一、自主測試

1.下列說法正確的是（）

A.打開電視機，正在播放新聞

B.給定一組數據，那么這組數據的中位數一定只有一個

C.調查某品牌飲料的質量情況適合普查

D.盒子里裝有2個紅球和2個黑球，攪勻后從中摸出兩個球，一定一紅一黑

2.兩個正四面體骰子的各面上分別標明數字1,2,3,4,如同時投擲這兩個正四面體骰子,

則著地的面所得的點數之和等于5的概率為（）

3.有一箱規格相同的紅、黃兩種顏色的小塑料球共1000個.為了估計這兩種顏色的球各有

多少個，小明將箱子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回箱子中，多

次重復上述過程后.發現摸到紅球的頻率約為0.6,據此可以估計紅球的個數約為一.

4.揚州市體育中考現場考試內容有三項：50米跑為必測項目；另在立定跳遠、實心球（二

選一）和坐位體前屈、1分鐘跳繩（二選一）中選擇兩項.

（1）每位考生有一種選擇方案；

（2）用畫樹狀圖或列表的方法求小明與小剛選擇同種方案的概率.（友情提醒：各種方案

用A、B、C、…或①、②、③、…等符號來代表可簡化解答過程）

二、探究考點方法

5.下列事件屬于必然事件的是（）

A.在1個標準大氣壓下，水加熱到100℃沸騰

B.明天我市最高氣溫為56℃

C.中秋節晚上能看到月亮

D.下雨后有彩虹

6.下列事件中，為必然事件的是（）

A.購買一張彩票，中獎

B.打開電視機，正在播放廣告

C.拋一牧捌幣，正面向上

D.一個袋中裝有5個黑球，從中摸出一個球是黑球

7.在一個不透明的口袋中裝有4張形狀、大小相同的紙牌，它們分別標有數字1、2、3、4.隨

機地摸出一張紙牌，記下數字，然后放回，洗勻后再隨機摸出一張紙牌并記下數字.

(1)計算兩次摸出的紙牌上數字之和為6的概率；

(2)甲、乙兩個人進行游戲，如果兩次摸出紙牌上數字之和為奇數，則甲勝；如果兩次摸

出紙牌上數字之和為偶數，則乙勝.這是個公平的游戲嗎？請說明理由.

8.甲、乙、丙、丁四位同學進行一次乒乓球單打比賽，要從中選出兩位同學打笫一場比賽.

(1)請用樹狀圖法或列表法，求恰好選中甲、乙兩位同學的概率；

(2)若已確定甲打第一場，再從其余三位同學中隨機選取一位，求恰好選中乙同學的概率.

9.小明在學習了統計與概率的知識后，做了投擲骰子的試驗，小明共做了100次試驗，試

驗的結果如下：

朝上的點數123456

出現的次數171315232012

(1)試求“4點朝上”和“5點朝上”的頻率；

(2)由于“4點朝上”的頻率最大，能不能說一次試驗中“4點朝上”的概率最大？為什

么？

10.某質檢員從一大批種子中抽取若干批，在同一條件下進行發芽試驗，有關數據如下：

種子粒數50100200500100030005000

發芽種子粒數459218445891427324556

發芽頻率

(1)計算各批種子發芽頻率，填入上表.

(2)根據頻率的穩定性估計種子的發芽概率.

11.在一副撲克牌中取牌面花色分別為黑桃、紅心、方塊各一張，洗勻后正面朝下放在桌面

上.

(1)從這三張牌中隨機抽取一張牌，抽到牌面花色為紅心的概率是多少？

(2)小王和小李玩摸牌游戲，游戲規則如下：先由小王隨機抽出一張牌，記下牌面花色后

放回，洗勻后正面朝下，再由小李隨機抽出一張牌，記下牌面花色.當兩張牌的花色相同時,

小王贏；當兩張牌面的花色不相同時，小李贏.請你利用樹狀圖或列表法分析該游戲規則對

雙方是否公平？并說明理由.

12.四張質地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分別畫有圓、矩形、等邊三角形、等腰

梯形四個圖案.現把它們的正面向下隨機擺放在桌面上，從中任意抽出一張，則抽出的卡片

正面圖案是中心對稱圖形的概率為（）

113

A.—B.—C.—D.1

424

13.5月19日為中國旅游日，衢州推出“讀萬卷書，行萬里路，游衢州景”的主題系列旅

游惠民活動，市民王先生準備在優惠日當天上午從孔氏南宗家廟、爛柯山、龍游石窟中隨機

選擇一個地點；下午從江郎山、三衢石林、開化根博園中隨機選擇一個地點游玩，則王先生

恰好上午選中孔氏南宗家廟，下午選中江郎山這兩個地的概率是（）

三、品鑒經典考題

14.一個不透明口袋中裝著只有顏色不同的1個紅球和2個白球，攪勻后從中摸出一個球，

摸到白球的概率為（）

911

A.—B.—C.—D.1

323

15.義烏國際小商品博覽會某志愿小組有五名翻譯，其中一名只會翻譯阿拉伯語，三名只會

翻譯英語，還有一名兩種語言都會翻譯.若從中隨機挑選兩名組成一組，則該組能夠翻譯上

述兩種語言的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

5101025

16.一個不透明的盒子中裝有2個紅球和1個白球，它們除顏色外都相同.若從中任意摸出

一個球，則下列敘述正確的是（）

A.摸到紅球是必然事件

B.摸到白球是不可能事件

C.摸到紅球比摸到白球的可能性相等

D.摸到紅球比摸到白球的可能性大

17.拋擲一枚質地均勻、各面分別標有1,2,3,4,5,6的骰子，正面向上的點數是偶數

的概率是—.

