課時分層作業(七)組合的綜合應用一、選擇題1．(多選)從7名男生和5名女生中選4人參與夏令營，規定男、女生至少各有1人參與，則不同的選法種數應為()A．C71C51CC．C124－C74－C542．四面體的一個頂點為A，從其他頂點和各棱的中點中取3個點，使它們和點A在同一平面上，不同的取法有()A．30種B．33種C．36種D．39種3．6位同學在畢業聚會活動中進行紀念品的交換，隨意兩位同學之間最多交換一次，進行交換的兩位同學互贈一份紀念品．已知6位同學之間共進行了13次交換，則收到4份紀念品的同學人數為()A．1或3 B．1或4C．2或3 D．2或44．(多選)某市實行新高考，考試除了參與語文、數學、英語的統一考試外，還需從物理和歷史中選考一科，從化學、生物、政治、地理中選考兩科．學生甲想要報考某高校的法學專業，就必需要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科，則下列說法正確的是()A．若甲選考物理，有6種選考方法種數B．若甲選考歷史，有6種選考方法種數C．甲的選考方法種數共有12種D．以上說法均不正確5．某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本．現從中取出4本贈送給4位摯友，每位摯友1本，則不同的贈送方式共有()A．4種 B．10種C．18種 D．20種二、填空題6．(2024·全國甲卷)從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為________．7．在政治、歷史、地理、物理、化學、生物、技術7門學科中任選3門．若甲同學物理、化學、生物至少選1門，則甲的不同的選法種數為________，乙、丙兩名同學都不選物理的選法種數為________．8．用1，2，3，4這四個數字組成無重復數字的四位數，其中恰有一個偶數夾在兩個奇數之間的四位數的個數為________．三、解答題9．一個口袋內有4個不同的紅球，6個不同的白球．(1)從中任取4個球，紅球的個數不比白球少的取法有多少種？(2)若取到一個紅球記2分，取到一個白球記1分，從中任取5個球，則總分不少于7分的取法有多少種？10．將5名北京冬奧會志愿者支配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只支配到1個項目，每個項目至少支配1名志愿者，則不同的支配方案共有()A．60種 B．120種C．240種 D．480種11．(2024·上海楊浦高級中學期末)在正方體的12條棱中任選3條，其中隨意2條所在的直線都是異面直線的概率為()A．155B．255C．312．將10個相同的小球放入3個編號分別為1，2，3的盒中，每個盒子至少1個小球，則全部放法的種數為()A．28 B．36C．45 D．5513．從1，3，5，7，9中任取2個數字，從0，2，4，6中任取2個數字，一共可以組成______個沒有重復數字的四位數．(用數字作答)14．已知平面α∥平面β，在α內有4個點，在β內有6個點．(1)過這10個點中的3點作一平面，最多可作多少個不同的平面？(2)以這些點為頂點，最多可作多少個三棱錐？(3)(2)中的三棱錐最多可以有多少個不同的體積？15．某城市地鐵公司為激勵人們綠色出行，確定依據乘客經過地鐵站的數量實施分段實惠政策，不超過12站的地鐵票價如表：乘坐站數0<x≤33<x≤77＜x≤12票價/元246現有甲、乙兩位乘客同時從起點乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過12站，且他們各自由每個站下地鐵的可能性是相同的．(1)若甲、乙兩人共付費6元，則甲、乙下地鐵的方案共有多少種？(2)若甲、乙兩人共付費8元，則甲比乙先下地鐵的方案共有多少種？課時分層作業(七)1．