第3課時空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系[考試要求]1．借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2．了解四個基本事實和一個定理，并能應(yīng)用定理解決問題.1．基本事實基本事實1過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線基本事實4平行于同一條直線的兩條直線平行2．三個推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．3．空間中直線與直線的位置關(guān)系共面提醒：分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線不一定為異面直線，他們的關(guān)系也可能平行或相交．4．空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系符號直線和平面直線在平面內(nèi)a?α直線在平面外直線與平面相交a∩α＝A直線與平面平行a∥α平面和平面兩平面平行α∥β兩平面相交α∩β＝l5．定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．6．異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：0，[常用結(jié)論]1．異面直線判定的一個定理與一個平面相交的直線和這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點的直線是異面直線，如圖所示．2．唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直．(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線是異面直線． ()(2)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線． ()(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合． ()(4)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第二冊P131練習T4改編)已知平面α∥平面β，直線a∥平面α，直線b∥平面β，則a與b的位置關(guān)系可能是()A．平行或相交 B．相交或異面C．平行或異面 D．平行、相交或異面D[當a與b共面，即a與b平行或相交時，如圖所示：顯然滿足題目條件；在a與b相交的條件下，分別把a，b平行移動到平面β，平面α上，此時a與b異面，亦滿足題目條件．故選D.]2．(人教A版必修第二冊P128練習T2改編)下列命題正確的是()A．空間任意三個點確定一個平面B．一個點和一條直線確定一個平面C．兩兩相交的三條直線確定一個平面D．兩兩平行的三條直線確定一個或三個平面D[不在一條直線上的三個點才能確定一個平面，A錯誤；只有點在直線外時才能確定一個平面，B錯誤；當三條直線交于一點時不能確定一個平面，C錯誤，故D正確．]3．(多選)(人教A版必修第二冊P132習題8.4T9改編)如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中()A．AB與CD異面B．CD與GH平行C．EF與GH成60°角D．CD與EF相交AC[該正方體的直觀圖如圖所示，AB與CD是異面直線，A正確；CD與GH相交，B錯誤；因為該幾何體為正方體，所以EF∥CD，三角形GHD為正三角形，直線GH與直線GD所成角為60°，則EF與GH所成角為60°，C正確，D錯誤．故選AC.]4．(人教A版必修第二冊P132習題8.4T5改編)三個平面最多能把空間分為________部分，最少能把空間分成________部分．84[三個平面可將空間分成4，6，7，8部分，所以三個平面最少可將空間分成4部分，最多分成8部分．]考點一基本事實的應(yīng)用[典例1]如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點．求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點．[證明](1)如圖，連接EF，CD1，A1B.∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F(xiàn)四點共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，則由P∈直線CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA三線共點．共面、共線、共點問題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)(或證兩平面重合)．(2)證明共線的方法：①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；②直接證明這些點都在同一條特定直線上．(3)證明線共點的常用方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點．[跟進訓練]1．