18.任意拋擲一枚硬幣，則“正面朝上”是—事件.

19.如右圖，在某十字路口，汽車可直行、可左轉、可右轉.若這三種可能性相同，則兩輛

汽車經過該路口都向右轉的概率為.

6?

20.有長度分別為2cm,3cm,4cm,7cm的四條線段，任取其中三條能組成三角形的概率是—.

21.在一個不透明的盒子中，共有“一白三黑”4個圍棋子，它們除了顏色之外沒有其他區

別.

（1）隨機地從盒中提出1子，則提出白子的概率是多少？

（2）隨機地從盒中提出1子，不放回再提第二子.請你用畫樹狀圖或列表的方法表示所有

等可能的結果，并求恰好提出“一黑一白”子的概率.

四、研習預測試題

22.某中學舉行數學競賽，經預賽，七、八年級各有一名同學進入決賽，九年級有兩名同學

進入決賽，那么九年級同學獲得前兩名的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

2346

23.在一個不透明的盒子中裝有8個白球，若干個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同.若

從中隨機摸出一個球，它是白球的概率為晟，則黃球的個數為（）

A.2B.4C.12D.16

24.已知拋一枚均勻硬幣正面朝上的概率為去,下列說法錯誤的是（）

A.連續拋一均勻硬幣2次必有1次正面朝上

B.連續拋一均勻硬幣10次都可能正面朝上

C.大量反復拋一均勻硬幣，平均100次出現正面朝上50次

D.通過拋一均勻硬幣確定誰先發球的比賽規則是公平的

25.在x2[Z]2xyL]y2的空格口中，分別填上“+”或“-”，在所得的代數式中，能構成完全

平方式的概率是()

26.在半徑為2的圓中有一個內接正方形，現隨機地往圓內投一粒米，落在正方形內的概率

為.(注：”取3)

27.從-2,-1,2這三個數中任取兩個不同的數作為點的坐標，該點在第四象限的概率

是—.

28.如圖，一個圓形轉盤被等分成八個扇形區域，上面分別標有數字1、2、3、4,轉盤指

針的位置固定，轉動轉盤后任其自由停止.轉動轉盤一次，當轉盤停止轉動時，記指針指向

標有“3”所在區域的概率為P(3)，指針指向標有“4”所在區域的概率為P(4),則P

五、鞏固提高

30.在中央電視臺第2套《購物街》欄目中，有一個精彩刺激的游戲--幸運大轉盤，其規

則如下：

①游戲工具是一個可繞軸心自由轉動的圓形轉盤，轉盤按圓心角均勻劃分為20等分，并在

其邊緣標記5、10、15、…、100共20個5的整數倍數，游戲時，選手可旋轉轉盤，待轉盤

停止時，指針所指的數即為本次游戲的得分；

②每個選手在旋轉一次轉盤后可視得分情況選擇是否再旋轉轉盤一次，若只旋轉一次，則以

該次得分為本輪游戲的得分，若旋轉兩次則以兩次得分之和為本輪游戲的得分；

③若某選手游戲得分超過100分，則稱為“爆掉”，該選手本輪游戲裁定為“輸”，在得分

不超過100分的情況下，分數高者裁定為“贏”；

④遇到相同得分的情況，相同得分的選手重新游戲，直到分出輸贏.

現有甲、乙兩位選手進行游戲，請解答以下問題：

(1)甲已旋轉轉盤一次，得分65分，他選擇再旋轉一次，求他本輪游戲不被“爆掉”的概

率.

(2)若甲一輪游戲最終得分為90分，乙第一次旋轉轉盤得分為85分，則乙還有可能贏嗎

贏的概率是多少

（3）若甲、乙兩人交替進行游戲，現各旋轉一次后甲得85分，乙得65分，你認為甲是否

應選擇旋轉第二次說明你的理由.

31.某校開展了以“人生觀、價值觀”為主題的班隊活動.活動結束后，初三（2）班數學

興趣小組提出了5個主要觀點并在本班50名學生中進行了調查（要求每位同學只選自己最

認可的一項觀點），并制成了如圖所示的扇形統計圖.

（1）該班學生選擇“和諧”觀點的有—人，在扇形統計圖中，“和諧”觀點所在扇形區

域的圓心角是—.

（2）如果該校有1500名初三學生.利用樣本估計選擇“感恩”觀點的初三學生約有一人.

（3）如果數學興趣小組在這5個主要觀點中任選兩項觀點在全校學生中進行調查.求恰好

選到“和諧”和“感恩”觀點的概率.

互助

感恩12%

28%平等

20%

和謠

10%思取

30%

32.如圖，一個被等分成了3個相同扇形的圓形轉盤，3個扇形分別標有數字1、3、6,指

針的位置固定，轉動轉盤后任其自由停止，其中的某個扇形會恰好停止在指針所指的位置（指

針指向兩個扇形的交線時，重新轉動轉盤）.

