第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式考試要求：1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinα2．借助單位圓的對稱性推導(dǎo)出π2±α，π±α自查自測知識點(diǎn)一同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式1．判斷下列說法的正誤，正確的打“√”，錯誤的打“×”．(1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.(×)(2)若α∈R，則tanα＝sinαcosα恒成立．((3)sin2α＋cos2α＝1成立的條件是α為銳角．(×)2．若sinα＋cosα＝22，則sinαcosαA．－12 B．－1C．22 B解析：因?yàn)閟inα＋cosα＝22所以(sinα＋cosα)2＝12即sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝12即1＋2sinαcosα＝12所以sinαcosα＝－143．已知sinα＝55，π2＜α≤π，則tanA．－2 B．2C．12 D．－D解析：因?yàn)棣?＜α≤π，所以cosα＝－1?sin2α＝－1?552＝－2核心回扣同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1；商數(shù)關(guān)系：sinαcosαα≠注意點(diǎn)：同角并不拘泥于角的形式，如sin2α2＋cos2α2＝1，sin5xcos5xan5x5x≠k自查自測知識點(diǎn)二誘導(dǎo)公式1．(教材改編題)sin210°cos120°的值為()A．14 B．－3C．－32 A解析：sin210°cos120°＝－sin30°·(－cos60°)＝－12×?122．(教材改編題)已知sinα?π4＝32A．12 B．－1C．32 D．－C解析：sin5π4?α＝sinπ?α?3．化簡cosα?π2sin52sinα解析：原式＝sinαcosα·cosα核心回扣1．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角α＋k·2π(k∈Z)π＋α－απ－απ2－π2＋正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限2.記憶口訣．“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化．“符號”看的是誘導(dǎo)公式中，把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號，而不是α【常用結(jié)論】1．sinα＝±1?cos2α；cosα＝±1?sin2α；(sinα±cosα)2＝12．sin2α＝sin2αsincos2α＝cos2αsin3．sinα＝tanαcosαα≠應(yīng)用1若sinxcosx＝18，則cosx－sinxA．±32C．－32 D．±A解析：因?yàn)?cosx－sinx)2＝1－2sinxcosx＝1－2×18＝34，所以cosx－sinx＝±應(yīng)用2若tanα＝－22，α∈?π2，A．－13 C．－33 B解析：由cos2α＝cos2αsin2α+cos2α＝1tan2α+1，得cos2α＝同角三角函數(shù)關(guān)系的基本應(yīng)用考向1知弦求弦、切或知切求弦【例1】(1)若θ是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且tanθ＝－43，則sinθ－cosθA．15 B．－C．75 D．－C解析：(方法一)由題意，知tanθ＝sinθcosθ＝－43，θ∈(0，π)，故sinθ＞0，cosθ＜0.又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sinθ＝45，cosθ＝－35．所以sin(方法二)因?yàn)閠anθ＝－43＜0，所以θ∈π2，π，故sinθ－cosθ＞0，則(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1－2sinθcosθcos2θ+sin(2)(2024·泰州模擬)已知cosα＝－513，則13sinα＋5tanα＝0解析：因?yàn)閏osα＝－513＜0且cosα≠所以α是第二或第三象限角．①若α是第二象限角，則sinα＝1?cos2α＝1?所以tanα＝sinαcosα＝12此時(shí)13sinα＋5tanα＝13×1213＋5×?②若α是第三象限角，則sinα＝－1?cos2α＝－1?所以tanα＝sinαcosα＝?