專題7.1復數的概念1．數系的擴充與復數的相關概念(1)復數的引入

為了解決+1=0這樣的方程在實數系中無解的問題，我們引入一個新數i，規定：

①=-1，即i是方程+1=0的根；

②實數可以和數i進行加法和乘法運算，且加法和乘法的運算律照舊成立.

在此規定下，實數a與i相加，結果記作a+i；實數b與i相乘，結果記作bi；實數a與bi相加，結果記作a+bi.留意到全部實數以及i都可以寫成a+bi(a,b∈R)的形式，從而這些數都在擴充后的新數集中.(2)復數的概念

我們把形如a+bi(a,b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位.全體復數構成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復數集.這樣，方程+1=0在復數集C中就有解x=i了.(3)復數的表示復數通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特別說明時，復數z=a+bi都有a,b∈R，其中的a與b分別叫做復數z的實部與虛部.(4)復數的分類對于復數a+bi，當且僅當b=0時，它是實數；當且僅當a=b=0時，它是實數0；當b≠0時，它叫做虛數；當a=0且b≠0時，它叫做純虛數.明顯，實數集R是復數集C的真子集，即RC.

復數z=a+bi可以分類如下：

復數，

復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系，可用圖表示.2．復數相等在復數集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規定：a+bi與c+di相等當且僅當a=c且b=d，即當且僅當兩個復數的實部與實部相等、虛部與虛部相等時，兩個復數才相等.3．復數的幾何意義(1)復平面

依據復數相等的定義，可得復數z=a+bi有序實數對(a,b)，而有序實數對(a,b)平面直角坐標系中的點，所以復數集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應關系.

如圖所示，點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數z=a+bi可用點Z(a,b)表示，這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.(2)復數的幾何意義——與點對應

由上可知，每一個復數，有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一的一個復數和它對應.復數集C中的數和復平面內的點是一一對應的，即復數z=a+bi復平面內的點Z(a,b)，這是復數的一種幾何意義.(3)復數的幾何意義——與向量對應

在平面直角坐標系中，每一個平面對量都可以用一個有序實數對來表示，而有序實數對與復數是一一對應的.這樣就可以用平面對量來表示復數.如圖所示，設復平面內的點Z表示復數z=a+bi，連接OZ，明顯向量由點Z唯一確定；反過來，點Z(相對于原點來說)也可以由向量唯一確定.

因此，復數集C中的數與復平面內以原點為起點的向量是一一對應的(實數0與零向量對應)，即復數z=a+bi平面對量，這是復數的另一種幾何意義.4．復數的模向量的模r叫做復數z=a+bi的?；虼_定值，記作|z|或|a+bi|.假如b=0，那么z=a+bi是一個實數a，它的模等于|a|(就是a的確定值).由模的定義可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).5．共軛復數(1)定義

一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這這兩個復數叫做互為共軛復數.虛部不等于0的兩個共軛復數也復數z的共軛復數用表示，即若z=a+bi，則=a-bi.特別地，實數a的共軛復數仍是a本身.(2)幾何意義互為共軛復數的兩個復數在復平面內所對應的點關于實軸對稱(如圖).特別地，實數和它的共軛復數在復平面內所對應的點重合，且在實軸上.(3)性質①=z.

②實數的共軛復數是它本身，即z=z∈R，利用這特性質可證明一個復數為實數.6．復數的模的幾何意義(1)復數z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是復數z=a+bi在復平面內對應的點Z(a,b)到坐標原點的距離，這是復數的模的幾何意義.(2)復數z在復平面內對應的點為Z，r表示一個大于0的常數，則滿足條件|z|=r的點Z組成的集合是以原點為圓心，r為半徑的圓，|z|<r表示圓的內部，|z|>r表示圓的外部.【題型1復數的分類】【方法點撥】分清復數的分類，依據實部與虛部的取值狀況進行推斷.【例1】（2024·高一課時練習）下列關于復數x+i的說法確定正確的是（A．是虛數 B．存在x使得x+C．不是實數 D．實部和虛部均為1【解題思路】依據復數的概念即可得解.【解答過程】由復數x+當x=-i當x=0時，x由于x的取值未知，故D錯誤；故選：B.【變式1-1】（2024·高二課時練習）復數1-i，2，－1，i2，0，3A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】利用復數的概念逐一推斷即可.【解答過程】由復數的概念可知1-i，故選：B.【變式1-2】（2024·高一課時練習）下列說法正確的是（

）A．i表示虛數單位，所以它不是一個虛數B．-1的平方根是C．biD．若z=aa【解題思路】用復數的相關概念推斷即可【解答過程】A：i表示虛數單位，也是一個虛數，故A錯誤；B：由±i2=-1C：當b=0,D：若z=aa故選：B.【變式1-3】（2024春·高一課時練習）下列命題中，正確命題的序號是（

）①若a∈R，則②若a,b∈R且③若x2-1④兩個虛數不能比較大小.A．①③ B．② C．③④ D．④【解題思路】依據復數的基本概念及復數的分類，逐項判定，即可求解.【解答過程】①中，當a=-1②中，由a+③中，由x2-1+x所以不正確；④中，由虛數不能比較大小，所以兩個虛數不能比較大小是正確的.故選：D.【題型2復數相等的充要條件】【方法點撥】復數相等的充要條件是“化虛為實”的主要依據，多用來求解參數.解決復數相等問題的步驟：分別分別出兩個復數的實部和虛部，利用實部與實部相等、虛部與虛部相等列方程組求解.【例2】（2024秋·河南·高三階段練習）設1+2ia+b=A．a=1,bC．a=-【解題思路】依據復數相等可得答案.【解答過程】∵1+2解得a=故選：D.【變式2-1】（2024春·廣西·高二學業考試）若復數3+4i=3+bi，i為虛數單位，則A．1 B．2 C．4 D．5【解題思路】依據復數相等求解即可.【解答過程】因為3+4i=3+b故選：C.【變式2-2】（2024·高一課時練習）已知x，y∈R，i為虛數單位，若（x-1）+（y+1）i=2+i，則x，y的值為（

