初中數學——實數專項練習8

學校;姓名：班級：考號：

評卷人得分

—?、單選題

1.用※定義一種新運算：對于任意實數和“，規定膽※〃=，〃2〃一〃?〃一3〃，如：1X2

=12X2-1X2-3X2=-6.貝U（-2）※退結果為（）

A.3百B.-20C.3亞D.26

2.下列說法正確的是（）

A.有理數和無理數統稱為實數B.實數是由正實數和負實數組成

C.無限小數是無理數D.有理數和數軸上的點一一對應

3.如圖，數軸上點A表示的數可能是（）

A

[.[1?[A

-10123

A.V2B.73C.75D.V10

4.下列各數中是無理數的是（）

A.0B.6C.-2D.-

7

5.下列命題：①相等的角是對頂角；②帶根號的數是無理數；③平方根與立方根相等

的數有1和0;④經過一點有且只有一條直線與已知直線平行；⑤實數與數軸上的點一

一對應.其中真命題有（）.A.0個B.1個C.2個D.3個

6.下列四個實數中，無理數是（）

22

A.^27B.0.131313...C.—

D-T

7.估計"'-2的值在（）

A.2到3之間B.3到4之間

C.4至IJ5之間D.5到6之間

8.在實數3.1415,―,后，4，2.8181181118…（相鄰兩個8之間1的個數逐次加

1）中，無理數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

評卷人得分

二、填空題

9.與伍最接近的整數為.

10.我們知道“對于實數加，〃，k,若巾=〃，n=k,則機=%”,即相等關系具有傳遞

性.小捷由此進行聯想，提出了下列命題：①對于實數。，b,c,若a>b,b>c,則

a>c；②對于直線。，b,c,若^，另，b±c,貝UaJLc：③對于角a,4，Y,若a

與夕互為鄰補角，戶與/互為鄰補角，則a與y互為鄰補角；④對于圖形M,N,P,

若M可以平移到N,N可以平移到P,則M可以平移到P.其中所有真命題的序號是

11.在實數2%，-,3.14,0.121121112...,欣中，無理數有個.

12.比較大小：6V2+1.（填或"="）.

13.寫出一個大于-3的負無理數—.

14.實數范圍內的運算法則以及運算順序與有理數范圍內是的

實數之間可以進行加、減、乘、除（除數不為0）、乘方、非負實數的開方運算，還有

任意實數的開立方運算，在進行實數的運算中，交換律、結合律、分配律等運算性質也

評卷人得分

----------------三、解答題

15.如圖1,依次連接2x2方格四條邊的中點，得到一個陰影正方形，設每一方格的邊

長為1個單位，則這個陰影正方形的邊長為立.

（1）圖1中陰影正方形的邊長為;點尸表示的實數為;

（2）如圖2,在4x4方格中陰影正方形的邊長為a.

①寫出邊長a的值.

②請仿照（1）中的作圖在數軸上表示實數-4+1.

16.計算.

2

(1)(-2)2X5-(-2)M；(2)(-2)-|5-y/3\.

17.一位同學在閱讀課外書的時候，學到了一種速算方法，也讓我們一起來看看吧！

1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51),他發現這樣的數對一共有50對，

且每一對數和都101,所以原式=(1+100)x50=5050；同樣地，

2+4+6+…+100=(2+100)+(4+98)

+...+(50+52),這樣的數對一共有25對，且每一對數和都是102,所以原式

=(2+100)x25=2550；

(1)請仔細觀察以上算式的特點及運算規律，請你運用你的發現看看下列式子哪些具有上

述特點，能運用上述規律來運算，并把這樣式子的結果算出來：

①1+3+5+7+…+199；

②3+7+11+15+…+195+199；

③1+2+3+5+8+13+21+34；

(2)在上面的①式中，請你通過增加或減少和中最后面奇數的個數，探尋本題計算規律,

請用一個含字母n的式子表示你的發現：

⑶另外，該同學還有一個有趣發現：1=33+5=23,7+9+11=33,

13+15+17+19=4'，…，以此類推，你能寫出第50個式子的結果并寫出等式左邊第一

個數嗎？說出你的理由.

18.【閱讀材料】我們知道正是無理數，而無理數是無限不循環小數，它的小數部分我

們不可能全部地寫出來，但是由于1<2,所以正的整數部分為1,加減去其整數

部分，差就是血的小數部分，所以用夜-1來表示虛的小數部分.

