第八章第1節《基本立體圖形》提高訓練題（14）

一、單項選擇題（本大題共14小題，共70.0分）

1.已知在三棱錐P-4BC中，P41平面ABC,PA=4,AB=AC=5,BC=8,點。為8C的中

點、,記三棱錐P-ABC外接球的球心為E,三棱錐P-40C外接球的球心為凡貝1|EF=

A.?B.|C.ID.；

3332

2.已知正四面體A8CD的外接球的表面積為半，點M是線段AO的中點，點N在直線CM上運動，

則（|BN|+|DN|）2的最小值為

A.2+—B.1+漁C.2+速D.1+立

3333

3.如圖，棱長為1的正方體ZBCD-4&GD1中，P為線段2$上的動點，龍-----------/

則下列結論錯誤的是（）

A.DG1QP

B.平面541Pl■平面&4P

C.NAP/的最大值為90°

D.A2+「。1的最小值為，2+/

4.設。是正四面體P-4BC底面2MBe的中心,過。的動平面與PC交于5,與P4PB的延長線分別

交于Q,R,則高+直+高（）

A.有最大值而無最小值

B.有最小值而無最大值

C.既有最大值又有最小值，且兩者不相等

D.是一個與平面QRS無關的常數

5.已知底面半徑為1,體積為四兀的圓柱,內接于一個高為2遮圓錐（如A

則從點A繞圓錐的側面到點BZ-X

圖），線段AB為圓錐底面的一條直徑，

的最短距離為（）

A.8

B.4V3

C.4V2

D.4

6.四面體ABC。的四個頂點在同一球面上，AB=BC=CD=DA=4,AC=BD=2VLE為AC

的中點，過E作其外接球的截面，則截面面積的最大值與最小值的比為（）

A.5:4B.5：V3C.5:3D.5:2

7.如圖，在三棱柱中，E,F,6分別為棱AB,AC,A'/\]?

AAr,CG的中點，點G,“分別為四邊形ABB14,BCG/對角線E\…--J

的交點，點/為AAiBiG的外心，P,Q分別在直線EF,EJi上運d/*H/

動，則在G,H,I,這三個點中，動直線PQ（）“熊校歹了"C

A.只可能經過點/B

B.只可能經過點G,H

C.可能經過點G,H,I

D.不可能經過點G,H,I

8.中國古代名詞“芻（cMl）童”原來是草堆的意思，九章算術注日，凡積芻有上下廣日童，薨謂其

屋蓋之茨也。是故薨之下廣袤與童之上廣袤等。正斬方亭兩邊，合之即芻技之形也。古代用它

作為長方棱臺（上、下底面均為矩形的棱臺）的專用術語，今有一芻（cH）童的三視圖如下，則其

外接球的表面積為（）

9.如圖所示，已知四棱臺4BC0-4道165的上下底面均為正方形，其中AB=2或,&&=

VI,441=BBl=CG=DD1=2,則下列敘述正確的個數為（）

(1)該四棱臺的高為g，(2)A41CG，(3)該四棱臺的表面積為26,(4)該四棱臺外接球的表面

積為167r

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.在棱長為2的正方體力BCD-&B1GD1中，點何是對角線4cl上的點(點

M與A、G不重合)，則下列結論正確的個數為()

①存在點使得平面&DMJ?平面BGD；

②存在點M,使得DM〃平面B/D1；

③若△ADM的面積為S,則SG(竽,2百)：

④若Si、52分別是在平面AiBiQDi與平面BBiGC的正投影的面積，則存在點M,使得

Si=S2-

A.1個B.2個C.3個D.4個

11.已知矩形ABC。，AB=1,AD=近,E為4。的中點，現分別沿BE,CE將AABE,△DCE翻

折，使點A,。重合，記為點尸，則幾何體P—BCE的外接球表面積為()

A.107TB.57rC.vD.皿史

212

12.己知A,B,C,。四點均在球。的球面上，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點。在平面A8C

上的射影為AABC的中心，E為線段4。的中點，若BDLCE,則球。的表面積為()

A.367rB.427rC.54兀D.24遍兀

13.如圖所示，正方形ABCQ的邊長為2,切去陰影部分圍成一個正A

四棱錐，則當正四棱錐的側面積取值范圍為()

A.(1,2)

B.(1,2]

C.(0,2]

