第05講6.2.4向量的數量積課程標準學習目標①了解向量數量積的物理背景，即物體在力F的作用下產生位移s所做的功。②掌握向量數量積的定義及投影向量。③會計算平面向量的數量積。④會利用向量數量積的有關運算律進行計算或證明。1.通過閱讀課本在向量前面知識學習的基礎上進一步了解向量數量積的物理背景，即物體在力F的作用下產生位移s所做的功；2.理解和掌握向量數量積的定義與投影向量的概念與意義；3.在認真學習的基礎上，深刻掌握平面向量數量積的意義，為后續學習空間向量數量積打好基礎；4.平面向量是數量積運算是平面向量運算的核心，對于提升數學運算能力，和邏輯推理能力有著十分重要的作用；5.熟練運用會利用向量數量積的有關運算律進行計算或證明，以及實際應用有著十分重要的作用.知識點01：平面向量數列積的物理背景如圖,一個物體在力F的作用下產生了位移s,且力F與位移s的夾角為，那么力F所做的功.其中是F在物體位移方向上的分量的數量,也就是力F在物體位移方向上正投影的數量.從物理角度來看數量積的意義,有利于理解數量積的概念,兩個向量的數量積可以運算,其結果是一個數量.知識點02：向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量,,是平面上的任意一點,作,,則叫做向量與的夾角.(2)向量的夾角范圍.(3)特殊情況：①，與同向；②，與垂直，記作；③，與反向.【即學即練1】（2023下·甘肅蘭州·高一統考期末）等邊三角形中，與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：延長到，則為與的夾角，所以，與的夾角為．

故選：C．知識點03：平面向量數量積的概念（1）平面向量數量積的定義已知兩個非零向量與,它們的夾角為,我們把數量叫做向量與的數量積(或內積).記作：，即.規定：零向量與任一向量的數量積為0特別提醒:（1）“·”是數量積的運算符號,既不能省略不寫,也不能寫成“×”；(2)數量積的結果為數量,不再是向量；(3)向量數量積的正負由兩個向量的夾角決定:當是銳角時,數量積為正；當是鈍角時,數量積為負；當是直角時,數量積等于零.【即學即練2】（2023上·陜西漢中·高三校聯考階段練習）在中，，，則.【答案】【詳解】根據題意易得為等腰直角三角形，,則，故答案為：（2）投影如圖,設,是兩個非零向量,,,作如下變換:過的起點和終點,分別作所在直線的垂線,垂足分別為,,得到,我們稱上述變換為向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.特別提醒:①為向量在上的投影的數量；②為向量在上的投影的數量；③投影的數量（）是一個值，不是向量.【即學即練3】（2023下·甘肅天水·高一天水市第一中學校考階段練習）已知，，且，則向量在向量上的投影數量為.【答案】【詳解】因為，所以，又因為，，所以，所以向量在向量上的投影數量為，故答案為：.知識點4：平面向量數量積的性質設,是非零向量,它們的夾角是,是與方向相同的單位向量,則①.

②.③當與同向時,；④當與反向時,；⑤或；⑥；⑦.知識點5：向量數量積的運算律①交換律：②對數乘的結合律：③分配律：④⑤題型01平面向量數量積有關的定義及辨析【典例1】（2022上·河北邯鄲·高二校考期中）若均為非零向量，則是與共線的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件【答案】A【詳解】一方面：由，可得，此時與共線;另一方面：由與共線，可得或，此時有或，即此時不一定成立.結合以上兩方面有是與共線的充分不必要條件.故選：A.【典例2】（多選）（2023上·四川成都·高二成都七中校考期中）下列說法正確的是（

