Page1第5章特別平行四邊形（單元提升卷）（滿分100分，完卷時間90分鐘）考生留意：1．本試卷含三個大題，共26題．答題時，考生務必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．2．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必需在答題紙的相應位置上寫出解題的主要步驟．一、細致選一選（本題共10題，每小題3分，共30分。每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請選出正確的選項。留意可以用多種不同的方法來選取正確的答案）1．如圖，四邊形ABCD、AEFG均為正方形，其中E在BC上，且B、E兩點不重合，并連接BG．依據圖中標示的角推斷下列∠1、∠2、∠3、∠4的大小關系何者正確？（）A．∠1＜∠2 B．∠1＞∠2 C．∠3＜∠4 D．∠3＞∠4【分析】依據正方形的每一個角都是直角求出∠BAD＝∠EAG＝90°，然后依據同角的余角相等可得∠1＝∠2，依據直角三角形斜邊大于直角邊可得AE＞AB，從而得到AG＞AB，再依據三角形中長邊所對的角大于短邊所對的角求出∠3＞∠4．【解答】解：∵四邊形ABCD、AEFG均為正方形，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，∵∠BAD＝∠1+∠DAE＝90°，∠EAG＝∠2+∠DAE＝90°，∴∠1＝∠2，在Rt△ABE中，AE＞AB，∵四邊形AEFG是正方形，∴AE＝AG，∴AG＞AB，∴∠3＞∠4．故選：D．【點評】本題考查了正方形的四條邊都相等，每一個角都是直角的性質，同角的余角相等的性質，要留意在同一個三角形中，較長的邊所對的角大于較短的邊所對的角的應用．2．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，M為邊AD的中點，延長MD至點E，使ME＝MC，以DE為邊作正方形DEFG，點G在邊CD上，則DG的長為（）A． B． C． D．【分析】利用勾股定理求出CM的長，即ME的長，有DE＝DG，可以求出DE，進而得到DG的長．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，M為邊DA的中點，∴DM＝AD＝DC＝1，∴CM＝＝，∴ME＝MC＝，∵ED＝EM﹣DM＝﹣1，∵四邊形EDGF是正方形，∴DG＝DE＝﹣1．故選：D．【點評】本題考查了正方形的性質和勾股定理的運用，屬于基礎題目．3．如圖，過正方形ABCD的頂點B作直線l，點A、C到直線l的距離分別為3和4，則AC的長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】先證明△ABE≌△BCF，得到BE＝CF＝4，在Rt△ABE中利用勾股定理可得AB＝5，由此可得AC長．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AC，∠ABC＝90°．∵∠ABE+∠EAB＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠EAB＝∠CBF．又∠AEB＝∠CFB＝90°，∴△ABE≌BCF（AAS）．∴BE＝CF＝4．在Rt△ABE中，利用勾股定理可得AB＝＝5．則AC＝AB＝5．故選：A．【點評】本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質，以及勾股定理，解題的關鍵是通過全等轉化線段使其劃歸于始終角三角形中，再利用勾股定理進行求解．4．如圖為正三角形ABC與正方形DEFG的重疊情形，其中D、E兩點分別在AB、BC上，且BD＝BE．若AC＝18，GF＝6，則F點到AC的距離為何？（）A．2 B．3 C．12﹣4 D．6﹣6【分析】過點B作BH⊥AC于H，交GF于K，依據等邊三角形的性質求出∠A＝∠ABC＝60°，然后判定△BDE是等邊三角形，再依據等邊三角形的性質求出∠BDE＝60°，然后依據同位角相等，兩直線平行求出AC∥DE，再依據正方形的對邊平行得到DE∥GF，從而求出AC∥DE∥GF，再依據等邊三角形的邊的與高的關系表示出KH，然后依據平行線間的距離相等即可得解．【解答】解：如圖，過點B作BH⊥AC于H，交GF于K，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝60°，∵BD＝BE，∴△BDE是等邊三角形，∴∠BDE＝60°，∴∠A＝∠BDE，∴AC∥DE，∵四邊形DEFG是正方形，GF＝6，∴DE∥GF，∴AC∥DE∥GF，∴KH＝18×﹣6×﹣6＝9﹣3﹣6＝6﹣6，∴F點到AC的距離為6﹣6．