課時質量評價(五十四)1．已知點P(－2，－1)為橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a＞(1)求橢圓C的標準方程；(2)若M為C上第二象限內一點，點M關于直線x＝－2的對稱點為N，直線PN與C交于另一點Q，O為坐標原點，求證：MQ∥OP.(1)解：由點P(－2，－1)在橢圓C上，得?22a2＋?1由橢圓C的離心率為32，得c2a2＝a2由①②，解得a2＝8，b2＝2，所以橢圓C的標準方程為x28＋(2)證明：因為點M，N關于直線x＝－2對稱，所以直線PM與PN關于直線x＝－2對稱，則kPM＋kPN＝0，易知直線PM的斜率存在且不為0.設直線PM的斜率為k，則直線PN的斜率為－k，又P(－2，－1)，所以直線PM的方程為y＋1＝k(x＋2)，即y＝k(x＋2)－1，與橢圓方程聯立，得x28+y22=1，y=kx+2?1，消去y，并整理得(4k2＋1)x2＋(16Δ＝(16k2－8k)2－4(4k2＋1)(16k2－16k－4)＝64k2＋64k＋16＝16(2k＋1)2＞0，即k≠－12設M(x1，y1)，則－2x1＝16k2?16k?44k2設Q(x2，y2)，同理可得x2＝?8k所以直線MQ的斜率kMQ＝y＝k＝kx1+x2+4kx又直線OP的斜率為?1?0?2?0＝12，且直線OP與所以MQ∥OP.2．已知拋物線E：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，點A(2，1)是拋物線內一點，P為拋物線上的動點，且|AP|＋|PF|的最小值為3.(1)求拋物線E的方程；(2)過點(1，1)作斜率之和為0的兩條直線l1，l2，(l1的斜率為正數)，其中l1與曲線E交于M，C兩點，l2與曲線E交于B，N兩點，若四邊形MBCN的面積等于163，求直線l1的方程．解：(1)過點P作拋物線E的準線的垂線，垂足為D(圖略)，則|PF|＝|PD|，于是|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PD|.當A，P，D三點共線時，|AP|＋|PD|有最小值2＋p2＝3，解得p所以拋物線E的方程為y2＝4x.(2)依題意可知，直線l1，l2的斜率均存在且不為0，并互為相反數．由(1)知F(1，0)，設直線l1的方程為x＝m(y－1)＋1(m＞0)，M(x1，y1)，C(x2，y2)，將l1的方程代入拋物線方程并化簡，得y2－4my＋4m－4＝0，則y1＋y2＝4m，y1y2＝4m－4.|MC|＝1+m216同理得|BN|＝41+m設直線l1的傾斜角為θ，則tanθ＝1m則直線l1，l2的夾角α＝2θ或π－2θ，所以sinα＝sin2θ＝2sinθcos因此四邊形MBCN的面積S＝12|MC||BN|·sin2θ＝16mm2+1令t＝m2，得t(t＋1)2－t2＝3，從而有t3＋t2＋t＝3，解得t＝1，即m2＝1，此時m＝1，故直線l1的方程為y＝x.3．已知拋物線C1：y2＝2px(p＞0)上的點12(1)求拋物線C1的標準方程．(2)過拋物線C1上一點P作圓C2：(x－3)2＋y2＝4的兩條斜率都存在的切線，分別與拋物線C1交于異于點P的M，N兩點．證明：直線MN與圓C2相切．(1)解：因為點12，y0到坐標原點的距離等于該點到準線的距離，所以點12，y0到坐標原點的距離等于該點到焦點所以拋物線C1的標準方程為y2＝4x.(2)證明：因為圓C2：(x－3)2＋y2＝4，所以圓C2的圓心坐標為(3，0)，半徑r＝2，設Py124，y1，My224，y2，所以直線PM的方程為y－y2＝y2即4x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0.因為直線PM與圓C2相切，所以12+y1y直線PN與圓C2相切，同理可得y1所以y2，y3是關于y的方程y1所以y2＋y3＝16y14?y12，y又因為直線MN的方程為4x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，所以圓C2的圓心(3，0)到直線MN的距離d＝12+y2y3y2+所以直線MN與圓C2相切．4．(2024·西安模擬)已知拋物線C：y＝14x2的焦點為F1，準線與坐標軸的交點為F2，F1，F2是離心率為12的橢圓(1)求橢圓S的標準方程．(2)設過原點O的兩條直線l1和l2，l1⊥l2，l1與橢圓S交于A，B兩點，l2與橢圓S交于M，N兩點．求證：原點O到直線AM和到直線BN的距離相等且為定值．(1)解：將拋物線C：y＝14x2的方程化為標準方程，即C：x2＝4y，得F1設橢圓S的長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，則由題意得c＝1，ca＝12，得a＝2，所以b＝a2?c又橢圓S的焦點在y軸上，所以橢圓S的標準方程為y24＋(2)證明：由題意知A，O，B三點共線，M，O，N三點共線，且AB⊥MN.又由橢圓的對稱性，知|OA|＝|OB|，|OM|＝|ON|，所以四邊形AMBN為菱形，且原點O為其中心，AM，BN為一組對邊．所以原點O到直線AM和到直線BN的距離相等．下面求原點O到直線AM的距離．根據橢圓的對稱性，不妨設A在第一象限．當直線AM的斜率為0或不存在時，四邊形AMBN為正方形，直線AB和直線MN的方程分別為y＝x和y＝－x，且AM∥x軸或AM∥y軸．設A(m，m)，則M(－m，m)或M(m，－m)．于是有m24＋m23＝1，得m原點O到直線AM的距離為d＝|m|＝127＝2當直線AM的斜率存在且不等于0時，設直線AM：y＝kx＋h.由y=kx+?，y24+x23=1，消去y，整理得(3k且Δ＝(6kh)2－4×(3k2＋4)×(3h2－12)＝144k2－48h2＋192.設A(x1，y1)，M(x2，y2)，則x1＋x2＝－6k?3k2+4，x1x所以y1y2＝(kx1＋h)(kx2＋h)＝k2x1x2＋kh(x1＋x2)＋h2＝k2×3?2?123