如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設(shè)EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線．[證明](1)因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以EF∥BD.在△BCD中，BGGC＝DHHC＝所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)因為EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P為平面ABC與平面ADC的公共點．又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點共線．考點二空間兩直線位置關(guān)系的判定[典例2](1)(2023·廣東惠州三調(diào))已知三個平面α，β，γ，其中α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a∩b＝P，則下列結(jié)論一定成立的是()A．b，c是異面直線B．b∩c＝PC．b∥cD．a(chǎn)與c沒有公共點(2)在底面半徑為1的圓柱OO1中，過旋轉(zhuǎn)軸OO1作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB＝2，E是BC的中點，F(xiàn)是AB的中點，則()A．AE＝CF，AC與EF是共面直線B．AE≠CF，AC與EF是共面直線C．AE＝CF，AC與EF是異面直線D．AE≠CF，AC與EF是異面直線(1)B(2)D[(1)∵α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∩b＝P，∴P∈a，P∈b，而a?α，b?γ，則P∈α，P∈γ，而γ∩α＝c，∴P∈c，可得a∩c＝P，b∩c＝P.故選B.(2)由題意，圓柱的軸截面ABCD為邊長為2的正方形，E是BC的中點，F(xiàn)是AB的中點，所以AC?平面ABC，EF與平面ABC相交，且與AC無交點，所以AC與EF是異面直線；又CF＝12+22＝5，AE＝22+22空間中兩直線位置關(guān)系的判定方法[跟進訓練]2．(1)(2023·北京通州區(qū)一模)已知a，b為兩條直線，α，β為兩個平面，且滿足a?α，b?β，α∩β＝l，a∥l，則“a與b異面”是“直線b與l相交”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)(2024·深圳中學模擬)已知正方體ABCD-A1B1C1D1，點P在直線AD1上，Q為線段BD的中點．則下列說法不正確的是()A．存在點P，使得PQ⊥A1C1B．存在點P，使得PQ∥A1BC．直線PQ始終與直線CC1異面D．直線PQ始終與直線BC1異面(1)C(2)C[(1)若“a與b異面”，反證：直線b與l不相交，由于b，l?β，則b∥l，∵a∥l，則a∥b，這與a與b異面相矛盾，故直線b與l相交，故“a與b異面”是“直線b與l相交”的充分條件；若“直線b與l相交”，反證：若a與b不異面，則a與b平行或相交．①若a與b平行，∵a∥l，則b∥l，這與直線b與l相交相矛盾；②若a與b相交，設(shè)a∩b＝A，即A∈a，A∈b，∵a?α，b?β，則A∈α，A∈β，即點A為α，β的公共點，且α∩β＝l，∴A∈l，即A為直線a、l的公共點，這與a∥l相矛盾．綜合①②知a與b異面．即“a與b異面”是“直線b與l相交”的必要條件．所以“a與b異面”是“直線b與l相交”的充要條件．故選C.(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，易得A1C1⊥平面BDD1B1,∵點P在直線AD1上，Q為線段BD的中點，當點P和D1重合時，PQ?平面BDD1B1，∴PQ⊥A1C1，A正確；連接A1D，如圖所示：當點P為線段A1D的中點時，PQ為三角形A1BD的中位線，即PQ∥A1B，B正確；CC1?平面AA1C1C，當點P和點A重合時，PQ?平面AA1C1C，則直線PQ和CC1在同一平面內(nèi)，C錯誤；BC1?平面ABC1D1，PQ∩平面ABC1D1＝P，P?BC1，故直線PQ始終與直線BC1不相交，且不平行，是異面直線，D正確．故選C.]【教師備選資源】若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是()A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交D[法一(反證法)：由于l與直線l1，l2分別共面，故直線l與l1，l2要么都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相交．若l∥l1，l∥l2，則l1∥l2，這與l1，l2是異面直線矛盾．故l至少與l1，l2中的一條相交．故選D.法二(模型法)：如圖①，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖②，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確．]