（1）請用畫樹形圖或列表的方法（只選其中一種），表示出分別轉動轉盤兩次轉盤自由停

止后，指針所指扇形數字的所有結果；

（2）求分別轉動轉盤兩次轉盤自由停止后，指針所指扇形的數字之和的算術平方根為無理

數的概率.

33.2011年6月4日，李娜獲得法網公開賽的冠軍，圓了中國人的網球夢.也在國內掀起

一股網球熱.某市準備為青少年舉行一次網球知識講座，小明和妹妹都是網球球迷，要求爸

爸去買門票，但爸爸只買回一張門票，那么誰去就成了問題，小明想到一個辦法：他拿出一

個裝有質地、大小相同的2x個紅球與3x個白球的袋子，讓爸爸從中摸出一個球，如果摸出

的是紅球.妹妹去聽講座，如果摸出的是白球，小明去聽講座.

(1)爸爸說這個辦法不公平，請你用概率的知識解釋原因.

(2)若爸爸從袋中取出3個白球，再用小明提出的辦法來確定誰去聽講座，問摸球的結果

是對小明有利還是對妹妹有利.說明理由.

34.在一個不透明的口袋中裝有4張相同的紙牌，它們分別標有數字1,2,3,4.隨機地

摸取出一張紙牌然后放回，再隨機摸取出一張紙牌，(1)計算兩次摸取紙牌上數字之和為

5的概率；

(2)甲、乙兩個人進行游戲，如果兩次摸出紙牌上數字之和為奇數，則甲勝；如果兩次摸

出紙牌上數字之和為偶數，則乙勝.這是個公平的游戲嗎？請說明理由.

35.在“傳箴言”活動中，某班團支部對該班全體團員在一個月內所發箴言條數的情況進行

了統計，并制成了如下兩幅不完整的統計圖：

所發贈言條數扇形統計圖所發贈言條數條形統計圖

(1)求該班團員在這一個月內所發箴言的平均條數是多少？并將該條形統計圖補充完整；

(2)如果發了3條箴的同學中有兩位男同學，發了4條箴言的同學中有三位女同學.現要

從發了3條箴和4條箴言的同學中分別選出一位參加該校團委組織的“箴言”活動總結會，

請你用列表法或樹狀圖的方法求出所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的概率.

認識概率

參考答案與試題解析

一、自主測試

1.下列說法正確的是（）

A.打開電視機，正在播放新聞

B.給定一組數據，那么這組數據的中位數一定只有一個

C.調查某品牌飲料的質量情況適合普查

D.盒子里裝有2個紅球和2個黑球，攪勻后從中摸出兩個球，一定一紅一黑

【考點】隨機事件；全面調查與抽樣調查；中位數.

【專題】探究型.

【分析】分別根據隨機事件、中位數及全面調查與抽樣調查的概念進行解答.

【解答】解：A、打開電視機，正在播放新聞是隨機事件，故本選項錯誤；

B、由中位數的概念可知，給定一組數據，那么這組數據的中位數一定只有一個，故本選項

正確；

C、由于調查某品牌飲料的質量具有一定的破壞性，故適合抽樣調查，故本選項錯誤；

D、由于盒子里裝有2個紅球和2個黑球，所以攪勻后從中摸出兩個球，一紅一黑是隨機事

件，故本選項錯誤.

故選B.

【點評】本題考查的是隨機事件、中位數及全面調查與抽樣調查的概念，熟知以上知識是解

答此題的關鍵.

2.兩個正四面體骰子的各面上分別標明數字1,2,3,4,如同時投擲這兩個正四面體骰子,

則著地的面所得的點數之和等于5的概率為（）

A.—B.—C.—D.—

41648

【考點】列表法與樹狀圖法.

【分析】依據題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現結果，然后根據概率公式

求出該事件的概率.

【解答】解：列表得:

1234

11+1=22+1=33+1=44+1=5

21+2=32+2=43+2=54+2=6

31+3=42+3=53+3=64+3=7

41+4=52+4=63+4=74+4=8

畫樹狀圖得:

???一共有16種情況，著地的面所得的點數之和等于5的有4種，

，著地的面所得的點數之和等于5的概率為%

164

故選A.

【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺

漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數與

總情況數之比.

3.有一箱規格相同的紅、黃兩種顏色的小塑料球共1000個.為了估計這兩種顏色的球各有

多少個，小明將箱子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回箱子中，多

次重復上述過程后.發現摸到紅球的頻率約為0.6,據此可以估計紅球的個數約為600

個.

【考點】利用頻率估計概率.

【專題】應用題.

【分析】因為多次重復上述過程后，發現摸到紅球的頻率約為0.6,所以紅球所占的百分比

也就是60%,根據總數可求出紅球個數.

【解答】解：；摸到紅球的頻率約為0.6,

紅球所占的百分比是60%.

.\1000X60%=600（個）.

故答案為：600個.

【點評】本題考查用頻率估計概率，因為摸到紅球的頻率約為0.6,紅球所占的百分比是60%,

從而可求出解.

4.揚州市體育中考現場考試內容有三項：50米跑為必測項目；另在立定跳遠、實心球（二

選一）和坐位體前屈、1分鐘跳繩（二選一）中選擇兩項.