）A．對任意向量，都有B．若且，則C．對任意向量，都有D．對任意向量，都有【答案】AD【詳解】，，可得，故選項A正確；由可得，又，可得或，故選項B錯誤；,所以不一定成立，故選項C錯誤；由向量數量積運算的分配律可知選項D正確；故選：AD.【變式1】（2023下·上海黃浦·高一上海市敬業中學校考階段練習）已知平面上有三個點A，B，C，則命題“A，B，C可以構成一個A為鈍角的鈍角三角形”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】當A，B，C可以構成一個A為鈍角的鈍角三角形時，，從而命題“A，B，C可以構成一個A為鈍角的鈍角三角形”是“”的充分條件，當三個點A，B，C共線且時，滿是，但是A，B，C不能構成三角形，從而命題“A，B，C可以構成一個A為鈍角的鈍角三角形”不是“”的不必要條件.故選：A【變式2】（多選）（2023下·四川樂山·高一期末）已知平面向量，，，則下列說法正確的是（

）A． B．C．若，，則 D．，則【答案】BD【詳解】對于A：表示與共線的一個向量，表示與共線的一個向量，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：因為，即，又，所以，即向量與在向量方向上的投影相同，故C錯誤；對于D：若，則，即，所以，則，故D正確；故選：BD題型02平面向量數量積的幾何意義【典例1】（2022下·河南南陽·高一校考階段練習）已知是邊長為2的正三角形，則向量在上的投影數量是．【答案】【詳解】向量在上的投影數量為，故答案為：【典例2】（2023·山西·校考模擬預測）美術課對于陶冶人的情操?發展學生的藝術興趣和愛好?培養學生的藝術特長?提高學生的審美素養具有積極作用.如圖，這是某學生關于“杯子”的聯想創意圖，它是由一個正方形和三個半圓組成的，其中，是正方形的兩個頂點，是三段圓弧上的動點，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】如圖，作，垂足分別為，且與左半圓相切，切點為與右半圓相切，切點為.，其中為在上的投影，因為，所以.當與重合時，最大，最大值為，此時取得最大值，最大值為；當與重合時，最小，最小值為，此時取得最小值，最小值為；故的取值范圍是，故選：B【變式1】（2023下·山東青島·高一統考期中）已知點是邊長為2的正的內部（不包括邊界）的一個點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖所示：因為點是邊長為2的正的內部（不包括邊界）的一個點，由圖象知：，所以，故選；C題型03用定義法求向量數量積【典例1】（2023上·山西·高二統考學業考試）已知等邊三角形的邊長為1，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，且向量與的夾角為，所以，故選：C．【典例2】（2023上·上海楊浦·高三上海市控江中學校考期中）如圖所示，兩塊斜邊長均等于的直角三角板拼在一起，則的值為.

【答案】【詳解】根據題意可知，，；所以可得，即的值為.故答案為：【變式1】（2023上·山東濰坊·高三校考期中）已知，則（

）A． B．-24 C． D．16【答案】A【詳解】解：因為，所以.故選：.【變式2】（2023上·浙江·高二校聯考階段練習）已知，，，則.【答案】0【詳解】由題意.故答案為：0.題型04已知數量積求模【典例1】（2023·四川涼山·統考一模）已知平面向量，滿足，，則（

