江蘇省南通市海安中學(xué)2022年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.記集合和集合表示的平面區(qū)域分別是和,若在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)落在區(qū)域的概率為()A. B. C. D.2.函數(shù)的圖象可能是()A. B. C. D.3.若,則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是()A.B.C.D.4.在平行六面體中,M為與的交點(diǎn),若,,則與相等的向量是()A. B. C. D.5.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積為()A. B. C. D.6.若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上,則實(shí)數(shù)a為()A. B.2 C. D.7.已知,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.8.在中,是的中點(diǎn),,點(diǎn)在上且滿足,則等于()A. B. C. D.9.設(shè),分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),且,,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.10.在的展開(kāi)式中,含的項(xiàng)的系數(shù)是()A.74 B.121 C. D.11.已知函數(shù),當(dāng)時(shí),恒成立,則的取值范圍為()A. B. C. D.12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則①處應(yīng)填寫()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若的最小值為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________14.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,若,的面積為,則_______,_______.15.在直角三角形中,為直角,,點(diǎn)在線段上,且,若,則的正切值為_(kāi)____.16.已知不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)椋瑒t區(qū)域的外接圓的面積為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知矩陣,求矩陣的特征值及其相應(yīng)的特征向量.18.(12分)某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)某校學(xué)生做了一個(gè)是否同意生“二孩”抽樣調(diào)查,該調(diào)查機(jī)構(gòu)從該校隨機(jī)抽查了100名不同性別的學(xué)生,調(diào)查統(tǒng)計(jì)他們是同意父母生“二孩”還是反對(duì)父母生“二孩”,現(xiàn)已得知100人中同意父母生“二孩”占60%,統(tǒng)計(jì)情況如下表:同意不同意合計(jì)男生a5女生40d合計(jì)100(1)求a,d的值,根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與性別有關(guān)?請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)在從所有學(xué)生中,采用隨機(jī)抽樣的方法抽取4位學(xué)生進(jìn)行長(zhǎng)期跟蹤調(diào)查,記被抽取的4位學(xué)生中持“同意”態(tài)度的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63519.(12分)如圖,平面四邊形為直角梯形,,,,將繞著翻折到.(1)為上一點(diǎn),且,當(dāng)平面時(shí),求實(shí)數(shù)的值;(2)當(dāng)平面與平面所成的銳二面角大小為時(shí),求與平面所成角的正弦.20.(12分)某商場(chǎng)為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量,在進(jìn)場(chǎng)購(gòu)物的顧客中隨機(jī)抽取了人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.調(diào)查后,就顧客“購(gòu)物體驗(yàn)”的滿意度統(tǒng)計(jì)如下:滿意不滿意男女是否有的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)?若在購(gòu)物體驗(yàn)滿意的問(wèn)卷顧客中按照性別分層抽取了人發(fā)放價(jià)值元的購(gòu)物券.若在獲得了元購(gòu)物券的人中隨機(jī)抽取人贈(zèng)其紀(jì)念品,求獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率.附表及公式:.21.(12分)已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)若數(shù)列為等比數(shù)列,求數(shù)列的公比的值;(2)設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,且.①求數(shù)列的通項(xiàng)公式;②求證:.22.(10分)如圖,在中,點(diǎn)在上,,,.(1)求的值;(2)若,求的長(zhǎng).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

據(jù)題意可知,是與面積有關(guān)的幾何概率,要求落在區(qū)域內(nèi)的概率,只要求、所表示區(qū)域的面積,然后代入概率公式,計(jì)算即可得答案.【詳解】根據(jù)題意可得集合所表示的區(qū)域即為如圖所表示:的圓及內(nèi)部的平面區(qū)域,面積為,集合,,表示的平面區(qū)域即為圖中的,,根據(jù)幾何概率的計(jì)算公式可得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概率的計(jì)算,本題是與面積有關(guān)的幾何概率模型.解決本題的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確求出兩區(qū)域的面積.2、A【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性,以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號(hào),結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋摵瘮?shù)為偶函數(shù),排除B、D選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,排除C選項(xiàng).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式辨別函數(shù)的圖象,一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號(hào),結(jié)合排除法得出結(jié)果,考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于中等題.3、B【解析】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,,在恒成立,在恒成立,,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是,故選B.4、D【解析】

