2022-2023學年安徽省安慶市示范高中高三下學期4月聯考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合，，則(

)A. B. C. D.2.復數z滿足，則的虛部為(

)A.1 B. C. D.33.立德中學高一班物理課外興趣小組在最近一次課外探究學習活動中，測量某種物體的質量X服從正態分布，則下列判斷錯誤的是(

)A.

B.

C.

D.4.已知，則(

)A.1 B.1或 C. D.或5.已知函數恒過定點，則的最小值為A. B. C.3 D.6.對于數據組，如果由經驗回歸方程得到的對應自變量的估計值是某商場為了給一種新商品進行合理定價，將該商品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下所示數據：單價元銷量件848378m根據表中的數據，得到銷量單位：件與單價單位：元之間的經驗回歸方程為，據計算，樣本點處的殘差為1，則A.76 B.75 C.74 D.737.已知點在直線l：R上的射影為點B，則點B到點距離的最大值為(

)A. B.5 C. D.8.已知，，，則a，b，c的大小關系是(

)A. B. C. D.二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.已知…，其中，且，則下列判斷正確的是(

)A. B.

C. D.10.已知滿足中的a，b分別是等比數列的第2項與第4項，則下列判斷正確的是(

)A.

B.

C.

D.11.在平面直角坐標系xOy中，點P是雙曲線C：上位于第一象限內的動點，過點P分別作兩漸近線的平行線與另一支漸近線交于A，B兩點，則下列判斷正確的是(

)A.雙曲線的離心率大小為 B.

C. D.四邊形OAPB的面積是112.如圖，在四棱錐，平面ABCD，，，，，點E為邊BC的中點，點F為棱PC上一動點異于P、C兩點，則下列判斷中正確的是(

)

A.直線EF與直線AP互為異面直線

B.存在點F，使平面PAD

C.存在點F，使得EF與平面ABCD所成角的大小為

D.直線EF與直線AD所成角的余弦值的最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知平面向量，滿足，，且，的夾角大小為，則在方向上的投影向量的坐標為__________.14.已知焦點坐標為的拋物線C：上有兩點A，B滿足，以線段AF為直徑的圓與y軸切于點，則__________.15.三棱錐中，，，，則該三棱錐外接球的表面積為__________.16.已知函數的圖象經過點，若函數在區間上既有最大值，又有最小值，而且取得最大值、最小值時的自變量x值分別只有一個，則實數的取值范圍是__________.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.本小題10分已知數列滿足滿足，；請判斷數列是否為等比數列并求出數列通項公式；已知，記數列的前n項和為，求證：18.本小題12分在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且求角A的大小；若，，點D為邊BC上一點，且，求的面積大小．19.本小題12分體育課上，體育老師安排了籃球測試，規定：每位同學有3次投籃機會，若投中2次或3次，則測試通過，若沒有通過測試，則必須進行投籃訓練，每人投籃20次．已知甲同學每次投中的概率為且每次是否投中相互獨立．求甲同學通過測試的概率；若乙同學每次投中的概率為且每次是否投中相互獨立，設經過測試后，甲、乙兩位同學需要進行投籃訓練的投籃次數之和為X，求X的分布列與均值；為提高甲同學通過測試的概率，體育老師要求甲同學可以找一個“最佳搭檔”，該搭檔有2次投籃機會，規定甲同學與其搭檔投中次數之和不少于3次，則甲同學通過測試．若甲同學所找的搭檔每次投中的概率為且每次是否投中相互獨立，問：當p滿足什么條件時可以提高甲同學通過測試的概率？20.本小題12分

如圖，平行六面體中，點P在對角線上，，平面平面求證：O，P，三點共線；若四邊形ABCD是邊長為2的菱形，，，求二面角的余弦值．21.本小題12分已知函數，討論函數的單調性；當時，函數有兩個不同的零點，，求證：22.本小題12分已知離心率為的橢圓C：的左焦點為F，左、右頂點分別為、，上頂點為B，且的外接圓半徑大小為求橢圓C的方程；設斜率存在的直線l交橢圓C于P、Q兩點、Q位于x軸的兩側，記直線、、、的斜率分別為、、、，若，求面積的取值范圍．

答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】本題考查絕對值不等式的解法，交集的運算．

先求出集合A，B，從而便可求出【解答】解：，

因為，所以，

所以，；

；

故選2.【答案】B

【解析】【分析】本題考查復數的代數形式的乘除運算，屬基礎題．

化簡，求出即可解題．

【解答】

解：復數z滿足，

，

，

故選3.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了正態分布性質，是基礎題.

根據正態分布性質逐一判定即可.【解答】

解：根據正態分布的特點得，，，所以ABD正確，

根據正態分布的特點不難得出，C錯誤.4.【答案】B

【解析】【分析】本題考查三角函數恒等變換，主要考查學生的數學運算能力.

根據條件，將等式兩邊同時平方整理即可求解.【解答】

解：由兩邊平方得，

解得或5.【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查對數函數的定點問題，考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題.

