Page19（總分：150分，時(shí)間：120分鐘）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題（本題共12道小題，每小題5分，共60分）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知純虛數(shù)滿足，則（

）A．B．C．D．3．某公司一種型號(hào)的產(chǎn)品近期銷售情況如表：月份23456銷售額（萬元）15.116.317.017.218.4根據(jù)上表可得到回歸直線方程，據(jù)此估計(jì)，該公司7月份這種型號(hào)產(chǎn)品的銷售額約為（

）A．18.85萬元 B．19.3萬元 C．19.25萬元 D．19.05萬元4．如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該多面體最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為（

）

A．B．C．D．5．下列說法正確的是（

）A．已知非零向量，，，若，則B．設(shè)x，，則“”是“且”的充分不必要條件C．用秦九韶算法求這個(gè)多項(xiàng)式的值，當(dāng)時(shí)，的值為14D．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”是兩個(gè)互斥且不對(duì)立的事件6．已知，，則（

）A． B． C． D．7．公差為的等差數(shù)列的首項(xiàng)為，其前項(xiàng)和為，若直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則數(shù)列的前100項(xiàng)和等于（

）A． B． C． D．18．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．a(chǎn)＞0，b＞0，c＜0，d＜0 B．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜0，d＞0C．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0，d＞0 D．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0，d＞09．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，以下四個(gè)命題：①三棱錐的體積為定值；②；③若，則三棱錐的外接球半徑為；④的最小值為．其中真命題有（

）A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．③④10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值與下面的哪個(gè)數(shù)最接近？（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．12．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，，直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)，直線與以為直徑的圓交于點(diǎn)，則的最大值為（

）A．80B．81C．72 D．71第Ⅱ卷（共90分）填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）13．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．14．如圖所示的莖葉圖記錄著甲、乙兩支籃球是各6名球員某份比賽的得分?jǐn)?shù)據(jù)（單位：分）.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則.在等腰直角三角形中，，為斜邊的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑作，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在上，則的取值范圍是.已知函數(shù)，不等式對(duì)任意的恒成立，則的最大值為．三、解答題（本題共6道小題，共70分）17．（本小題滿分12分）已知向量，，函數(shù).(1)若，求的值；(2)，，為的內(nèi)角，，的對(duì)邊，，且，求面積的最大值.18．（本小題滿分12分）下圖甲是由直角梯形ABCD和等邊三角形CDE組成的一個(gè)平面圖形，其中，，，將沿CD折起使點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)P的位置（如圖乙），使二面角為直二面角．(1)證明：；(2)求點(diǎn)到平面的距離．19．（本小題滿分12分）石室中學(xué)社團(tuán)為慶祝石室中學(xué)2166年校慶，為同學(xué)們準(zhǔn)備了禮物，計(jì)劃采用無人機(jī)空投的形式發(fā)放，進(jìn)行游戲.現(xiàn)有甲、乙兩種類型無人機(jī)性能都比較出色，但為了確保實(shí)際空投過程中的學(xué)生安全得到保障，需預(yù)先進(jìn)行測(cè)試。現(xiàn)在社團(tuán)分別收集了甲、乙兩種類型無人機(jī)在5個(gè)不同的地點(diǎn)測(cè)試的某項(xiàng)指標(biāo)數(shù)，，數(shù)據(jù)如下表所示：地點(diǎn)1地點(diǎn)2地點(diǎn)3地點(diǎn)4地點(diǎn)5甲型無人機(jī)指標(biāo)數(shù)x24568乙型無人機(jī)指標(biāo)數(shù)y34445(1)試求y與x間的相關(guān)系數(shù)r，并利用r說明y與x是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；（若，則線性相關(guān)程度很高）(2)從這5個(gè)地點(diǎn)中任抽2個(gè)地點(diǎn)，求抽到的這2個(gè)地點(diǎn)，甲型無人機(jī)指標(biāo)數(shù)均高于乙型無人機(jī)指標(biāo)數(shù)的概率．附：相關(guān)公式及數(shù)據(jù)：，．20．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．(1)若時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)若對(duì)于任意，恒成立，求的取值范圍．21．（本小題滿分12分）已知為的兩個(gè)頂點(diǎn)，為的重心，邊上的兩條中線長(zhǎng)度之和為.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過作不平行于坐標(biāo)軸的直線交于D，E兩點(diǎn)，若軸于點(diǎn)M，軸于點(diǎn)N，直線DN與EM交于點(diǎn)Q.①求證：點(diǎn)Q在一條定直線上，并求此定直線；②求面積的最大值.選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22．（本小題滿分10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)且），分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，求；(2)求上的點(diǎn)到直線AB距離的范圍．[選修4-5：不等式選講]（10分）23．（本小題滿分10分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若的最小值為，求的最小值.