根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算,用作基底表示即可得解.【詳解】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可知因?yàn)?,則即,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算,用基底表示向量,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

由三視圖可知,幾何體是一個(gè)三棱柱,三棱柱的底面是底邊為,高為的等腰三角形,側(cè)棱長(zhǎng)為,利用正弦定理求出底面三角形外接圓的半徑,根據(jù)三棱柱的兩底面中心連線的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心,求出球的半徑,即可求解球的表面積.【詳解】由三視圖可知,幾何體是一個(gè)三棱柱,三棱柱的底面是底邊為,高為的等腰三角形,側(cè)棱長(zhǎng)為,如圖:由底面邊長(zhǎng)可知,底面三角形的頂角為,由正弦定理可得,解得,三棱柱的兩底面中心連線的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心,所以,該幾何體外接球的表面積為:.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了多面體的內(nèi)切球與外接球問(wèn)題,由三視圖求幾何體的表面積,考查了學(xué)生的空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),再由實(shí)部為求得值.【詳解】解:在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上,,即.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.7、D【解析】

構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間,由此判斷出的大小關(guān)系.【詳解】依題意,得,,.令,所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以,且,即,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查對(duì)數(shù)式比較大小,屬于中檔題.8、B【解析】

由M是BC的中點(diǎn),知AM是BC邊上的中線,又由點(diǎn)P在AM上且滿足可得:P是三角形ABC的重心,根據(jù)重心的性質(zhì),即可求解.【詳解】解:∵M(jìn)是BC的中點(diǎn),知AM是BC邊上的中線,又由點(diǎn)P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM=1∴∴故選B.【點(diǎn)睛】判斷P點(diǎn)是否是三角形的重心有如下幾種辦法:①定義:三條中線的交點(diǎn).②性質(zhì):或取得最小值③坐標(biāo)法:P點(diǎn)坐標(biāo)是三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均數(shù).9、C【解析】

根據(jù)表示出線段長(zhǎng)度,由勾股定理,解出每條線段的長(zhǎng)度,再由勾股定理構(gòu)造出關(guān)系,求出離心率.【詳解】設(shè),則由橢圓的定義,可以得到,在中,有,解得在中,有整理得,故選C項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查幾何法求橢圓離心率,是求橢圓離心率的一個(gè)常用方法,通過(guò)幾何關(guān)系,構(gòu)造出關(guān)系,得到離心率.屬于中檔題.10、D【解析】

根據(jù),利用通項(xiàng)公式得到含的項(xiàng)為:,進(jìn)而得到其系數(shù),【詳解】因?yàn)樵冢院捻?xiàng)為:,所以含的項(xiàng)的系數(shù)是的系數(shù)是,,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式及通項(xiàng)公式和項(xiàng)的系數(shù),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題,11、A【解析】

分析可得,顯然在上恒成立,只需討論時(shí)的情況即可,,然后構(gòu)造函數(shù),結(jié)合的單調(diào)性,不等式等價(jià)于,進(jìn)而求得的取值范圍即可.【詳解】由題意,若,顯然不是恒大于零,故.,則在上恒成立;當(dāng)時(shí),等價(jià)于,因?yàn)?所以.設(shè),由,顯然在上單調(diào)遞增,因?yàn)?所以等價(jià)于,即,則.設(shè),則.令,解得,易得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,從而,故.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問(wèn)題,利用函數(shù)單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵,考查了學(xué)生的推理能力,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

模擬程序框圖運(yùn)行分析即得解.【詳解】;;.所以①處應(yīng)填寫“”故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

,可得在時(shí),最小值為,時(shí),要使得最小值為,則對(duì)稱軸在1的右邊,且,求解出即滿足最小值為.【詳解】當(dāng),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.當(dāng)時(shí),為二次函數(shù),要想在處取最小,則對(duì)稱軸要滿足并且,即,解得.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的最值問(wèn)題,對(duì)每段函數(shù)先進(jìn)行分類討論,找到每段的最小值,然后再對(duì)兩段函數(shù)的最小值進(jìn)行比較,得到結(jié)果,題目較綜合,屬于中檔題.14、【解析】