故選：D．【點評】本題考查了正方形的對邊平行，四條邊都相等的性質，等邊三角形的判定與性質，等邊三角形的高線等于邊長的倍，以及平行線間的距離相等的性質，綜合題，但難度不大，熟記各圖形的性質是解題的關鍵．5．如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別為S1，S2，則S1+S2的值為（）A．16 B．17 C．18 D．19【分析】由圖可得，S1的邊長為3，由AC＝BC，BC＝CE＝CD，可得AC＝2CD，CD＝2，EC＝；然后，分別算出S1、S2的面積，即可解答．【解答】解：如圖，設正方形S2的邊長為x，依據等腰直角三角形的性質知，AC＝x，x＝CD，∴AC＝2CD，CD＝＝2，∴EC2＝22+22，即EC＝；∴S2的面積為EC2＝＝8；∵S1的邊長為3，S1的面積為3×3＝9，∴S1+S2＝8+9＝17．故選：B．【點評】本題考查了正方形的性質和等腰直角三角形的性質，考查了學生的讀圖實力．6．如圖，正方形ABCD中，AB＝3，點E在邊CD上，且CD＝3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG，CF．下列結論：①點G是BC中點；②FG＝FC；③S△FGC＝．其中正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】先求出DE、CE的長，再依據翻折的性質可得AD＝AF，EF＝DE，∠AFE＝∠D＝90°，再利用“HL”證明Rt△ABG和Rt△AFG全等，依據全等三角形對應邊相等可得BG＝FG，再設BG＝FG＝x，然后表示出EG、CG，在Rt△CEG中，利用勾股定理列出方程求出x＝，從而可以推斷①正確；依據∠AGB的正切值推斷∠AGB≠60°，從而求出∠CGF≠60°，△CGF不是等邊三角形，FG≠FC，推斷②錯誤；先求出△CGE的面積，再求出EF：FG，然后依據等高的三角形的面積的比等于底邊長的比求解即可得到△FGC的面積，推斷③正確．【解答】解：∵正方形ABCD中，AB＝3，CD＝3DE，∴DE＝×3＝1，CE＝3﹣1＝2，∵△ADE沿AE對折至△AFE，∴AD＝AF，EF＝DE＝1，∠AFE＝∠D＝90°，∴AB＝AF＝AD，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG＝FG，設BG＝FG＝x，則EG＝EF+FG＝1+x，CG＝3﹣x，在Rt△CEG中，EG2＝CG2+CE2，即（1+x）2＝（3﹣x）2+22，解得，x＝，∴CG＝3﹣＝，∴BG＝CG＝，即點G是BC中點，故①正確；∵tan∠AGB＝＝＝2，∴∠AGB≠60°，∴∠CGF≠180°﹣60°×2≠60°，又∵BG＝CG＝FG，∴△CGF不是等邊三角形，∴FG≠FC，故②錯誤；△CGE的面積＝CG?CE＝××2＝，∵EF：FG＝1：＝2：3，∴S△FGC＝×＝，故③正確；綜上所述，正確的結論有①③．故選：B．【點評】本題考查了正方形的性質，翻折變換的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，依據各邊的熟量關系利用勾股定理列式求出BG＝FG的長度是解題的關鍵，也是本題的難點．7．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在對角線BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足為F，則EF的長為（）A．1 B． C．4﹣2 D．3﹣4【分析】依據正方形的對角線平分一組對角可得∠ABD＝∠ADB＝45°，再求出∠DAE的度數，依據三角形的內角和定理求∠AED，從而得到∠DAE＝∠AED，再依據等角對等邊的性質得到AD＝DE，然后求出正方形的對角線BD，再求出BE，最終依據等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的倍計算即可得解．【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝4，∵正方形的邊長為4，∴BD＝4，∴BE＝BD﹣DE＝4﹣4，∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BE＝×（4﹣4）＝4﹣2．故選：C．【點評】本題考查了正方形的性質，主要利用了正方形的對角線平分一組對角，等角對等邊的性質，正方形的對角線與邊長的關系，等腰直角三角形的判定與性質，依據角的度數的相等求出相等的角，再求出DE＝AD是解題的關鍵，也是本題的難點．