（1）每位考生有4種選擇方案;

（2）用畫樹狀圖或列表的方法求小明與小剛選擇同種方案的概率.（友情提醒：各種方案

用A、B、C、…或①、②、③、…等符號來代表可簡化解答過程）

【考點】列表法與樹狀圖法.

【專題】計算題.

【分析】（1）先列舉出每位考生可選擇所有方案：50米跑、立定跳遠、坐位體前屈（用A

表示）；50米跑、實心球、坐位體前屈（用B表示）；50米跑、立定跳遠、1分鐘跳繩（用

C表示）；50米跑、實心球、1分鐘跳繩（用D表示）；共用4種選擇方案.

（2）利用數形圖展示所有16種等可能的結果，其中選擇兩種方案有12種，根據概率的概

念計算即可.

【解答】解:（1）每位考生可選擇：50米跑、立定跳遠、坐位體前屈（用A表示）；50

米跑、實心球、坐位體前屈（用B表示）；50米跑、立定跳遠、1分鐘跳繩（用C表示）；

50米跑、實心球、1分鐘跳繩（用D表示）；共用4種選擇方案.

故答案為4.

（2）用A、B、C、D代表四種選擇方案（其他表示方法也可）

解法一：用樹狀圖分析如下：

開始

小明

/Ax/Ax

lral

小剛ABCDABCDABCDABCD

解法二：用列表法分析如下：

小剛ABCD

小明

A(A,A)(A,B)(A,C)(A,D)

B(B,A)(B,B)(B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,C)(C,D)

D(D,A)(D,B)(D,C)(D,D)

兩人選擇的方案共有16種等可能的結果，其中選擇同種方案有4種，

所以小明與小剛選擇同種方案的概率

164

【點評】本題考查了概率的概念：用列舉法展示所有等可能的結果數n,找出某事件所占有

的結果數m,則這件事的發生的概率P=蟲.

n

二、探究考點方法

5.下列事件屬于必然事件的是（）

A.在1個標準大氣壓下，水加熱到100℃沸騰

B.明天我市最高氣溫為56℃

C.中秋節晚上能看到月亮

D.下雨后有彩虹

【考點】隨機事件.

【專題】分類討論.

【分析】根據事件的分類判斷，必然事件就是一定發生的事件，根據定義即可解決.

【解答】解：A、在1個標準大氣壓下，水加熱到100℃沸騰是必然事件，故本選項正確；

B、明天我市最高氣溫為56℃是隨機事件，故本選項錯誤；

C、中秋節晚上能看到月亮是隨機事件，故本選項錯誤；

D、下雨后有彩虹是隨機事件，故本選項錯誤.

故選A.

【點評】本題主要考查了必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，必然事件指在一定條件

下一定發生的事件，不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機

事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件，難度適中.

6.下列事件中，為必然事件的是（）

A.購買一張彩票，中獎

B.打開電視機，正在播放廣告

C.拋一牧捌幣，正面向上

D.一個袋中裝有5個黑球，從中摸出一個球是黑球

【考點】隨機事件.

【專題】分類討論.

【分析】必然事件就是一定會發生的事件，即發生概率是1的事件，依據定義即可作出判斷.

【解答】解：A、可能發生，也可能不發生，屬于隨機事件，不一定會中獎，不符合題意；

B、可能發生，也可能不發生，屬于隨機事件，不符合題意；

C、可能發生，也可能不發生，屬于隨機發生，不符合題意.

D、是必然事件，符合題意；

故選D.

【點評】本題主要考查必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，理解概念是解決基礎題的

主要方法.用到的知識點為：必然事件指在一定條件下一定發生的事件；不確定事件即隨機

事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件.

7.在一個不透明的口袋中裝有4張形狀、大小相同的紙牌，它們分別標有數字1、2、3、4.隨

機地摸出一張紙牌，記下數字，然后放回，洗勻后再隨機摸出一張紙牌并記下數字.

(1)計算兩次摸出的紙牌上數字之和為6的概率；

(2)甲、乙兩個人進行游戲，如果兩次摸出紙牌上數字之和為奇數，則甲勝；如果兩次摸

出紙牌上數字之和為偶數，則乙勝.這是個公平的游戲嗎？請說明理由.

【考點】游戲公平性；列表法與樹狀圖法.

【專題】計算題.

【分析】(1)列表得出所有等可能的情況數，找出之和為6的情況數，即可求出所求的概

率；

(2)找出數字之和為奇數與偶數的情況數，分別求出兩人獲勝的概率，比較即可得到游戲

公平與否.

【解答】解：(1)列表如下：

1234

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)

所有等可能的情況有16種，其中數字之和為6的情況有3種，

則P=~r；

16

（2）數字之和為奇數的情況有8種，之和為偶數的情況有8種，

/.P（之和為偶數）=P（之和為奇數）=曾±，

162

則該游戲公平.

【點評】此題考查了游戲公平性，以及列表法與樹狀圖法，判斷游戲公平性就要計算每個事

件的概率，概率相等就公平，否則就不公平.

8.甲、乙、丙、丁四位同學進行一次乒乓球單打比賽，要從中選出兩位同學打笫一場比賽.

（1）請用樹狀圖法或列表法，求恰好選中甲、乙兩位同學的概率；

（2）若已確定甲打第一場，再從其余三位同學中隨機選取一位，求恰好選中乙同學的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法.