D.(0.2)?C

14.已知正四棱錐P-ABC。的所有頂點都在球。的球面上，該四棱錐的五個面所在的平面截球面所

得的圓大小相同，若正四棱錐P-4BC0的高為2,則球。的表面積為（）

A.87rB.97rC.12兀D.16兀

二、多項選擇題（本大題共2小題，共8.0分）

15.下列命題中正確的有（）

A.空間內三點確定一個平面

B.棱柱的側面一定是平行四邊形

C.分別在兩個相交平面內的兩條直線如果相交，則交點只可能在兩個平面的交線上

D.一條直線與三角形的兩邊都相交，則這條直線必在三角形所在的平面內

16.已知棱長為1的正方體力BCD-&B1GD1，過對角線BA作平面a交棱于點E,交棱CC】于點

F,以下結論正確的是（）

A.四邊形BFDiE不一定是平行四邊形

B.平面a分正方體所得兩部分的體積相等

C.平面支與平面OB/不可能垂直

D.四邊形面積的最大值為迎

三、填空題（本大題共10小題，共50.0分）

17.已知四棱錐P-4BCD的底面是邊長為。的正方形，其外接球的表面積為56兀，APAB是等邊三

角形，平面P4B，平面A8CZ）,則。=.

18.如圖，矩形488中，BC=2AB=2,N為8c的中點，將團4BN繞直線AN翻轉成團當力以占g

①與平面/AN垂直的直線必與直線CM垂直;

②線段CM的長恒為圣

③異面直線CM與NBi所成角的正切值為日;

④當三棱錐當-AND的體積最大時，其外接球的體積是三.

上面說法正確的所有序號是.

19.已知正四面體A8CD的四個頂點都在球心為。的球面上，點尸為棱BC的中點，BC=6,過點

P作球0的截面，則截面周長的最小值為.

20.在三棱錐P—4BC中，ABAC=.APDA=Z.PCA=90°,PB=PC=.點尸到底面ABC

的距離為魚，則三棱錐P的外接球的表面積為.

21.已知三棱錐力-BCD的頂點都在球。的球面上，O/U平面ABC,Z.BAC90,DA=2圾,

若球O的體積為36力，則三棱錐力-BCD的側面積的最大值為.

22.如圖所示,正方體ABCD-4B1GD1的棱4B=2,點E,F分別為棱上的動點，記a=AE+

EF+D】F.當a取最大值時，三棱錐劣一4EF的體積為匕，當a取最小值時，三棱錐劣-4EF的

體積為彩，則匕=;卷=?

23.在長方體488-4出。也中，AB=AD=y[2,A&=2,則該長方體的外接球的表面積

為.

24.如圖四邊形ABC。為梯形，AD//BC,乙4BC=90°,則圖中陰

影部分繞A8旋轉一周所形成的幾何體的表面積為,體

積為.

25.已知某幾何體的三視圖如圖所示，網格中的每個小方格是邊長為1的正方形，則該幾何體的體

積為________

26.如圖，在正方體中，ACC\BD=0,E是&C(不含端點)上一動點，則下列正

確結論的序號是.

①。1。_L平面4G。；

②0E〃平面4G。；

③三棱錐4-BDE體積為定值；

④二面角/一AC-B的平面角的正弦值為

四、多空題(本大題共3小題，共12.0分)

O

27.己知長方體4BCD—4B1C1D1中，=AD=2,AAr=2V3，己知P是矩形A8C。內一動

點，P&=4,設P點形成的軌跡長度為a,則tana=_(l)_；當CJ的長度最短時，三棱錐久一

OPC的體積為_(2)_.

28.在正三棱錐S-ABC中，M是SC的中點，且AMJ.SB,底面邊長AB=2近，則正三棱錐S-ABC

的體積為其外接球的表面積為_(2)_.

29.若封閉的直三棱柱4BC所有的頂點都在一個球面上，且滿足4B1BCAB=6,BC=

8,44=3,,則該球的表面積為若該封閉的三棱柱內有一個體積為V的球，則丫的最

大值為_(2)_,

五、解答題(本大題共1小題，共12.0分)

30.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8CZ)是平行四邊形，PA=PC=a,PB=PD=#,

/.APB=乙CPD=90°,設平面/MBn平面PCD=I.

(1)證明：

(2)若平面P4B_L平面PCD,求四棱錐P-4BCD的體積.

【答案與解析】

1.答案：A

解析：

本題考查三棱錐的外接球及空間立體幾何.屬于中檔題.

做輔助線得出△ABC外接圓的圓心，AaDC外接圓的圓心，通過計算可得結果.

解：設尸A的中點為G,易知平面EFG〃平面A8C,

過點E、尸分別作平面A8C的垂線，垂足分別記為E',F',所以EF=E'F'.