）A． B． C．3 D．【答案】C【詳解】因為，，所以，即.故選：C【典例2】（2023上·廣東佛山·高三校考階段練習）已知向量，滿足，，與的夾角為，則．【答案】/【詳解】由題意得，故，故答案為：【變式1】（2023上·湖北·高二湖北省紅安縣第一中學校聯考階段練習）已知，，，的夾角為，則（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【詳解】因為，，，的夾角為，所以，解得，，故選：C.【變式2】（2023上·湖北·高三校聯考階段練習）已知向量，滿足，且，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，因為，所以，解得，.故選：D題型05向量夾角問題【典例1】（2023上·北京海淀·高三北大附中校考階段練習）已知向量，，滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設，因為，，可知三點不共線，且既是的重心也是的外心，所以為等邊三角形，則，所以.故選：C.【典例2】（2024上·貴州黔東南·高三天柱民族中學校考階段練習）已知向量，，，則.【答案】【詳解】由可得，即，即，所以，又，所以.故答案為：【典例3】（2023上·北京·高三101中學校考階段練習）已知，，，若與的夾角為銳角，則實數t的取值范圍是．【答案】【詳解】因為與的夾角為銳角，又，所以，又，，，所以，解得，又因，當時，也滿足，此時不合題意，當與共線同向時，有，從而得到，解得，又，所以實數t的取值范圍是，故答案為：.【變式1】（2024上·江西·高三校聯考階段練習）已知平面向量、滿足，若，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，且，所以，即，所以，設與的夾角為，則，因為，所以，即與的夾角為.故選：D【變式2】（2023·河北邯鄲·統考模擬預測）已知非零向量滿足，則向量夾角的余弦值為．【答案】【詳解】因為且為非零向量，設，則，又，所以，則，解得，設向量的夾角為，則，即向量夾角的余弦值為.故答案為：【變式3】（2023上·北京懷柔·高三北京市懷柔區第一中學校考階段練習）已知平面向量，滿足，與的夾角為，若與的夾角為鈍角，則一個滿足條件的的值可以為．【答案】（答案不唯一，只要滿足即可）【詳解】因為，與的夾角為，所以，因為與的夾角為鈍角，所以且這兩個向量不共線，，解得，當時，存在唯一實數，使得，所以，所以，又不共線，所以，綜上所述，，所以滿足條件的的值可以為.故答案為：.（答案不唯一，只要滿足即可）題型06向量垂直關系【典例1】（2024上·浙江·高三舟山中學校聯考開學考試）已知向量，，，，與的夾角為120°，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，，與的夾角為，所以.由，得，解得.故選:C.【典例2】（2023下·河南省直轄縣級單位·高一河南省濟源第一中學校考階段練習）已知，，與的夾角是.(1)計算；(2)當k為何值時，？【答案】(1)(2)【詳解】（1），，與的夾角是，則，即有；（2）由可得，即，即，解得.則當k為時，；、綜上，（1），（2）.【變式1】（2023上·河南·高三校聯考階段練習）已知平面向量為單位向量，且，則在方向上的投影向量的坐標為.【答案】【詳解】由題意可知，，因為，所以，解得，則則在方向上的投影向量的坐標為，故答案為：【變式2】（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）已知是非零向量，，，在方向上的投影向量為，則．【答案】【詳解】已知是非零向量，，由，有，可得，在方向上的投影向量為，則有，得，由，所以．故答案為：題型07已知模求數量積【典例1】（2022上·陜西安康·高二校考期末）設向量，滿足，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A【詳解】由，得，由，得，兩式相減得，所以.故選：A【典例2】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習）已知向量、滿足，，且與夾角的余弦值為，則（

）A． B． C． D．12【答案】A【詳解】依題意，，所以.故選：A【變式1】（2023上·安徽·高三校聯考階段練習）已知向量滿足，且，則的值為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【詳解】因為所以，即，則，.故選：B．【變式2】（2023上·安徽·高三校聯考階段練習）設向量和滿足，，則的值為.【答案】2【詳解】因為，所以，，所以.故答案為：2題型08已知模求參數【典例1】（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）已知平面向量，，的夾角為，，則實數（