由已知及正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得,從而求得,結(jié)合范圍,即可得到答案運(yùn)用余弦定理和三角形面積公式,結(jié)合完全平方公式,即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得,可得:解得,即,由面積公式可得:,即由余弦定理可得:即有解得【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形,題目較為基礎(chǔ),只要按照題意運(yùn)用公式即可求出答案15、3【解析】

在直角三角形中設(shè),,,利用兩角差的正切公式求解.【詳解】設(shè),,則,故.故答案為:3【點(diǎn)睛】此題考查在直角三角形中求角的正切值,關(guān)鍵在于合理構(gòu)造角的和差關(guān)系,其本質(zhì)是利用兩角差的正切公式求解.16、【解析】

先作可行域,根據(jù)解三角形得外接圓半徑,最后根據(jù)圓面積公式得結(jié)果.【詳解】由題意作出區(qū)域,如圖中陰影部分所示,易知,故,又,設(shè)的外接圓的半徑為,則由正弦定理得,即,故所求外接圓的面積為.【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問(wèn)題,首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線,其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離、可行域面積、可行域外接圓等等,最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為,矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為【解析】

先由矩陣特征值的定義列出特征多項(xiàng)式,令解方程可得特征值,再由特征值列出方程組,即可求得相應(yīng)的特征向量.【詳解】由題意,矩陣的特征多項(xiàng)式為,令,解得,,將代入二元一次方程組,解得,所以矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為;同理,矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為v【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算,其中解答中熟記矩陣的特征值和特征向量的計(jì)算方法是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.18、(1),有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān);(2)詳見(jiàn)解析.【解析】

(1)根據(jù)表格及同意父母生“二孩”占60%可求出,,根據(jù)公式計(jì)算結(jié)果即可確定有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)(2)由題意可知X服從二項(xiàng)分布,利用公式計(jì)算概率及期望即可.【詳解】(1)因?yàn)?00人中同意父母生“二孩”占60%,所以,文(2)由列聯(lián)表可得而所以有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)(2)①由題知持“同意”態(tài)度的學(xué)生的頻率為,即從學(xué)生中任意抽取到一名持“同意”態(tài)度的學(xué)生的概率為.由于總體容量很大,故X服從二項(xiàng)分布,即從而X的分布列為X01234X的數(shù)學(xué)期望為【點(diǎn)睛】本題主要考查了相關(guān)性檢驗(yàn)、二項(xiàng)分布,屬于中檔題.19、(1);(2).【解析】

(1)連接交于點(diǎn),連接,利用線面平行的性質(zhì)定理可推導(dǎo)出,然后利用平行線分線段成比例定理可求得的值;(2)取中點(diǎn),連接、,過(guò)點(diǎn)作,則,作于,連接,推導(dǎo)出,,可得出為平面與平面所成的銳二面角,由此計(jì)算出、,并證明出平面,可得出直線與平面所成的角為,進(jìn)而可求得與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)連接交于點(diǎn),連接,平面,平面,平面平面,,在梯形中,,則,,,,所以,;(2)取中點(diǎn),連接、,過(guò)點(diǎn)作,則,作于,連接.為的中點(diǎn),且,,且,所以,四邊形為平行四邊形,由于,,,,,,,為的中點(diǎn),所以,,,同理,,,,平面,,,,為面與面所成的銳二面角,,,,,則,,,平面,平面,,,,面,為與底面所成的角,,,.在中,.因此,與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用線面平行的性質(zhì)求參數(shù),同時(shí)也考查了線面角的計(jì)算,涉及利用二面角求線段長(zhǎng)度,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.20、有的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān);.【解析】

由題得,根據(jù)數(shù)據(jù)判斷出顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān);獲得了元購(gòu)物券的人中男顧客有人,記為,;女顧客有人,記為,,,.從中隨機(jī)抽取人,所有基本事件有個(gè),其中僅有1人是女顧客的基本事件有個(gè),進(jìn)而求出獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率.【詳解】解析:由題得所以,有的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān).獲得了元購(gòu)物券的人中男顧客有人,記為,;女顧客有人,記為,,,.從中隨機(jī)抽取人,所有基本事件有:,,,,,,,,,,,,,,,共個(gè).其中僅有1人是女顧客的基本事件有:,,,,,,,,共個(gè).所以獲

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