成都石室中學(xué)2023-2024年度上期高2024屆一診模擬文科數(shù)學(xué)（A卷）參考答案1.B【解析】，，故.故選：B.2.A【解析】令，則，故，.故選：A.3.D【解析】由表中數(shù)據(jù)可得，，因?yàn)榛貧w直線過樣本點(diǎn)的中心，所以，解得，所以回歸直線方程為，則該公司7月份這種型號(hào)產(chǎn)品的銷售額為萬元.故選：D.4.B【解析】由三視圖可知多面體是如圖所示的三棱錐，由圖可知，，所以最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為.故選：B.5.C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，所以，不能推出，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，成立時(shí)，必有成立，反之，取，則成立，但不成立，因此“”是“”的必要不充分條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以可以把多?xiàng)式寫成如下形式：，按照從內(nèi)而外的順序，依次計(jì)算一次多項(xiàng)式當(dāng)?shù)闹担?，，，，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，至少有一個(gè)黑球包含的基本事件有“一黑一紅，兩黑”，至少有一個(gè)紅球包含的基本事件有“一黑一紅，兩紅”，所以兩事件不互斥，故D錯(cuò)誤；故選：C.6.D【解析】因?yàn)椋?，所以平方得，，，即，，兩式相加可得，即，故?故選：D.7.A【解析】因?yàn)橹本€與圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線經(jīng)過圓心，且直線與直線垂直，所以，即，且，則，，所以數(shù)列的前100項(xiàng)和為．故選：A.8.B【解析】由圖可知，且，則的兩根為1，5，由根與系數(shù)的關(guān)系，得－＝6，＝5，∴a，b異號(hào)，a，c同號(hào)，排除A、C；又f(0)＝＜0，∴c，d異號(hào)，排除D，只有B項(xiàng)適合.故選：B9．A【解析】正方體中，,所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面,平面,所以平面，即當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)恒為定值，又,也為定值，所以三棱錐的體積為定值，①正確；在正方體中，平面，平面,所以，在正方形中：,又,平面，所以平面，又平面，所以，②正確；因?yàn)辄c(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng),若，則點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，則三棱錐的外接球即為三棱錐的外接球，故半徑為，③正確；如圖所示：將三角形沿翻折得到該圖形，連接與相交于點(diǎn)，此時(shí)取得最小值，延長(zhǎng)，過作于點(diǎn)，在中，，故的最小值為，④錯(cuò)誤.故選：A.10.B【解析】該程序框圖相當(dāng)于在[0，3]上任取10000對(duì)數(shù)對(duì)，其中滿足的數(shù)對(duì)有對(duì).顯然該問題是幾何概型.不等式組所表示的區(qū)域面積為9，所表示的區(qū)域面積為，故，因此.故選：B.11.D【解析】令，得，整理得.令，,原方程化為.設(shè)，則，令，解得，且，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，則在時(shí)，有最大值為，畫出簡(jiǎn)圖，如右圖所示，因?yàn)樵匠虨?由題可知有三個(gè)零點(diǎn)，因此方程有兩個(gè)不等實(shí)根.結(jié)合圖象可得：，設(shè)，則，得到，因?yàn)?，所?故選：D．12.A【解析】由題可知，點(diǎn)在以為直徑的圓上，故，連接、，如圖所示，可得，其中由圖可知，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到雙曲線右頂點(diǎn)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最大值為80.故選：A.13.【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)在軸正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.14.【解析】由題意得，甲的中位數(shù)為：，故乙的中位數(shù)①，，因?yàn)槠骄鶖?shù)相同，所以②，由①②可得，，所以，故答案為：.15．【解析】以為圓心，以為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由于所以，由于點(diǎn)在，不妨設(shè)，,，其中，,所以，可看作是上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，由于點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，故當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，此時(shí)距離最大，為,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，此時(shí)距離最小為0，綜上可知：.16．【解析】因?yàn)?，所以為上的奇函?shù)．又，所以在上單調(diào)遞增．不等式對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，所以對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立．令，所以，所以當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)．所以，設(shè)，顯然為上的增函數(shù)，因?yàn)椋源嬖冢沟茫?，此時(shí)，所以，即的最大值為1．故答案為：1.17．解：（1），，則；2分.5分（2），7分又，所以，，得，即，8分因?yàn)?，且由余弦定理可知，，所以，由基本不等式可得，所以，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）11分故,即面積最大值為.12分（注：若求角的函數(shù)值域問題，按步驟對(duì)應(yīng)給分）18.（1）證明：取AD中點(diǎn)為F，連接AC，CF，由得且.∴四邊形ABCF為平行四邊形，∴，∴，2分又因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，且平面平面，∴平面PCD，因?yàn)槠矫鍼CD，所以.5分(2)解：過點(diǎn)作于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),連接.因?yàn)?所以，6分所以.7分因?yàn)?在中，,在中，,所以.9分令點(diǎn)到平面距離為，所以，，11分即點(diǎn)到平面距離為.12分19．解：（1），，1分所以，由于，3分相關(guān)系數(shù)，5分因?yàn)椋耘c具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．6分（2）將地點(diǎn)1，2，3，4，5分別記為，，，，，7分任抽2個(gè)地點(diǎn)的可能情況有：，，，，，，，，，，共10種情況，9分其中在地點(diǎn)3，4，5，甲型無人機(jī)指標(biāo)數(shù)均高于乙型運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)，即，，3種情況，11分令甲型無人機(jī)指標(biāo)數(shù)均高于乙型無人機(jī)指標(biāo)數(shù)為事件M，故所求概率．12分20．解：（1）函數(shù)，因?yàn)椋郧悬c(diǎn)為，1分由，得，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0，2分所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．3分（2）由（1）可知，因?yàn)?，所以，令，則．4分當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；又因?yàn)?，?分所以，由零點(diǎn)存在定理可知，存在唯一的使得，存在唯一的使得．故函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．7分（3）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，由得9分下面證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，恒成立,即證，即證；而當(dāng)時(shí)，，10分由（2）知，；所以時(shí)，恒成立；綜上所述，．12分21．解：（1）因?yàn)闉榈闹匦?，且邊上的兩條中線長(zhǎng)度之和為6，所以,1分故由橢圓的定義可知的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓（不包括長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），且，所以，2分所以的軌跡的方程為.4分，未挖點(diǎn)扣1分（2）①依題意，設(shè)直線DE方程為.聯(lián)立，得，易知設(shè)，，則，.5分因?yàn)檩S，軸，所以，.所以直線DN：，直線EM：，聯(lián)立解得.7分從而點(diǎn)Q在定直線上.8分②因?yàn)椋?分又，則，10分設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故面積的最大值為.12分22．解：（1）令，則，