微專題3與圓有關的最值問題第二章

直線和圓的方程在某些題目中，已知所求代數式的結構特征具有明顯的幾何意義，可以和直線方程、圓的方程相聯系，我們可以利用直線與圓的方程及解析幾何的有關知識并結合圖形的直觀性來分析解決問題.一、定點到圓上動點距離例1

(1)已知x，y∈R，且圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求(x＋2)2＋(y－2)2的最大值與最小值.解

因為(x－1)2＋(y＋2)2＝4表示以C(1，－2)為圓心，半徑r＝2的圓，連接AC，直線AC與圓C交于A1，A2.即(x＋2)2＋(y－2)2的最大值為49，最小值為9.(2)已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，點A(0，－1)，B(0,1)，設P是圓C上的動點，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值.解

設P(x，y)，則d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.即16≤x2＋y2≤36.∴d的最小值為2×16＋2＝34.最大值為2×36＋2＝74.反思感悟(1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉化為動點(x，y)到定點(a，b)的距離的平方的最值問題.(2)定點到圓上動點距離的最值可以先計算定點到圓心的距離，然后利用數形結合確定距離的最值.二、可轉化為點到直線的距離問題例2

(1)已知x，y滿足x＋2y－5＝0，則(x－1)2＋(y－1)2的最小值為____.解析

(x－1)2＋(y－1)2表示點P(x，y)到點Q(1,1)的距離的平方.由已知可得點P在直線l：x＋2y－5＝0上，所以|PQ|的最小值為點Q到直線l的距離，(2)已知點P(x，y)是圓(x＋2)2＋y2＝1上任意一點，求點P到直線3x＋4y＋12＝0的距離的最大值和最小值.大于半徑r＝1，反思感悟圓上動點到定直線距離的最值可以先計算圓心到直線的距離，然后利用數形結合確定距離的最值.反思感悟圓上動點到定直線距離的最值可以先計算圓心到直線的距離，然后利用數形結合確定距離的最值.三、與斜率、截距有關的最值問題例3已知圓C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)為圓C上任一點.如圖所示，則其最大、最小值分別是過點Q(1,2)的圓C的兩條切線的斜率.對上式整理得kx－y－k＋2＝0，(2)求x－2y的最大值與最小值.解

令u＝x－2y，則u＝x－2y可視為一組平行線，當直線和圓C有公共點時，u的范圍即可確定，且最值在直線與圓相切時取得.反思感悟(1)形如u＝

形式的最值問題，可轉化為過點(x，y)和(a，b)的動直線斜率的最值問題.(2)形如l＝ax＋by形式的最值問題，可轉化為動直線y＝

的截距的最值問題.備用工具&資料備用工具&資料(2)求x－2y的最大值與最小值.解

令u＝x－2y，則u＝x－2y可視為一組平行線，當直線和圓C有公共點時，u的范圍即可確定，且最值在直線與圓相切時取得.三、與斜率、截距有關的最值問題例3已知圓C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)為圓C上任一點.(2)已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，點A(0，－1)，B(0,1)，設P是圓C上的動點，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值.解

設P(x，y)，則d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.即16≤x2＋y2≤36.∴d的最小值為2×16＋2＝34.最大值為2×36＋2＝74.一、定點到圓上動點距離例1

(1)已知x，y∈R，且圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求(x＋2)2＋(y－2)2的最大值與最小值.(2)已知點P(x，y)是圓(x＋2)2＋y2＝1上任意一點，求點P到直線3x＋4y＋12＝0的距離的最大值和最小值.大于半徑r＝1，反思感悟(1)形如(x－a