貝ij在△力BC中，點E'為△力BC外接圓的圓心，

在AADC中，點F'為△ADC外接圓的圓心，

可得E'C=E'A=F'C=F'A=

62

所以EF=E'F'=y/E'A2-F'A2=y.

故選A.

2.答案：B

解析：

本題考查棱錐的結構特征，正四面體的外接球，空間距離最值以及平面展開圖，考查學生空間想象

能力與計算能力，屬于難題.

首先將正四面體放入正方體中，求出正四面體的棱長，然后把平面8MC及平面CM。以CM為折線

展平得出：在平面。MBC中，連接B。，與MC相交于N點則。N+BN為最短距離，利用余弦定理

計算可得答案.

解：因為已知正四面體A8C。的外接球的表面積為手，將正四面體放入正方體中，正四面體的棱長

為正方體的面對角線，

設正方體棱長為小外接球的半徑為凡所以4川2—言，即4R2=|=3a2,

所以正方體棱長為立，所以正四面體ABCO的棱長為1,

2

點〃是線段4。的中點，點N在直線CM上運動，把平面BCM以及平面CDM以CM為折線展平,

三角形CMD為正三角形的一半，

所以CM=漁,DM=L,CD=1,BM=—，BC=1,

222

所以在平面。MBC中，連接8。，與MC相交于N點，則+|DN|為最短距離BO,

2+--1i

在三角形BMC中，由余弦定理得COSNBMC=施甚=?

所以sin/BMC=越，

3

所以COSNDMB=cos(90°+4BMC)=-sin/BMC=-苧，

所以BM=BM2+DM2-2BM-DM-cos^DMB=：+：-2x?x：x(-手)=1+凈

所以8。=Jl+y>

所以(|BN|+|￡W|)2的最小值為1+乎.

故選B.

3.答案：C

解析：

本題考查正方體的結構特征，以及線面垂直的判定與性質，面面垂直的判定，空間位置關系的判定,

屬于難題.

利用DC】LlaBCCi，可得DC11D1P,A正確；

利用平面D14BC1平面得出平面。送止J■平面44P,8正確；

當月/=當時，乙4PD1為直角，當。<4』<當時，N4PD1為鈍角，C錯；

將面4&B與面4BCD1沿展成平面圖形，線段AD1即為AP+PD1的最小值.

解：?；1DCi，ArB1DC1,A\D\.A\BC平面，:.DCrl.^A1BCD1,DrPu面&BCO1，

DCr1DjP,A正確；

?.?平面Di4P即為平面Di&BC,平面4通「即為平面Z/BBi，且。源11平面

二平面D14BC1平面&ABB1，.?.平面Di&P_L平面&4P,正確；

當0<&P<?時，NAP/%為鈍角，???(:錯；

將面與面&8CD1沿4中展成平面圖形，線段即為4P+P%的最小值,

在△544中，/.D.A.A=135°,利用余弦定理解三角形得=萬口^，

即4P+PD1>V2+V2>■-D正確.

故選C.

4.答案：D

解析：

本題考查棱錐的體積公式和結構特征，同時考查了三角形的面積公式，屬于難題.

設正四面體P—ABC各側棱兩兩夾角為a,PC與面A4B所成角為6，由%-PQR=%-PQR+%-PRS+

，0-PQ5可得結論，

解：設正四面體P-4BC中，各側棱兩兩夾角為a,PC與面PAB所成角為/?,

則Vs-PQH=.卜=g（；|PQITP用sim）?|PS|?sin/J,

記。到各側面的距離為“，

則%-PQR=^O-PQR+^O-PRS+%-PQS，

1111

HR.S/PQR,h=-SAPQR,d+-SAPRS-d+-SAPQS-d

Jdd

Xp十X

-一-

3IPQI3IP3

：.PQPRPS\sinB=d-（\PQ\.|P/?|+\PR\-PS\+\PQ\.|PS|）,

111sin3

即兩+兩+兩=丁

故選D

5.答案：C

解析：

本題考查了旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺、球）及其結構特征和旋轉體上的最短距離（折疊與展開圖），屬

于中檔題，

圓錐底面的半徑為2,底面周長為4兀，母線為4,所以圓錐展開圖的圓心角為兀，將圓錐展開圖即可

得出結果.

解：,底面半徑為1,體積為757r的圓柱，

二圓柱的高為百，

又內接于一個高為26圓錐，

根據相似原理可得5=g(r尺分別為圓柱與圓錐底面半徑，h,H分別為圓柱與圓錐的高),

Rn

rH1X273n

ARn=—=——=2,

h.yf3

即圓錐底面的半徑為2；.底面周長為4兀，母線為122+(2遍『=4,

所以圓錐展開圖是圓心角為7T,半徑為4的半圓.