由題意可知，，于是利用基本不等式求最值即可.【解答】

解：由題意可知，，

于是，

當且僅當，時，的最小值為6.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了線性回歸方程的計算，殘差，屬于基礎題．利用樣本點

處的殘差為1，求得，再由

，求得

，進而可得答案.【解答】解：由條件知當

時，

，代入

，解得

，于是

，又

，所以

，即

，解得

，故選：7.【答案】C

【解析】【分析】本題考查直線系方程以及點與圓的最大距離問題，屬于中檔題.

現根據題意求出直線過定點，則點B在以線段AC為直徑的圓上，求出圓的半徑以及，即可求解.【解答】

解：將直線l整理得到，

聯立，解得，

所以直線l恒過點，

根據題意知點B在以線段AC為直徑的圓上，該圓的圓心坐標為，

半徑大小為，

又，

所以點B到點距離的最大值為，

故選8.【答案】D

【解析】【分析】本題考查利用導數研究函數的單調性比較大小，屬于較難題.

構造函數，比較a，b的大小關系，構造函數，比較b，c的大小關系得出答案即可.【解答】

解：由條件知，，

構造函數，則，

可知函數在上單調遞增，

于是當時，，

即當時，，

所以；

構造函數，則，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，于是，得到

綜上可得，

故選9.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查二項式定理的應用，屬于中檔題.

利用二項展開式結合特值進行求解即可.【解答】

解：令，則，于是可得，

令，則，①

令，則，②

①-②，得，解得，A正確;

①+②，得，所以，B錯誤;

又，C正確;

，D正確.

故選10.【答案】BD

【解析】【分析】本題考查了對數及對數方程、等比數列的性質以及等比數列的求和公式，屬于中檔題.

先根據對數方程的求解可得，，即可判斷A、B，然后根據等比數列的性質和求和公式可判斷C、【解答】

解：設，

則，，，

于是，即，解得，

故，，A錯誤；

，B正確;

因為，所以，C錯誤;

由條件知等比數列的偶數項構成首項為4，公比為4的等比數列，

于是，故D正確.

故選11.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查了求雙曲線的離心率、雙曲線的漸近線和直線與雙曲線的位置關系，是中檔題.

根據雙曲線的離心率、雙曲線的漸近線和直線與雙曲線的位置關系逐一判定即可.【解答】

解：由條件知，，，雙曲線離心率大小為，A正確;

設漸近線的傾斜角為，則，

于是，B錯誤;

設，則，

不妨設，聯立得，

同理可得，

于是

，C正確;

由得，

所以，又，

所以四邊形OAPB的面積是，D正確.

故選12.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查空間中直線與直線的位置關系、線面平行的判定、面面平行的判定、面面平行的性質、直線與平面所成角的向量求法、直線與直線所成角的向量求法，屬于中檔題.

利用異面直線的概念判定A；判斷出平面平面PAD，即可判定B；以點D為原點，以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法即可判定【解答】

解：假設直線EF與直線AP共面，于是E、F、A、P四點共面，

則直線AE與直線PF共面，而A，P，F在平面APC內，E在平面APC外，

故直線AE與直線PF不共面，假設不成立，

所以直線EF與直線AP互為異面直線，故A正確；

當時，過點F作交CD于點G，連EG，作，交CD于點H，

又因為，

所以四邊形ABHD為平行四邊形，

所以，

又，

所以H為CD的中點，

因為，，

所以，

所以G為CH的中點，

又E為BC的中點，

所以，即，

又平面PAD，平面PAD，

所以平面PAD，

因為，平面PAD，平面PAD，

所以平面PAD，

又，平面EFG，

則平面平面PAD，又，

故平面PAD，

于是存在點F，使平面PAD，故B正確；

以點D為原點，以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，

如圖所示：

則，設，

于是，平面ABCD的一個法向量為，

設直線EF與平面ABCD所成角為，

所以

，

令，則，

于是，

所以，因此不存在點F，使得EF與平面ABCD所成角的大小為，故C錯誤；

，設直線EF與直線AD所成角為，

則

，

所以直線EF與直線AD所成角的余弦值的最大值為，故D正確.

故選13.【答案】

【解析】【分析】本題考查了投影向量，屬于基礎題.

由在方向上的投影向量是，可得結果.【解答】

解：，與的夾角為，

在方向上的投影向量的坐標是

故答案為14.【答案】4

【解析】【分析】本題考查了直線與拋物線的位置關系，拋物線的幾何性質，是中檔題.

