第06講正方形的判定模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1.掌握平行四邊形、矩形、菱形與正方形的概念之間的從屬關(guān)系及性質(zhì)之間的區(qū)別；2．能熟練應(yīng)用正方形的性質(zhì)、判定等知識(shí)進(jìn)行有關(guān)證明和計(jì)算。一、正方形的判定1.定義法：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形；2.先證四邊形是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等（即矩形）；3.先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直（即菱形）.二、特殊平行四邊形之間的關(guān)系或者可表示為：三、中點(diǎn)四邊形：順次連接特殊的平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀（1）順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形.（2）順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形.（3）順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形.（4）順次連接正方形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形.要點(diǎn)：新四邊形由原四邊形各邊中點(diǎn)順次連接而成.（1）若原四邊形的對(duì)角線互相垂直，則新四邊形是矩形.（2）若原四邊形的對(duì)角線相等，則新四邊形是菱形.（3）若原四邊形的對(duì)角線垂直且相等，則新四邊形是正方形.考點(diǎn)一：正方形的判定定理理解例1．（23-24八年級(jí)下·北京·期中）下列命題中，能判斷四邊形是正方形的是（

）A．對(duì)角線互相垂直的矩形 B．對(duì)角線相等的平行四邊形C．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形 D．對(duì)角線互相垂直平分的菱形【變式1-1】（23-24八年級(jí)下·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）在復(fù)習(xí)特殊的平行四邊形時(shí)，某小組同學(xué)畫出了如圖關(guān)系圖，組內(nèi)一名同學(xué)在箭頭處填寫了它們之間轉(zhuǎn)化的條件，其中填寫錯(cuò)誤的是（

）A．①對(duì)角相等 B．②對(duì)角線互相垂直C．③有一組鄰邊相等 D．④對(duì)角線相等【變式1-2】（2024八年級(jí)下·安徽·專題練習(xí)）如圖，已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，它是菱形 B．當(dāng)時(shí)，它是菱形C．當(dāng)時(shí)，它是矩形 D．當(dāng)時(shí)，它是正方形【變式1-3】（23-24八年級(jí)下·云南昆明·期中）下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）①平行四邊形是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形；②一組對(duì)邊平行，一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；④對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是菱形；⑤四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形是矩形；⑥對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．A．2 B．3 C．4 D．5考點(diǎn)二：添一個(gè)條件使四邊形是正方形例2.（2024·陜西榆林·三模）在矩形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)Q，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：使得矩形是正方形．（只寫一個(gè)）【變式2-1】（21-22八年級(jí)下·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，不添加任何輔助線，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使四邊形是正方形（填一個(gè)即可）．【變式2-2】（22-23八年級(jí)下·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖，在中，分別是的中點(diǎn)，連接，要使四邊形是正方形，只需增加一個(gè)條件為．

【變式2-3】（21-22八年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，、、、分別是、、、的中點(diǎn)．要使四邊形是正方形，、應(yīng)滿足的條件是．