8．如圖，在矩形ABCD中，O是BC的中點，∠AOD＝90°，若矩形的周長為36，則AB的長為（）A．6 B．9 C．12 D．4【分析】首先證明△ABO≌△DCO，推出OA＝OD；由∠AOD＝90°，推出∠OAD＝∠ODA＝45°；由∠BAD＝∠CDA＝90°，推出∠BAO＝∠CDO＝45°，則∠BAO＝∠AOB，∠CDO＝∠COD，從而推出AB＝BO＝OC＝CD，設AB＝CD＝x，則BC＝AD＝2x，由題意x+x+2x+2x＝36，解方程即可解決問題．【解答】解∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，在△ABD和△DCO中，，∴△ABO≌△DCO（SAS），∴OA＝OD，∵∠AOD＝90°，∴∠OAD＝∠ODA＝45°，∵∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠BAO＝∠CDO＝45°，∴∠BAO＝∠AOB，∠CDO＝∠COD，∴AB＝BO＝OC＝CD，設AB＝CD＝x，則BC＝AD＝2x，由題意x+x+2x+2x＝36，∴x＝6，∴AB＝6．故選：A．【點評】本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質等學問點，解題的關鍵是正確找尋全等三角形解決問題以及構建方程解決問題．9．小明用四根長度相同的木條制作了能夠活動的菱形學具，他先活動學具成為圖1所示菱形，并測得∠B＝60°，對角線AC＝20cm，接著活動學具成為圖2所示正方形，則圖2中對角線AC的長為（）A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm【分析】如圖1，圖2中，連接AC．在圖1中，證△ABC是等邊三角形，得出AB＝BC＝AC＝20cm．在圖2中，由勾股定理求出AC即可．【解答】解：如圖1，圖2中，連接AC．圖1中，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝20cm，在圖2中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝20cm；故選：D．【點評】本題考查菱形的性質、正方形的性質、勾股定理等學問，解題的關鍵是嫻熟駕馭菱形和正方形的性質，屬于中考常考題型．10．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，點D是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，點G為四邊形DEAF對角線交點，則線段GF的最小值為（）A． B． C． D．【分析】由勾股定理求出BC的長，再證明四邊形DEAF是矩形，可得EF＝AD，依據垂線段最短和三角形面積即可解決問題．【解答】解：連接AD、EF，∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，∴BC＝＝15，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°，∴四邊形DEAF是矩形，∴EF＝AD，∴當AD⊥BC時，AD的值最小，此時，△ABC的面積＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝＝，∴EF的最小值為，∵點G為四邊形DEAF對角線交點，∴GF＝EF＝；故選：B．【點評】本題考查了矩形的判定和性質、勾股定理、三角形面積、垂線段最短等學問，解題的關鍵是嫻熟駕馭基本學問，屬于中考常考題型．二、細致填一填（本題有8個小題，每小題2分，共16分。留意細致看清題目的條件和要填寫的內容，盡量完整地填寫答案）11．如圖，正方形ABCD的邊長為2，過點A作AE⊥AC，AE＝1，連接BE，則tanE＝．【分析】延長CA使AF＝AE，連接BF，過B點作BG⊥AC，垂足為G，依據題干條件證明△BAF≌△BAE，得出∠E＝∠F，然后在Rt△BGF中，求出tanF的值，進而求出tanE的值．【解答】解：延長CA使AF＝AE，連接BF，過B點作BG⊥AC，垂足為G，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CAB＝45°，∴∠BAF＝135°，∵AE⊥AC，∴∠BAE＝135°，∴∠BAF＝∠BAE，∵在△BAF和△BAE中，，∴△BAF≌△BAE（SAS），∴∠E＝∠F，∵四邊形ABCD是正方形，BG⊥AC，∴G是AC的中點，∴BG＝AG＝2，在Rt△BGF中，tanF＝＝，即tanE＝．故答案為：．