第六節雙曲線考試要求：1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程．2．了解雙曲線的簡單幾何性質．自查自測知識點一雙曲線的定義1．已知平面內兩定點F1(－3，0)，F2(3，0)，下列條件中滿足動點P的軌跡為雙曲線的是()A．|PF1|－|PF2|＝±7B．|PF1|－|PF2|＝±6C．|PF1|－|PF2|＝±4D．|PF1|2－|PF2|2＝±6C解析：因為兩定點F1(－3，0)，F2(3，0)，所以|F1F2|＝6.由雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||∈(0，6)，所以四個選項的平面內動點P的軌跡中，是雙曲線的是C.2．設P是雙曲線x216－y220＝1上一點，F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點．若|PF1|＝9，則|PF17解析：根據雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝8，因為|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.核心回扣1.平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．2．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數且a＞0，c＞0.(1)當a＜c時，點M的軌跡是雙曲線．(2)當a＝c時，點M的軌跡是以F1，F2為端點的兩條射線．(3)當a＞c時，點M不存在．自查自測知識點二雙曲線的標準方程及幾何性質1．判斷下列說法的正誤，正確的打“√”，錯誤的打“×”．(1)方程x2m－y2n＝1(mn＞0)表示焦點在x軸上的雙曲線．(2)雙曲線方程x2m2－y2n2＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的漸近線方程是x2m2－y2(3)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于2. (√)2．以橢圓x24＋A.x2－y23＝1 B．x23C.x2－y22＝1 D．x2A解析：設所求的雙曲線方程為x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．由橢圓x24＋y23＝1，得橢圓的焦點為(±1，0)，在x軸上的頂點為(±2，0)，所以雙曲線的頂點為(±1，0)，焦點為(±2，0)，所以a＝1，c＝2，所以b2＝c3．漸近線方程為x±y＝0的雙曲線的離心率是()A.22 C．2 D．2C解析：由題意可得ba＝1，所以e＝1+b2a24．雙曲線x224－y225＝－1的實軸長為，離心率為1075y＝±5612x解析：在雙曲線y225－x224＝1中，a＝5，b所以實軸長為2a＝10，離心率e＝ca＝7漸近線方程為y＝±abx＝±56核心回扣雙曲線的標準方程和幾何性質標準方程x2a2(a＞0，b＞0)y2a2(a＞0，b＞0)圖形性質范圍x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點頂點坐標A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)實虛軸實軸|A1A2|＝2a；虛軸|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長漸近線y＝±bay＝±ab離心率e＝ca∈(1，＋∞a，b，c的關系c2＝a2＋b2【常用結論】1．同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦)，其長為2b2a2．與雙曲線x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)有共同的漸近線的方程可表示為x2a3．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.應用1若過雙曲線x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一個焦點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂線交A.3 B．2C．103 D．C解析：如圖．