此時(shí)13sinα＋5tanα＝13×?1213＋5×綜上所述，13sinα＋5tanα＝0.[變式]將本例(1)改為：已知α是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且tanα＝－13，求sinα＋cosα解：由tanα＝－13得sinα＝－13cosα，且sinα＞0，cosα＜將其代入sin2α＋cos2α＝1，得109cos2α所以cosα＝－31010，sinα＝故sinα＋cosα＝－105由一個(gè)角的任一三角函數(shù)值可求出這個(gè)角的另外兩個(gè)三角函數(shù)值，當(dāng)利用“平方關(guān)系”公式求平方根時(shí)，會出現(xiàn)兩解，需根據(jù)角所在的象限判斷三角函數(shù)值的符號，當(dāng)角所在的象限不明確時(shí)，要進(jìn)行分類討論．考向2sinα，cosα的齊次式問題【例2】(1)若tanα＝2，則sinαA．3 B．－3C．85 D．－A解析：因?yàn)閠anα＝2＝sinαcosα，所以cosα≠0，則sin(2)已知tanα＝－34，則sinα(sinα－cosαA．2125 C．45 A解析：sinα(sinα－cosα)＝sin2α－sinαcosα＝sin2α?sinαcosαsin2[變式]本例(1)條件不變，求cos2α＋12sin2α解：cos2α＋12sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝tanα＝2，所以cos2α＋12sin2α＝1+tanα1+tan若已知正切值，求一個(gè)關(guān)于正弦和余弦的齊次式的值，則可以通過分子、分母同時(shí)除以一個(gè)余弦的最高次冪將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于正切的分式，代入正切值就可以求出這個(gè)分式的值．考向3sinα±cosα，sinαcosα之間的關(guān)系【例3】已知sinα＋cosα＝－1713，α∈π，5π4，則A．213 B．－C．713 D．－C解析：因?yàn)閟inα＋cosα＝－1713所以(sinα＋cosα)2＝289169則2sinαcosα＝120169所以sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝49169即(sinα－cosα)2＝49169又α∈π，5π4，所以sinα＞cosα，故sinα所以sinα－cosα＝713對于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα這三個(gè)式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t，則sinαcosα＝t2?12，sinα－cosα＝±2?1．若θ∈(0，π)，tanθ＋1tanθ＝6，則sinθ＋cosA．233 C．±233A解析：因?yàn)閠anθ＋1tanθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝又θ∈(0，π)，則sinθ＞0，cosθ＞0，所以sinθ＋cosθ＞0.所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝43所以sinθ＋cosθ＝232．已知關(guān)于x的方程2x2－bx＋14＝0的兩根為sinθ和cosθ，θ∈π(1)求實(shí)數(shù)b的值；(2)求2sin解：(1)因?yàn)閟inθ，cosθ為關(guān)于x的方程2x2－bx＋14所以Δ=所以(sinθ＋cosθ)2＝b24＝1＋2sinθcosθ＝1＋14＝54，即b24＝54，解得b＝又θ∈π4，3π4，所以sinθ＋cosθ＞(2)因?yàn)棣取师?，3π4，所以sin所以sinθ－cosθ＝sinθ?cosθ2所以2sinθcosθ+1誘導(dǎo)公式的應(yīng)用【例4】(1)若sin(π＋α)＝－12，則sin(4π－αA．12 B．－C．－32B解析：由題知，sinα＝12，所以sin(4π－α)＝－sinα＝－1(2)(2024·泰安模擬)記cos(－80°)＝k，那么tan280°＝()A．1?k2kC．k1?k2B解析：因?yàn)閏os(－80°)＝k，所以sin(－80°)＝－1?k2，所以tan280°＝tan(－80°)＝sin?80°(3)cosα+A．1 B．－1C．sinα D．tanαB解析：原式＝?cosαsin(4)已知cosπ6?α＝23，則sinα?－23解析：sinα?2π3＝sin?π2?1．誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用口訣(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角就終了．