空間直線、平面的平行一、單項選擇題1．能使兩個不同平面α與β平行的條件是()A．α內有無數條直線與β平行B．α，β垂直于同一個平面C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一條直線2．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分別是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中點，則必有()A．BD1∥GHB．BD∥EFC．平面EFGH∥平面ABCDD．平面EFGH∥平面A1BCD13．如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，E為AD的中點，F為PC上一點，當PA∥平面EBF時，PFFCA．23 B．1C．13 D．4．如圖，AB∥平面α∥平面β，過A，B的直線m，n分別交α，β于C，E和D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，則BD的長為()A．65 B．C．85 D．5．如圖，點A，B，C，M，N為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線MN∥平面ABC的是()ABCD6．如圖所示，正三棱錐P-ABC，底面邊長為2，點P到平面ABC距離為2，點M在平面PAC內，且點M到平面ABC的距離是點P到平面ABC距離的23，過點M作一個平面，使其平行于直線PB和ACA．24+1639C．12+839二、多項選擇題7．如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點，矩形對角線的交點為O，M為PB的中點，則()A．OM∥PA B．OM∥平面PCDC．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA8．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知點G，H分別在A1B1，A1C1上，且GH經過△A1B1C1的重心，點E，F分別是AB，AC的中點，且B，C，G，H四點共面，則下列結論正確的是()A．EF∥GHB．GH∥平面A1EFC．GHD．平面A1EF∥平面BCC1B1三、填空題9．設α，β，γ是三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有________．(填序號)10．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，則點Q滿足條件________時，平面D1BQ∥平面PAO.四、解答題11．如圖，四邊形ABCD為長方形，PD＝AB＝2，AD＝4，點E，F分別為AD，PC的中點．設平面PDC∩平面PBE＝l.證明：(1)DF∥平面PBE；(2)DF∥l.12．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別為對角線BD，CD1上的點，且CQQ(1)求證：PQ∥平面A1D1DA；(2)若R是AB上的點，ARAB的值為多少時，能使平面PQR∥平面A1D1DA13．如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形．(1)求證：AB∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍．參考答案1．D[α內有無數條直線與β平行，則平面α與β相交或平行，A錯誤；α，β垂直于同一個平面，則平面α與β相交或平行，B錯誤；α，β平行于同一條直線，則平面α與β相交或平行，C錯誤；α，β垂直于同一條直線，則平面α與β平行，D正確．故選D.]2．D[由中位線定理可知GH∥D1C，因為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，所以BD1，GH不可能互相平行，A錯誤；由中位線定理可知EF∥A1B，因為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，所以BD，EF不可能互相平行，B錯誤；由中位線定理可知EF∥A1B，而直線A1B與平面ABCD相交，故直線EF與平面ABCD也相交，故平面EFGH與平面ABCD相交，C錯誤；由三角形中位線定理可知EF∥A1B，EH∥A1D1，且EF，EH?平面A1BCD1，A1B，A1D1?平面A1BCD1，所以EF∥平面A1BCD1，EH∥平面A1BCD1，而EF∩EH＝E，EF，EH?平面EFGH，因此平面EFGH∥平面A1BCD1.故選D.]3．D[連接AC交BE于點G，連接FG，因為PA∥平面EBF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以PFFC＝AGGC.又AD∥BC，E為AD的中點，所以△AEG∽△CBG，即AGGC＝AEBC＝12，所以4．C[由AB∥α∥β，易得ACCE＝BD即ACAE＝BDBF，所以BD＝AC·BFAE5．D[對于A，由正方體的性質可得MN∥EF∥AC，MN?平面ABC，AC?平面ABC，所以直線MN∥平面ABC，能滿足；對于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方體的性質可得MN∥AD，MN?