人教版七年級數學下冊一?相交線與平行線？教師教

案

相交線與平行線〔教師教案〕

第一段典型例題

【開課】教師在正式開課前，先把本次課程的內容簡單概括一下：今

天的內容主要包括以下幾局部內容：

一.相交線、垂線的概念

二.同位角、內錯角、同旁內角等的概念

三.平行線的的性質和判定

【課程目標】

1.理解相交線的定義、對頂角的定義和性質、鄰補角的定義，正確識

別“三線八角”；

2.理解垂線的定義、點到直線的距離的定義，掌握垂線的性質；

3.理解平行線的概念，正確地表示平行線，會利用三角尺、直尺畫平

行線，理解平行公理和平行公理的推論；

4.掌握兩直線平行的判定方法和平行線的性質；

5.能綜合運用平行線的性質和判定證明和計算。

【課程安排】

1教師簡要介紹本次課程的關鍵點，同學做題，然后教師講解

2教師總結，學生做綜合練習〔第二段〕教師講解

【教師講課要求】

教師先將第一段練習發給每一位學生，學生做題時教師必須巡視，了解

學生做題情況，學生完成練習后，教師進行講解。

第一局部相交線、垂線

課時目標：理解相交線的定義、對頂角的定義和性質、鄰補角的定義，

正確識別“三線八

角〃；理解垂線的定義、點到直線的距離的定義，掌握垂線的性質；

教師講課要求

【知識要點】：請學生看一下做好上課的準備

〔一〕相交線

1.相交線的定義

在同一平面內，如果兩條直線只有一個公共點，那么這兩條直線叫做相

交線，公共點稱為兩條直線的交點。如圖1所示，直線AB與直線CD相交于

點0。

A

CBCDA4123D10B

圖1圖2圖3

2.對頂角的定義

假設一個角的兩條邊分別是另一個角的兩條邊的反向延長線，那么這兩

個角叫做對頂角。如圖2所示，N1與N3、N2與N4都是對頂角。

注意：兩個角互為對頂角的特征是：［1）角的頂點公共；〔2〕角的兩

邊互為反向延長線；

〔3〕兩條相交線形成2對對頂角。

3.對頂角的性質

BC

對頂角相等。

4.鄰補角的定義

如果把一個角的一邊反向延長，這條反向延長線與這個角的另一邊構成

一個角，此時就說這兩個角互為鄰補角。如圖3所示，N1與N2互為鄰補

角，由平角定義可知Nl+N2=180°。

〔二〕垂線

1.垂線的定義

當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線

互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。

ADA

C1DBBC

圖4

如圖4所示，直線AB與CD互相垂直，垂足為點0,那么記作ABLCD

于點0。其中“J_〃是“垂直〃的記號；是圖形中“垂直〃（直角）的標

記。

注意：垂線的定義有以下兩層含義：

⑴VABXCD（）⑵VZ1=9O°。

.,./1=90。［垂線的定義）.-.AB±CD1垂線的定義）

2.垂線的性質

〔1〕性質1：在同一平面內，經過直線外或直線上一點，有且只有一

條直線與直線垂直，即過一點有且只有一條直線與直線垂直。

〔2〕性質2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最

短。即垂線段最短。

3.點到直線的距離

直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。

圖5圖6

如圖5所示，m的垂線段PB的長度叫做點P至1J直線m的距離。

4.垂線的畫法〔工具：三角板或量角器）

5.畫線段或射線的垂線

11）垂足在線段或射線上

〔2〕垂足在線段的延長線或射線的反向延長線上