根據以上的內容，解答下面的問題：

（1）填空：后的整數部分是,M的小數部分是

（2）若6Z-2=nz+〃，其中是加整數，且求機的值.

19.對于有理數a、h,規定運算“*”如下：a*h=axb-a-b-2

⑴計算：（-3）*2的值

⑵求(-2*4)*(-1)的值.

20.(1)if?>/2sin450+2cos300+11-tan60°|.

（2）解方程：（x+3）-=2x+6.

21.計算：

⑴(x-3)2-(x+2)(x-2)；

m

⑶門XITtn-2

22.(1)計算：(-2)2—病+1—6|；

(2)分解因式：abx-aby+^ab.

參考答案:

1.A

【解析】

【分析】

根據新定義列出式子，進而進行實數的混合運算即可.

【詳解】

解：?皿※"=/?2〃一〃?〃一3"，

(-2)※6=(-2)2XG-(_2)X#_3G

=473+25/3-3V3

=36

故選A

【點睛】

本題考查了新定義下的實數運算，二次根式的加減運算，理解新定義并列出式子是解題的關

鍵.

2.A

【解析】

【分析】

根據實數的有關概念判斷即可.

【詳解】

解：A、有理數和無理數統稱為實數，根據實數的概念知A正確，符合題意；

B、實數分為正實數，零，負實數，故B錯誤，不符合題意；

C、無限循環小數是有理數，故C錯誤，不符合題意；

D、任意一個實數可以用數軸上的一個點表示，數軸上的任意一個點都表示一個實數，

而有理數不能與數軸上的點一一對應，故D錯誤，不符合題意.

故選：A.

【點睛】

本題考查實數的分類及實數的性質，解題的關鍵是正確認識實數的有關概念.

3.C

【解析】

答案第1頁，共13頁

【分析】

設點A表示的數是。，先根據數軸的性質可得2<a<3,再根據無理數的估算逐項判斷即可

得.

【詳解】

解：設點A表示的數是“，則2<a<3.

A、夜<2,則此項不符題意；

B、G<2,則此項不符題意；

C、因為4<5<9,所以2c石<3,則此項符合題意；

D、>/10>3,則此項不符題意；

故選：C.

【點睛】

本題考查了數軸、無理數的估算，熟練掌握無理數的估算方法是解題關鍵.

4.B

【解析】

【分析】

理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數與分數的統稱.即有限小

數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無理數.由此即可判定選擇項.

【詳解】

解：A、0是整數，屬于有理數，故此選項不符合題意；

B、6是無理數，故此選項符合題意；

C、-2是整數，屬于有理數，故此選項不符合題意.

D、，是分數，屬于有理數，故此選項不符合題意；

故選：B.

【點睛】

本題考查了無理數.解題的關鍵是掌握無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：兀，

2兀等；開方開不盡的數；以及像0.101001000L..,等有這樣規律的數.

5.B

【解析】

答案第2頁，共13頁

【分析】

根據對頂角一定相等，相等的角不一定是對頂角，即可判斷①；根據4=2,即可判斷②;

根據0=±1，而次=1，即可判斷③；根據平行公理即可判斷④；實數與數軸上的點一定一

一對應，即可判斷⑤，從而即可選擇.

【詳解】

相等的角不一定是對頂角，故①為假命題；

帶根號的數不一定都是無理數，例如4=2,故②為假命題；

平方根與立方根相等的數是0,故③是假命題；

經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故④是假命題；

實數與數軸上的點一一對應，故⑤是真命題.

綜上可知這些命題中真命題是⑤，為1個.

故選B.

【點睛】

本題主要考查判斷命題的真假.知道正確的命題是真命題是解答本題的關鍵.

6.D

【解析】

【分析】

無理數就是無限不循環小數.理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是

整數與分數的統稱，即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無理數.無

理數包括無線不循環小數和開方不能開盡的數，由此即可判定選擇項.

【詳解】

解：A.巧=-3,是整數，屬于有理數，故本選項不合題意；

B.0.131313…是無限循環小數，屬于有理數，故本選項不合題意；

C.三是分數，屬于有理數，故本選項不合題意；

D.正是無理數，故本選項符合題意；

2

故選：D.

【點睛】

題目主要考查立方根，無理數，有理數，理解無理數的定義是解題關鍵.

7.A

答案第3頁，共13頁

【解析】

【分析】

先估算4=行<①<后=5,然后再減去2即可求出范圍.