將圓錐展開圖如圖，從點A繞圓錐的側面到點B的最短距離為=4VL

故選C.

解析：

本題考查幾何體外接球的截面問題，考察空間想象能力，線、面垂直關系，難度較難.

首先根據題意求解大圓半徑即球的半徑；其次利用截面圓面積最大和最小時兩截面互相垂直，即可

求解.

解：取80中點F,則根據對稱性得球心。為EP中點，且EF_L4c

因為AB=BC=CD=DA=4,所以AF1BD,CF1BD,

AF=CF=J42—(V2)2-V14

EF=y/AF2-AE2=V14-2=2V3

過E作其外接球的截面，則截面面積的最大為球的大圓，

半徑為04=JcjFF)2+AE2=VT+2=V5;

截面面積的最小為以4c為直徑的圓，半徑為魚,

從而截面面積的最大值與最小值的比為：

7T(V5)2:7r(-72)2=5:2,

故選D

7.答案：A

解析：

本題考查了空間中的兩條直線位置關系，也考查了直線過某一點的應用問題，是綜合性題目.

根據題意，得出P。與G”是異面直線，PQ不過點G,且不過點H；當公當18W1時，外接圓的圓

心/為斜邊41G的中點，再令尸與尸重合，。是Ei&的中點，此時PQ過點/.

解：如圖所示；

三棱柱4BC-中，連接G”,則GH//E1。,

二G、H、&、Ei四點共面，即平面GH&Ei；

因為Qe瓦姆,

QC平面GHFi%,

又點PC平面GH&Ei，且QCGH,

??.PQ與G4是異面直線，即尸。不過點G,且不過點H；

又點/為△4/1G的外心，

當ZiBilBiG時,/為4G的中點，

若P與尸重合，Q是的中點，此時尸Q過點/.

故選：A.

8.答案：B

解析:

本題考查了空間幾何體的三視圖，多面體（棱柱、棱錐、棱臺）及其結構特征和球的表面積和體積.

利用空間幾何體的三視圖得幾何體，再利用正四棱臺的性質得外接球的半徑，最后利用球的表面積

公式計算得結論.

解：由三視圖得：該幾何體是上底邊長為魚，下底邊長為2VL高為2的正四棱臺.

如下圖：

設上，下底面中心分別為01，02,則。1G=1,02c=2,。1。2=2.

若。為該幾何體外接球球心,則。磔+02c2=oof+01cl2,

即。磔+22=（2-。。2）2+1,解得0。2=%

因此。。2=001+02c2=—+4=—,

1616

所以該幾何體的外接球表面積為47rx整=竽.

164

故選民

9.答案：B

解析：

本題綜合考查立體幾何中線線位置關系，四棱臺的表面積、外接球的問題，屬于較難題.

根據棱臺的性質，補全為四棱錐，根據題中所給的條件以及棱錐和棱臺的性質，進行判斷.

解：由棱臺性質，畫出切割前的四棱錐，

s

由于4B=2?，A1B1=V2，可知ASaiBi與ASAB相似比為1：2；

則SA=2441=4,AO=2,則S。=2C，則。01=同該四棱臺的高為百，故(1)對；

因為$4=SC=4C=4,則44i與CG夾角為60。，不垂直，故(2)錯；

該四棱臺的表面積為S=S/公+S卜.底+S副=8+2+4x(功;2V2)*收一停=io+6近，

故(3)錯；

由于上下底面都是正方形，則外接球的球心在。。1上，

在平面8$。。1內，由于00]=C，a。1=1,則0B】=2=0B,即點。到點B與點名的距離相

等，則r=。8=2,該四棱臺外接球的表面積為16兀，故(4)對，

故正確的個數為2,

故選8.

10.答案：C

解析：

本題主要考查了空間直線與平面，平面與平面的位置關系，以及三角形面積，以及投影的定義的應

用，其中解答中熟記線面位置關系的判定與性質，以及熟練應用空間幾何體的結構特征是解答的關

鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.

由線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，可判定①正確；由面面平行的性質定理，可得判定

②正確；由三角形的面積公式，可求得AAiDM的面積S的范最小值，可判定③錯誤；由三角形的

面積公式，得到Si，52的范圍，可判定④正確.