［三］“三線八角〃

一兩條直線被第三條線所截，可得八個角，即“三線八角〃,如圖6所

Zj\O

〔1〕同位角：可以發現N1與N5都處于直線1的同一側，直線a、b

的同一方，這樣位置的一對角就是同位角。圖中的同位角還有N2與N6,

N3與N7,N4與N8。

〔2〕內錯角：可以發現N3與N5都處于直線1的兩旁，直線a、b的

兩方，這樣位置的一對角就是內錯角。圖中的內錯角還有N4與N6。

(3)同旁內角：可以發現N4與N5都處于直線1的同一側，直線a、

b的兩方，這樣位置的一對角就是同旁內角。圖中的同旁內角還有N3與

Z6o

范例1.判斷以下語句是否正確，如果是錯誤的，說明理由。

〔1〕過直線外一點畫直線的垂線，垂線的長度叫做這個點到這條直線

的距離；

〔2〕從直線外一點到直線的垂線段，叫做這個點到這條直線的距離；

13〕兩條直線相交，假設有一組對頂角互補，那么這兩條直線互相垂

直；

〔4〕兩條直線的位置關系要么相交，要么平行。

分析：此題考查學生對根本概念的理解是否清晰。〔1〕、〔2〕都是對

點到直線的距離的描述，由“直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做

點到直線的距離〃可判斷〔1〕、〔2〕都是錯的；由對頂角相等且互補易

知，這兩個角都是90°,故［3)正確；同一平面內，兩條直線的位置關系

是相交或平行，必須強調“在同一平面內〃。

解答：［1)這種說法是錯誤的。因為垂線是直線，它的長度不能度

量，應改為“垂線段的長度叫做點到直線的距離〃。

〔2〕這種說法是錯誤的。因為“點到直線的距離〃不是指點到直線的

垂線段的本身，而是指垂線段的長度。

13〕這種說法是正確的。

〔4〕這種說法是錯誤的。因為只有在同一平面內，兩條直線的位置關

系才是相交或平行。如果沒有“在同一平面內〃這個前提，兩條直線還可能

是異面直線。

說明：此題目的是讓學生抓住相交線平行線這局部概念的本質，弄清易

混概念。

范例2.如以下圖〔1〕所示，直線DE、BC被直線AB所截，問1與

4,2與4,3與4各是什么角？

A

D

1

23

E

4

C

圖⑴

分析：圖形不標準，開始學不容易看，可把此圖畫成如以下圖［2）的

樣子，這樣就容易看了。

A

D

1

23

E

4

C

圖⑵

答案：1與4是同位角，2與4是內錯角，3與4是同旁內

角。

范例3如以下圖〔1〕，

12

6

411

13

圖⑴

⑴1與2是兩條直線與被

第三條直線所截構成的角。

⑵1與3是兩條直線與被第

三條直線所截構成的角。

⑶3與4是兩條直線與被

第三條直線所截構成的角。

〔4〕5與6是兩條直線與,被第

三條直線所截構成的角。

分析：從較復雜的圖形中分解出有關角的直線，因此可以得到1與

3是由直線11,13被第三條直線12所截構成的同位角，如以下圖

12),類似可知其他情況。

12

11

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13

圖⑵

答案：門)1與2是兩條直線12與13被第三條直線11所截構成

的同位角。

12〕1與3是兩條直線11與13被第三條直線12所截構成的同位

角。

〔3〕3與4是兩條直線11與13被第三條直線12所截構成的內錯

角。

(4)5與6是兩條直線11與12被第三條直線13所截構成的同旁

內角。范例4按要求作圖，并答復以下問題。

范例5作圖題

III

flm

<11tan13?入［線/.。柑安?0“d/,.使2。“續

<,和交慘K的/力?5Z?4為R位角.