(2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少目的到．2．誘導(dǎo)公式的應(yīng)用步驟,任意負(fù)角的三角函數(shù)利用誘導(dǎo)公@式一或三,角的三角函數(shù)利用誘導(dǎo)@公式一,的角的三角函數(shù)利用誘導(dǎo)公式二@或四或五或六,銳角三角函數(shù)1．(2024·寧波模擬)已知tanα＝3，則sinπA．－12C．54B解析：sinπ?α+2cosπ+αsinπ2+α+2．(多選題)在△ABC中，下列等式一定成立的是()A．sinA+B2＝－cosB．sin(2A＋2B)＝－cos2CC．tan(A＋B)＝－tanCD．sin(A＋B)＝sinCCD解析：sinA+B2＝sinπ2?sin(2A＋2B)＝sin[2(π－C)]＝sin(2π－2C)＝－sin2C，故B錯誤；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，故C正確；sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，故D正確．3．已知sinα?π12＝13，則cosα+13解析：由sinα?π12＝13，得cosα+17π124．已知f(α)＝cosπ2+αsin3π12解析：因?yàn)閒(α)＝cosπ2+αsin3π2?αcos?π?α所以f?25π3＝cos?25π[試題呈現(xiàn)]已知3cosx＋4sinx＝5，求tanx的值．[四字程序]讀3cosx＋4sinx＝5，求tanx的值想1.sin2x＋cos2x＝1，tanx＝sinx2．3cosx＋4sinx的最大值為5.3．點(diǎn)A(cosx，sinx)在直線3x＋4y＝5上算1.聯(lián)立3cosx＋4sinx＝5與sin2x＋cos2x＝1.2．3cosx＋4sinx＝5sin(x＋φ)思1.tanx可看作直線的斜率．2．將已知條件變?yōu)?5cosx＋45sin[一題多解]思路參考：解方程組3解：由sin得9消去cosx，整理得(5sinx－4)2＝0，解得sinx＝45，cosx＝3故tanx＝sinxcosx思路參考：注意到3cosx＋4sinx的最大值為5，利用輔助角公式推出x與輔助角的關(guān)系．解：3cosx＋4sinx＝545sinx+35其中cosφ＝45，sinφ＝3所以tanφ＝34所以x＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z所以tanx＝tan2kπ+π2?φ思路參考：令tanx＝t，借助已知條件用t表示sinx和cosx.解：令tanx＝t，即tcosx＝sinx，代入3cosx＋4sinx＝5，得3cosx＋4tcosx＝5，所以cosx＝54t+3，sinx＝5t再代入sin2x＋cos2x＝1，得5t4t+32＋54t+3解得t＝43，即tanx＝4思路參考：設(shè)P(m，n)為角x終邊上任意一點(diǎn)，r＝m2解：設(shè)P(m，n)為角x終邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為r，則r＝m2把sinx＝nr，cosx＝m得3·mr＋4·n即(3m＋4n)2＝(5r)2＝25(m2＋n2)，整理得(4m－3n)2＝0，所以4m＝3n.顯然m≠0，故tanx＝nm＝4思路參考：直線3x＋4y＝5與單位圓x2＋y2＝1相切，設(shè)點(diǎn)A(cosx，sinx)是直線3x＋4y＝5與單位圓x2＋y2＝1的切點(diǎn)，而tanx＝kOA．解：由3cosx＋4sinx＝5，可知點(diǎn)A(cosx，sinx)在直線3x＋4y＝5上，同時(shí)也在單位圓x2＋y2＝1上，且圓心到直線的距離d＝532+42＝1，所以點(diǎn)A由于直線3x＋4y＝5的斜率為－34，所以O(shè)A的斜率為43，即tanx＝思路參考：令m＝(cosx，sinx)，n＝35，45，證明解：因?yàn)?5cosx＋45sinx＝1，不妨令m＝(cosx，sinx)，n＝35，4所以m，n均為單位向量，且m·n＝1.由|m||n|≥|m·n|等號成立的條件為m∥n，得45cosx＝35sinx，即tanx＝課時(shí)質(zhì)量評價(jià)(二十二)1．(多選題)若cos(π－α)＝－12A．sin(－α)＝3B．sinπ2+αC．cos(π＋α)＝－1D．cos(α－π)＝－1CD解析：由cos(π－α)＝－12，得cosα＝12，則sinα＝±A．sin(－α)＝－sinα＝±32B．sinπ2+α＝cosα＝C．cos(π＋α)＝－cosα＝－12D．cos(α－π)＝cos(π－α)＝－12故選CD.2．