2023學年第二學期期末測試卷高二數學學科試卷第I卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，，則（）A. B. C. D.2.已知），若為純虛數，則（）A.1 B.2 C.或 D.1或23.已知函數與是互為反函數，則（）A. B. C. D.4.已知一個袋子中有大小和質地相同的8個球，其中有3個白球（標號為1~3），5個紅球（標號為），現從袋中不放回地依次隨機摸出2個球，則兩次摸到同種顏色球的概率為（）A. B. C. D.5.已知平面，，，若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知向量，的夾角為，，且向量在向量上的投影向量為，則實數（）A. B. C. D.7.若函數在區間內恰有一個零點，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.8.在中，內角，，所對的邊分別為，，，的面積為，若，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若，為兩個隨機事件，且，，則（）A.當和互斥時，B.當和互斥時，C.當和相互獨立時，D.當和相互獨立時，10.若關于的一元二次不等式的解集為，則（）A. B.C. D.11.已知復變函數是以復數作為自變量和因變量的函數，對任意一個復數，由可以得到，，，…，，….如果存在一個正實數，使得對任意都成立，那么稱為函數的收斂點.若是復變函數的收斂點，則復變函數可以是（）A. B. C. D.第II卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知冪函數的圖象過點，則______.13.已知正實數滿足，則______.14.已知四棱錐的底面是矩形，平面平面，，，.若四棱錐內存在內切球（球與四棱錐的各個面均相切），則______，該內切球的表面積為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）已知向量，是不共線的單位向量，且向量，.（1）若，求的值；（2）若，，求.16.（15分）已知函數的最大值為2，其圖象相鄰的兩條對稱軸距離為，且圖象關于點對稱.（1）求函數的解析式；（2）若，求函數的值域.17.（15分）為貫徹“陽光體育”計劃，促進學生身心素養的提高，某校倡導全校學生積極參與體育運動，并統計學生一周內運動時長，發現時長均在區間之間（單位：小時）.（1）將全校男生一周內運動時長分為，，，，五組，并繪制如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）.求該校男生一周運動時長的平均數和中位數；（2）已知高二（1）班男生30人，女生20人，根據數據統計分析，發現該班男生一周內運動時長的平均數為9，方差為2；女生一周內運動時長的平均數為6.5，方差為4.求該班級全體學生一周內運動時長的方差.18.（17分）如圖，平行四邊形中，，，為中點，現將沿折起至，連接，，且.（1）求證：平面平面；（2）已知.（i）若，求證：平面；（ii）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值.19.（17分）已知函數.（1）若函數是奇函數，求的值；（2）若，記函數在上的最小值為.（i）求；（ii）設函數滿足：對任意，均存在，使得，求的取值范圍.

2023學年第二學期期末考試高二數學學科參考答案及評分標準一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。題號12345678答案ABDABCCD二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分；全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分。題號91011答案ABDBCDBC三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12.； 13.34； 14.7；（第一空3分；第二空2分）四、解答題：本大題共5小題，共77分。15.（1）因為，所以存在實數，使得，即，，所以；（2）因為，所以，即，所以即因為，所以.所以16.（1）由題意得，，.所以，所以，又因為，所以.所以（2）由得，，所以所以函數的值域為17.（1），即男生一周運動時長的平均數為7.3；中位數為第50百分位數，運動時長為的概率為，運動時長為的概率為，所以中位數落在區間內，由，得到，即中位數為.（2）該班級全體學生一周內運動時長的平均數，所以該班級全體學生一周內運動時長的方差18.（1）由題可知為正三角形，取中點，連接，則，且，在中，，，，，所以，所以在中，，所以，因為，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（也可以連接，證明平面）（2）①取中點，連接，，在中，因為，分別為，的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，而，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，又因為，所以平面平面，因為平面，所以平面.（也可取中點，證明）②過作交于點，過作交于，設與交于點，連接，，，同①，易證平面平面，又因為平面平面，平面平面，所以，由（1）可知平面，所以平面，所以就是直線與平面所成的角，所以，因為，所以，在中，，所以，在中，，所以，所以，所以，解得或，因為，故.（注：本題若用坐標系也給相應的分數）19.（1）因為，所以所以.（2）（i）①若，則，當時，對稱軸，所以在上單調遞增，當時，若，即，則在上單