解：連接BiC,設平面4181c。與體對角線4cl交于點M,

由&C1BC1，DC工BC[,B]CCDC=C,

可得8G1■平面4$iCD,即BGJL平面&DM,BGu平面BG。，

存在點M,使得平面41。”上平面8。1。，故①對；

由BD〃BiDi，AiD〃B]C,BDnA^D=D,nBtC=

利用面面平行的判定可得，平面&BD〃平面BiDiC,

設平面4BD與4G交于點M,可得0M〃平面Bi。。]，故②對；

連接4劣交4。于點O，過。作。ML4C1，

由①可推知，&D，平面ABGDi，

:.AtD10M,

???0M為異面直線必。與力G的公垂線，根據△40M7何也，則患=骨，即。M=電器=篝=

V6

—,

3

4]DM的最小面積為SAAOM=|xArDxOM=1X2>/2X-y=.誓■,故③錯；

在點尸從AG的中點向著點A運動過程中，S]從1減少趨向于0,即Si6(0,1),52從0增大到趨向于

2,即S?e(0,2),

在這過程中，必存在某個點P使得工=52,故④對.

故選：C.

11.答案：c

解析：

本題考查球的表面積的求法，球的內接體，考查空間想象能力以及計算能力.

???在矩形A8C。中，EALAB.EDLDC,

即在三棱錐P-BCE中PE1PC,PE1PB,

又在矩形A8CO中，AB=DC=1,AD=&，

???在三棱錐P—BCE中，PB=PC=1,BC=V2,

???4PBe滿足勾股定理，

即PBJ.PC,

:.PB,PC,PE兩兩垂直，

.??三棱錐P-BCE的夕卜接球半徑N=%(PB2+PC2+PE2)+=3

44\2/8

則三棱錐P-BCE的外接球的表面積為S=47n'2=4X|X7T=^.

o2

故選c.

12.答案：C

解析：

本題考查三棱錐結構特征，以及球的表面積，屬于中檔題.

由線面垂直得兩兩垂直，則三棱錐的外接球即正方體的外接球，求球的半徑，表面積即

可.

解：設△ABC的中心為G,延長BG交4C于凡則尸為AC中點，連接OF.

由題知0G，平面ABC,5LACu平面ABC,

所以。OC,

又正AABC中產為AC中點，所以AC1GB,

又DGCBG=G,DG、GBu平面QGB,

AC_L平面DGB,又DBu平面DGB,

.-.AC1DB,又BD1CE,

且CEnAC=C,CE、ACu平面AC。，

BDJ_平面ACD,又D-4BC為正三棱錐，

ZM,OB,0C兩兩垂直，

故三棱錐D-ABC可看作以。4DB,DC為棱的正方體的一部分,

二者有共同的外接球，由4B=6得￡M=3或，

故正方體外接球直徑為3魚x國=3通，半徑為當,

所以球。的表面積為4兀/?2=54TT,

故選C.

13.答案：D

解析：

本題主要考查了正四棱錐的幾何性質，正四棱錐中的棱長、高、體積的計算，建立函數模型并求其

最值的方法，有一定的難度.

設四棱錐一個側面為三角形APQ,乙4PQ=x,正四棱錐的表面積可表示為湍力，化簡后，利用

基本不等式求解即可.

設四棱錐一個側面為三角形APQ,^APQ=X,則力H=；PQxtanx=五二PQ，PQ==

221+tanx

\[2tanx

---------，

1+tanx

12\/2

S=4X^XPQX4H=2X'x

1+tanx2+2

214-taiur(1+皿1工『J—+fanx+2

tanx

(當且僅當tanx=1,即％時取等號)，而tanx>0,

故S>0,S=2時，三角形AP。是等腰直角三角形，頂角PAQ=90。，陰影部分不存在，折疊后A

與。重合，構不成棱錐，S的范圍為(0,2),

故選。.

14.答案：A

解析：

本題考查棱錐的定義，以及球的表面積公式，屬于較難題.

首先求出正四棱錐P-4BC。的底面邊長，側棱長，再求出球。的半徑，從而得到球。的表面積.

解：設正四棱錐P-4BCD的底面邊長為a,

則側棱長為PA=J(苧尸+22=旦/，

四汕+空汕

所以C0SN4PB=72：2=

,2。2+1612。2+16Q2+8

22

所以sin乙4PB=11-(-^-)2=

\va2+8ya2+8

由于四棱錐的五個面所在的平面截球面所得的圓大小相同，

所以三角形PAB的外接圓半徑為立a,

2

aox[2

所以由正弦定理得康孟玄=2x5a,解得：a2=872-8.

a2+8

設球0的外接圓半徑為r,所以/=(2-r)2+4a)2,

解得r=4=見土=也,

88

所以球。的表面積為4兀"—4兀(迎)2=8兀，

故選A.

