專題14計數原理、隨機變量及其分布第44練離散型隨機變量1．(2023·湖南懷化·一模）已知的分布列如下表：012P？!？其中，盡管“!”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數值相同.據此計算，下列各式中：①；②；③，正確的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．(2023·四川·成都七中三模（理））一個袋中有m個紅球，n個白球，p個黑球（，），從中任取1個球（每球取到的機會均等），設表示取出的紅球個數，表示取出的白球個數，則A． B．C． D．3．(2023·湖南·模擬）第24屆冬季奧林四克運動會于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉行．某特許產品100件，其中一等品98件，二等品2件，從中不放回的依次抽取10件產品（每次抽取1件）．甲表示事件“第一次取出的是一等品”，乙表示事件“第二次取出的是二等品”，記取出的二等品件數為X，則下列結論正確的是（

）A．甲與乙相互獨立 B．甲與乙互斥C． D．4．(2023·浙江·湖州市菱湖中學模擬）設，隨機變量的分布列為X012Pb則當在內增大時（

）A．增大 B．減小 C．先減小后增大 D．先增大后減小5．(2023·浙江·紹興一中模擬）已知袋中有大小相同、質地均勻的黑色小球m個和白色小球個，從中任取3個，記隨機變量為取出的3個球中黑球的個數，則（

）A．都與m有關 B．與m有關，與m無關C．與m無關，與m有關 D．都與m無關6．(2023·河北·石家莊二中模擬）已知袋子中有除顏色外完全相同的4個紅球和8個白球，現從中有放回地摸球8次（每次摸出一個球，放回后再進行下一次摸球），規定每次摸出紅球計3分，摸出白球計0分，記隨機變量表示摸球8次后的總分值，則（

）A．8 B． C． D．167．(2023·云南·一模（理））在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運動員罰球命中的概率為0.7，設隨機變量表示該運動員罰球1次的得分，則隨機變量的數學期望__________.8．(2023·安徽·合肥市第八中學模擬（理））已知隨機變量X的分布列為：X1234Pp其中，隨機變量X的期望為，則當取得最小值時，_________．9．(2023·浙江省杭州學軍中學模擬）袋子中有6個大小相同的黑球，5個同樣大小的白球，現從中任取4個球，取出一個黑球記0分，取出一個白球記1分，表示取出的4個球的得分之和，求的數學期望______（數字作答）10．(2023·江蘇常州·模擬）設隨機變量的分布列如下：12345678910P且數列滿足，則______________．1．(2023·河南·模擬（理））小林從A地出發去往B地，1小時內到達的概率為0.4，1小時10分到達的概率為0.3，1小時20分到達的概率為0.3.現規定1小時內到達的獎勵為200元，若超過1小時到達，則每超過1分鐘獎勵少2元.設小林最后獲得的獎勵為X元，則（

）A．176 B．182 C．184 D．1862．(2023·浙江溫州·三模）已知隨機變量X，Y的分布列如下：X10Y2P0.50.5P0.50.5則（

）A． B． C． D．3．(2023·內蒙古包頭·二模（理））設，隨機變量的分布列如下表：012P當a在內增大時，則（

）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小4．(2023·浙江省臨安中學模擬）拋擲一枚質地均勻的硬幣，若出現正面朝上則停止拋擲，至多拋擲次，設拋擲次數為隨機變量，，2，若，，則（

）A．， B．，C．， D．，5．(2023·江蘇·南京師大附中模擬）某同學在課外閱讀時了解到概率統計中的馬爾可夫不等式，該不等式描述的是對非負的隨機變量和任意的正數，都有，其中是關于數學期望和的表達式.由于記憶模糊，該同學只能確定的具體形式是下列四個選項中的某一種.請你根據自己的理解，確定該形式為（

）A． B． C． D．6．(2023·湖北省仙桃中學模擬）小明班的語文老師昨天報了一次聽寫，語文老師給了小明滿分分，但實際上小明有一處寫了個錯別字，告訴了小王和小丁，錯一處扣分，但小明自己不會給老師說，小王有的可能告訴老師，小丁有的可能告訴老師，他們都不會告訴其他同學，老師知道后就會把分扣下來，則最后小明的聽寫本上的得分期望（