【專題】計算題.

【分析】（1）此題需要兩步完成，所以采用樹狀圖法或者采用列表法都比較簡單，求得全

部情況的總數與符合條件的情況數目；二者的比值就是其發生的概率；

（2）由一共有3種等可能性的結果，其中恰好選中乙同學的有1種，即可求得答案.

【解答】解：（1）方法一

畫樹狀圖得：

第一次甲乙丙丁

第二次乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

方法二

列表得：

甲乙丙1丁

/甲、乙甲、丙甲、丁

甲

乙乙、甲/乙、丙乙、丁

丙丙、甲丙、乙/丙、丁

T丁、甲丁、乙丁、丙/

...所有等可能性的結果有12種，其中恰好選中甲、乙兩位同學的結果有2種，

，恰好選中甲、乙兩位同學的概率為：義=占；

126

(2)..?一共有3種等可能性的結果，其中恰好選中乙同學的有1種，

???恰好選中乙同學的概率為：y.

【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率與古典概率的求解方法.列表法或畫樹

狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件.用到的知識點為:

概率=所求情況數與總情況數之比.

9.小明在學習了統計與概率的知識后，做了投擲骰子的試驗，小明共做了100次試驗，試

驗的結果如下：

朝上的點數123456

出現的次數171315232012

(1)試求“4點朝上”和“5點朝上”的頻率；

(2)由于“4點朝上”的頻率最大，能不能說一次試驗中“4點朝上”的概率最大？為什

么？

【考點】利用頻率估計概率.

【分析】(1)根據頻數除以實驗次數，得到頻率即可；

(2)根據由于試驗次數較多，可以用頻率估計概率，進而分析得出.

【解答】解：(1)“4點朝上”的頻率為：餐=0.23,

100

“5點朝上”的頻率為：需=0.2；

(2)不可以;

因為試驗次數不是足夠大，因為只有大量重復試驗時，

試驗頻率才趨于穩定，其穩定值近似等于概率.

【點評】此題主要考查了利用頻率估計概率，根據大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個

固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集

中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率進而求出是解題關鍵.

10.某質檢員從一大批種子中抽取若干批，在同一條件下進行發芽試驗，有關數據如下:

種子粒數50100200500100030005000

發芽種子粒數459218445891427324556

發芽頻率

(1)計算各批種子發芽頻率，填入上表.

(2)根據頻率的穩定性估計種子的發芽概率.

【考點】利用頻率估計概率.

【分析】(1)根據表格中數據分別求出種子發芽頻率即可;

(2)利用(1)中所求直接估計得出種子的發芽概率.

【解答】解：(1)如下表：

種子粒數50100200500100030005000

發芽種子粒數459218445891427324556

發芽頻率0.90.920.920.9160.9140.910.91

(2)由圖表得：種子的發芽概率約為：0.91.

【點評】此題主要考查了利用頻率估計概率，根據大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個

固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集

中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率進而求出是解題關鍵.

11.在一副撲克牌中取牌面花色分別為黑桃、紅心、方塊各一張，洗勻后正面朝下放在桌面

上.

(1)從這三張牌中隨機抽取一張牌，抽到牌面花色為紅心的概率是多少？

(2)小王和小李玩摸牌游戲，游戲規則如下：先由小王隨機抽出一張牌，記下牌面花色后

放回，洗勻后正面朝下，再由小李隨機抽出一張牌，記下牌面花色.當兩張牌的花色相同時,

小王贏；當兩張牌面的花色不相同時，小李贏.請你利用樹狀圖或列表法分析該游戲規則對

雙方是否公平？并說明理由.

【考點】游戲公平性；概率公式；列表法與樹狀圖法.

【分析】（1）讓紅心的張數除以總張數即為抽到牌面花色為紅心的概率；

（2）列舉出所有情況，看兩張牌的花色相同的情況占所有情況的多少即可求得小王贏的概

率，進而求得小李贏的概率，比較即可.

【解答】解：⑴P（抽到牌面花色為紅心）=~

（2）游戲規則對雙方不公平.

理由如下：

開始

小李紅心黑桃方塊

小王

紅心紅心、紅心紅心、黑桃紅心、方塊

黑桃黑桃、紅心黑桃、黑桃黑桃、方塊

方塊方塊、紅心方塊、黑桃方塊、方塊

由樹狀圖或表格知：所有可能出現的結果共有9種.

P（抽到牌面花色相同）=,三；

93

P（抽到牌面花色不相同）得《；

..1.2

33

...此游戲不公平，小李贏的可能性大.

【點評】如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果,

那么事件A的概率P（A）=q.解決本題的關鍵是得到相應的概率，概率相等就公平，否則

n

就不公平.

12.四張質地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分別畫有圓、矩形、等邊三角形、等腰

梯形四個圖案.現把它們的正面向下隨機擺放在桌面上，從中任意抽出一張，則抽出的卡片

正面圖案是中心對稱圖形的概率為（）

11

A.—B.—C.—D.1

424

【考點】概率公式；中心對稱圖形.

【專題】計算題.

【分析】先判斷出圓、矩形、等邊三角形、等腰梯形中的中心對稱圖形，再根據概率公式解

答即可.