15.答案:BC

解析：

本題主要考查了平面的基本性質及其推論的應用，屬于基礎題.

根據平面的基本性質及其推論，以及棱柱的性質，逐項分析，即可判斷出結果.

A.因為任意不共線的三點確定一個平面，故A錯誤；

氏根據棱柱的性質可得：正棱柱的側面是矩形，斜棱柱的側面可能是矩形和平行四邊形，棱柱的側

面一定是平行四邊形，故B正確；

C.分別在兩個相交平面內的兩條直線如果相交，則交點分別含于兩條直線，也分別含于兩個平面，

必然在交線上，故C正確：

。.若一條直線過三角形的頂點，則這條直線不一定在三角形所在的平面內，故。錯誤.

故選BC.

16.答案：BD

解析：

本題考查正方體中有關的線面的位置關系，解題的關鍵是理解想象出要畫出的平面是怎樣的平面，

有哪些特殊的性質，考慮全面就可以正確解題.

由平行平面的性質可得A是錯誤的；

運用正方體的對稱性即可判斷B；

當E、尸為棱中點時，通過線面垂直可得面面垂直，可得C不正確；

當E與A重合，當尸與G重合時，BFDiE的面積有最大值衣，可得。正確.

解：如圖,則:

對于A：因為平面4BB遇J/CC1D1。，平面BFOiEn平面488遇1=BE,平面BF/En平面CCi。1。=

D、F,：.BE〃D\F,同理可證：D、E〃BF,

故四邊形BFQE一定是平行四邊形，故力錯誤；

對于8：由正方體的對稱性可知，平面a分正方體所得兩部分的體積相等，故B正確；

對于C：當E、P為棱中點時,EF1平面B/D,又因為EFu平面8尸。出,所以平面85。遂_L平面8當0,

故C不正確；

對于D：當E與A重合，當尸與G重合時，BFDiE的面積有最大值，

此時S=1xVl2+I2=近，故。正確.

17.答案：2A/6

解析:

利用外接球的表面積56兀，求出四棱錐的外接球

半徑，進而利用勾股定理求解；

考查四棱錐外接球的理解，勾股定理的應用，

正確畫出示意圖是解決本題的關鍵；

解：根據題意，畫出示意圖如右圖所示，。為

四棱錐P-4BCD的外接球的球心，

貝也。川=\0P\=R,

設|0M|=h,

?:外接球的表面積是56兀，R=V14

d

:.h2+—=14

:+（號a-h）2=14.

聯立以上兩式解得a=2V6.

故答案為：2#）.

18.答案：①②④

解析：

本題考查翻折過程中點、線、面的位置關系，相關角度，長度，球的表面積的計算，考查空間想象

能力與運算能力，屬于中檔題.

①CM〃平面/AN,則可判斷；②通過線段相等CM=NE,可求出線段NE的長即可；③異面直線

CM與NB］所成角為NENBi，求出其tan/ENBi即可；④找出球心，求出半徑即可.

解：取4當的中點E,AO的中點F,連接EM,EN,FB°FN,

貝IJEM〃/10,EM=^AD,XNC//AD,NC=^AD,

則EM〃NC,EM=NC,則四邊形EMCN為平行四邊形,

故CM//EN,

又CM，平面Bi4N,ENu平面B14N,

故CM〃平面Bp4N,

則與平面垂直的直線必與直線CM垂直，故①正確；

CM=NE=jBi、2+BE=爭故②正確；

乙ENBi即為異面直線CM與NB]所成的角（或其補角），

tan"NB】=既=：,故③錯誤；

當平面/ANJ■平面AN￡＞時，三棱錐D-4NB1，即%-4ND的體積最大，

■:ABi=NBi，取4V中點。，則B1014N,

???平面BiANn平面AND=AN,BRu平面&AN,

則為0JL平面AND,FOu平面AND,

則當01F0,計算得當。=F0=當，則FBi=1,

此時凡4=FD=FN=FB]=1,顯然尸為三棱錐當一AND外接球球心，

所以三棱錐當-4N。外接球的半徑R=R4=1,

所以三棱錐當-AND外接球體積是半，故④正確.

其中正確結論的序號是①②④.

故答案為①②④.

19.答案：6兀

解析：

本題給出正四面體的外接球，求截面圓的周長最小值.著重考查了正方體的性質、球內接多面體和

球的截面圓性質等知識，屬于中檔題根據題意，將四面體A8C。放置于如圖所示的正方體中，則正

方體的外接球就是四面體A3CQ的外接球.因此利用題中數據算出外接球半徑/?,過P點的截面到

球心的最大距離，再利用球的截面圓性質可算出截面周長的最小值.