）A． B． C． D．7．(2023·浙江·模擬）現有一摸球游戲，規則如下：袋子里有形狀和大小完全一樣的標有1～6號的6個小球，游戲參與者每次從袋中不放回地摸1個球，若摸到1號球或6號球得2分，摸到3號球、4號球或5號球得1分，摸到2號球得0分，若參與者摸到2號球或摸了三次后不管有沒有摸到2號球游戲均結束．記隨機變量X為參與者摸球結束后獲得的分數，則X的數學期望是__________．8．(2023·山東·模擬）射擊運動是用槍支對準目標打靶的競技項目，該項目在世界上居于領先地位的國家有中國?美國?匈牙利?俄羅斯和德國射擊運動可以培養細致?沉著?堅毅等優良品質，有益于身心健康.已知用于射擊打靶的某型號步槍的彈夾中一共有發子彈，假設某人每次打靶的命中率均為0.8，靶場規定：一旦出現子彈脫靶或者子彈打光耗盡的現象便立刻停止射擊，記標靶上的子彈數量為隨機變量X，則X的數學期望為___________.9．(2023·重慶市育才中學模擬）某人共有三發子彈，他射擊一次命中目標的概率是，擊中目標后射擊停止，射擊次數X為隨機變量，則方差______．10．(2023·浙江·模擬）有個人在一樓進入電梯，樓上共有層，設每個人在任何一層出電梯的概率相等，并且各層樓無人再進電梯，設電梯中的人走空時電梯需停的次數為，則_________.1．(2023·浙江紹興·模擬）已知隨機變量和的分布列如下圖．12341234則（

）A． B．C． D．2．(2023·陜西西安·三模（理））林老師等概率地從中抽取一個數字，記為X，葉老師等概率地從中抽取一個數字，記為Y，已知，其中（，）是的概率，其中，則（

）A．3 B．5 C．6 D．83．(2023·云南·二模（理））某超市為慶祝開業舉辦酬賓抽獎活動，凡在開業當天進店的顧客，都能抽一次獎，每位進店的顧客得到一個不透明的盒子，盒子里裝有紅、黃、藍三種顏色的小球共6個，其中紅球2個，黃球3個，藍球1個，除顏色外，小球的其它方面，諸如形狀、大小、質地等完全相同，每個小球上均寫有獲獎內容，顧客先從自己得到的盒子里隨機取出2個小球，然后再依據取出的2個小球上的獲獎內容去兌獎．設X表示某顧客在一次抽獎時，從自己得到的那個盒子取出的2個小球中紅球的個數，則X的數學期望（

）A． B． C． D．4．(2023·湖南岳陽·一模）（多選題）若隨機變量服從兩點分布，其中，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．5．(2023·山東·模擬）（多選題）已知m，n均為正數，隨機變量X的分布列如下表：X012Pmnm則下列結論一定成立的是（

）A． B．C． D．6．(2023·浙江湖州·模擬）一個口袋里有形狀一樣僅顏色不同的5個小球，其中白色球3個，黑色球2個．若從中任取1個球，每次取球后都放回袋中，則事件“連續取球3次，恰好取到兩次白球”的概率為_____________；若從中任取2個球，記所取球中白球可能被取到的個數為，則隨機變量的期望為_____________．7．(2023·天津市西青區楊柳青第一中學模擬）天津市某學校組織學生進行知識競賽，規則為：每位參賽學生都要回答3個問題，且這3個問題回答正確與否相互之間互不影響，若每答對1個問題，得1分；答錯，得0分，最后按照得分多少排出名次，并分設為一、二、三等獎給予獎勵.已知對給出的3個問題，學生甲答對的概率分別為，，，則學生甲恰好答對1個問題的概率為__________；在上述條件下，設隨機變量X表示學生甲答對題目的個數，則X的數學期望為__________.8．(2023·浙江溫州·二模）袋子裝有1個紅球，2個白球，3個黑球，現從該袋子中任取（無放回，且每球取到的機會均等）兩個球，取出一個紅球得3分，取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分.記隨機變量為取出此兩球所得分數之和，則_________，_________分.專題14計數原理、隨機變量及其分布第44練離散型隨機變量1．(2023·湖南懷化·一模）已知的分布列如下表：012P？!？其中，盡管“!”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數值相同.據此計算，下列各式中：①；②；③，正確的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C【解析】設“？”處的數據為則“!”處數據為,則,故,故選:C2．(2023·四川·成都七中三模（理））一個袋中有m個紅球，n個白球，p個黑球（，），從中任取1個球（每球取到的機會均等），設表示取出的紅球個數，表示取出的白球個數，則A． B．C． D．答案：D【解析】由題意可知：隨機變量的分布列如下圖所示：01P所以有,，隨機變量的分布列如下圖所示：01P，，因為，所以，因此有，故本題選D.3．(2023·湖南·模擬）第24屆冬季奧林四克運動會于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉行．某特許產品100件，其中一等品98件，二等品2件，從中不放回的依次抽取10件產品（每次抽取1件）．甲表示事件“第一次取出的是一等品”，乙表示事件“第二次取出的是二等品”，記取出的二等品件數為X，則下列結論正確的是（