【解答】解：圓、矩形、等邊三角形、等腰梯形中，中心對稱圖形有圓，矩形2個；

則P（中心對稱圖形）=2-'.

42

故選B.

【點評】此題考查了概率公式和中心對稱圖形的定義，要弄清概率公式適用的條件方可解題:

（1）試驗中所有可能出現的基本事件有有限個；

（2）每個基本事件出現的可能性相等.

13.5月19日為中國旅游日，衢州推出“讀萬卷書，行萬里路，游衢州景”的主題系列旅

游惠民活動，市民王先生準備在優惠日當天上午從孔氏南宗家廟、爛柯山、龍游石窟中隨機

選擇一個地點；下午從江郎山、三衢石林、開化根博園中隨機選擇一個地點游玩，則王先生

恰好上午選中孔氏南宗家廟，下午選中江郎山這兩個地的概率是（）

A.—1B.1—2C.—D.—2

9339

【考點】列表法與樹狀圖法.

【分析】根據概率的求法，找準兩點：

①全部情況的總數；

②符合條件的情況數目；二者的比值就是其發生的概率.

使用樹狀圖分析時，一定要做到不重不漏.

【解答】解：畫樹狀圖得：

開始

上午孔氏南宗家廟爛柯山龍游石窟

下午

江郎二圈開華根江郎三螯開華根江郎三董開華根

山石林博園山石林博園山石林博園

，一共有9種等可能的結果,

王先生恰好上午選中孔氏南宗家廟，下午選中江郎山這兩個地的有一種情況,

...王先生恰好上午選中孔氏南宗家廟，下午選中江郎山這兩個地的概率是

9

故選A.

【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺

漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數與

總情況數之比.

三、品鑒經典考題

14.一個不透明口袋中裝著只有顏色不同的1個紅球和2個白球，攪勻后從中摸出一個球，

摸到白球的概率為()

211

A.—B.—C.—D.1

323

【考點】概率公式.

【分析】根據概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數；②符合條件的情況數目；二者的

比值就是其發生的概率.本題球的總數為1+2=3,白球的數目為2.

【解答】解：根據題意可得：一個不透明口袋中裝著只有顏色不同的1個紅球和2個白球，

共3個，

任意摸出1個，摸到白球的概率是：2+

故選A.

【點評】此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其

中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P(A)二四.

n

15.義烏國際小商品博覽會某志愿小組有五名翻譯，其中一名只會翻譯阿拉伯語，三名只會

翻譯英語，還有一名兩種語言都會翻譯.若從中隨機挑選兩名組成一組，則該組能夠翻譯上

述兩種語言的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

5101025

【考點】列表法與樹狀圖法.

【專題】壓軸題.

【分析】首先將一名只會翻譯阿拉伯語用A表示，三名只會翻譯英語都用B表示，一名兩種

語言都會翻譯用C表示，即可畫樹狀圖，由樹狀圖即可求得所有等可能的結果與能夠翻譯上

述兩種語言的情況，利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：將一名只會翻譯阿拉伯語用A表示，三名只會翻譯英語都用B表示，一名兩種

語言都會翻譯用C表示，

畫樹狀圖得：

???共有20種等可能的結果，該組能夠翻譯上述兩種語言的有14種情況，

該組能夠翻譯上述兩種語言的概率為：絲=工.

2010

故選B.

BBBC^BBCABBcABBCABBB

【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.注意列表法與樹狀圖法可以不重復不遺漏的

列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的

事件，注意概率=所求情況數與總情況數之比.

16.一個不透明的盒子中裝有2個紅球和1個白球，它們除顏色外都相同.若從中任意摸出

一個球，則下列敘述正確的是（）

A.摸到紅球是必然事件

B.摸到白球是不可能事件

C.摸到紅球比摸到白球的可能性相等

D.摸到紅球比摸到白球的可能性大

【考點】可能性的大小；隨機事件.

【分析】利用隨機事件的概念，以及個數最多的就得到可能性最大分別分析即可.

【解答】解：A.摸到紅球是隨機事件，故A選項錯誤；

B.摸到白球是隨機事件，故B選項錯誤；

C.摸到紅球比摸到白球的可能性相等，

根據不透明的盒子中裝有2個紅球和1個白球，得出摸到紅球比摸到白球的可能性大，故C

選項錯誤；

D.根據不透明的盒子中裝有2個紅球和1個白球，得出摸到紅球比摸到白球的可能性大，

故D選項正確；

故選：D.

【點評】此題主要考查了隨機事件以及可能性大小，利用可能性大小的比較：只要總情況數

目相同，誰包含的情況數目多，誰的可能性就大；反之也成立；若包含的情況相當，那么它

們的可能性就相等得出是解題關鍵.

17.拋擲一枚質地均勻、各面分別標有1,2,3,4,5,6的骰子，正面向上的點數是偶數

的概率是2.

【考點】概率公式.

【分析】根據概率公式知，6個數中有3個偶數，故擲一次骰子，向上一面的點數為偶數的

概率是5.

【解答】解：根據題意可得：擲一次骰子，向上一面的點數有6種情況，其中有3種為向上

一面的點數偶數，

故其概率是-^工；

62

故答案為：

【點評】本題主要考查了概率的求法的運用，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可

能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P(A)=更，難度適中.

n

18.任意拋擲一枚硬幣，則“正面朝上”是隨機事件.