平面ABC，AD?平面ABC，所以直線MN∥平面ABC，能滿足；對于C，作出完整的截面ABCD，由正方體的性質可得MN∥BD，MN?平面ABC，BD?平面ABC，所以直線MN∥平面ABC，能滿足；對于D，作出完整的截面ABNMHC，如圖，可得MN在平面ABC內，不能得出平行，不能滿足．故選D.]6．B[因為三棱錐P-ABC為正三棱錐，所以△ABC為等邊三角形并且邊長為2，即AB＝AC＝BC＝2.又因為三棱錐P-ABC為正三棱錐，因此過點P作底面ABC的垂線于點O，則點O為△ABC的中心．過點B作AC的垂線于點H.由△ABC為等邊三角形，因此AH＝CH＝1，BH＝22?12＝3，OH＝1在Rt△AHO中，AO＝AH2+OH又因為PO＝2，在Rt△AOP中，AP＝AO2+OP2＝2332+2因為三棱錐P-ABC為正三棱錐，所以△APC，△APB，△BPC均為等腰三角形．又點M到平面ABC的距離為點P到平面ABC距離的23，可取點M為△PH的三等分點(靠近點P過點M作Q1Q2∥AC交PC于點Q1，交PA于點Q2．過點Q1作Q1Q4∥BP交BC于點Q4，過點Q4作Q3Q4∥AC交AB于點Q3，連接Q3Q2.所以Q1Q2∥AC∥Q3Q4，則Q1、Q2、Q3、Q4四點共面．因為Q1Q4∥BP，Q1Q4?平面Q1Q2Q3Q4，BP?平面Q1Q2Q3Q4，所以BP∥平面Q1Q2Q3Q4．同理，直線AC∥平面Q1Q2Q3Q4.所以平面Q1Q2Q3Q4即為過點M且平行于直線PB和AC的平面．利用三角形相似可得，Q1Q2＝Q3Q4＝13AC＝23，Q2Q3＝Q1Q4＝23BP這個平面與三棱錐表面交線的總長為Q1Q2＋Q2Q3＋Q3Q4＋Q1Q4＝2×839＋2×23故選B.]7．BC[由題意知，OM是△BPD的中位線，所以OM∥PD，又PD∩PA＝P，故A不正確；因為PD?平面PCD，OM?平面PCD，所以OM∥平面PCD，故B正確；同理，可得OM∥平面PDA，故C正確；OM與平面PBA相交于點M，故D不正確．故選BC.]8．ABC[因為平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1C1∩平面BCHG＝HG，平面ABC∩平面BCHG＝BC，所以HG∥BC，因為E，F分別是AB，AC的中點，所以EF∥BC，EFBC＝12，所以由選項A可知EF∥GH，因為GH?平面A1EF，EF?平面A1EF，所以GH∥平面A1EF，B正確；因為HG∥BC，B1C1∥BC，所以HG∥B1C1，因為GH經過△A1B1C1的重心，所以GHB1C1＝23，因為B1C1＝BC因為FC＝12AC，AC＝A1C1，所以FC＝12A1C1，因為FC∥A1C1，所以四邊形A1FCC1為梯形，且A1F與CC1為腰，所以A1F與CC1必相交，因為A1F?平面A1EF，CC1?平面BCC1B1，所以平面A19．①或③[由面面平行的性質定理可知，①正確；通過畫圖(圖略)知②錯誤；當n∥β，m?γ時，n和m在同一平面內，且沒有公共點，所以n∥m，③正確．]10．Q為CC1的中點[如圖所示，設Q為CC1的中點，因為P為DD1的中點，所以QB∥PA.連接DB，因為P，O分別是DD1，DB的中點，所以D1B∥PO，又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，PO?平面PAO，PA?平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO.又D1B∩QB＝B，D1B，QB?平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q為CC1的中點時，平面D1BQ∥平面PAO.]11．證明：(1)取PB中點G，連接FG，EG，因為點E，F分別為AD，PC的中點，所以FG∥CB，FG＝12BC因為四邊形ABCD為長方形，所以BC∥AD，且BC＝AD，所以DE∥FG，DE＝FG，所以四邊形DEGF為平行四邊形，所以DF∥GE.因為DF?平面PBE，GE?平面PBE，所以DF∥平面PBE.(2)由(1)知DF∥平面PBE，又DF?平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，所以DF∥l.12．解：(1)證明連接CP并延長，與DA的延長線交于M點，如圖，連接MD1，因為四邊形ABCD為正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以CPPM又因為CQQD1所以PQ∥MD1.又MD1?平面A1D1DA，PQ?平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA.(2)當ARAB的值為35時，能使平面PQR∥平面A1D1如圖，證明如下：因為ARAB＝35，即BRRA＝2又DA?平面A1D1DA，PR?平面A1D1DA，所以PR∥平面A1D1DA，又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR?平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA.13．解：(1)證明：因為四邊形EFGH為平行四邊形，所以EF∥HG.因為HG?平面ABD，EF?平面AB