不妨設雙曲線的一個焦點為F(c，0)，漸近線為y＝bax則過點F(c，0)且與直線y＝bax垂直的直線方程為y＝－ab(x－令x＝0，得y＝acb，則acb＝3c，所以ba所以雙曲線的離心率e＝ca＝1+b2a2應用2直線3x＋y＝0是雙曲線x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞23解析：由題意知ba＝3①頂點到漸近線3x＋y＝0的距離為3a3+1＝又雙曲線x2a2－y2b2＝1(a＞所以3a2＋b＝3聯立①②，解得a＝1，b＝3，故虛軸長為23.雙曲線的定義及應用【例1】(1)(2024·青島模擬)在平面直角坐標系中，已知△ABC的頂點A(－3，0)，B(3，0)，其內切圓圓心在直線x＝2上，則頂點C的軌跡方程為()A．x24－y25B．x29－y25C．x29＋y2D．x29＋y2A解析：如圖，設△ABC與圓的切點分別為D，E，F，則有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.根據雙曲線的定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為4的雙曲線的右支(右頂點除外)，即c＝3，a＝2.又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以頂點C的軌跡方程為x24－y25(2)設F1，F2是雙曲線C：x2－y23＝1的兩個焦點，O為坐標原點，點P在C上，且|OP|＝2，則△PF1FA．72 C．52 B解析：由題可得|F1F2|＝4，因為|OP|＝2＝12|F1F2|，所以點P在以F1F2為直徑的圓上，即△F1F2P是以P為直角頂點的直角三角形，故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16.又||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以4＝||PF1|－|PF2||2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16－2|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，所以S△PF1F2＝12|PF1|·|PF(3)已知F是雙曲線x24－y212＝1的左焦點，A(1，4)，P是雙曲線右支上的動點，則|PF|＋|9解析：設雙曲線的右焦點為F1，則由雙曲線的定義，可知|PF|＝4＋|PF1|，則|PF|＋|PA|＝4＋|PF1|＋|PA|，所以當|PF1|＋|PA|最小時，滿足|PF|＋|PA|最小．由雙曲線的圖象，可知當點P在線段AF1上時，滿足|PF1|＋|PA|最小，最小值為|AF1|＝5.故所求的最小值為9.雙曲線定義應用的兩個方面提醒：在應用雙曲線定義時，要注意定義中的條件，明確所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支，若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支．1．一動圓P過定點M(－4，0)，且與已知圓N：(x－4)2＋y2＝16相切，則動圓圓心P的軌跡方程是()A．x24－y212B．x24－y212C．x24－D．y24－C解析：設動圓圓心為P，半徑為r，由題知圓N的圓心為N，半徑為4，且|PN－PM|＝4，即動點P到兩定點的距離之差為常數4，故P在以M，N為焦點的雙曲線上，且2a＝4，2c＝8，所以b＝23，所以動圓圓心P的軌跡方程為x24－2．(2024·溫州模擬)已知雙曲線E：x2m－y23＝1(m＞0)的離心率為2，右焦點為F，動點P在雙曲線右支上，點A(0，1)，則|A．5B．C．22 D．22－2B解析：因為雙曲線E：x2m－y23＝1(m＞0)的離心率為所以a＝1，b＝3，c＝2.設雙曲線E的左焦點為B，則B(－2，0)，又A為(0，1)，所以|PF|－|PA|＝|PB|－2a－|PA|＝|PB|－|PA|－2≤|AB|－2＝22+1當且僅當B，A，P三點共線時，等號成立，所以|PF|－|PA|的最大值為5－2.3．設F1，F2分別是雙曲線C：x24－y25＝1的左、右兩個焦點，O為坐標原點，點P在C上且|OP|＝12|PF1－PF2|，則△A．5 B．10C．52 A解析：由題意得a2＝4，b2＝5，所以c2＝9，即c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)．因為|OP|＝12|PF1－PF2|＝12|F2F設P(x0，y0)，則x解得|y0|＝53則△PF1F2的面積為12|F1F2|×|y0|＝12×6×雙曲線的標準方程【例2】(1)雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a＞A．x2－y23＝1 B．x23C．x2－3y23＝1 D．