由條件知，再得出，由拋物線的定義得出，求得直線AB方程，與拋物線方程聯立，求得點B的橫坐標，得到，即可得的值.【解答】

解：由條件知，拋物線C的方程為，

根據以線段AF為直徑的圓與y軸切于點，

可知線段AF的中點縱坐標為2，則，

代入，可得，得，

于是，

由，可知點A，F，B三點共線，且，

故直線AB的斜率，

則直線AB的方程為，

將其代入拋物線方程可得：，解得或，

因為，所以，

所以，

所以

故答案為：15.【答案】

【解析】【分析】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力，屬于中檔題．

由題意，判斷的外心即為三棱錐的外接球的球心，由余弦定理求出，根據正弦定理知的外接圓半徑R滿足，再由球的表面積公式求解．【解答】

解：因為，，

所以，

則，可得，

則是以AB為斜邊的直角三角形，

因為，

所以點P在平面ABC內的射影是的外心，即斜邊AB的中點，平面平面ABC，

于是的外心即為三棱錐的外接球的球心，

因此的外接圓半徑等于三棱錐的外接球半徑.

因為，，

所以，

于是，

根據正弦定理知的外接圓半徑R滿足，

所以三棱錐的外接球半徑大小為，

因此三棱錐的外接球的表面積為

故答案為16.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查了三角函數的最值問題，意在考查考生的邏輯推理能力和數學運算能力，屬于中檔題．

先得到，再對進行分類討論進而確定的取值范圍.【解答】

解：由條件知，于是，

又，所以，

則，

當時，

因，所以，

要滿足條件，則，解得

當時，因，所以，

要滿足條件，則，解得，

綜上，實數的取值范圍是17.【答案】解：由條件，

可得，

因，所以數列不是等比數列，

于是，

所以數列的通項公式

由知，

于是，

則，

兩式相減得

，

所以，

于是，原不等式得證.

【解析】本題考查等比數列的定義，由遞推公式求通項公式，錯位相減法求和，考查推理能力和計算能力，屬于中檔題.

通過變形得，結合求出

，利用錯位相減法即可求解.18.【答案】解：由正弦定理可得，

根據余弦定理得，

又，所以；

因為，，又，解得，

由余弦定理的推論得，

于是，

因為，所以，

在中，由正弦定理得，

所以，

于是，

所以的面積大小為

【解析】本題考查了利用余弦定理解三角形、利用正弦定理解三角形和三角形面積公式，是中檔題.

由正弦定理可得，根據余弦定理得，可得角A的大小；

由余弦定理得出a，由余弦定理得，再得出，在中，由正弦定理得BD，由三角形面積公式可得19.【答案】解：由條件知甲同學通過測試的概率為

由可知甲同學沒有通過測試的概率為，

根據題意乙同學通過測試的概率為，

所以乙同學沒有通過測試的概率為，

由已知得，20，40，

因，

，

，

于是X02040P

所以

由題意知甲投中1次，其搭檔投中2次的概率為

甲投中2次，其搭檔至少投中1次的概率為

甲投中3次，其搭檔投中與否的概率為，

所以甲同學通過測試的概率為，

根據題意可知，則，

因為，所以當時，可以提高甲同學通過測試的概率.

【解析】本題主要考查了n次獨立重復試驗的概率計算，離散型隨機變量的分布列與均值，屬于中檔題.

由條件知甲同學通過測試的概率為；

求得甲、乙通過測試的概率，得到甲、乙沒有通過測試的概率，由已知得，20，40，寫出X的分布列，即可得到其均值；

由題意得到甲通過測試的概率，列出不等式求得p的范圍即可.20.【答案】證明：連接交于，連接，

在平行六面體中，且，

所以四邊形是平行四邊形，且，

又O，分別為BD，的中點，所以，，

所以四邊形是平行四邊形，于是，

因為平面平面，平面平面，

平面平面，

所以，

因為，OP都經過點O，

所以O，P，三點共線.

解：由可知，所以，

作平面ABCD于Q，于E，于F，連EQ，FQ，AQ，

因為平面ABCD，平面ABCD，

則，，由，得，

又，A1Q，A1平面，

所以平面，又平面，

于是，同理，

可得≌，，

所以點Q在AC上，且，

所以點Q與O重合，于是，

以點O為原點，分別以OA，OB，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

則，，，，

所以，

于是，

又，所以，，

設平面PAB的法向量為，

則，可得，

不妨令，則，

又平面ABC的一個法向量為，

，

可知二面角的平面角為銳角，

所以二面角的余弦值為

【解析】本題考查利用面面平行的性質得到三點共線以及利用空間向量求二面角，屬于中檔題.

證明，由面面平行的性質可得，又，OP都經過點O，即可求證；作平面ABCD于Q，于E，于F，可推出點Q與點O重合，以點O為原點，分別以OA，OB，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，求出平面PAB與平面ABC的的法向量，再利用夾角公式即可求解.21.【答案】解：函數的定義域為，

求導得，

當時，，所以函數在上單調遞增;

當時，令，得，

當時，，函數在上單調遞減，

當時，，函數在上單調遞增.

綜上，當時，函數在上單調遞增;

當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增;

證明：令，則，

令，求導得，

則函數在上單調遞減，在上單調遞增，

，，

當時，；當時，，

當時，函數的圖象與直線有兩個不同的交點，

且交點橫