【詳解】

解：V4=Vi6<^T<>/25=5.

???收在4到5之間，

二血?一2在2到3之間，

故選：4.

【點睛】

本題考查了無理數的估值計算，屬于基礎題，熟練常見正整數的平方根是解題的關鍵.

8.B

【解析】

【分析】

分別根據無理數、有理數的定義即可判定選擇項.

【詳解】

解:歷,2.8⑻⑻11811118...（相鄰兩個8之間1的個數逐次增加1）是無理數,

故選：B.

【點睛】

此題主要考查了無理數的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數，無限不循環小數為無

理數.如左，R,0.8080080008…（每兩個8之間依次多1個。）等形式.

9.5

【解析】

【分析】

先判斷5〈病<6,再根據26-25=1,36-26=10,從而可得答案.

【詳解】

解：Q25<26<36,

\5<726<6,

Q26-25=1,36-26=10,而1<10,

答案第4頁，共13頁

\后更接近的整數是5.

故答案為：5

【點睛】

本題考查的無理數的估算，掌握“無理數的估算方法''是解本題的關鍵.

10.①④##④①

【解析】

【分析】

①正確，根據實數大小的比較法則.

②錯誤，要考慮三條直線，不一定在同一平面內.

③錯誤，要考慮三個角的位置關系，即可.

④正確，利用平移變換的性質判定即可.

【詳解】

解：①對于實數。，b,c,若a>b，b>c,則a>c.正確.

②對于直線“，b,c,若石，bLc,則。_1°,不一定成立，成立的條件是在同一平面

內.

③對于角a,P，Y,若a與夕互為鄰補角，夕與/互為鄰補角，則a與7互為對頂角.

④對于圖形N,P,若M可以平移到N,N可以平移到P,則M可以平移到P.正

確，

故答案為：①④.

【點睛】

本題考查命題與定理，解題的關鍵是掌握有理數的大小比較，兩直線垂直的判定，鄰補角的

定義，平移的性質等知識，屬于中考常考題型.

II.3

【解析】

【分析】

無限不循環的小數是無理數，根據無理數的定義逐一判斷即可得到答案.

【詳解】

解：Q736=6,

答案第5頁，共13頁

7

在實數近，2%，,3.14,0.121121112...,序中，無理數有

V2,2p,0.121121112ggg,共3個，

故答案為：3

【點睛】

本題考查的是無理數的識別，掌握“利用無理數的定義識別無理數”是解本題的關鍵.

12.<

【解析】

【分析】

根據1<百<2、1〈及<2解答即可.

【詳解】

解：Vl<^<2,1<72<2,

.,?2<V2+1<3,

；.上〈及+1，

故答案為：<.

【點睛】

本題考查無理數的估算、實數的大小比較，熟練掌握無理數的估算是解答的關鍵.

13.-x/5（答案不唯一）

【解析】

【分析】

由兩個負數絕對值大的反而小從而可得出答案.

【詳解】

解：；9>5

：.3>也.

：.-3<->/5.

故答案為：-石答案不唯一）

【點睛】

本題考查無理數的估算、實數的大小比較，熟知兩個負數絕對值大的反而小是解答的關鍵.

答案第6頁，共13頁

14.一樣適用

【解析】

略

15.(1)如，1+五;(2)①加；②見解析

【解析】

【分析】

(1)先利用大正方形的面積減去四個三角形的面積可得正方形ABC。的面積，再求其算術

平方根即可得；

(2)①先利用大正方形的面積減去四個三角形的面積可得陰影部分正方形的面積，再求其

算術平方根即可得；

②由數軸上表示1的點為圓心畫弧，與數軸負半軸的交點表示的數即為-4+1.

【詳解】

解：(1)正方形A8CD的面積為：2x2-4xlxlx；=2,

正方形ABC。的邊長為：

AB=yf2,

AP=AB=V2>

由題意得：點戶表示的實數為：1+a,

故答案為：1+a;

(2)①陰影部分正方形面積為：4x4-4x1x3x1=10,

求其算術平方根可得：〃=而，

點M表示的數即為-a+1.

【點睛】

本題考查了割補法求面積以及實數與數軸等知識，熟練掌握割補法求面積是解題的關鍵.

16.(1)22；(2)-1+G

答案第7頁，共13頁

【解析】

【分析】

(1)先計算乘方，再計算乘除法，然后計算減法即可得；

(2)先計算乘方、化簡絕對值，再計算實數的加減即可.