）A． B．1 C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，即，解得.故選：A.【典例2】（2022·福建·高三專題練習）已知，，且關于的方程有實根，則與的夾角的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為關于的方程有實根，所以，所以，，所以，即與的夾角的取值范圍是.故選：B.【變式1】（2023下·廣東揭陽·高一校聯考期中）已知向量，若與的夾角為；若與的夾角為鈍角，則取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】與的夾角為鈍角，，又與的夾角為，所以，即，解得，又與不共線，所以，所以取值范圍為.故選：D【變式2】（2023·全國·模擬預測）已知平面向量滿足，則實數的值為．【答案】1或【詳解】將兩邊平方，得，得，即，解得或．故答案為：或.題型09向量的投影【典例1】（2023上·陜西西安·高二高新一中校考階段練習）已知向量不共線，滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，即，得，則在方向上的投影向量為.故選：D【典例2】（2023上·江蘇無錫·高三校聯考階段練習）已知向量，在方向上的投影向量為，則.【答案】【詳解】因為在方向上的投影向量為，，所以，即，所以.故答案為：.【典例3】（2023上·河北滄州·高三校聯考階段練習）已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以外接圓圓心為的中點，即為外接圓的直徑，如圖，又，所以為等邊三角形，則，故，所以向量在向量上的投影向量為．故選：B．【變式1】（2023上·浙江·高二校聯考期中）已知向量與單位向量的夾角為，且，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】在方向上的投影向量為，故選：D.【變式2】（2023上·江蘇淮安·高三校聯考期中）若向量，滿足，，且在上的投影向量為，則.【答案】3【詳解】在上的投影向量為，因為，所以，所以，故答案為：3.【變式3】（2023·貴州六盤水·統考模擬預測）已知是相互垂直的單位向量.若向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為是相互垂直的單位向量，所以，.又，，所以，所以，又，所以向量在向量上的投影向量為.故選：B題型10利用平面向量數量積求最值【典例1】（2023上·陜西榆林·高三榆林市第一中學校聯考階段練習）已知非零向量，滿足，且，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【詳解】因為，所以，當且僅當時，等號成立.故選：B【典例2】（2023上·福建莆田·高三莆田第十中學校考期中）如圖，在等腰直角三角形中，斜邊，為線段上的動點（包含端點），為的中點．將線段繞著點旋轉得到線段，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】連接,則,當時，最小，可求得，結合，得的最小值為，故選：【典例3】（2023上·天津·高三校聯考期中）折扇又名“撒扇”、“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖1．其展開幾何圖是如圖2的扇形，其中，，，點在上（包含端點），則的取值范圍是．【答案】【詳解】設是的中點，連接，由于，所以三角形和三角形是等邊三角形，則四邊形是菱形，則，，由于，所以，所以，所以的取值范圍是故答案為：【典例4】（2023·上海崇明·統考一模）已知不平行的兩個向量滿足，．若對任意的，都有成立，則的最小值等于．【答案】【詳解】依題意，設與的夾角為，，因為，，所以，即，則，所以，因為對任意的，都有成立，所以，即，即對于恒成立，故，又，解得，綜上，，則的最小值為.故答案為：.【變式1】（2023下·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學校考期末）已知向量滿足，在方向上的投影向量為，則的最小值為【答案】2【詳解】由題意得，即，由于，設之間的夾角為，即，故，則，當時，等號成立，故最小值為2.故答案為：2【變式2】（2023上·江蘇揚州·高三統考階段練習）已知在中，，，，為線段上任意一點，則的取值范圍是．【答案】【詳解】設，，則，故，因為，所以，故，.故答案為：【變式3】（2023上·北京順義·高三校考階段練習）已知向量，，，與的夾角為，則，當的值最小時，實數x的值為．【答案】【詳解】由向量，滿足，，且與的夾角為，可得，則，又由，根據二次函數性質，可得當時，取得最小值.故答案為：；.【變式4】（2023上·福建·高三校聯考期中）如圖，AB是圓O的一條直徑，且．C，D是圓O上的任意兩點，．點P在線段CD上，則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意知，連接，為的中點，則，，所以，又，所以圓心O到直線CD的距離為，又點P在線段CD上，所以，則，所以，即的取值范圍為.故選：D.

A夯實基礎B能力提升C綜合素養A夯實基礎一、單選題1．（2023上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學校聯考期中）已知單位向量滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，所以．故選：C2．（2023上·廣東東莞·高二東莞市東華高級中學校考期中）已知空間向量，滿足，，，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【詳解】因為，，，所以，所以.故選：C3．（2023上·陜西榆林·高三校考期中）若平面向量，滿足，，且，則向量與夾角的大小是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設向量與的夾角是，則．又因為，所以．故選：A．4．（2023上·江西·高三校聯考階段練習）已知為單位向量，向量與向量的夾角為，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知，所以向量在向量上的投影向量為:.故選:B.5．（2023·安徽·校聯考一模）在三角形中，，，，則（