）A．甲與乙相互獨立 B．甲與乙互斥C． D．答案：D【解析】解：由題意得：對于選項A：事件甲發生與否影響事件乙的發生，故事件甲與乙不相互獨立，故A錯誤；對于選項B：事件甲事件乙可能同時發生，故B錯誤；對于選項C，D：由條件知隨機變量X服從超幾何分布，且，故C錯誤，D正確．故選：D．4．(2023·浙江·湖州市菱湖中學模擬）設，隨機變量的分布列為X012Pb則當在內增大時（

）A．增大 B．減小 C．先減小后增大 D．先增大后減小答案：A【解析】根據隨機變量分布列的性質可知，，，因為，所以單調遞增，故選：A5．(2023·浙江·紹興一中模擬）已知袋中有大小相同、質地均勻的黑色小球m個和白色小球個，從中任取3個，記隨機變量為取出的3個球中黑球的個數，則（

）A．都與m有關 B．與m有關，與m無關C．與m無關，與m有關 D．都與m無關答案：C【解析】由題可知：，，故，==．故選：C．6．(2023·河北·石家莊二中模擬）已知袋子中有除顏色外完全相同的4個紅球和8個白球，現從中有放回地摸球8次（每次摸出一個球，放回后再進行下一次摸球），規定每次摸出紅球計3分，摸出白球計0分，記隨機變量表示摸球8次后的總分值，則（

）A．8 B． C． D．16答案：D【解析】由題意，袋子中有除顏色外完全相同的4個紅球和8個白球，從袋中隨機取出一個球，該球為紅球的概率為，現從中有放回地摸球8次，每次摸球的結果不會相互影響，表示做了8次獨立重復試驗，用表示取到紅球的個數，則故：又因為根據方差的性質可得：故選：D7．(2023·云南·一模（理））在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運動員罰球命中的概率為0.7，設隨機變量表示該運動員罰球1次的得分，則隨機變量的數學期望__________.答案：20【解析】，.故答案為：8．(2023·安徽·合肥市第八中學模擬（理））已知隨機變量X的分布列為：X1234Pp其中，隨機變量X的期望為，則當取得最小值時，_________．答案：【解析】由題意得，，令，則，令，令，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數在處取得最小值，即當時取得最小值.故答案為：.9．(2023·浙江省杭州學軍中學模擬）袋子中有6個大小相同的黑球，5個同樣大小的白球，現從中任取4個球，取出一個黑球記0分，取出一個白球記1分，表示取出的4個球的得分之和，求的數學期望______（數字作答）答案：【解析】解：由題意，的所有可能取值為0,1,2,3,4，，，，，，所以的數學期望，故答案為：.10．(2023·江蘇常州·模擬）設隨機變量的分布列如下：12345678910P且數列滿足，則______________．答案：5.5【解析】解：令，2，3，，，則，即，，2，3，，，又，所以，所以故答案為：1．(2023·河南·模擬（理））小林從A地出發去往B地，1小時內到達的概率為0.4，1小時10分到達的概率為0.3，1小時20分到達的概率為0.3.現規定1小時內到達的獎勵為200元，若超過1小時到達，則每超過1分鐘獎勵少2元.設小林最后獲得的獎勵為X元，則（

）A．176 B．182 C．184 D．186答案：B【解析】依題意可得X的可能值為200，180，160.，，，X的分布列為2001801600.40.30.3所以.故選：B.2．(2023·浙江溫州·三模）已知隨機變量X，Y的分布列如下：X10Y2P0.50.5P0.50.5則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，，，，，.故選：D.3．(2023·內蒙古包頭·二模（理））設，隨機變量的分布列如下表：012P當a在內增大時，則（

）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小答案：A【解析】由題意，，所以，所以在上隨增大而減小．故選：A4．(2023·浙江省臨安中學模擬）拋擲一枚質地均勻的硬幣，若出現正面朝上則停止拋擲，至多拋擲次，設拋擲次數為隨機變量，，2，若，，則（