【考點】隨機事件.

【分析】根據隨機事件的定義，隨機事件就是可能發生，也可能不發生的事件，即可判斷.

【解答】解：拋擲1枚均勻硬幣可能正面朝上，也可能反面朝上，

故拋擲1枚均勻硬幣正面朝上是隨機事件.

故答案為：隨機.

【點評】本題主要考查的是對隨機事件概念的理解，解決此類問題，要學會關注身邊的事物,

并用數學的思想和方法去分析、看待、解決問題，比較簡單.

19.如右圖，在某十字路口，汽車可直行、可左轉、可右轉.若這三種可能性相同，則兩輛

汽車經過該路口都向右轉的概率為-占9-.

0??I

【考點】列表法與樹狀圖法.

【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩輛汽車經過該

路口都向右轉的情況，繼而利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：畫樹狀圖得：

開始

第一輛直行卻礴

第二輛直行臺臺直行.:直行卻專書

:共有9種等可能的結果，兩輛汽車經過該路口都向右轉的有1種情況，

兩輛汽車經過該路口都向右轉的概率為：1.

9

故答案為：

9

【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.注意樹狀圖法或列表法可以不重復不遺

漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完

成的事件；注意概率二所求情況數與總情況數之比.

20.有長度分別為2cm,3cm,4cm,7cm的四條線段，任取其中三條能組成三角形的概率是

1

十

【考點】概率公式；三角形三邊關系.

【專題】壓軸題.

【分析】根據三角形的三邊關系求出共有幾種情況，根據概率的求法，找準兩點：①全部情

況的總數；②符合條件的情況數目；二者的比值就是其發生的概率.

【解答】解：：長度為2cm、3cm、4cm、7cm的四條線段，從中任取三條線段共有2.3.4,

2.3.7,3.4.7,2.4.7四種情況，

而能組成三角形的有2、3、4；共有1種情況，

所以能組成三角形的概率是

4

故答案為：-y.

4

【點評】本題考查的是概率的求法.如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同,

其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P(A)

21.在一個不透明的盒子中，共有“一白三黑”4個圍棋子，它們除了顏色之外沒有其他區

別.

(1)隨機地從盒中提出1子，則提出白子的概率是多少？

(2)隨機地從盒中提出1子，不放回再提第二子.請你用畫樹狀圖或列表的方法表示所有

等可能的結果，并求恰好提出“一黑一白”子的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【分析】(1)由共有“一白三黑”4個圍棋子，利用概率公式直接求解即可求得答案；

(2)首先畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與恰好提出“一黑一白”子的

情況，然后利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：(1)..?共有“一白三黑”4個圍棋子，

AP(白子)二；

4

(2)畫樹狀圖得:

???共有12種等可能的結果，恰好提出“一黑一白”子的有6種情況,

/.P(一黑一白)_6_1

白里里里

八、、?、?、八、、

/T\/1\/T\/N

黑黑黑白黑黑白黑黑白黑黑

【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率的知識.列表法或樹狀圖法可以不重復不

遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上

完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗.

四、研習預測試題

22.某中學舉行數學競賽，經預賽，七、八年級各有一名同學進入決賽，九年級有兩名同學

進入決賽，那么九年級同學獲得前兩名的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

2346

【考點】列表法與樹狀圖法.

【專題】計算題.

【分析】列表得出所有等可能的情況數，找出九年級同學獲得前兩名的情況數，即可求出所

求概率.

【解答】解：列表如下：

七八九九

七---（八，七）（九，七）（九，七）

八（七，八）---（九，A）（九，A）

九（七，九）（八，九）---（九，九）

九（七，九）（八，九）（九，九）---

所有等可能的情況有12種，其中九年級同學獲得前兩名的情況有2種，

則

126

故選D

【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之

比.

23.在一個不透明的盒子中裝有8個白球，若干個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同.若

從中隨機摸出一個球，它是白球的概率為"I,則黃球的個數為（）

A.2B.4C.12D.16

【考點】概率公式.

【分析】首先設黃球的個數為x個，然后根據概率公式列方程即可求得答案.

【解答】解：設黃球的個數為x個，

根據題意得：工三

8+x3

解得：x=4.

黃球的個數為4.

故選B.

【點評】此題考查了概率公式的應用.解此題的關鍵是設黃球的個數為x個，利用方程思想

求解.

24.已知拋一枚均勻硬幣正面朝上的概率為卷，下列說法錯誤的是（）

A.連續拋一均勻硬幣2次必有1次正面朝上

B.連續拋一均勻硬幣10次都可能正面朝上

C.大量反復拋一均勻硬幣，平均100次出現正面朝上50次

D.通過拋一均勻硬幣確定誰先發球的比賽規則是公平的

【考點】概率的意義.

【分析】根據概率的意義，概率是反映事件發生機會的大小的概念，只是表示發生的機會的

大小，機會大也不一定發生.

【解答】解：A、連續拋一均勻硬幣2次必有1次正面朝上，不正確，有可能兩次都正面朝

上，也可能都反面朝上，故此選項錯誤；

B、連續拋一均勻硬幣10次都可能正面朝上，是一個有機事件，有可能發生，故此選項正確;

C、大量反復拋一均勻硬幣，平均100次出現正面朝上50次，也有可能發生，故此選項正確;

D、通過拋一均勻硬幣確定誰先發球的比賽規則是公平的，概率均為巧■,故此選項正確.