考點三異面直線所成的角[典例3](1)(2024·陜西榆林模擬)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，2BB1＝3AB，D是棱BC的中點，E在棱CC1上，且CC1＝3CE，則異面直線A1D與B1E所成角的余弦值是()A．66 B．6C．63 D．(2)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A．15 B．5C．55 D．(1)B(2)C[(1)取棱BB1靠近點B的三等分點F，取棱B1C1的中點H，取B1F的中點G，連接A1H，DH，A1F，DF.由已知CE＝13CC1＝13BB1＝B1G，又CE∥B1G，所以四邊形CEB1G是平行四邊形，B1E∥同時可得F是BG中點，而D是BC中點，所以DF∥CG.所以DF∥B1E，則∠A1DF是異面直線A1D與B1E所成的角(或補角)．又DH∥CC1，CC1⊥平面A1B1C1，則DH⊥平面A1B1C1，A1H?平面A1B1C1，則DH⊥A1H，設(shè)AB＝4，則BB1＝6，從而A1H＝23，DH＝6，BD＝2，BF＝2，B1F＝A1B1＝4，故A1F＝42，A1D＝43，DF＝22.在△A1DF中，由余弦定理的推論可得cos∠A1DF＝A1D2所以異面直線A1D與B1E所成的角的余弦值為64故選B.(2)法一(平移法)：如圖，連接BD1，交DB1于點O，取AB的中點M，連接DM，OM.易知O為BD1的中點，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角．因為在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，AD1＝ADDM＝AD2+DB1＝AB2+AD2+BB12＝5，所以O(shè)M＝12AD1得cos∠MOD＝12+5即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為55法二(補體法)：如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1的一側(cè)補上一個相同的長方體A′B′BA-A′1B′1B1A1．連接B1B′，由長方體性質(zhì)可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′為異面直線AD1與DB1所成的角或其補角．連接DB′，由題意，得DB′＝12+1+12＝5，B′B1＝12+在△DB′B1中，由余弦定理，得DB′2＝B'B12+DB12－2B′B1·即5＝4＋5－2×25cos∠DB1B′，∴cos∠DB1B′＝55法三(坐標法)：以點D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．由條件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，3)，B1(1，1，3)，所以AD1＝(－1，0，3)，DB1＝(1，1，3)，則由向量夾角公式，得cos〈AD1，DB1〉＝AD1·求異面直線所成角的方法(1)平移法：將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的平行線或者作平行線，形成三角形求解．(2)補形法：在該幾何體的某側(cè)補接上同樣一個幾何體，在這兩個幾何體中找異面直線相應(yīng)的位置，形成三角形求解．(3)坐標法：如果幾何圖形便于建系，可以將問題坐標化，借助向量求解．提醒：兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角．[跟進訓練]3．(1)(2024·安徽滁州模擬)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝2，AA1＝5，E為B1C1的中點，則異面直線BD與CE所成角的余弦值為()A．510 B．34C．1326 D．(2)如圖，圓臺OO1的上底面半徑為O1A1＝1，下底面半徑為OA＝2，母線長AA1＝2，過OA的中點B作OA的垂線交圓O于點C，則異面直線OO1與A1C所成角的大小為________．(1)C(2)45°[(1)取C1D1的中點F，連接EF，CF，B1D1，易知EF∥B1D1∥BD，所以∠CEF為異面直線BD與CE所成的角或其補角．因為EF＝12B1D1＝2CE＝CF＝CC12+C所以由余弦定理得cos∠CEF＝EF2+EC2?C(2)在直角梯形OO1A1A中，因為B為OA的中點，OA＝2，所以O(shè)1A1＝OB＝AB＝1，連接A1B(圖略)，易知四邊形OO1A1B為矩形，所以O(shè)O1∥A1B，所以∠BA1C為異面直線OO1與A1C所成的角．在Rt△AA1B中，因為AA1＝2，AB＝1，所以A1B＝3.連接OC(圖略)，在Rt△OBC中，由OB＝1，OC＝2，得BC＝3.在Rt△A1BC中，因為BC＝A1B，所以∠BA1C＝45°.]在立體幾何中，截面是指用一個平面去截一個幾何體得到的平面圖形；截線就是平面與相應(yīng)幾何體面的公共線．解答此類問題的關(guān)鍵是熟知立體幾何理論體系，提升空間想象能力．一、截面問題[典例1](1)(多選)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，直線AC1⊥平面α.平面α截此正方體所得截面有如下四個結(jié)論，其中正確的是()A．截面形狀可能為正三角形B．