【點評】本題主要考查了正方形的性質，解答本題的關鍵是嫻熟駕馭全等三角形的判定定理，此題能正確作出幫助線也是解答關鍵所在，此題是一道不錯的中考試題．12．如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上，下列結論：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④S正方形ABCD＝2+．其中正確的序號是①②④（把你認為正確的都填上）．【分析】依據三角形的全等的學問可以推斷①的正誤；依據角角之間的數量關系，以及三角形內角和為180°推斷②的正誤；依據線段垂直平分線的學問可以推斷③的正誤，利用解三角形求正方形的面積等學問可以推斷④的正誤．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∵△AEF是等邊三角形，∴AE＝AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝DC，∴BC﹣BE＝CD﹣DF，∴CE＝CF，∴①說法正確；∵CE＝CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∵∠AEF＝60°，∴∠AEB＝75°，∴②說法正確；如圖，連接AC，交EF于G點，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③說法錯誤；∵EF＝2，∴CE＝CF＝，設正方形的邊長為a，在Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即a2+（a﹣）2＝4，解得a＝，則a2＝2+，S正方形ABCD＝2+，④說法正確，故答案為：①②④．【點評】本題主要考查正方形的性質的學問點，解答本題的關鍵是嫻熟駕馭全等三角形的證明以及幫助線的正確作法，此題難度不大，但是有一點麻煩．13．用邊長為1的正方形做了一套七巧板，拼成如圖所示的一座橋，則橋中陰影部分的面積為原正方形面積的．【分析】讀圖分析陰影部分與整體的位置關系，易得陰影部分的面積即為原正方形的面積的一半．【解答】解：讀圖可得，陰影部分的面積為原正方形的面積的一半，則陰影部分的面積為1×1÷2＝；是原正方形的面積的一半．故答案為：．【點評】本題主要考查正方形對角線相互垂直平分相等的性質，解題的關鍵是得出陰影部分與整體的位置關系．14．如圖，已知線段AB＝10，AC＝BD＝2，點P是CD上一動點，分別以AP、PB為邊向上、向下作正方形APEF和PHKB，設正方形對角線的交點分別為O1、O2，當點P從點C運動到點D時，線段O1O2中點G的運動路徑的長是3．【分析】依據正方形的性質以及勾股定理即可得出正方形對角線的長，進而得出線段O1O2中點G的運動路徑的長．【解答】解：如圖所示：因為兩個正方形的對角線總長度和為定值，每次平移長度都一樣，而G點是其中點，所以確定了G點的運動軌跡為直線，利用正方形的性質即線段O1O2中點G的運動路徑的長就是O2O″的長，∵線段AB＝10，AC＝BD＝2，當P與C重合時，以AP、PB為邊向上、向下作正方形APEF和PHKB，∴AP＝2，BP＝8，則O1P＝，O2P＝4，∴O2P＝O2B＝4，當P′與D重合，則P′B＝2，則AP′＝8，∴O′P′＝4，O″P′＝，∴H′O″＝BO″＝，∴O2O″＝4﹣＝3．故答案為：3．【點評】此題主要考查了正方形的性質以及勾股定理等學問，依據已知得出G點移動的路途是解題關鍵．15．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的中線，過點A作AE⊥CD于點E，過點B作CD平行線，交AE的延長線于點F，在延長線上截得FG＝CD，連接CG、DF．若BG＝11，AF＝8，則四邊形CGFD的面積等于20．【分析】首先可推斷四邊形CGFD是平行四邊形，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，可得BD＝FD，則可推斷四邊形CGFD是菱形，CD∥BF，D為AB中點，E為AF的中點，得EF的長，設GF＝x，則BF＝11﹣x，AB＝2x，在Rt△ABF中利用勾股定理可求出x的值．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD為AB邊上的中線，∴AD＝BD＝CD，∵BG∥CD，∴AF⊥BG，∴AD＝BD＝DF，∴DF＝CD，∵FG＝CD，∴四邊形CGFD為菱形，∵CD∥BF，D為AB中點，∴E為AF的中點，∴EF＝AF＝4，設GF＝x，則BF＝11﹣x，AB＝2x，∵在Rt△ABF中，∠BFA＝90°，∴AF2+BF2＝AB2，即（11﹣x）2+82＝（2x）2，解得：x＝5或x＝﹣（舍去），∴菱形CGFD的面積為：5×4＝20，故答案為：20．