）A．10 B．12 C． D．【答案】A【詳解】記，則，，，．故選：A.6．（2023上·河南·高三安陽縣高級中學校聯考階段練習）已知非零向量滿足，且，則的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由已知可得，即，又因為，所以，所以夾角為.故選：C7．（2024·全國·高三專題練習）設點，，在上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】令，因為，所以，即，所以，解得，又，所以，所以，同理可得，是等邊三角形，所以，故選：C8．（2023·江西景德鎮·統考一模）人們把蜂房譽為自然界最奇異的建筑，蜂房是由許許多多的正六棱柱組成，一個挨著一個，緊密地排列，沒有一點空隙.人們一直疑問，蜜蜂為什么不讓其巢室呈三角形、正方形或其他形狀呢？雖然蜂窩是一個三維體建筑，但每一個蜂巢都是六面柱體，而蜂蠟墻的總面積僅與蜂巢的截面有關.由此引出一個數學問題，即尋找面積最大、周長最小的平面圖形.1943年，匈牙利數學家陶斯（Laszlo

Fejes

Toth）證明了，在所有首尾相連的正多邊形中，正六邊形的周長是最小的.1999年，黑爾斯證明了周邊是曲線時，無論曲線是向外凸還是向內凹，由正六邊形組成的圖形周長都是最小的.如圖是一個邊長為2的正六邊形ABCDEF，則（

）A．4 B． C． D．【答案】A【詳解】因為是邊長為的正六邊形，所以，，，則.故選：A二、多選題9．（2023上·四川成都·高二成都七中校考期中）下列說法正確的是（

）A．對任意向量，都有B．若且，則C．對任意向量，都有D．對任意向量，都有【答案】AD【詳解】，，可得，故選項A正確；由可得，又，可得或，故選項B錯誤；,所以不一定成立，故選項C錯誤；由向量數量積運算的分配律可知選項D正確；故選：AD.10．（2023·全國·高三專題練習）下列說法錯誤的是（

）A．在等腰直角三角形ABC中，若A為直角，則的夾角為45°.B．由可得或.C．向量在向量上的投影向量是一個向量，而向量在向量上的投影是一個數量.D．對于非零向量，，“”是“與的夾角為銳角”的充分不必要條件．【答案】ABD【詳解】A選項，角B為45°，的夾角為B的補角，為135°，故A錯誤；B選項，當時，，故B錯誤；C選項，“投影向量”是向量，“投影”是數量，故C正確；D選項，當向量同向時，，與的夾角為銳角不成立；當與的夾角為銳角時，.所以“”是“與的夾角為銳角”的必要不充分條件，故D錯誤；故選：ABD.三、填空題11．（2023上·北京海淀·高三中關村中學校考階段練習）已知向量滿足與的夾角為，則，若，則實數．【答案】33【詳解】因為與的夾角為，所以；因為，所以，即，故，得故答案為：；12．（2023上·重慶·高三西南大學附中校考期中）已知向量，，，，與的夾角為，則的值最小時，實數的值為.【答案】/0.2【詳解】，由于，故當時，此時取最小值，故答案為：四、解答題13．（2023下·江蘇鎮江·高一校聯考階段練習）已知在中，N是邊AB的中點，且，設AM與CN交于點P.記，.

(1)用，表示向量，；(2)若，，求的余弦值.【答案】(1)，；(2)【詳解】（1），；（2）因為，所以，因為，，所以，把代入式，得，.14．（2023上·天津河西·高三統考期中）如圖，中，是的中點，與交于點.

(1)用表示；(2)設，求的值；(3)若，求的最大值.【答案】(1)(2)(3).【詳解】（1）.（2）因為三點共線，所以，解得.（3），由（1）可知，所以，得，則，所以所以的最大值為.B能力提升1．（2023·全國·模擬預測）已知單位向量，的夾角為，向量，，，向量，的夾角的余弦值為，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】由題意，得，所以，．而，所以．整理，得，解得或（舍去）．故選：C．2．（2023上·山東淄博·高三統考期中）已知O為的外心，且．若向量在向量上的投影向量為，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【詳解】，，即，又O為的外心，則,,則即，且O為斜邊的中點，過作的垂線，垂足為，向量在向量上的投影向量為，，.故選：D.3．（2023上·上海·高三上海市大同中學校考期中）已知A，B是平面內兩個定點，且，點集.若M，，則向量、夾角的余弦值的取值范圍是．【答案】【詳解】因為，點集，