截面形狀可能為正方形C．截面形狀不可能是正五邊形D．截面面積最大值為33[賞析]突破點：熟知正方體的常見截面圖顯然A、C成立，B不成立，下面說明D成立，如圖，當截面是正六邊形，面積最大，MN＝22，GH＝2，OE＝1+222＝62，所以S＝2×12×(22[答案]ACD(2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點，平面α經(jīng)過直線BD且與直線C1E平行，若正方體的棱長為2，則平面α截正方體所得的多邊形的面積為________．[賞析]突破點：線面平行的性質(zhì)如圖，過點B作BM∥C1E交B1C1于點M，過點M作BD的平行線，交C1D1于點N，連接DN，則平面BDNM即為符合條件的平面α.∵E為BC的中點，可知M，N分別為B1C1，C1D1的中點，由正方體的棱長為2，則BD＝22，MN＝2，且BM＝DN＝5，∴等腰梯形MNDB的高為h＝52?222＝322，∴梯形MNDB的面積為12×(2[答案]9空間幾何體的截面作圖的常用方法(1)平行線法．用平行線法解決截面問題的關(guān)鍵是：截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面是有一條直線與截面上某點所在的幾何體的某一個表面平行．(2)延長線法．用延長線法解決截面問題的關(guān)鍵是：截面上的點至少有兩個點在一個幾何體的一個表面上，那么這兩點的連線一定在截面內(nèi)．[跟進訓練]1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點，MD＝13DD1，NB＝13BB1，那么正方體中過M，N，CA．三角形 B．四邊形C．五邊形 D．六邊形C[如圖，設(shè)直線C1M，CD相交于點P，直線C1N，CB相交于點Q，連接PQ交直線AD于點E，交直線AB于點F，則五邊形C1MEFN為所求截面圖形.]二、截線問題[典例2](2020·新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD＝60°，以D1為球心，5為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．[賞析]第一步：找交線如圖，連接B1D1，易知△B1C1D1為正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2．分別取B1C1，BB1，CC1的中點M，G，H，連接D1M，D1G，D1H，則易得D1G＝D1H＝22+12＝5，D1M⊥B1C1，且D1由題意知G，H分別是BB1，CC1與球面的交點．在側(cè)面BCC1B1內(nèi)任取一點P，使MP＝2，連接D1P，則D1P＝D1M2+MP2＝32+22＝5，連接MG，MH，易得MG＝MH＝2，故可知以第二步：求交線長由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以GH的長為14×2π×2＝2[答案]2作交線的兩種方法(1)利用基本事實3作交線．(2)利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線．[跟進訓練]2．如圖，以棱長為1的正方體的頂點A為球心，以2為半徑作一個球面，則該正方體的表面被球面所截得的所有弧長之和為()A．3π4 B．C．3π2 C[正方體的表面被該球面所截得的弧長是相等的三部分，如圖，上底面被球面截得的弧長是以A1為圓心，1為半徑的圓周長的14，所以所有弧長之和為3×2π4＝課時分層作業(yè)(四十三)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系一、單項選擇題1．兩條直線a，b分別和異面直線c，d都相交，則直線a，b的位置關(guān)系是()A．一定是異面直線B．一定是相交直線C．可能是平行直線D．可能是異面直線，也可能是相交直線D[已知直線c與d是異面直線，直線a與直線b分別和直線c與直線d相交于點A，B，C，D，根據(jù)題意可得當點D與點B重合時，兩條直線相交，當點D與點B不重合時，兩條直線異面，所以直線a，b的位置關(guān)系是異面或相交．故選D.]2．在三棱錐A-BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF∩HG＝P，則點P()A．一定在直線BD上B．一定在直線AC上C．在直線AC或BD上D．不在直線AC上，也不在直線BD上B[如圖所示，因為EF?平面ABC，HG?平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因為平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.]3．(2024·貴州貴陽模擬)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝60°，則直線AB1與BC所成角的余弦值等于()A．22 B．C．24 C[連接AC1，因為BC∥B1C1，所以直線AB1與BC所成的角即為∠AB1C1，設(shè)AB＝a，易得AB1＝2a，AC1＝2a，B1C1＝a，則由余弦定理的推論知，cos∠AB1C1＝AB12+B故選C.]4．