第六章立體幾何與空間向量第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)·考試要求·1．能以立體幾何中的定義、基本事實和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定定理．2．能運用基本事實、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形中垂直關(guān)系的簡單命題．知識點一直線與平面垂直判斷下列說法的正誤，正確的打“√”，錯誤的打“×”．(1)如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線與這個平面垂直．(

)(2)如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線與這個平面垂直．(

)必備知識落實“四基”××(3)如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線和這個平面內(nèi)的所有直線都垂直．(

)(4)已知△ABC和兩條不同的直線l，m，若l⊥AB，l⊥AC,m⊥BC，m⊥AC，則直線l∥m.(

)√√1．判定定理：

文字語言：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條______直線垂直，那么該直線與此平面垂直．符號表示：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α.2．性質(zhì)定理：文字語言：垂直于同一個平面的兩條直線______．符號表示：a⊥α，b⊥α?______．相交平行a∥b注意點：判定定理中平面內(nèi)的兩條直線必須是相交直線．知識點二平面與平面垂直1．判斷下列說法的正誤，正確的打“√”，錯誤的打“×”．(1)如果平面α內(nèi)有一條直線垂直于平面β內(nèi)的一條直線，那么α⊥β.(

)(2)如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)的直線一定垂直于另一個平面．(

)(3)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β.(

)(4)如果兩個平面垂直，那么垂直于交線的直線必垂直于其中一個平面．(

)××××2．(教材改編題)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥矩形底面ABCD，則四棱錐的四個側(cè)面中，一定垂直的側(cè)面有__________對．3

解析：由題意知PA⊥矩形底面ABCD，所以PA⊥CD．又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD．因為CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD．同理可得平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB．1．面面垂直的定義：兩個相交平面所成的二面角是__________．2．判定定理：文字語言：如果一個平面過另一個平面的______，那么這兩個平面垂直．符號表示：l⊥α，_______?α⊥β.3．性質(zhì)定理：文字語言：兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的______，那么這條直線與另一個平面垂直．符號表示：α⊥β，l?β，α∩β＝a，l⊥a?_______．直二面角垂線l?β交線l⊥α注意點：面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù)．我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可．知識點三線面角和二面角1．(教材改編題)若正四棱錐的所有棱長都相等，則該棱錐的側(cè)棱與底面所成的角的大小為(

)A．30° B．45°C．60° D．90°√

√

3．如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(不同于A，B)且PA＝AC，則二面角P-BC-A的大小為(

)A．60° B．30°C．45° D．15°√C

解析：由條件得，PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，所以BC⊥平面PAC，所以∠PCA為二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°.

射影90°0°

2．二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形.(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作________棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角．(3)取值范圍：___________．垂直于[0，π]【常用結(jié)論】1．若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線．2．若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．3．一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直．4．兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．應(yīng)用1已知l1，l2是平面α內(nèi)的兩條直線，l是空間中的一條直線，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥l1且l⊥l2”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件√A

解析：當l⊥α時，l1?α，l2?α，所以l⊥l1且l⊥l2；當l⊥l1且l⊥l2，l1?α，l2?α時，因為無法判斷l(xiāng)1，l2是否相交，所以l⊥α可能成立，也可能不成立．綜上，“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥l1且l⊥l2”的充分不必要條件．應(yīng)用2

(多選題)已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面．下列說法中正確的是(

)A．若m∥α，m?β，α∩β＝n，則m∥nB．若m∥n，m∥α，則n∥αC．若α∩β＝n，α⊥γ，β⊥γ，則n⊥γD．若m⊥α，m⊥β，α∥γ，則β∥γ√√√ACD

解析：由線面平行的性質(zhì)可知A正確．若m∥n，m∥α，則n?α或n∥α，故B錯誤．若α⊥γ，則在γ內(nèi)可作a⊥α.因為α∩β＝n，所以n?α，則a⊥n.同理，在γ內(nèi)可作b⊥β，可得b⊥n.因為α∩β＝n，所以a，b也相交，所以n⊥γ，故C正確．若m⊥α，m⊥β，則α∥β，又α∥γ，由平行的傳遞性可得β∥γ，故D正確．1．如果直線l，m與平面α，β，γ滿足：l＝β∩γ，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有(

)A．l⊥m

B．m∥βC．m⊥β

D．l∥m核心考點提升“四能”√垂直關(guān)系的基本問題A

解析：因為m⊥γ，且l?γ，所以l⊥m，A正確，D錯誤．直線m和平面β不能確定關(guān)系．2．(多選題)(2024·聊城模擬)已知空間中的兩條直線m，n和兩個平面α，β，則“α⊥β”的充分條件是(

