專項素養綜合全練(四)用乘法公式解決三類問題類型一巧用乘法公式解決整除問題1.對于任意的正整數m,多項式(4m+5)2-9都能被

整

除.橫線上應填

(

)A.8

B.m

C.m-1

D.2m-1A解析

(4m+5)2-9=(4m+5-3)(4m+5+3)=(4m+2)·(4m+8)=2(2m+

1)·4(m+2)=8(2m+1)(m+2).∴原式可以被8整除.故選A.2.發現:比任意一個偶數大3的數與此偶數的平方差能被3整

除;驗證:(1)92-62的結果是3的幾倍?(2)設偶數為2n,試說明比2n大3的數與2n的平方差能被3整

除.延伸:(3)比任意一個整數大3的數與此整數的平方差的值,被6除的

余數是幾呢?請說明理由.解析

(1)∵92-62=45,45÷3=15,∴92-62的結果是3的15倍.(2)由題意得,偶數為2n,比它大3的數為(2n+3),∴(2n+3)2-(2n)2=4n2+12n+9-4n2=12n+9=3(4n+3).∵4n+3為整數,∴3(4n+3)能被3整除.(3)余數為3.理由:設這個數為n,比n大3的數為n+3,(n+3)2-n2=n

2+6n+9-n2=6n+9=6(n+1)+3.∴6(n+1)+3被6除的余數為3.類型二巧用乘法公式解決規律問題3.觀察下列等式:9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,……,這些

等式反映正整數間的某種規律,設n(n≥1)表示自然數,用關

于n的等式表示這個規律為

(

)A.(n+1)2-n2=2n+1B.(2n+1)2-n2=(3n+1)(n+1)C.(n+2)2-n2=4(n+1)D.(n+2)2-n2=2n+2C解析

9-1=32-12=8=4×2;16-4=42-22=12=4×3;25-9=52-32=16=4×4;36-16=62-42=20=4×5,……依此類推,(n+2)2-n2=4(n+1).故選C.4.(新考向·規律探究試題)(2023浙江嘉興、舟山中考)觀察下

面的等式:32-12=8×1,52-32=8×2,72-52=8×3,92-72=8×4,……(1)寫出192-172的結果.(2)按上面的規律歸納出一個一般的結論(用含n的等式表示,

n為正整數).(3)請運用有關知識,推理說明這個結論是正確的.解析

(1)8×9.(2)(2n+1)2-(2n-1)2=8n.(3)(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n.∴結論正確.5.(新考向·教材拓展探究試題)同學們還記得嗎?下圖是華東

師大版八年級上數學教材第37頁“閱讀材料”中我們研究

過的圖形,受這個圖形的啟發,數學興趣小組提出了以下問

題,請你回答:

(1)(a+b)5的展開式共有

項;(a+b)6的第三項的系數是

.(2)計算與猜想:①計算:25-5×24+10×23-10×22+5×2-1;②猜想:(2x-1)6的展開式中含x3項的系數是

.(3)運用:若今天是星期五,過7天仍是星期五,那么再過86天是

星期

.615-160六解析

(1)6;15.(2)①25-5×24+10×23-10×22+5×2-1=(2-1)5=1.②(2x-1)6=(2x)6-6×(2x)5+15×(2x)4-20×(2x)3+15×(2x)2-6×2x+1,

∴含x3項的系數為-20×23=-160,故答案為-160.(3)86=(7+1)6=76+6×75+15×74+20×73+15×72+6×7+1,∴再過86天

是星期六.故答案為六.6.(2024吉林舒蘭期末)有一系列等式:1×2×3×4+1=52=(12+3×1+1)2;2×3×4×5+1=112=(22+3×2+1)2;3×4×5×6+1=192=(32+3×3+1)2;4×5×6×7+1=292=(42+3×4+1)2;……(1)根據你發現的規律,寫出8×9×10×11+1的結果:

.(2)試猜想n(n+1)(n+2)(n+3)+1是哪一個數的平方,并予以證

明.892解析

(1)8×9×10×11+1=(82+3×8+1)2=892.故答案為892.(2)猜想:n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2.證明如下:等式左邊=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=n4+6n3+11n2+6n+1,等式右邊=(n2+1)2+2·3n·(n2+1)+9n2=n4+2n2+1+6n3+6n+9n2=n4+

6n3+11n2+6n+1,∴左邊=右邊.∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2.類型三巧用乘法公式解決最值問題7.a2(a2-1)-a2+1的值

(

)A.不是負數

B.恒為正數C.恒為負數

D.不等于0A解析∵a2(a2-1)-a2+1=a2(a2-1)-(a2-1)=(a2-1)·(a2-1)=(a2-1)2≥0,

∴a2(a2-1)-a2+1的值不是負數.故選A.8.(2024河南周口太康期中)閱讀理解:①32+42>2×3×4;②32+32=2×3×3;③(-2)2+42>2×(-2)×4;④(-5)2+(-5)2=2×(-5)×(-5).(1)觀察以上各式,你發現它們有什么規律嗎?請用含有a、b

的式子表示上述規律.(2)運用你所學的知識證明你發現的規律.(3)已知a+b=4,求ab的最大值.解析

(1)規律:如果a、b是兩個實數,則有a2+b2≥2ab.(2)證明:∵(a-b)2≥0,∴a2-2ab+b2≥0,∴a2+b2≥2ab.(3)∵a2+b2≥2ab,∴(a+b)2-2ab≥2ab,∴(a+b)2≥4ab,∴ab≤

(a+b)2,∵a+b=4,∴ab≤

×16=4.故ab的最大值是4.9.(新考向·閱讀理解試題)先閱讀下面的內容,再解答問題.例題:求多項式m2+2mn+n2+4的最小值.解:m2+2mn+n2+4=(m2+2mn+n2)+4=(m+n)2+4,∵(m+n)2≥0,∴(m+n)2+4≥4,∴多項式m2+2mn+n2+4的最小值是4.(1)例題的解答過程中把一個二次三項式轉化為一個二項式

的平方運用的公式是

.