(2023·上海春季高考)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是邊A1C1上的動點，則下列直線中，始終與直線BP異面的是()A．DD1 B．ACC．AD1 D．B1CB[對于A，當P是A1C1的中點時，BP與DD1是相交直線；對于B，根據(jù)異面直線的定義知，BP與AC是異面直線；對于C，當點P與點C1重合時，BP與AD1是平行直線；對于D，當點P與點C1重合時，BP與B1C是相交直線．故選B.]5．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，DB的中點，則異面直線EF與AD1所成角的正切值為()A．2 B．2C．33 D．B[如圖，連接BD1，則EF∥BD1，所以∠AD1B為異面直線EF與AD1所成角，因為AB⊥AD，AB⊥AA1，且AD∩AA1＝A，所以AB⊥平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，所以AB⊥AD1，所以△BAD1為直角三角形，所以tan∠BD1A＝AB故選B.]6．(2023·豫湘名校聯(lián)考)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝AC＝AA1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值等于()A．32 B．C．13 D．D[如圖，將該幾何體補成一個直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，由題易得底面ABCD為菱形，且△ABC為等邊三角形．連接DC1，BD，易得AB1∥DC1，所以∠BC1D(或其補角)是異面直線AB1與BC1所成的角．設(shè)AB＝1，則BC1＝DC1＝2，BD＝21?122所以cos∠BC1D＝22+2故選D.]7．《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．如圖，若AB，CD都是直角圓錐SO底面圓的直徑，且∠AOD＝π3，則異面直線SA與BDA．13 B．2C．64 D．C[如圖，連接AD，BC，AC，SC.因為O為AB，CD中點，且AB＝CD，所以四邊形ADBC為矩形，所以DB∥AC，所以∠SAC或其補角為異面直線SA與BD所成的角．設(shè)圓O的半徑為1，則SA＝SC＝2.因為∠AOD＝π3，所以∠ADO＝π在Rt△DAC中，CD＝2，得AC＝3.所以cos∠SAC＝22+3所以異面直線SA與BD所成角的余弦值為64.故選C.8．(2023·新鄉(xiāng)三模)如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，過A，D1，E三點的截面把正方體ABCD-A1B1C1D1分成兩部分，則該截面的周長為()A．32＋25 B．22+C．92 D．22＋25A[如圖，取BC的中點F，連接EF，AF，BC1，因為E，F(xiàn)分別為棱CC1，BC的中點，則EF∥BC1，正方體中BC1∥AD1，則有EF∥AD1，所以平面AFED1為所求截面，因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，所以EF＝2，D1E＝AF＝22+12＝5，AD1＝22，所以四邊形AFED1的周長為3故選A.]二、多項選擇題9．已知α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是()A．若α∩β＝l，A∈α且A∈β，則A∈lB．若A，B，C是平面α內(nèi)不共線的三點，A∈β，B∈β，則C?βC．若A∈α且B∈α，則直線AB?αD．若直線a?α，直線b?β，則a與b為異面直線ABC[由根據(jù)A∈α且A∈β，則A是平面α和平面β的公共點，又α∩β＝l，由基本事實3可得A∈l，A正確；由基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面，又A∈β，B∈β，且A，B，C∈α，則C?β，B正確；由基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)，C正確；由于平面α和平面β位置不確定，則直線a與直線b位置亦不確定，可能異面、相交、平行、重合，D錯誤．故選ABC.]10．(2024·云南紅河州模擬)如圖，M，N為正方體中所在棱的中點，過M，N兩點作正方體的截面，則截面的形狀可能為()A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形BD[根據(jù)題意，過M，N兩點作正方體的截面，則截面的形狀可能為四邊形和六邊形，如圖：故選BD.]三、填空題11．有下列四個命題：①空間四點共面，則其中必有三點共線；②空間四點不共面，則其中任意三點不共線；③空間四點中有三點共線，則此四點共面；④空間四點中任意三點不共線，則此四點不共面．其中真命題的所有序號為________．②③[①中，對于平面四邊形來說不成立，故①是假命題；②中，若四點中有三點共線，則根據(jù)“直線與直線外一點可以確定一個平面”知四點共面，與四點不共面矛盾，故②是真命題；由②的分析可知③是真命題；④中，平面四邊形的四個頂點中任意三點不共線，但四點共面，故④是假命題．]12．(2024·山東泰安模擬)在平行四邊形ABCD中，∠A＝45°，AB＝2AD＝2，現(xiàn)將平行四邊形ABCD沿對角線BD折