解：將四面體ABC。放置于正方體中，如圖所示

A

可得正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球，

???正四面體ABCD的棱長為6,

???正方體的棱長為3vL可得外接球半徑R滿足2R=3乃，

P為棱BC的中點，過尸作其外接球的截面，當截面到球心。的距離最大時，

截面周長的取得最小值，此時球心。到截面的距離等于正方體棱長的一半，

可得截面圓的半徑為r=JRZ_（叫J=3,得到截面周長最小值為S=2a=6n,

故答案為67r.

20.答案：67r

解析：

本題考查三棱錐的外接球問題，考查空間想象能力、推理能力和計算能力，屬于基礎題.

借助正方體即可求解.

解：如圖：

如圖，設0是三棱錐P—ABC外接球球心，例為8c的中點，

作pp'J.平面.ABC.OO'IPP'.則0,為4P，的中點，

00'=-PP'=—,

22

由^PDA=APCA=SM),PB=PC=y/3,PA=P.4,可得

AB=AC,又N3.4C6().得三角形ABC為等邊三角形，設其邊長為2a,則有，

PM1BC.AM=V3a.O'A=O'P'=^-a,P'M=等，

在Rt△PBM與Rt△PP'M中,有

PB2=BM2+PM2=BM2+PP'2+P'M2=a2+2+(ya)2=3

解得a=逅，設外接球半徑為R,則在

2

Rt△00'A中，有R=0A=yj00'2+O'A2=-+1=—

則外接球的表面積為SITTR'ITTX(-^)'()7T>

故答案為67r.

21.答案：18

解析：

本題考查三棱錐與球的組合體中的計算問題，屬于較難題.

由題意可得三棱錐4-BCD的外接球與分別以AB,AC,AZ）為長，寬，高的長方體的外接球為同一

球，得出外接球的半徑，再根據長方體的性質可得4Ba。2=24,設

A132vz6sin0.AC'2,0<8V則三棱錐4—BCD的側面積可得，最后利用二次函數

的性質，即可得解.

解：由題意知，三棱錐A-BCD的外接球與分別以A3,AC,AZ）為長，寬，高的長方體的外接球為

同一球，

I標/TTR367T,解得R=3,

根據長方體的性質可得48?+41+A。？=4R?=36,AB2+AC=24,

設.AB：2{siu仇.AC'2VM<8。，。<。<］，AD=273.

三棱錐4—BCD的側面積5=

SAABD+SAACD^SAABC=1ABXAD+^ADXAC+1

ABxAC

=\/3(AB+AC)+-；ABxAC=6V5(sin°+cM)+Vlshtlk^,

設sin。+cot%=fW(1..2sin0cus0=f2-L

所以S=6at+6t2-6=6(t2+V2t)-6=6(t+引2-9，

由二次函數的圖象可知，當1=魚時，Smax=12+12-6=18,

故答案為18.

22.答案：|;3

解析：

本題考查了三棱錐的體積和組合體的結構特征，屬于中檔題.

第一空根據V-I任方體-八%-，1*?的出答案；第二空：根據等體積法求出彩，然后可以求出隊

解：（1）顯然，當E與名重合，F與C重合時，a取最大值，此時M=心方體-MQTBT

?/

如圖，當E,F為三等分點時，。取最小值，取棱DD］的三等分點G,

易得GF〃AE,GFC面ZME,4Eu面。/，

所以GF〃面D/E,

所以彩二^F-D1AE=^G-DAAE=^E-D^AG

=lx(ix2xi)x2=f,

所以*=3.

V2

故答案為I；3

23.答案：8兀

解析：

本題考查外接球的表面積，屬于一般題.

由題求出長方體的體對角線，則外接球的半徑為體對角線的一半，進而求得答案.

解：由題意可得，長方體的體對角線為)2+2+4=2及,

則該長方體的外接球的半徑為r=V2,

因此，該長方體的外接球的表面積為4兀產=87r.

故答案為87r.

24.答案：68乃；三生

解析：

本題考查幾何體的表面積和體積的求法，解題時要認真審題，注意圓臺、半球的表面積和體積的求

法和應用，屬于一般題.

由題意，知所成幾何體的表面積=圓臺下底面積+圓臺的側面積+半球面面積，該幾何體的體積為

明臺一人牙由此能求出結果.