3xA解析：由e＝ca＝2，得c＝2a，b＝c2?a2＝3a將點(2，3)代入雙曲線的方程，可得2a2－33a2＝1a2＝1，解得a＝1，故b(2)(多選題)已知曲線C：mx2＋ny2＝1，則下列說法正確的是()A．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為nC．若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±?mD．若m＝0，n＞0，則C是兩條直線ACD解析：對于A，當m＞n＞0時，有1n＞1m＞0，方程化為x對于B，當m＝n＞0時，方程化為x2＋y2＝1n，表示圓心為原點，半徑為1對于C，當m＞0，n＜0時，方程化為x21m－y2?1n＝1，表示焦點在x軸上的雙曲線，其中a＝1m，b＝?1n，漸近線方程為y＝±?mnx；當m＜0，n＞0時，方程化為y21n－x2對于D，當m＝0，n＞0時，方程化為y＝±1n，表示兩條平行于x軸的直線，故D求雙曲線的標準方程的方法(1)定義法：由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線，確定2a，2b或2c，從而求出a2，b2.(2)待定系數法：“先定型，再定量”，如果焦點位置不好確定，可將雙曲線方程設為x2m2－y2n2＝λ(提醒：由方程類型討論參數范圍時，要將方程化為標準形式．1．“0＜k＜1”是“方程x2k?1＋y2A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件A解析：若方程表示雙曲線，則(k－1)(k＋2)＜0，得－2＜k＜1，所以“0＜k＜1”是“方程x2k?1＋y22．(2024·連云港模擬)在平面直角坐標系中，已知雙曲線x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為FA．x24－y212＝1 B．C．x23－y2＝1 D．x2－D解析：由方程x2a2得雙曲線的漸近線方程為y＝±bax不妨設點A在直線y＝bax由△OAF是邊長為2的等邊三角形，可得c＝2，直線y＝bax的傾斜角為60°，即ba＝聯立b=3a故雙曲線的標準方程為x2－y2雙曲線的幾何性質考向1雙曲線的漸近線【例3】設F1，F2分別是雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P是C上一點．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1FA．x±2y＝0 B．2x±y＝0C．x±2y＝0 D．2x±y＝0B解析：不妨設點P在雙曲線的右支上，則P所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.因為|F1F2|＝2c＞2a，所以△PF1F2最短的邊是PF2，所以△PF1F2的最小內角為∠PF1F2.在△PF1F2中，由余弦定理得4a2＝16a2＋4c2－2×4a×2c×cos30°，整理得c2－23ac＋3a2＝0，即(c－3a)2＝0，解得c＝3a，所以c2＝3a2.又a2＋b2＝c2＝3a2，則b2＝2a2，所以ba＝2，所以雙曲線的漸近線方程為2x±y求雙曲線的漸近線方程的方法(1)由條件求出a，b的值，根據雙曲線焦點的位置寫出漸近線方程．(2)由條件c2＝a2＋b2得到關于a，b的方程，構造關于ba的方程，通過解方程求b考向2求雙曲線的離心率(范圍)【例4】(1)(2021·全國甲卷)已知F1，F2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為()A．72 B．C．7A解析：設|PF2|＝m，m＞0，則|PF1|＝3m，|PF1|－|PF2|＝2m＝2a.在△F1PF2中，|F1F2|＝m2+9m2即2c＝7m，所以C的離心率e＝ca＝2c2a＝7m(2)(2022·全國甲卷)記雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的離心率為e，寫出滿足條件“直線y＝2x與C無公共點2(滿足1＜e≤5皆可)解析：雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，所以C的漸近線方程為y＝±bax.結合漸近線的特點，只需0＜ba≤2，即可滿足條件“直線y＝2x與C無公共點”，所以e＝ca＝1+b2a2≤1+4＝關于雙曲線離心率(范圍)的求法求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關系轉化為關于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝ca轉化為關于e1．雙曲線x2a2－y2b2＝1(A．