關于集合論的誕生第九章分析的嚴格化第三節集合論的誕生第2頁,共19頁，星期六，2024年，5月

小學數學新課標要求：結合有關知識的教學，適當滲透集合、函數等數學思想方法，以加深對基礎知識的理解。第3頁,共19頁，星期六，2024年，5月認識數字1～5認識數字01、小學數學中的集合第4頁,共19頁，星期六，2024年，5月元素與集合間的關系集合與集合間的關系維恩圖第5頁,共19頁，星期六，2024年，5月交集第6頁,共19頁，星期六，2024年，5月一一對應第7頁,共19頁，星期六，2024年，5月2、康托的一一對應柏拉圖——實無限：“全體自然數”是存在的，因為每個自然數都是可以數到的；既然每個都存在，為什么“全體”就不存在呢？亞里士多德——潛無限：自然數的產生是個無限無盡的過程，這個過程永不結束，因而無法得到自然數的全體。第8頁,共19頁，星期六，2024年，5月

我必須最強烈地反對你使用無窮大作為某種完善的東西，因為這在數學上是從來不允許的。無窮大只不過是一種講話方式，意味著一種極限……——高斯在1831年給舒馬赫的信

在1638年出版的《兩門新科學的對話》一書中，伽利略把全體自然數與它們的平方一一對應起來：第9頁,共19頁，星期六，2024年，5月1845年，康托出生在俄國的圣彼得堡，后來移居德國。

1867年，他在柏林大學得到博士學位。他曾經發表過一篇有關實數定義的論文，用收斂的有理數給出了無理數的定義。“一一對應”概念：給定兩個集合A與B，假如有映射f:A→B，使得A中任何一個元素a都有一個元素b∈B與之對應，并且不同的a對應于不同的b，而且B中每個元素都被對應到，我們就稱映射f:A→B是一個一一對應。集合的基數概念：給定兩個集合A與B，如果A與B之間有一個一一對應，則稱它們有相同的基數。集合定義：一個集合是若干確定的、可區別的事物的總體。第10頁,共19頁，星期六，2024年，5月例1在中世紀時有人注意到，把兩個同心圓上的點用公共半徑連起來，就構成兩個圓上的點之間的一一對應關系。例2長度不相等的兩條線段上的點集可以建立一一對應，即兩個點集有相同的基數，與線段長度無關。第11頁,共19頁，星期六，2024年，5月例3單位線段上的點與半直線上的點一一對應。例4區間（0,1）的點集與實數集R有相同的基數。事實上，區間（0,1）和半圓周的點集可以建立一一對應，半圓周點集又能與整個數軸建立一一對應。第12頁,共19頁，星期六，2024年，5月3、可數集合

康托把任何能與正整數集一一對應的集合稱為可數集。換句話說，一個集合是可數集的充要條件是它的元素能夠排成一個序列。1874年，康托獲得了一個歷史性的發現：盡管有理數具有稠密性，但它們是可數的。（0,1）區間中的所有有理數：第13頁,共19頁，星期六，2024年，5月全體有理數集合Q也是可數的。第14頁,共19頁，星期六，2024年，5月命題：區間（0,1）中的全體實數是不可數的。1873年，康托發現：實數集R是不可數的。4、不可數集合證明：我們可以用反證法證明。如果全體實數能排成一隊，我們把所有0到1之間的實數都排出來：將γn都寫成10進位無限小數。我們約定將其中的有理數也寫成無限小數，比如0.9=0.8999…，這樣保證每一個小數表示方式唯一。第15頁,共19頁，星期六，2024年，5月

中沒有把0到1之間的實數排完，這就推出了一個矛盾，故“（0,1）區間中的全體實數能排成一隊”的假設不成立。第16頁,共19頁，星期六，2024年，5月1877年，康托又意外發現：單位正方形的點集與（0,1）區間的點集能夠建立一一對應。分析：要做到這一點，需要先把區間（0,1）內的點都表示成無限小數，并規定這里出現的有限小數可以化成含有無窮個9的小數，如0.49=0.48999…。任取一點，比如說0.35768291…，把這個數的奇數位、偶數位分別取出來，得到兩個新數：0.3789…與0.5621…，以這兩個數作為橫坐標與縱坐標得到的點將落在單位正方形中。第17頁,共19頁，星期六，2024年，5月一般地，設區間（0,1）內的任意一點為它對應著單位正方形內的唯一的點反過來，如果任給單位正方形內的一個點