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范例6證明垂直

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第二局部平行線

［課時目標］理解平行線的概念，正確地表示平行線，掌握兩直線平行

的判定方法和平行線的性質能綜合運用平行線的性質和判定證明和計算。

教師講課要求

知識要點：請學生看一下準備上課

1.平行線的概念

在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。

注意：

〔1〕在平行線的定義中，“在同一平面內〃是個重要前提；

〔2〕必須是兩條直線；

(3)同一平面內兩條直線的位置關系是：相交或平行，兩條互相重合

的直線視為同一條直線。

兩條直線的位置關系是以這兩條直線是否在同一平面內以及它們的公共

點個數m進行

住村外1*而向

HI二1

5節

MH個千女內m*0

A

2.平行線的表示方法BD

平行用“〃〃表示，如圖7所示，直線AB與直線CD平行，記作

AB//CD,讀作AB平行于CD。

3.平行線的畫法

4.平行線的根本性質

〔1〕平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與直線平行。

〔2〕平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩

條直線也平行。

5.平行線的判定方法：

11〕兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線

平行。

12〕兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線

平行。

13〕兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直

線平行。

〔4〕兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行。

〔5〕在同一平面內，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩

條直線平行。

6.平行線的性質：

〔1〕兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡記：兩直線平

行，同位角相等。

12〕兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。簡記：兩直線平

行，內錯角相等。

13〕兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。簡記：兩直線平

行，同旁內角互補。

范例1如圖，NAMF=NBNG=75°,ZCMA=55°，求NMPN的大小圖7

BFH

答案：50°

解析：因為NAMF=NBNG=75°,又因為NBNG=NMNP,所以

ZAMF=ZMNP,所以EF〃GH,所以NMPN=NCME,又因為N

AMF=75°,NCMA=55°,所以NAMF+NCMA=130°,即NCMF=130°,所

以NCME=180°-130°=50°,所以NMPN=50°

范例2如圖，N1與N3為余角，N2與N3的余角互補，N4=115。，

CP平分NACM,求NPCM

答案：57.5°

解析：因為Nl+N3=90°,Z2+〔90°-Z3)=180°,所以

Z2+Zl=180°,所以AB

1

//DE,所以NBCN=N4=H5

°,所以NACM=H5°,又因為CP平分NACM,所以NPCM=2

1

ZACM=2X115°=57.5°,所以NPCM=57.5

范例3如圖，：Nl+N2=180°,N3=78°,求N4的大小

答案：102°

解析：因為N2=NCDB,又因為Nl+N2=180。，所以

Zl+ZCDB=180°,所以得到AB〃CD,所以N3+N4=180°,又因為

Z3=78°,所以N4=102°

范例4如圖，：NBAP與NAPD互補，N1=N2,說明：NE=NF

解析：因為NBAP與NAPD互補，所以AB〃CD,所以NBAP=NCPA,又

因為N1=N2,所以NBAP—N1=NCPA—N2,即NEAP=NFPA,所以

EA/7PF,所以NE=NF

范例5如圖，AB〃CD,P為HD上任意一點，過P點的直線交HF于0

點，試問：NHOP、NAGF、NHP0有怎樣的關系？用式子表示并證明

答案：ZHOP=ZAGF-ZHPO

解析：過。作CD的平行線MN,因為AB〃CD,且CD〃MN,所以

AB〃MN,所以NAGF=NMOF=NHON,因為CD〃MN,ZHPO=ZPON,所以

ZHOP=ZHON-ZPON=ZHON-ZHPO,所以NHOP=NAGF—Z

HPO

范例6如圖，AB〃CD,說明：ZB+ZBED+ZD=360°

ABAB

E

a

CDCDE

分析：因為AB〃CD,所以在NBED的內部過點E作AB的平行線，將NB

+Z

BED+ZD的和轉化成對平行線的同旁內角來求。

解：過點E作EF〃AB,那么

ZB+ZBEF-18O0〔兩直線平行，同旁內角互補〕

VAB/7CD。

EF//AB〔作圖）

/.EF/7CD1平行于同一條直線的兩直線平行〕

.,.ZD+ZDEF=180°〔兩直線平行，同旁內角互補〕

AZB+ZBEF+ND+NDEF=360°

ZB+ZBED+ZD=ZB+ZBEF+ZD+ZDEF

.".ZB+ZBED+ZD=360°

范例7.小張從家〔圖中A處〕出發，向南偏東40°方向走到學校〔圖

中B處），再從學校出發，向北偏西75。的方向走到小明家〔圖中C

處），試問NABC為多少度？說明你的理由。

解：VAE/7BD0

ZBAE=ZDBA〔兩直線平行，內錯角相等〕

VZBAE=40°〔〕

.,.ZABD=40°〔等量代換〕

VZCBD=ZABC+ZABD〔）

.'.ZABC=ZCBD-ZABD〔等式性質〕

VZABD=40°〔〕

，NABC=75°-40°=35°

范例8如圖，NADC=NABC,Zl+Z2=180°,AD為NFDB的平分

線，說明：BC為NDBE的平分線。

分析：從圖形上看，AE應與CF平行，AD應與BC平行，不妨假設它們