故選A.

【點評】此題主要考查了概率的意義，關鍵是弄清隨機事件和必然事件的概念的區別.

25.在x2（Z]2xyDy2的空格口中，分別填上“+”或“-”，在所得的代數式中，能構成完全

平方式的概率是（）

311

A.1B.—C.—D.—

424

【考點】概率公式；完全平方式.

【專題】數形結合.

【分析】讓填上“+”或“-”后成為完全平方公式的情況數除以總情況數即為所求的概率.

【解答】解:能夠湊成完全平方公式，貝|2xy前可是“-"，也可以是“+”，但y2前面的

符號一定是：“+”，

此題總共有（-,-）、（+,+）、（+,-）、（-,+）四種情況，能構成完全平方公式

的有2種，

所以概率是

故選：C.

【點評】此題考查完全平方公式與概率的綜合應用，注意完全平方公式的形式.用到的知識

點為：概率=所求情況數與總情況數之比；a2±2ab+b?能構成完全平方式.

26.在半徑為2的圓中有一個內接正方形，現隨機地往圓內投一粒米，落在正方形內的概率

為.（注：口取3）

【考點】幾何概率.

【分析】根據已知首先求出圓的面積以及正方形的邊長，進而得出正方形的面積，即可得出

落在正方形內的概率.

【解答】解：???在半徑為2的圓中有一個內接正方形，現隨機地往圓內投一粒米，

圓的面積為：JiX22=4n^12.

:正方形的邊長為：AB2+BO2=AO2,

.?.2AB=4,

；.AB=如，

正方形邊長為：2加，

正方形面積為：8,

，落在正方形內的概率為：84-12=-1.

故答案為：

【點評】此題主要考查了幾何概率、圓的面積求法以及正方形的特殊性質，求出兩圖形的面

積是解決問題的關鍵.

27.從-2,-1,2這三個數中任取兩個不同的數作為點的坐標，該點在第四象限的概率是

1

【考點】列表法與樹狀圖法；點的坐標.

【專題】數形結合.

【分析】列舉出所有情況，看在第四象限的情況數占總情況數的多少即可.

-12-223」

共有6種情況，在第四象限的情況數有2種，

所以概率為

故答案為：

【點評】考查概率的求法；用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.得到在第

四象限的情況數是解決本題的關鍵.

28.如圖，一個圓形轉盤被等分成八個扇形區域，上面分別標有數字1、2、3、4,轉盤指

針的位置固定，轉動轉盤后任其自由停止.轉動轉盤一次，當轉盤停止轉動時，記指針指向

標有“3”所在區域的概率為P(3),指針指向標有“4”所在區域的概率為P(4),則P

(3)>P(4)(填“>”或“=”或

【考點】幾何概率.

【專題】計算題.

【分析】總數一定，那么比較扇形區域中3和4的個數即可.

【解答】解：：扇形區域中有3個3,2個4,

：.?(3)>P(4).

故答案為：>.

【點評】考查概率的比較；在總數相同的情況下，數目多的情況出現的概率較大.

五、鞏固提高

30.在中央電視臺第2套《購物街》欄目中，有一個精彩刺激的游戲--幸運大轉盤，其規

則如下：

①游戲工具是一個可繞軸心自由轉動的圓形轉盤，轉盤按圓心角均勻劃分為20等分，并在

其邊緣標記5、10、15、…、100共20個5的整數倍數，游戲時，選手可旋轉轉盤，待轉盤

停止時，指針所指的數即為本次游戲的得分；

②每個選手在旋轉一次轉盤后可視得分情況選擇是否再旋轉轉盤一次，若只旋轉一次，則以

該次得分為本輪游戲的得分，若旋轉兩次則以兩次得分之和為本輪游戲的得分；

③若某選手游戲得分超過100分，則稱為“爆掉”，該選手本輪游戲裁定為“輸”，在得分

不超過100分的情況下，分數高者裁定為“贏”；

④遇到相同得分的情況，相同得分的選手重新游戲，直到分出輸贏.

現有甲、乙兩位選手進行游戲，請解答以下問題：

(1)甲已旋轉轉盤一次，得分65分，他選擇再旋轉一次，求他本輪游戲不被“爆掉”的概

率.

(2)若甲一輪游戲最終得分為90分，乙第一次旋轉轉盤得分為85分，則乙還有可能贏嗎

贏的概率是多少

(3)若甲、乙兩人交替進行游戲，現各旋轉一次后甲得85分，乙得65分，你認為甲是否

應選擇旋轉第二次說明你的理由.

【考點】概率公式.

【分析】此題考查了列舉法求概率，解題的關鍵是不要漏條件，不要漏解.列舉出符合題意

的各種情況的個數，再根據概率公式解答即可.

【解答】解：(1)甲可取5、10、15、20、25、30、35,(2分)

???P（不爆掉）=二（3分）

（2）乙有可能贏，（4分）

乙可取5、10>15,（6分）

P（乙贏）=三（7分）

20

（3）甲選擇不轉第二次.（8分）

理由是：甲選擇不轉第二次，乙必須選擇旋轉第二次,

此時P（乙贏）

20

.?.乙獲勝的可能性較小.（1