）A．3，0 B．2，1 C．1，2 D．1，-1【解題思路】依據復數相等的定義即可求解.【解答過程】解：因為（x-1）+（y+1）i=2+i，所以x-1=2y+1=1故選：A.【變式2-3】（2024·全國·高一專題練習）復數4-3a-a2iA．1 B．1或-4 C．-4【解題思路】利用復數相等的定義求解.【解答過程】因為復數4-3a所以4-解得a=故選：C.【題型3復數的幾何意義】【方法點撥】復數集與復平面內全部的點所組成的集合之間存在著一一對應的關系.每一個復數都對應唯一的一個有序實數對，只要在復平面內找到這個有序實數對所表示的點，就可依據點的位置推斷復數實部、虛部的取值.【例3】（2024春·湖南株洲·高一期中）在復平面內，復數z=-2A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】依據給定條件，利用虛數單位i的意義求出復數z即可推斷作答.【解答過程】依題意，復數z=-2i+2故選：C.【變式3-1】在復平面內，與復數z=-1A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】由共軛復數定義，及復數與點的對應關系可得【解答過程】復數z=-1-i故選：B.【變式3-2】（2024·高一課時練習）當1<m<2時，復數m2+A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】由復數的坐標即可推斷.【解答過程】z=若1<m<2，則2m所以復數z在復平面內對應的點位于其次象限.故選：B.【變式3-3】（2024秋·貴州貴陽·高三階段練習）假如一個復數的實部和虛部相等，則稱這個復數為“等部”復數，若復數z=2+ai（其中a∈RA．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】由實部和虛部相等求得z，再推斷復平面內對應的點所在的象限即可.【解答過程】復數z=2+ai的實部為2，因為它實部和虛部相等，故a=2，所以故選：A.【題型4共軛復數】【方法點撥】依據共軛復數的概念，進行求解即可.【例4】（2024秋·浙江金華·高二階段練習）已知i為虛數單位，復數z=i+i2A．-1+i B．-1-【解題思路】先求出復數z，再依據定義可求其共軛復數.【解答過程】z=i+故選：B.【變式4-1】（2024春·浙江寧波·高二學業考試）已知z=2-3i（i虛數單位），則z的共軛復數A．2 B．i C．3 D．3【解題思路】依據共軛復數定義得z=2+3【解答過程】由題設z=2+3故選：C.【變式4-2】（2024·高一單元測試）若復數z=(m+1)-2A．-2i B．-i C．【解題思路】由復數的類型有m+1=0且2m≠0，求參數【解答過程】由題意知：m+1=0且2∴m=-1，即z=2i故選：A.【變式4-3】（2024秋·北京·高三期中）下列命題中，正確的是（

）A．1-2C．1-2i的共軛復數是-【解題思路】依據復數的概念，共軛復數的定義，復數在直角坐標系的表示方法即可求解.【解答過程】解：A選項：1-2iB選項：|1-C選項：1-2iD選項：1-故選：B.【題型5復數的模的計算】【方法點撥】依據復數的模的計算公式，進行計算即可.【例5】（2024秋·吉林松原·高三期末）已知a，b∈R，若a+4i與3-A．8 B．7 C．6 D．5【解題思路】由a+4i與3-bi互為共軛復數，求出a【解答過程】a+4i與3-bi互為共軛復數，故選：D.【變式5-1】（2024秋·北京·高三階段練習）已知復數z滿足z=1-i，則zA．-1 B．1 C．2【解題思路】依據復數模的定義即可得到答案.【解答過程】|z故選：C.【變式5-2】（2024秋·安徽宿州·高二期末）設z=2i1-A．2 B．2 C．4 D．5【解題思路】依據運算之前的模等于運算之后的?？梢院芸烨蟪龃鸢?【解答過程】z故選：B.【變式5-3】（2024秋·廣東·高三學業考試）若復數z滿足z=-3+4i，則A．1 B．5 C．7 D．25【解題思路】依據復數模的計算公式，可干脆求得答案.【解答過程】因為復數z滿足z=-3+4故選：B.【題型6復數的模的幾何意義】【方法點撥】復數的模的幾何意義是實數的確定值概念的擴充，因此有|z|0，并且確定值具有的某些性質可以推廣到復數的模.依據復數的模的幾何意義，進行轉化求解即可.【例6】（2024秋·廣西·高二階段練習）設z∈C，滿足2≤z+i≤3A．1 B．5 C．π D．5【解題思路】復數z=x+【解答過程】設復數z=x+yi則2≤x+y+1i≤所以復平面對應的點為Zx,y表示復平面上以0,-1故選：D.【變式6-1】（2024·高一單元測試）滿足1≤z≤3的復數A．π B．2π C．8π【解題思路】依據復數的幾何意義可得構成圖形為圓環，即可求出面積.【解答過程】滿足1≤z≤3的復數故選：C.【變式6-2】（2024秋·山東威?！じ叨A段練習）已知復數z滿足z-1=A．直線 B．線段 C．圓 D．等腰三角形【解題思路】依據復數的幾何意義，結合z-1=z-【解答過程】設復數z=依據復數的幾何意義知：z-1表示復平面內點P(z-i表示復平面內點P(因為z-1=z-所以點P(x,y)故選：A.【變式6-3】（2024春·陜西渭南·高二期末）設復數z在復平面內對應的點為Z，原點為O，i為虛數單位，則下列說法正確的是（

）A．若z=1，則z