BC[(1)分三類：3男1女，2男2女，1男3女，所以男、女生至少各有1人參與的選法種數為C7(2)任選4人的方法種數為C12經檢驗，A、D不正確．]2．B[如圖，含頂點A的四面體的3個面上，除點A外都有5個點，從中取出3點必與點A共面，共有3C53種取法；含頂點A的三條棱上都各有3個點，它們與對棱的中點共面，此時共有3種取法故與頂點A共面的3個點的取法共有3C53＋3＝33(種)3．D[設6位同學分別為a，b，c，d，e，f．若隨意兩位同學之間都進行一次交換，則進行交換的次數為C62＝15，現共進行了13次交換，說明有①由3人構成的2次交換沒有發生，如a，b之間和a，c之間沒有發生交換，則收到4份紀念品的有b，c2人；②由4人構成的2次交換沒有發生，如a，b之間和c，d之間沒有發生交換，則收到4份紀念品的有a，b，c，d4人．]4．ABC[依據題意，假如甲選考物理，則化學、生物、政治、地理中選考兩門，有C42＝6種選考方法種數；假如甲選考歷史，則化學、生物、政治、地理中選考兩門，有C42＝6種選考方法種數，故甲的選考方法種數共有5．B[分兩類：第一類，取出兩本畫冊，兩本集郵冊，從4人中選取2人送畫冊，則另外兩人送集郵冊，有C42種方法．其次類，3本集郵冊全取，取1本畫冊，從4人中選1人送畫冊，其余送集郵冊，有C416．635[從正方體的8個頂點中任取4個，有n＝C84＝70個結果，這4個點在同一個平面的有m＝6＋6＝12個，故所求概率P＝7．31400[甲同學物理、化學、生物至少選1門的對立事務是甲不選物理、化學和生物，所以甲的不同的選法種數為C73－C43＝31．8．8[首先排兩個奇數1，3，有A22種排法，再在2，4中取一個數放在1，3之間，有C21種排法，然后把這39．解：(1)從中任取4個球，紅球的個數不比白球少的取法可分為三類：4個紅球，3個紅球和1個白球，2個紅球和2個白球．若取出的為4個紅球，則取法有1種；若取出的為3個紅球和1個白球，則取法有C43若取出的為2個紅球和2個白球，則取法有C42C依據分類加法計數原理，可得紅球的個數不比白球少的取法有1＋24＋90＝115(種)．(2)總分不少于7分有三種狀況：取到4個紅球和1個白球，取到3個紅球和2個白球，取到2個紅球和3個白球．若取出的為4個紅球和1個白球，則取法有C44若取出的為3個紅球和2個白球，則取法有C43若取出的為2個紅球和3個白球，則取法有C42C依據分類加法計數原理，可知總分不少于7分的取法有6＋60＋120＝186(種)．10．C[依據題意，可分兩步進行支配：第一步，將5名志愿者分成4組，其中1組2人，其余每組1人，共有C5其次步，將分好的4組支配到4個項目中，有A44故支配方案共有C52A411．B[如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，如棱AD，BB1，C1D1中隨意2條所在的直線都是異面直線，像這樣的3條棱共有8組，∴在正方體的12條棱中任選3條，其中隨意2條所在的直線都是異面直線的概率為8C123＝12．B[依據題意，將10個相同的小球放入3個盒中，每個盒子至少1個小球，相當于將10個相同的小球分成3組，每組至少1個．可將10個小球排成一列，然后在除兩端的9個空位中隨意選取2個，插入隔板，故共有C92＝36(種)放法．故選13．1260[若取的4個數字不包括0，則可以組成的四位數的個數為C5若取的4個數字包括0，則可以組成的四位數的個數為C5由分類加法計數原理得，一共可以組成的沒有重復數字的四位數的個數為C5214．解：(1)所作出的平面有三類：①α內1點，β內2點確定的平面，最多有C41·C②α內2點，β內1點確定的平面，最多有C42·C③α，β本身，有2個．故所作的平面最多有C41·C62＋(2)所作的三棱錐有三類：①α內1點，β內3點確定的三棱錐，最多有C41·C②α內2點，β內2點確定的三棱錐，最多有C42·C③α內3點，β內1點確定的三棱錐，最多有C43·C故