）A．， B．，C．， D．，答案：A【解析】解：拋擲一枚質地均勻的硬幣，出現正面朝上則停止拋擲，至多拋擲次，設拋擲次數為隨機變量，，2．，，，的分布列為：12，，，的分布列為：123，．，．故選：．5．(2023·江蘇·南京師大附中模擬）某同學在課外閱讀時了解到概率統計中的馬爾可夫不等式，該不等式描述的是對非負的隨機變量和任意的正數，都有，其中是關于數學期望和的表達式.由于記憶模糊，該同學只能確定的具體形式是下列四個選項中的某一種.請你根據自己的理解，確定該形式為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】設非負隨機變量的所有可能取值按從小到大依次為,對應的概率分別為設滿足的有,,,因為,所以故選：D6．(2023·湖北省仙桃中學模擬）小明班的語文老師昨天報了一次聽寫，語文老師給了小明滿分分，但實際上小明有一處寫了個錯別字，告訴了小王和小丁，錯一處扣分，但小明自己不會給老師說，小王有的可能告訴老師，小丁有的可能告訴老師，他們都不會告訴其他同學，老師知道后就會把分扣下來，則最后小明的聽寫本上的得分期望（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題意可知的可能取值為：、，則，，因此，.故選：D.7．(2023·浙江·模擬）現有一摸球游戲，規則如下：袋子里有形狀和大小完全一樣的標有1～6號的6個小球，游戲參與者每次從袋中不放回地摸1個球，若摸到1號球或6號球得2分，摸到3號球、4號球或5號球得1分，摸到2號球得0分，若參與者摸到2號球或摸了三次后不管有沒有摸到2號球游戲均結束．記隨機變量X為參與者摸球結束后獲得的分數，則X的數學期望是__________．答案：【解析】解：由題知X的可能取值：0，1，2，3，4，5，則，．所以X的分布列為：X012345P所以X的數學期望為：．故答案為：．8．(2023·山東·模擬）射擊運動是用槍支對準目標打靶的競技項目，該項目在世界上居于領先地位的國家有中國?美國?匈牙利?俄羅斯和德國射擊運動可以培養細致?沉著?堅毅等優良品質，有益于身心健康.已知用于射擊打靶的某型號步槍的彈夾中一共有發子彈，假設某人每次打靶的命中率均為0.8，靶場規定：一旦出現子彈脫靶或者子彈打光耗盡的現象便立刻停止射擊，記標靶上的子彈數量為隨機變量X，則X的數學期望為___________.答案：【解析】解：由題意的所有可能取值為：.因為每次打靶的命中率均為0.8，則，所以X的分布列為012……所以的數學期望為，令，①則，②所以①②可得：，則；故答案為：9．(2023·重慶市育才中學模擬）某人共有三發子彈，他射擊一次命中目標的概率是，擊中目標后射擊停止，射擊次數X為隨機變量，則方差______．答案：【解析】由題意知：，2，3，，，，∴的分布列為：123∴，，∴.故答案為：.10．(2023·浙江·模擬）有個人在一樓進入電梯，樓上共有層，設每個人在任何一層出電梯的概率相等，并且各層樓無人再進電梯，設電梯中的人走空時電梯需停的次數為，則_________.答案：【解析】由題意知：大樓共層，設隨機變量，則，，，則的分布列如下：，.故答案為：.1．(2023·浙江紹興·模擬）已知隨機變量和的分布列如下圖．12341234則（

）A． B．C． D．答案：D【解析】由題意得：，;,,故，故選：D2．(2023·陜西西安·三模（理））林老師等概率地從中抽取一個數字，記為X，葉老師等概率地從中抽取一個數字，記為Y，已知，其中（，）是的概率，其中，則（

）A．3 B．5 C．6 D．8答案：C【解析】依題意，，，，，，，，，，，，所以.故選：C3．(2023·云南·二模（理））某超市為慶祝開業舉辦酬賓抽獎活動，凡在開業當天進店的顧客，都能抽一次獎，每位進店的顧客得到一個不透明的盒子，盒子里裝有紅、黃、藍三種顏色的小球共6個，其中紅球2個，黃球3個，藍球1個，除顏色外，小球的其它方面，諸如形狀、大小、質地等完全相同，每個小球上均寫有獲獎內容，顧客先從自己得到的盒子里隨機取出2個小球，然后再依據取出的2個小球上的獲獎內容去兌獎．設X表示某顧客在一次抽獎時，從自己得到的那個盒子取出的2個小球中紅球的個數，則X的數學期望（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意知：X的取值為0，1，2，，，，故.故選：C.4．(2023·湖南岳陽·一模）（多選題）若隨機變量服從兩點分布，其中，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．答案：AB【解析】解：依題意，所以，

.所以，

，

所以AB選項正確，CD選項錯誤.故選：AB5．(2023·山東·模擬）（多選題）已知m，n均為正數，隨機變量X的分布列如下表：X012Pmnm則下列結論一定成立的是（

）A． B．C．