【詳解】

解：⑴原式=4x5-(-8)+4

=20-(-2)

=20+2

=22；

(2)原式=4-(5-我

=4-5+6

=-1+>/3.

【點睛】

本題考查了含乘方的有理數混合運算、實數的混合運算，熟練掌握各運算法則是解題關鍵.

17.(1)①10000；②5050；③87

(2)1+3+52〃-3)+(2〃-1)=n2

⑶第50個式子為：2451+2453+2457+ggk2549=50)等式的左邊第1個數為：2451.

【解析】

【分析】

199+1

(1)①根據閱讀部分提供的方法可得：1+3+5+7+…+199一共有一寸二100個數，分成

50組，每組的和為200,從而可得答案；②根據閱讀部分提供的方法可得：

199+1

3+7+11+15+???+195+199一共有----二50個數，分成25組，每組的和為202,從而可得

4

答案；③由1+2+3+5+8+13+21+34可得前面兩個數的和等于后一個數，再計算即可.

(2)分兩種情況討論：當〃為偶數時，當〃為奇數時，再利用從具體到一般的探究方法矩

形探究即可；

(3)由1=戶，3+5=2，7+9+11=33,13+15+17+19=4,…，可發現左邊第一個數有:

1=0?11,3=1721,7=2?31,13=3?4l,ggg歸納可得：第“行第一個數為：

答案第8頁，共13頁

右邊為/,后續的奇數為：(〃-1)〃+3,(〃-1)〃+5,喀(〃-1)〃+(2〃-1),再應用規律，從而可

得答案.

(1)

解：①1+3+5+7+…+199

=(1+199)+(3+197)+W(99+101)

=200?5010000

②3+7+11+15+…+195+199

=(3+199)+(7+195)+H(99+103)

=202?255050

③1+2+3+5+8+13+21+34

=1+5+5+21+21+34

=87

(2)

解：Ql+3+5+7=8倉俚-=16,

22

1+3+5+7+9+11=12砂上-=36,

22

???

1QQ?11

1+3+5+7+…+199=200x-----x-=10000,

22

當〃為偶數時，

\1+3+5+ggg<"(2〃-3)+(2〃-1)=2〃倉|產：+1g=〃2,

Ql+3+5=6倉,：+芋，

1+3+5+7+9=10倉號g+等，

當”為奇數時,

\14-3+5+72〃-3)+(2〃-1)

2〃-1+1

答案第9頁，共13頁

=2〃？-----n-n2-n+n=n2,

4

綜上：l+3+54^(2〃-3)+(2〃-1)=〃2(〃為正整數)

(3)

解：1=「，3+5=2',7+9+11=3?,13+15+17+19=4'…，

可發現左邊第一個數有：1=0?11,3=1?21,7=2?31,13=3?4l,ggg

歸納可得：第〃行第一個數為：右邊為"，

后續的奇數為：("-1"+3,("-1),

所以第50行第一個數為:(50-1)7501=2451,

后續奇數為：2453,2455,2457,潞2549,

所以第50個式子為：

2451+2453+2457*^2549=50\

等式的左邊第1個數為：2451.

【點睛】

本題考查的是有理數的加法與乘法的運算，乘方運算，數字運算規律的探究，列代數式，掌

握“從具體到一般的探究方法得到規律并運用規律解決問題”是解本題的關鍵.

18.(1)4V19-4

(2)8-734

【解析】

(1)

(1)仿照例子找出及M在哪兩個整數之間即可得解；

(2)仿照例子，找出整數部分和小數部分后即可得出的值.

解：⑴；4〈岳<5,

.??后整數部分為4,

V4<V19<5,

整數部分為4,小數部分為M-4,

答案第10頁，共13頁

故答案為：4,43-4；

(2)

解：V5<VM<6,

.?.3<>/34-2<4,

由題意其中是加整數，且

??機=3,〃=J34-2-3=J34-5,

.?./n-n=3-(>/34-5)=8->/34.

【點睛】

本題考查了無理數的估算，熟悉無理數的大小估算是解題關鍵.

19.(1)-7

⑵T

【解析】

【分析】

(1)根據新定義的內容直接代入即可求解；

(2)根據新定義的內容直接代入.

(1)

解:(-3)*2=-3x2-(-3)-2-2=-7；

(2)

解