第2章圖形的軸對稱第3課時等邊三角形的性質與判定2.6等腰三角形基礎過關全練知識點3等邊三角形及其性質1.(2022遼寧鞍山中考)如圖,直線a∥b,等邊三角形ABC的頂

點C在直線b上,∠2=40°,則∠1的度數為

()

A.80°

B.70°

C.60°

D.50°A解析如圖,因為△ABC為等邊三角形,

所以∠A=60°,因為∠A+∠3+∠2=180°,所以∠3=180°-40°-60°=80°,因為a∥b,所以∠1=∠3=80°.故選A.2.(2023甘肅武威中考)如圖,BD是等邊△ABC的邊AC上的高,

以點D為圓心,DB長為半徑作弧交BC的延長線于點E,則∠

DEC=

()

A.20°

B.25°

C.30°

D.35°C解析因為△ABC是等邊三角形,所以∠ABC=60°.因為BD是

AC邊上的高,所以BD平分∠ABC,所以∠CBD=

∠ABC=30°.由作圖痕跡得BD=ED,所以∠DEC=∠CBD=30°,故選C.3.(手拉手模型)(2024北京海淀師達中學期中)如圖,B、C、D

在一條直線上,△ABC和△ADE是等邊三角形,若CE=15,CD=

6,則AC=

.9解析因為△ABC、△ADE是等邊三角形,所以AB=AC,AD=

AE,∠BAC=∠EAD=60°,所以∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠

CAD,即∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中,

所以△BAD≌△CAE(SAS),所以BD=CE=15,所以BC=BD-CD=15-6=9.因為△ABC是等邊三角形,所以AC=

BC=9.4.(2023山東菏澤成武期中)已知:如圖,△ABC為等邊三角形,

AE=CD,AD、BE相交于點P.(1)求證:△ABE≌△CAD.(2)求證:∠BPD=60°.證明(1)因為△ABC為等邊三角形,所以AB=CA,∠ABC=∠BAE=∠ACD=60°,因為AE=CD,所以△ABE≌△CAD(SAS).(2)由(1)知△ABE≌△CAD,所以∠ABE=∠CAD,所以∠BPD=180°-(∠PBD+∠PDB)=180°-(∠PBD+∠C+∠

CAD)=180°-(∠PBD+∠C+∠ABE)=180°-(∠ABC+∠C)=180°

-120°=60°.知識點4等邊三角形的判定5.(新獨家原創)列出幾種三角形:①三條邊都相等的三角形;

②三個角都相等的三角形;③有一個角等于60°的等腰三角

形;④有兩個角等于60°的三角形;⑤三個外角(每個頂點處各

取一個外角)都相等的三角形;⑥一腰上的中線也是這條腰上

的高的等腰三角形.其中是等邊三角形的有

()A.3個

B.4個

C.5個

D.6個D解析根據等邊三角形的定義和判定方法可知,①②③都是

等邊三角形;有兩個角等于60°的三角形,第三個角也等于60°,

所以三個角都相等,④也是等邊三角形;三個外角(每個頂點

處各取一個外角)都相等的三角形,三個內角也相等,⑤也是

等邊三角形;一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形,

如圖,AB=AC,BD是△ABC的邊AC上的中線和高線,因為BD

是△ABC的邊AC上的中線和高線,所以AD=CD,BD⊥AC,所

以AB=BC,又因為AB=AC,所以AB=AC=BC,所以△ABC是等

邊三角形,⑥也是等邊三角形.綜上,是等邊三角形的有6個.6.(2024山東聊城陽谷期中)如圖,△ABC為等邊三角形,BD⊥

AC于點D,DE∥BC交AB于點E.(1)求證:△ADE是等邊三角形.(2)求證:AE=

AB.證明(1)因為△ABC為等邊三角形,所以∠A=∠ABC=∠C=60°.因為DE∥BC,所以∠AED=∠ABC=60°,∠ADE=∠C=60°,所以∠A=∠AED=∠ADE,所以△ADE是等邊三角形.(2)因為△ABC為等邊三角形,所以AB=BC=AC.因為BD⊥AC,所以AD=

AC.因為△ADE是等邊三角形,所以AE=AD,所以AE=

AB.能力提升全練7.(手拉手模型)(2024山東濱州濱城期中,16,★★★)如圖,已

知點B是邊AC上的動點(不與A,C重合),在AC的同側作等邊

△ABD和等邊△BCE,連接AE,CD,得到結論:①△ABE≌△

DBC;②∠CBE=60°;③GF∥AC;④△BFG是等邊三角形;⑤

HB平分∠AHC;⑥AH=DH+BH;⑦CH=BH+EH;⑧∠HGF=∠

HBF;⑨∠HFG=∠GBH;⑩圖中共有2對全等三角形.其中正

確的是

.(填序號)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨解析因為△ABD、△BCE為等邊三角形,所以AB=DB,∠

ABD=∠CBE=60°,BE=BC,所以∠DBE=60°,∠ABE=∠DBC.