(2024·冀州模擬)若sin5π2+α＝1A．－25 B．－1C．15 B解析：因?yàn)閟in5π2+α＝sin2π+π2所以cos(π＋α)＝－cosα＝－153．已知角A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，若sinA+B?C2＝sinA?B+C2，則△ABC一定A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形C解析：因?yàn)閟inA+B?C2＝sinA?B+C2，A＋B＋所以sinπ?2C2＝sinπ?2B2，可得cos又因?yàn)锽，C∈(0，π)，所以C＝B，c＝b，則△ABC一定是等腰三角形．4．(多選題)(2024·青島模擬)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝15A．sinθ＝45 B．cosθ＝－C．tanθ＝－34 D．sinθ－cosθ＝ABD解析：由題意知sinθ＋cosθ＝15所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝125所以2sinθcosθ＝－2425＜又因?yàn)棣取?0，π)，所以π2＜θ＜所以sinθ－cosθ＞0，所以sinθ－cosθ＝1?2sinθcosθ＝1??2425＝4925＝75，所以sinθ＝45．已知sin3π2?α＋cos(π－α)＝sinα，則2sin2α－sinαA．2110 C．32 D解析：由誘導(dǎo)公式可得sinα＝sin3π2?α＋cos(π－α)＝－2cosα，所以tanα＝－2，所以2sin2α－sinαcosα6．已知sinπ2+α＝－45，那么tanα·sinα－920解析：因?yàn)閟inπ2+α＝－45，所以cosα＝－45，sin2α＝1－cos2α＝1－1625＝925，所以tanα·7．已知sin?π2?αcos?7π2+α＝1225，且0＜α＜π43545解析：sin?π2?αcos?7π2+α＝－cosα·(－sinα)＝sinαcosα＝1225．因?yàn)?＜α＜π4，所以0＜sinα＜cosα.又因?yàn)閟in2α＋cos8．(2024·長沙模擬)已知sinπ4?α＝35，且π4－α為第二象限角，則sinα?1375解析：因?yàn)閟inπ4?α＝35，且π4－α所以sinα?13π＝sinα+3π＝sinπ4?α＝35－?459．已知α為第三象限角，f(α)＝sinα?(1)化簡f(α)；(2)若cosα?3π2＝15，求解：(1)f(α)＝sin＝?cosα·(2)因?yàn)閏osα?3π2所以－sinα＝15從而sinα＝－15又α為第三象限角，所以cosα＝－1?sin2α所以f(α)＝－cosα＝2610．(2024·鄭州模擬)已知角α∈?π2，0，且tan2α－3tanαsinα－4sin2A．154 C．－34 D．－A解析：因?yàn)閠an2α－3tanαsinα－4sin2α＝0，所以(tanα－4sinα)(tanα＋sinα)＝0.因?yàn)棣痢?π2，0，所以tanα＜0且sinα＜0，所以tanα－4sinα＝0，即sinαcosα＝4sinα，所以cosα＝1所以sin(α＋2023π)＝－sinα＝15411．(數(shù)學(xué)與生活)黑洞原指非常奇怪的天體，它體積小，密度大，吸引力強(qiáng)，任何物體到了它那里都別想再出來．?dāng)?shù)字中也有類似的“黑洞”，任意取一個(gè)數(shù)字串，長度不限，依次寫出該數(shù)字串中偶數(shù)的個(gè)數(shù)、奇數(shù)的個(gè)數(shù)以及總的數(shù)字個(gè)數(shù)，把這三個(gè)數(shù)從左到右寫成一個(gè)新數(shù)字串；重復(fù)以上的工作，最后會得到一個(gè)反復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字，我們稱它為“數(shù)字黑洞”．如果把這個(gè)數(shù)字設(shè)為a，則sinaπA．12 B．－1C．32 D．－D解析：根據(jù)數(shù)字黑洞的定義，任取數(shù)字2021，經(jīng)過第一步之后變?yōu)?14，經(jīng)過第二步之后變?yōu)?23，再變?yōu)?23……所以數(shù)字黑洞為123，即a＝123，所以sinaπ2＝－cosπ6＝－312．(多選題)定義：角θ與φ都是任意角，若滿足θ＋φ＝π2，則稱θ與φ“廣義互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能與角α“廣義互余A．sinβ＝154 B．cos(π＋β)＝C．tanβ＝15 D．tanβ＝15AC解析：因?yàn)閟in(π＋α)＝－sinα＝－14所以sinα＝14，cosα＝±