考點(diǎn)三：證明四邊形是正方形例3.（2024·陜西咸陽·三模）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：四邊形為正方形．【變式3-1】（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期中）如圖，在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作與的平行線，相交于點(diǎn)，連接，，與交于點(diǎn)．(1)求證：四邊形是矩形；(2)當(dāng)時(shí)，求證：四邊形是正方形．【變式3-2】（23-24八年級(jí)下·內(nèi)蒙古赤峰·期中）如圖，在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的平行線，并在此直線上截取，連接．(1)判斷四邊形的形狀并請(qǐng)說明理由；(2)直接寫出當(dāng)滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形．【變式3-3】（2024八年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）在中，，的平分線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作交的平分線于點(diǎn)E．(1)求證：四邊形是矩形；(2)當(dāng)滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形．考點(diǎn)四：與正方形有關(guān)的作圖問題（含無刻度作圖）例4.（23-24八年級(jí)下·江蘇南京·期中）已知：如圖，正方形中，點(diǎn)、分別是邊和上的點(diǎn)，且滿足．(1)不用圓規(guī)，請(qǐng)只用不帶刻度的直尺作圖：在邊和上分別作出點(diǎn)G和點(diǎn)H，（保留作圖痕跡，不寫做法作法）；(2)判斷：四邊形的形狀是．【變式4-1】（23-24九年級(jí)下·山東淄博·期中）如圖，點(diǎn)在正方形的邊上．(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在上分別取點(diǎn)使得且平分正方形的面積．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)求證：【變式4-2】（23-24九年級(jí)上·遼寧沈陽·期中）如圖，在正方形中，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上，，連接．(1)求證：；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)E為邊中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)僅用無刻度的直尺作矩形（保留作圖痕跡）．【變式4-3】（22-23八年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，已知正方形為上任意一點(diǎn)，請(qǐng)僅用無刻度的直尺完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．（用虛線表示畫圖過程，實(shí)線表示畫圖結(jié)果）(1)在邊上找點(diǎn)，使得直線將正方形的面積平均分成相等的兩部分；（在圖1中完成）(2)在邊上找點(diǎn)，使得；（在圖2中完成）(3)連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，作出旋轉(zhuǎn)后的三角形．（在圖3中完成）考點(diǎn)五：正方形的性質(zhì)與判定的綜合問題例5.（23-24八年級(jí)下·江蘇無錫·期中）實(shí)踐操作：第一步：如圖1，將矩形紙片沿過D的直線折疊，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)處，得到折痕，然后在把紙片展平；第二步：如圖2，將圖1中的矩形紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)C恰好落在上的點(diǎn)處，得到折痕，交于點(diǎn)M，再把紙片展平．問題解決：(1)如圖1，求證：四邊形是正方形；(2)如圖2，若，，，求的面積．【變式5-1】（23-24九年級(jí)下·山東淄博·期中）如圖，中，，、外角平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)分別作直線，的垂線，，為垂足．(1)________°（直接寫出結(jié)果不寫解答過程）(2)求證：四邊形是正方形．若，求的面積．(3)如圖（），在中，，高，，則的長(zhǎng)度是________（直接寫出結(jié)果不寫解答過程）．【變式5-2】（23-24八年級(jí)下·江蘇南通·期中）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)P為射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，連接，以為邊作平行四邊形，直線和直線相交于點(diǎn)M．(1)如圖1，點(diǎn)P在邊上，判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)在（1）的條件下，若點(diǎn)P為的中點(diǎn)，求點(diǎn)F到邊的距離；(3)若，求的長(zhǎng)．【變式5-3】（23-24八年級(jí)下·四川廣安·期中）問題情境：如圖①，點(diǎn)E為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，且，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接．猜想證明：（1）如圖①，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．（2）如圖②，若，請(qǐng)猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．解決問題：（3）如圖①，若，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．考點(diǎn)六：中點(diǎn)四邊形例6.（23-24八年級(jí)下·廣西玉林·期中）已知：如圖1，四邊形四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接、，得到四邊形（即四邊形的中點(diǎn)四邊形）．(1)四邊形的形狀是__________，證明你的結(jié)論．(2)如圖2，請(qǐng)連接四邊形的對(duì)角線與，當(dāng)與滿足__________條件時(shí)，四邊形是正方形，證明你的結(jié)論．【變式6-1】（22-23八年級(jí)下·山西呂梁·期中）如圖，在四邊形中，對(duì)角線，，且，垂足為O，順次連接四邊形各邊的中點(diǎn)，得到四邊形；再順次連接四邊形各邊的中點(diǎn)，得到四邊形，…如此下去得到四邊形．(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由．(2)求四邊形的面積．(3)直接寫出四邊形的面積（用含n的式子表示）．【變式6-2】（22-23八年級(jí)下·江蘇·周測(cè)）如圖，四邊形、都是正方形，連接、．(1)判斷線段、的關(guān)系并證明．(2)連接、、、，順次連接各邊中點(diǎn)G、H、Q、N，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．考點(diǎn)七：（特殊）平行四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題例7.（23-24八年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)與點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，點(diǎn)，的速度都是，連接，設(shè)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．(1)求當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形是正方形；(2)求當(dāng)t為何值時(shí)，；(3)當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，求矩形的周長(zhǎng)與四邊形的周長(zhǎng)的比值．【變式7-1】（23-24八年級(jí)下·湖北孝感·階段練習(xí)）如圖所示，在等邊三角形中，，射線，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