在△ABE和△DBC中,

所以△ABE≌△DBC(SAS),①②正確;因為△ABE≌△DBC,所以∠BAE=∠BDC,

在△AGB和△DFB中,

所以△AGB≌△DFB(ASA),所以BG=BF.又因為∠DBF=60°,所以△BFG是等邊三角形,所以∠BGF=60°=∠ABD,所以GF∥AC,③④正確;

因為△ABE≌△DBC,所以AE=DC,所以在△ABE和△DBC中,

AE和邊DC上的高相等,即點B到AE和DC的距離相等,所以

HB平分∠AHC,⑤正確;如圖,在AE上截取AN=DH,連接BN.在

△ABN和△DBH中,

所以△ABN≌△DBH(SAS),所以BN=BH,∠ABN=∠DBH,所以∠ABN+∠DBN=∠

DBH+∠DBN,即∠NBH=∠ABD=60°,所以△BNH是等邊三角形,所以BH=NH,所以AH=AN+NH=DH+BH,⑥正確;如圖,在

CD上截取CM=BH,連接EM.因為∠BAE=∠BDC,∠CHE=∠

BAE+∠BCD,所以∠CHE=∠BDC+∠BCD=∠ABD=60°.因為

HB平分∠AHC,所以∠BHG=∠BHF=60°,所以∠BEH+∠

EBH=∠BCH+∠ECM=60°,因為△ABE≌△DBC,所以∠BCD

=∠BEA,所以∠EBH=∠ECM,在△EBH和△ECM中,

所以△EBH≌△ECM(SAS),所以EM=EH,∠CEM=∠BEH,所以∠BEH+∠BEM=∠CEM+∠BEM=∠BEC=

60°,即∠HEM=60°,所以△EMH是等邊三角形,所以EH=MH,

所以CH=CM+MH=BH+EH,⑦正確;因為∠BHG=∠BFG=60°,

所以∠BEH+∠HBF=∠BEH+∠HGF=60°,所以∠HGF=∠

HBF,所以∠EHC=∠HFG+∠HGF=∠GBH+∠HBF=60°,所

以∠HFG=∠GBH,⑧⑨正確;圖中不只有2對全等三角形,⑩

錯誤.綜上,正確的是①②③④⑤⑥⑦⑧⑨.8.(動點問題)(2024北京師大附屬實驗中學期中,18,★★★)如

圖,在銳角△ABC中,∠A=30°,S△ABC=14,BC=4,點D,E,F分別為

AB,BC,AC上的動點,則△DEF周長的最小值為

.7解析如圖,作點E關于AB的對稱點G,作點E關于AC的對稱

點H,連接GH,交AB于點D,交AC于點F,連接AG,AH,AE,由對

稱性可知GD=DE,EF=FH,AG=AE=AH,∠GAD=∠DAE,∠

EAC=∠HAC,所以△DEF的周長=DE+DF+EF=GD+DF+FH

=GH,∠GAH=∠GAD+∠DAE+∠EAC+∠HAC=2∠DAE+2

∠EAC=2(∠DAE+∠EAC)=2∠BAC=60°,所以△AGH為等邊

三角形,所以GH=AH=AG,所以GH=AE.當AE⊥BC時,AE最短,

此時△DEF的周長最小.因為BC=4,△ABC的面積為14,所以

AE=7,所以△DEF周長的最小值為7.素養探究全練9.(空間觀念)(動點問題)(2020山東煙臺中考)如圖,在等邊三

角形ABC中,點E是邊AC上一定點,點D是直線BC上一動點,以

DE為一邊作等邊三角形DEF,連接CF.【問題解決】如圖1,若點D在邊BC上,求證:CE+CF=CD.【類比探究】如圖2,若點D在邊BC的延長線上,請探究線段

CE,CF與CD之間存在怎樣的數量關系,并說明理由.圖1圖2解析【問題解決】證明:如圖①所示,在CD上截取CH=CE,

連接EH.

圖①因為△ABC是等邊三角形,所以∠ECH=60°,因為CE=CH,所以△CEH是等邊三角形,所以EH=EC=CH,∠CEH=60°.因為△DEF是等邊三角形,所以DE=FE,∠DEF=60°,所以∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°,所以∠DEH=∠

FEC.在△DEH和△FEC中,

所以△DEH≌△FEC(SAS),所以DH=CF,所以CD=CH+DH=CE+CF,即CE+CF=CD.【類比探究】CD+CE=CF.理由如下:因為△ABC是等邊三角形,所以∠A=∠B=60°.如圖②所示,過D作DG∥AB,交AC的延長線于點G,

圖②所以∠GDC=∠B=60°,∠DGC=∠A=60°,所以△GCD為等邊三角形,所以DG=CD=CG.因為△EDF為等邊三角形,所以ED=DF,∠EDF=60°,所以∠EDF=∠GDC,所以∠EDG=∠FDC.在△EGD和△FCD中,

所以△EGD≌△FCD(SAS),所以EG=FC,所以CF=EG=CG+CE=CD+CE,即CD+CE=CF.10.(推理能力)(分類討論思想)如圖,△ABC中,∠ABC=∠ACB,

點D在BC所在的直線上,點E在射線AC上,且AD=AE,連接DE.(1)如圖1,若∠B=∠C=35°,∠BAD=80°,求∠CDE的度數.(2)如圖2,若∠ABC=∠ACB=75°,∠CDE=18°,求∠BAD的度

數.(3)當點D在直線BC上(不與點B、C重合)運動時,試探究∠

BAD與∠CDE的數量關系,并說明理由.圖1

圖2備用圖解析(1)因為∠B=∠C=35°,所以∠BAC=110°,因為∠BAD=80°,所以∠DAE=30°,因為AD=AE,所以∠ADE=∠AED=

×(180°-30°)=75°,所以∠CDE=∠AED-∠C=75°-