π4 B．C．3π4 B解析：因為雙曲線x2a2－y2b2＝1(所以ca＝2，所以ba＝c2?a所以此雙曲線的漸近線的斜率為±3，所以此雙曲線的漸近線的傾斜角是π3或22．已知F1，F2分別是雙曲線x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，過點F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，A．(1，3)B．(3，22)C．(1＋2，＋∞)D．(1，1＋2)D解析：依題意，得|AF1|＝|BF1|＝b2a且0＜∠AF2F1＜π4，故0＜tan∠AF2F1＜1，則b2a2c＝c2?a22ac＜1，即e2－2e－1＜0，解得1－2＜e＜1＋課時質量評價(五十一)1．“k＜9”是“方程x225?k＋y2A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A解析：若方程x225?k＋則(25－k)(k－9)＜0，所以k＜9或k＞25，所以“k＜9”是“方程x225?k＋y22．雙曲線x22－y24＝λA．62 B．C．3或62 D．B解析：因為λ＞0，所以x22λ－y24λ＝1，所以雙曲線的焦點在x軸上，所以a2＝2λ，b2＝4λ，c2＝a2＋b2＝6λ，所以離心率為e＝ca＝c3．已知雙曲線C：x2a2－y216＝1(a＞0)的一條漸近線方程為4x＋3y＝0，F1，F2分別是雙曲線C的左、右焦點，點P在雙曲線C上，且|PFA．1 B．13C．17 D．1或13B解析：由題意知雙曲線x2a2－y216＝1(a＞0)的一條漸近線方程為4x＋3y＝0，可得4a＝43，解得a＝3，所以c＝a2+b2＝5.又F1，F2分別是雙曲線C的左、右焦點，點P在雙曲線上，所以||PF1|－|PF2||＝2a＝6.又|PF1|＝7，解得|PF2|＝13或1.當|PF2|＝1時，|4．(2024·朝陽模擬)過雙曲線x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為A.若∠AFOA．52 B．C．2 D．23B解析：在Rt△AFO中，因為∠AFO＝2∠AOF，所以∠AOF＝30°，則tan30°＝ba＝33，所以e＝ca＝1+ba5．(多選題)(2024·聊城模擬)已知雙曲線C：x29?k＋y2A．雙曲線C的焦點在x軸上B．雙曲線C的焦距等于42C．雙曲線C的焦點到其漸近線的距離等于1?kD．雙曲線C的離心率的取值范圍為1ACD解析：對于A，因為0＜k＜1，所以9－k＞0，k－1＜0，所以雙曲線C：x29?k－y21?k＝1(0＜k對于B，由A知a2＝9－k，b2＝1－k，所以c2＝a2＋b2＝10－2k，所以c＝10?2k，所以雙曲線C的焦距等于2c＝210?2k(0＜k＜1)，故選項B錯誤；對于C，設焦點在x軸上的雙曲線的方程為x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，焦點坐標為(±c，0)，則漸近線方程為y＝±bax，即bx±ay＝0，所以焦點到漸近線的距離d＝bca2+b2＝b，所以雙曲線對于D，雙曲線C的離心率e＝1+b2a2＝1+1?k9?k＝2?89?k，因為0＜k＜1，所以1＜2－6．(2021·新高考全國Ⅱ卷)已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的離心率y＝±3x解析：因為雙曲線x2a2－y2b2＝1(所以e＝c2a2＝a所以b2所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±bax＝±3x7．(2023·新高考全國Ⅰ卷)已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2.點A在C上，點B在y軸上，F1A⊥F1B，F2A＝－23F355解析：(方法一)如圖，設F1(－c，0)，F2(c，0)，B(0，n)，A(x，y)，則F2A＝(x－c，y)，F2B＝(－c，又F2A＝－23F2B，則可得A53又F1A⊥F1B，且F1A＝83c，?23n，F1B＝(c，n)，則F1A·F1B＝83c2－23又點A在C上，則259c2a2－4將n2＝4c2代入，可得25c2a2－16c2解得e2＝95或e2＝15(舍去)，故e＝(方法二)由F2A＝－23F2B，得F2A設|F2A|＝2t，|F2B|＝3t，由對稱性可得|F1B|＝3t，則|AF1|＝2t＋2a，|AB|＝5t.設∠F1AF2＝θ，則sinθ＝3t5t＝35，所以cosθ＝45＝2t+2a5t，解得所以|AF1|＝2t＋2a＝4a，|AF2|＝2a.在△AF1F2中，由余弦定理可得cosθ＝16a2+4a2?4c216a2＝48．