(1)連接，當(dāng)經(jīng)過邊的中點(diǎn)時(shí)，求證：四邊形是平行四邊形；(2)填空：①當(dāng)為________時(shí)，四邊形是菱形；②當(dāng)為________時(shí)，的面積是的面積的倍．【變式7-2】（20-21八年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）如圖，在四邊形中，，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值；(2)當(dāng)________時(shí)，四邊形是矩形；若且點(diǎn)Q的移動(dòng)速度不變，要使四邊形能夠成為正方形，則P點(diǎn)移動(dòng)速度是________；(3)在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，若四邊形能夠成為菱形，求的長(zhǎng)度．【變式7-3】（22-23八年級(jí)下·江蘇南京·期中）已知：如圖，在矩形中，，．在上取一點(diǎn)，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作菱形，使點(diǎn)落在邊上，點(diǎn)落在矩形內(nèi)或其邊上．若，的面積為．

(1)如圖1，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，的值為，S的值為；(2)如圖2，當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，①求證：；②求與的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)x時(shí)，的面積最大；當(dāng)時(shí)，的面積最??；(4)在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的過程中，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)：．一、單選題1．（23-24八年級(jí)下·安徽阜陽·階段練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形B．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形C．四個(gè)角都相等的菱形是正方形D．一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形2．（23-24八年級(jí)下·湖南懷化·期中）已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，它是菱形 B．當(dāng)時(shí)，它是正方形C．當(dāng)時(shí)，它是矩形 D．當(dāng)時(shí)，它是菱形3．（23-24七年級(jí)下·北京·期中）將矩形紙片沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在邊上點(diǎn)F處，折痕為（如圖1）；再沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)D落在上的點(diǎn)處，折痕為（如圖2）；再展平紙片（如圖3）．則圖3中的度數(shù)是（）A． B． C． D．4．（2024·湖北宜昌·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)D，按下列步驟作圖：①分別以點(diǎn)C，D為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點(diǎn)；②作直線，分別交于點(diǎn)E，O，F(xiàn)；③連接．根據(jù)以上作圖步驟，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．與互相垂直且平分 B．圖中等腰直角三角形有8個(gè)C．四邊形為正方形 D．若，，則5．（2024·廣東韶關(guān)·二模）如圖，已知四邊形為正方形，，為對(duì)角線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，以，為鄰邊作矩形，連接．下列結(jié)論：①矩形是正方形；②；③；④．其中結(jié)論正確的序號(hào)有（

）A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④二、填空題6．（23-24八年級(jí)下·山東菏澤·期中）在四邊形中，，，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，則四邊形的形狀是．7．（21-22八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期末）如圖，已知點(diǎn)D在△ABC的BC邊上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加條件，則四邊形AEDF是矩形；若添加條件，則四邊形AEDF是菱形；若添加條件，則四邊形AEDF是正方形．8．（23-24八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知如圖所示，，，于P，，則四邊形的面積．

9．（23-24八年級(jí)下·江蘇無錫·期中）如圖1，已知矩形紙片，，，將紙片進(jìn)行如下操作：將紙片沿折痕進(jìn)行折疊，使點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)E處，點(diǎn)F在上（如圖2），則；然后將繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)到，當(dāng)過點(diǎn)C時(shí)旋轉(zhuǎn)停止，則．

10．（23-24九年級(jí)上·廣東揭陽·期中）如圖，在矩形中，交于點(diǎn)O，且，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，且、分別為、的中點(diǎn)，則四邊形的面積是．三、解答題11．（2024·山東泰安·三模）如圖，正方形中，，點(diǎn)E是對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接．過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，以為鄰邊作矩形，連接．(1)求證：矩形是正方形；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．12．（23-24八年級(jí)下·山東菏澤·期中）如圖，在中，，過點(diǎn)C的直線，D為邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作交直線與E，垂足為F，連接．(1)求證：；(2)當(dāng)D為中點(diǎn)時(shí)，四邊形是什么特殊四邊形？說明理由；(3)在滿足（2）的條件下，當(dāng)再滿足______條件時(shí)，四邊形是正方形（直接填寫答案）．13．四邊形為正方形，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，以、為鄰邊作矩形，連接．(1)如圖1，求證：矩形是正方形；(2)若，，求的長(zhǎng)度；(3)當(dāng)線段與正方形的某條邊的夾角是時(shí)，直接寫出的度數(shù)．14．（23-24八年級(jí)下·湖南岳陽·期中）問題情境：如圖1，點(diǎn)E為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接．猜想證明：（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）如圖2，若，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；解決問題：（