【點評】本題考查了菱形的判定與性質、勾股定理及直角三角形的斜邊中線的性質，解答本題的關鍵是推斷出四邊形BGFD是菱形．16．如圖，有兩個正方形夾在AB與CD中，且AB∥CD，若∠FEC＝10°，兩個正方形鄰邊夾角為150°，則∠1的度數為70度（正方形的每個內角為90°）．【分析】如圖，延長KH交EF的延長線于M，作MT⊥AB于T，交CD于H．利用四邊形內角和36°，求出∠HMF，再依據∠KME＝∠MKT+∠MEH，求出∠MKT即可解決問題；【解答】解：如圖，延長KH交EF的延長線于M，作MT⊥AB于T，交CD于H．∵∠GHM＝∠GFM＝90°，∴∠HMF＝180°﹣150°＝30°，∵∠HMF＝∠MKT+∠MEH，∠MEH＝10°，∴∠MKT＝20°，∴∠1＝90°﹣20°＝70°，故答案為70．【點評】本題利用正方形的四個角都是直角，直角的鄰補角也是直角，四邊形的內角和定理和兩直線平行，內錯角相等的性質，延長正方形的邊構造四邊形是解題的關鍵．17．如圖，平面內直線l1∥l2∥l3∥l4，且相鄰兩條平行線間隔均為1，正方形ABCD四個頂點分別在四條平行線上，則正方形的面積為5．【分析】過C點作直線EF與平行線垂直，與l1交于點E，與l4交于點F．易證△CDE≌△CBF，得CF＝1，BF＝2．依據勾股定理可求BC2得正方形的面積．【解答】解：過C點作EF⊥l2，交l1于E點，交l4于F點．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠CED＝∠BFC＝90°．∵ABCD為正方形，∴∠BCD＝90°．∴∠DCE+∠BCF＝90°．又∵∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠BCF．在△CDE和△BCF中，∴△CDE≌△BCF（AAS），∴BF＝CE＝2．∵CF＝1，∴BC2＝12+22＝5，即正方形ABCD的面積為5．故答案為：5．【點評】此題主要考查了正方形的性質和面積計算，依據平行線之間的距離構造全等的直角三角形是關鍵．18．如圖，E，F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE＝DF．連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是﹣1．【分析】依據正方形的性質可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等，依據全等三角形對應角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”證明△ADG和△CDG全等，依據全等三角形對應角相等可得∠2＝∠3，從而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中點O，連接OH、OD，依據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH＝AB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后依據三角形的三邊關系可知當O、D、H三點共線時，DH的長度最小．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中點O，連接OH、OD，則OH＝AO＝AB＝1，在Rt△AOD中，OD＝＝＝，依據三角形的三邊關系，OH+DH＞OD，∴當O、D、H三點共線時，DH的長度最小，最小值＝OD﹣OH＝﹣1．（解法二：可以理解為點H是在Rt△AHB，AB直徑的半圓上運動當O、H、D三點共線時，DH長度最小）故答案為：﹣1．【點評】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，三角形的三邊關系，確定出DH最小時點H的位置是解題關鍵，也是本題的難點．三、全面答一答（本題有6個小題，共54分。解答應寫出文字說明，證明過程或推演步驟。假如覺得有的題目有點難，那么把自己能寫出的解答寫出一部分也可以）19．已知：如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD對折，點C落在點E的位置，AD與BE相交于點F．（1）求證：△BDF是等腰三角形；（2）若AB＝8，AD＝10，求BF的長．【分析】（1）證明∠EBD＝∠ADB，得出BF＝DF，則結論得證；（2）設BF＝x，則DF＝x，AF＝10﹣x，在Rt△ABF中，依據勾股定理有82+（10﹣x）2＝x2，解方程即可得解．