已知雙曲線C：x2－y2b2＝1((1)若雙曲線C的一條漸近線方程為y＝2x，求雙曲線C的標準方程；(2)設雙曲線C的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線C上，若PF1⊥PF2，且△PF1F2的面積為9，求b的值．解：(1)因為雙曲線C：x2－y2b2＝1(b＞0)的漸近線方程為y＝±bx，而它的一條漸近線方程為y所以b＝2，所以雙曲線C的標準方程為x2－y2(2)因為PF1⊥PF2，所以S△PF1F2＝12|PF1因為△PF1F2的面積為9，所以|PF1|·|PF2|＝18.又因為||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4，所以|PF1|2＋|PF2|2＝40.又因為|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10.由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10，所以b＝3.9．已知雙曲線C1：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，圓C2：x2＋y2－2ax＋34a2＝0，若雙曲線C1A．1，23C．(1，2) D．(2，＋∞)A解析：由雙曲線C1的方程可得其漸近線方程為y＝±bax，即bx±ay圓C2：x2＋y2－2ax＋34a2＝0可化為(x－a)2＋y2＝14a故圓心C2的坐標為(a，0)，半徑r＝12a由雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個不同的交點，得aba2+b2＜12a，即c＞2b又b2＝c2－a2，所以c2＞4(c2－a2)，即c2＜43a2所以e＝ca又e＞1，所以雙曲線C1的離心率的取值范圍為1，10．(多選題)(新背景)2022年卡塔爾世界杯的會徽(如圖)正視圖近似伯努利雙紐線．定義：在平面直角坐標系中，把到定點F1(－a，0)，F2(a，0)的距離之積等于a2(a＞0)的點的軌跡稱為雙紐線C.已知P(x0，y0)是雙紐線C上的一點，下列說法正確的是()A．雙紐線C關于原點O成中心對稱B．－a2≤y0≤C．雙紐線C上滿足|PF1|＝|PF2|的點P有兩個D．|OP|的最大值為2aABD解析：對于A，因為定義：在平面直角坐標系中，把到定點F1(－a，0)，F2(a，0)的距離之積等于a2(a＞0)的點的軌跡稱為雙紐線C，設M(x，y)是雙紐線C上任意一點，所以x+a2+y2用M′(－x，－y)替換方程中的M(x，y)，原方程不變，所以雙紐線C關于原點O成中心對稱，所以A正確；對于B，根據三角形的等面積法可知12×|PF1|×|PF2|sin∠F1PF2＝12×2a×|y即|y0|＝a2sin∠F1PF2≤a2，所以－a2≤y0對于C，若雙紐線C上的點P滿足|PF1|＝|PF2|，則點P在y軸上，即x0＝0，所以a2+y02×a2+對于D，因為PO＝12(PF1＋PF2所以|PO|2＝14(|PF1|2＋2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＋|PF2|2由余弦定理得4a2＝|PF1|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＋|PF2|2，所以|PO|2＝a2＋|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝a2＋a2cos∠F1PF2≤2a2，所以|PO|的最大值為2a，所以D正確．11．(2024·內江模擬)已知雙曲線x2－y2a2A．213，+∞C．(1，2) D．以上選項均不正確D解析：設切線方程為y－2＝k(x－2)，由y?2=k得(a2－k2)x2＋4k(k－1)x－4(k－1)2－a2＝0，顯然當a2－k2＝0時，所得直線不是雙曲線的切線，所以k≠±a.由Δ＝0，得16k2(k－1)2＋4(a2－k2)[4(k－1)2＋a2]＝0，整理得3k2－8k＋4＋a2＝0.由題意可知此方程有兩個不等實根，所以Δ1＝64－12(4＋a2)＞0，a2＜43則c2＝1＋a2＜73(c為雙曲線的半焦距)，e＝c1＝c＜213，即1＜e將k＝±a代入方程3k2－8k＋4＋a2＝0，得a＝±1，此時e＝2.綜上，e的取值范圍是(1，2)∪2，12．已知焦點在x軸上的雙曲線x28?m＋y2(0，2)解析：對于焦點在x軸上的雙曲線x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，它的焦點(c，0)到漸近線bx－ay＝0的距離為bcb2+a2＝b.雙曲線x28?m＋y24?m＝