解：由題意，可知所成幾何體的表面積等于圓臺下底面積+圓臺的側面積+一半球面面積，

又1S球=|x4TTx22=8兀，

S圓臺側=兀(2+5)7(5-2)2+42=35兀，

S圓臺下底二口x5?=25兀，

即所形成的幾何體的表面積為8兀4-357r4-257r=68兀；

又明冷=5x(22+2x5+52)x4=52兀，

..147r—a167r

^=2XTX2=-

所以該幾何體的體積為曦冷-V半球=52兀一等=等.

故答案為68TT；

25.答案：45-y

解析：

本題考查的知識點是由三視圖還原幾何體，再求體積，其中根據已知分析出幾何體的形狀是解答的

關鍵.

由三視圖可知，這樣的幾何體為長方體挖一個半徑為3的1球，根據體積公式得出答案.

解：由三視圖可知，這樣的幾何體為長方體挖掉一個半徑為3的上求，如圖所示，

所以幾何體的體積為

|/=3X3X5--X-X7TX33=45--.

832

故答案為45—手.

26.答案：②③

解析：

本題考查了簡單多面體（棱柱、棱錐、棱臺）及其結構特征，線面平行的判定，空間中的距離，二面

角，棱柱、棱錐、棱臺的側面積、表面積和體積，面面平行的判定和面面平行的性質，考查學生的

空間想象能力，屬于較難題.

利用正方體的結構特征得QB，平面&Ci。，從而對①進行判斷，利用面面平行的判定得平面

為弓。〃平面力CBi，再利用面面平行的性質對②進行判斷，利用線面平行的判定得&C〃平面

再利用空間中的距離得點E到平面&DB的距離是定值，再利用三棱錐的體積等量對③進行判斷，

利用求二面角a-4C-8的正弦值對④進行判斷，從而得結論.

解：對于①、因為在正方體4BCD-4B1GD1中，QB1平面&GD,

而過一點2只能作平面的一條垂線，因此①不正確；

對于②、因為在正方體48co-必8停1。1中，AC〃A\C\,A^D/fByC,

而&Ciu平面u平面4傳1。，

4CU平面AiGD,&C仁平面A1GD,

所以AC〃平面&G。，8傳〃平面&GD.

又因為4Cn8iC=C,4Cu平面4cB0&Cu平面4cB「

所以平面4的。〃平面力CBi，

而OEu平面ZCBi，因此OE〃平面4GD,所以②正確；

對于③、因為&D〃BiC,AiDu平面4]08,B]C0平面40B,

所以&C〃平面40B.

又因為E是BiC（不含端點）上一動點，

所以點E到平面4DB的距離等于BiC到平面&DB的距離，是定值，

而2L41OB也是一個定值，

因此%-41°B為定值，所以匕1-80E=%-公￡>8為定值,因此③正確；

對于④、若正方體48<7。-4/1的。1的棱長為小

連接當0,

因為AC_L平面DDiBiB,B]O,OBu平面DD/iB,

所以4c_LBi。，AC1OB,

因此NBiOB是二面角氏-4C-B的平面角，

所以siPBi°B=^=看='，因此④不正確.

~2a

故答案為②③.

27.答案：-3V7

V3

T

解析：

本題考查空間中點的軌跡問題及三棱錐的體積，屬于難題.

由于4P=2,則點P在矩形A8C。內的軌跡為以A點為圓心的圓上的一段弧，即命，即可求解;要

使C1P的長度最短，則只需CP長最短.即連接AC交拆于點尸，即可求解.

解：AAr=2b，P&=4,

則力P=JpA^-AAi2=^42-（2V3）2=2>

點P在矩形A3C。內的軌跡為以A點為圓心的圓上的一段弧，即命（不包括端點）,

如圖所示：

設ZJL4E=9,則乙4EB=Z.DAE=0,

AB73夕

得一百L'

而a=26

則tana=tan20=言焉2碧=-3V7,

在直角三角形GUP中，CiC=2V3.

要使GP的長度最短，則只需CP長最短,即連接力C交介于點P,

則CP=AC-AP=I22+（|）2-2=|-2=?

作PH1CD交CD于■H點、,則小CHP-ACDA

1

嘴，，晦吟，得PH/

2

則％-DPC=X。。1=!X：X|X|X2g=

故答案為一3b；f.

28.答案"

127r

解析:

本題考查了正三棱錐的結構特征，棱錐與外接球的關系，棱錐體積與球的表面積求解，難度較高.

設棱錐的高為SO,可得AC1OB,ACISO,于是4c，平面SBO,得SB1AC,結合SB1AM可證SB1

平面S4C,同理得出SA,SB,SC兩兩垂直，從而求得側棱長，計算出體積，外接球的球心N在直

線S。上，設外接球半徑為r,則ON