)A．m⊥α，m∥βB．m?α，n?β，m⊥nC．m?α，m∥n，n⊥βD．m⊥n，m⊥α，n⊥β√√√ACD

解析：若m∥β，則存在一條直線l?β，使得m∥l.因為m⊥α，所以l⊥α.又l?β，所以α⊥β，即條件“m⊥α，m∥β”能夠推出“α⊥β”，故A正確．當m?α，n?β，m⊥n時，α，β可能相交或平行，故B錯誤．若n⊥β，m∥n，則m⊥β.因為m?α，所以α⊥β，故C正確．若m⊥n，m⊥α，則n∥α或n?α.因為n⊥β，所以α⊥β，故D正確．3．(多選題)若平面α，β滿足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，則下列命題中是真命題的為(

)A．過點P垂直于平面α的直線平行于平面βB．過點P垂直于直線l的直線在平面α內(nèi)C．過點P垂直于平面β的直線在平面α內(nèi)D．過點P且在平面α內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面β√√√ACD

解析：由于過點P垂直于平面α的直線必平行于平面β內(nèi)垂直于交線的直線，所以該直線平行于平面β，因此A正確；過點P垂直于直線l的直線有可能垂直于平面α，不一定在平面α內(nèi)，因此B不正確；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知，選項C，D正確．反思感悟

與線面垂直關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷方法(1)借助幾何圖形來說明線面關(guān)系要做到作圖快、準，甚至無須作圖通過空間想象來判斷．(2)尋找反例，只要存在反例，結(jié)論就不正確．(3)反復(fù)驗證所有可能的情況，必要時要運用判定定理或性質(zhì)定理進行簡單說明．

√幾何法求線面角和二面角C

解析：如圖，取AB的中點E，連接CE，DE.因為△ABC是等腰直角三角形，且AB為斜邊，所以CE⊥AB．因為△ABD是等邊三角形，所以DE⊥AB，所以∠CED為二面角C-AB-D的平面角，即∠CED＝150°.因為CE∩DE＝E，CE，DE?平面CDE，所以AB⊥平面CDE.因為AB?平面ABC，所以平面CDE⊥平面ABC．

因為平面CDE∩平面ABC＝CE，CD?平面CDE，所以直線CD在平面ABC內(nèi)的射影為直線CE，所以∠DCE為直線CD與平面ABC所成的角．

反思感悟求線面角、二面角的常用方法(1)線面角的求法：找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線、找垂足，把線面角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解．(2)二面角大小的求法：二面角的大小用它的平面角來度量．平面角的作法常見的有定義法和垂面法．注意利用等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)．

√

考向1線面垂直的判定與性質(zhì)【例2】(2024·淄博質(zhì)檢)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)證明：(1)在四棱錐P-ABCD中，因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD．因為AC⊥CD，PA∩AC

＝A，PA，AC?平面PAC，所以CD⊥平面PAC．因為AE?平面PAC,所以CD⊥AE.(2)因為PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，所以△ABC為等邊三角形，故AC＝PA．因為E是PC的中點，所以AE⊥PC．由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，所以AE⊥平面PCD．因為PD?平面PCD，所以AE⊥PD．因為PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以PA⊥AB．又因為AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD．因為PD?平面PAD，所以AB⊥PD．又因為AB∩AE

＝A，AB，AE?平面ABE，所以PD⊥平面ABE.反思感悟1．證明線面垂直的四種方法(1)利用線面垂直的判定定理．(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個平面垂直”．(3)利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則其與另一個也垂直”．(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理．2．證明線線垂直的四種方法(1)利用特殊圖形(直角三角形、矩形、直角梯形)中的垂直關(guān)系．(2)利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì)．(3)利用勾股定理的逆定理進行計算證明．(4)利用直線與平面垂直的定義和性質(zhì)．考向2面面垂直的判定與性質(zhì)【例3】(1)如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，過點C1作C1H⊥平面ABC，垂足為H，則點H在(

)A．直線AC上 B．直線AB上C．直線BC上 D．△ABC內(nèi)部√B

解析：如圖，連接AC1.因為BC1⊥AC，BA⊥AC，且BC1∩BA＝B，BC1，BA?平面ABC1，所以AC⊥平面ABC1.又因為AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABC1.因為平面ABC∩平面ABC1＝AB，由面面垂直的性質(zhì)可知，要過點C1作C1H⊥平面ABC，則只需過點C1作C1H⊥AB即可，故點H在直線AB上．

√

反思感悟證明面面垂直的常用方法(1)證明平面和平面垂直的方法：①利用面面垂直的定義．②利用面面垂直的判定定理．(2)已知兩平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．1．(多選題)(2024·麗水模擬)已知正方體ABCD-A1B1C1D1，E是BC1的中點，則(

)A．AE∥平面A1BB1B．BD1⊥ACC．A1E⊥AD1D．A1E⊥平面BCC1B1√√BC

解析