對于Bode圖，要學會漸近線作圖與近似估計計算！41例(1)比例(2)積分(3)振蕩環節：固有頻率與阻尼比(4)慣性環節：轉折頻率(5)一階微分：轉折頻率過42對數幅頻特性的漸近畫法43%程序：畫伯德圖clear;closeall;clc;Num1=[10,3];Den1=[1,3,4,4,0];Gs1=tf（Num1,Den1）;figure（1）;bode（Gs1）;%伯德圖gridon;用MATLAB畫Bode圖程序

44用MATLAB所畫的Bode圖如下

45②慣性環節③一階微分環節④慣性環節①比例環節46s/rad)(Lww0.1110dB5100.01-20dB/dec-5-109.541000.4240-20dB/dec-4.4其對數幅頻特性的漸近畫法用MATLAB所畫的Bode圖如下

0.4240484.系統類型與系統對數幅頻特性圖之間的關系系統開環傳遞函數為：

開環頻率特性

=K

=K

=K

當時，

當時，

當時，

當時，

49（1）靜態位置誤差系數

對于0型系統，其對數幅頻曲線在低頻段即時，其對數幅值為：即0型系統的低頻漸近線是分貝的水平線。

當時，

50（2）靜態速度誤差系數

對于I型系統即其對數幅頻曲線在低頻段是一條斜率為-20dB/dec的線段當時，

51（3）靜態加速度誤差系數

對于II型系統即其對數幅頻曲線在低頻段是一條斜率為-40dB/dec的線段當時，

525.3

頻率特性的極坐標圖對于系統的頻率特性，以橫坐標表示其實部，以縱坐標表示其虛部。1.頻率特性的極坐標圖極坐標圖的特點：優點：在同一圖上表示了頻率特性的幅值和相位；缺點：若數個環節串聯，則其幅值相乘除，相角相加減。即當時，變化的規律。極坐標圖對于系統的穩定性分析和校正極為重要。53

2.典型環節的Nyquist圖（1）比例環節54（2）積分環節55（3）微分環節56（4）慣性環節57（5）一階微分環節58（6）振蕩環節59（6）振蕩環節60（7）二階微分環節61（8）延時環節

62

3.Nyquist圖的一般畫法例163例264例365總結：對于一般形式的系統頻率特性其乃奎斯特圖具有以下特點：當時，乃奎斯特圖的起始點取決于系統的型次：0型系統，起始于正實軸上某一有限點（相位角為0o）；

Ⅰ型系統，起始于相位角為-90o的無窮遠處，其漸近線為一平行于虛軸的直線；Ⅱ型系統，起始于相位角為-180o的無窮遠處。66②當時，若n>m，乃奎斯特圖以順時針方向收斂于原點，即幅值為零，相位角與分母和分子的階次之差有關，即③當G（s）含有零點時，其頻率特性的相位將不隨增大而單調減，Nyquist圖會產生“變形”或“彎曲”，具體畫法與各環節的時間常數有關。67例4

4.傳遞函數有零點時Nyquist圖的畫法68用Matlab繪制的Nyquist圖：69例5例6705.5最小相位系統1.最小相位系統(mimimum-phasesystem)對于閉環系統，若其開環傳遞函數的所有零點和極點均在s平面的左半平面時,則該系統稱為最小相位系統。對于最小相位系統而言，當頻率從零變化到無窮大時，相位角的變化范圍最小，即

當時，其相位角為712.非最小相位系統延時環節不穩定的一階微分環節和二階微分環節不穩定的慣性環節、振蕩環節若系統開環傳遞函數有零點或極點在s平面的右半平面時,則該系統稱為非最小相位系統。幅頻特性相同的系統中，最小相位系統的相位變化最小。幅頻特性確定后，其對應的最小相位系統是唯一的。（2）產生非最小相位的一些環節（1）定義72例5-10有三個不同的開環傳遞函數試判斷它們是否為最小相位系統，分別畫出它們的伯德圖，并比較其相頻特性。解：三個系統零、極點的分布圖見圖5-39。73它們中只有對應的系統為最小相位系統，和為非最小相位系統。它們的伯德圖中幅頻特性相同，相頻特性不同，分別為74三個系統的幅頻與相頻特性如下圖75例T1＝10T276(1)對應最小相位系統，根據開環頻率特性L(ω)能唯一確定系統的開環傳遞函數—系統辨識問題。例5-11由實驗得到的最小相位系統對數幅頻曲線如圖5-42所示，試估計它們的傳遞函數。3.最小相位系統的應用7778(2)對于最小相位系統，其幅頻特性和相頻特性一一對應，某頻率段的相角主要由該頻率段的幅頻特性斜率所決定，也受相鄰頻段的影響。－20dB/dec————－900－40dB/dec————－1800－60dB/dec————－2700要使系統穩定，并有足夠的穩定裕量，應使L(ω)以－20dB/dec斜率穿越0dB線，并保持ωc前后有一定寬度(10倍頻程)。79以－20dB/dec斜率穿越0dB線，系統穩定。以－40dB/dec斜率穿越0dB線，系統可能穩定。以－60dB/dec斜率穿越0dB線，系統一般不穩定。805.6閉環頻率特性與頻域性能指標1.開環頻率特性與閉環頻率特性的關系

*在頻域對系統性能進行分析有兩種思路：（1）對閉環頻率特性分析（直接）；（2）由開環頻率特性分析估計閉環性能（間接）。（1）諧振頻率(resonantfrequency)和諧振峰值

812.閉環頻域性能指標頻域性能指標是根據閉環控制系統的性能要求制定的。根據閉環頻率特性定義的性能指標有：

將閉環頻率特性的幅值用表示。

(resonantpeakmagnitude)82通常，一個系統的大小表征了系統相對穩定性的好壞。一般來說，值愈大，則該系統瞬態響應的超調量也大，表明系統的阻尼小，相對穩定性差。對于圖5-46所示二階系統，

83當時，