都平行，這時

欲證BC為NDBE的平分線，只須證N3=N4,而N3=NC=N6,

N4=N5,由AD為NFDB的平分線知N5=N6,這樣問題就轉化為證

AE/7CF,且AD〃BC了，由條件Nl+N2=180°不難證明AE〃CF,利用它的

平行及NADC=NABC的條件，不難推證AD〃BC。

證明：VZ1+Z2=18O°

Z2+Z7=180°〔補角定義〕

.-.Z1=Z7［同角的補角相等〕

/.AE/7CF［同位角相等，兩直線平行〕

/.ZABC+ZC=180°〔兩直線平行，同旁內角互補〕

又NADC=NABC口，CF〃AB〔已證〕

.-.ZADC+ZC=180°〔等量代換〕

.?.AD〃BC［同旁內角互補，兩直線平行〕

/.Z6=ZC,Z4=Z51兩直線平行，同位角相等，內錯角相等〕

又N3=NC1兩直線平行，內錯角相等）

AZ3=Z6［等量代換）

又AD為NBDF的平分線

.*.N5=N6

.\Z3=Z4［等量代換）

；.BC為NDBE的平分線

范例9如圖，DE,BE分別為NBDC,NDBA的平分線，ZDEB=Z1+

Z2

⑴說明：AB〃CD

〔2〕說明：ZDEB=90°

分析：〔1〕欲證平行，就找角相等與互補，但就此題，直接證NCDB

與NABD互補比擬困難，而N1+N2=NDEB,假設以E為頂點，DE為一邊,

在NDEB內部作NDEF=N2,再由DE,EB分別為NCDB,NDBA的平分線，

就不難證明AB〃CD了，〔2〕由〔1〕證

得AB〃CD后，由同旁內角互補,易證Nl+N2=90°,進而證得

ZDEB=90°

證明：〔1〕以E為頂點，ED為一邊用量角器和直尺在NDEB的內部作

ZDEF=Z2

?DE為NBDC的平分線□

?,.Z2=ZEDC［角平分線定義）

.\ZFED=ZEDC〔等量代換〕

.?.EF〃DC［內錯角相等，兩直線平行）

VZDEB=Z1+Z2。

???NFEB=N1（等量代換），NEBA=NEBF=N1（角平分線定義〕

AZFEB=ZEBA〔等量代換〕

...FE〃BA〔內錯角相等，兩直線平行）

又EF〃DC

.,.BA/7DC〔平行的傳遞性）

⑵VAB/7DC（已證）

.,.ZBDC+ZDBA=180°〔兩直線平行，同旁內角互補）

11

又N1=2NDBA,N2=2NBDC〔角平分線定義〕

.-.Zl+Z2=90°

又N1+N2=NDEB

/.ZDEB=90°

第二段

一.選擇題

1.如圖1,直線a、b相交，Zl=120°,那么N2+N3=1)

A.60°

答案：C

a214baB.90°C.120°D.180°3

圖1圖2圖3

2.如圖2,要得到a〃b,那么需要條件

A.Z2=Z4B.Zl+Z3=180°

C.Zl+Z2=180D.Z2=Z3

答案：C

3.如圖3,給出了過直線外一點作直線的平行線的方法，其依據是

A.同位角相等，兩直線平行B.內錯角相等，兩直線平行

C.同旁內角互補，兩直線平行D.兩直線平行，同位角相等

答案：A

4.如圖4,AB/7ED,那么NA+NC+ND=〔）

A.180°

A

CB.270°BC.360°D.540°

圖4圖5

答案：C

5.如圖5所示，11/712,Zl=120°,Z2=100°,那么N3=〔〕

DE

A.20°B.40°C.50°D.60°

答案：B

6.：如圖6,NAOB的兩邊0A、OB均為平面反光鏡，NA0B=40°,

在OB上有一點P,從P點射出一束光線經0A上的Q點反射后，反射光線QR

恰好與0B平行，那么NQPB的度數是〔〕

A.60°B.80°C.100°D.120°

答案：B

圖7圖8

7.以下說法正確的選項是〔)

A.兩條不相交的直線叫做平行線B.同位角相等

C.兩直線平行，同旁內角相等D.同角的余角相等

答案：D

8.如果N1和N2是兩平行線a,b被第三條直線c所截的一對同位

角，那么1)

A.N1和N2是銳角B.Zl+Z2=180°1

1

C.2/1+2/2=90°D.N1=N2

答案：D

9.如圖5,AB/7CD,那么結論：⑴N1=N2；〔2〕N3=N4；(3)

N1+N3=N2+N4中正確的選項是〔

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIMIIIIIIIII

A.只有⑴B.只有⑵

C.⑴和(2)C.⑴⑵⑶

答案：D

圖5

10.如圖6,AB〃CD,假設N3是N1的3倍，那么N3為〔〕

A.45

答案：BB.135C.120D.

圖6圖7

11.如圖7,DH/7EG/7BC,且DC〃EF,那么圖中與N1相等的角〔不包

括ND的個數是1)

A.2B.4C.5D.6

答案：C

12.如圖8,AB〃CD,CE平分NACD,NA=110°,那么NECD的度數為

A110°B.70°C.55°D.35°

答案：D

圖8圖9

13.如圖9,如果DE〃BC,那么圖中互補的角的對數是1〕

A.2對B.3對C.4對D.5對

答案：C

二.填空題

1.如圖7,CB±AB,NCBA與NCBD的度數比是5:1,那么NDBA=

度，NCBD的補角是度。

答案:72°；162°

2.如圖8,AC±BC,CDLAB,點A到BC邊的距離是線段的長,

點B到CD邊的距離是線段的長，圖中的直角有,ZA

的余角有，和NA相等的角有o

答案：AC；BD；ACB,ADC,CDB；B,ACD；DCB

3.如圖9,當N1=N時，AB〃CD；當ND+N=180°

時，AB/7CD；當NB=N時，AB〃CD。

答案：4；DAB；5

圖9圖10

4.如圖10,AB〃CD,直線1平分NAOE,Zl=40°,那么N2=

.答案：70

5.假設兩個角的兩邊分別平行，而一個角比另一個角的3倍少

30°,那么兩個角的度數分別是o

答案：15和15或52.5和127.5

6.如圖1,（）〃〔〕［）,/.ZD=〔）〔〕又

VZD=Z3〔）

答案：AD/7BE,內錯角相等，兩直線平行，ZDBE,兩直線平行，內錯

角相等，NDBE=

N3,BD/7CE,內錯角相等，兩直線平行

A

圖1圖2

7.如圖2,AD/7BC,Zl=60°,N2=50°,那么NA=[),ZCBD=

〔),ZADB=〔),NA+NADB+N2=〔)

答案：60°,70°