【解答】解：（1）由折疊可知∠EBD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠ADB，∴BF＝DF，∴△BDF是等腰三角形．（2）設BF＝x，則DF＝x，AF＝10﹣x，在Rt△ABF中，依據勾股定理有82+（10﹣x）2＝x2．解得：，∴BF的長為．【點評】本題考查的是翻折變換，矩形的性質，勾股定理，熟知圖形翻折不變性的性質是解答此題的關鍵．20．如圖，在正方形ABCD中，點M是對角線BD上的一點，過點M作ME∥CD交BC于點E，作MF∥BC交CD于點F．求證：AM＝EF．【分析】過M點作MQ⊥AD，垂足為Q，作MP垂足AB，垂足為P，依據題干條件證明出AP＝MF，PM＝ME，進而證明△APM≌△FME，即可證明出AM＝EF．【解答】解：（1）∵ME∥CD，MF∥BC，∴四邊形CEMF是平行四邊形，∵∠C＝90°，∴四邊形CEMF是矩形，∴CM＝EF，連接MC，在△ABM和△CBM中，，∴△ABM≌△CBM（SAS），∴AM＝CM＝EF．【點評】本題主要考查正方形的性質等學問點，矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是嫻熟駕馭全等三角形的判定定理，此題正確作出幫助線很易解答．21．如圖正方形ABCD的邊長為4，E、F分別為DC、BC中點．（1）求證：△ADE≌△ABF．（2）求△AEF的面積．【分析】（1）由四邊形ABCD為正方形，得到AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，DC＝CB，由E、F分別為DC、BC中點，得出DE＝BF，進而證明出兩三角形全等；（2）首先求出DE和CE的長度，再依據S△AEF＝S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF得出結果．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠B＝90°，DC＝CB，∵E、F為DC、BC中點，∴DE＝DC，BF＝BC，∴DE＝BF，在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS）；（2）解：由題知△ABF、△ADE、△CEF均為直角三角形，且AB＝AD＝4，DE＝BF＝×4＝2，CE＝CF＝×4＝2，∴S△AEF＝S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF＝4×4﹣×4×2﹣×4×2﹣×2×2＝6．【點評】本題主要考查正方形的性質和全等三角形的證明，解答本題的關鍵是嫻熟駕馭正方形的性質以及全等三角形的判定定理，此題難度不大．22．如圖，P為正方形ABCD的邊AD上的一個動點，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分別為點E、F，已知AD＝4．（1）試說明AE2+CF2的值是一個常數；（2）過點P作PM∥FC交CD于點M，點P在何位置時線段DM最長，并求出此時DM的值．【分析】（1）由已知∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，結合∠ABE＝∠BCF，證明△ABE≌△BCF，可得AE＝BF，于是AE2+CF2＝BF2+CF2＝BC2＝16為常數；（2）設AP＝x，則PD＝4﹣x，由已知∠DPM＝∠PAE＝∠ABP，△PDM∽△BAP，列出關于x的一元二次函數，求出DM的最大值．【解答】解：（1）由已知∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，又∵∠ABE+∠FBC＝∠BCF+∠FBC，∴∠ABE＝∠BCF，∵在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AE＝BF，∴AE2+CF2＝BF2+CF2＝BC2＝16為常數；（2）設AP＝x，則PD＝4﹣x，由已知∠DPM＝∠PAE＝∠ABP，∴△PDM∽△BAP，∴＝，即＝，∴DM＝＝x﹣x2，當x＝2時，即點P是AD的中點時，DM有最大值為1．【點評】本題主要考查正方形的性質等學問點，解答本題的關鍵是嫻熟駕馭全等三角形的判定定理以及三角形相像等學問，此題有確定的難度，是一道不錯的中考試題．23．（1）如圖（1）點P是正方形ABCD的邊CD上一點（點P與點C，D不重合），點E在BC的延長線上，且CE＝CP，連接BP，DE．求證：△BCP≌△DCE；（2）在（1）條件下，直線EP交AD于F，連接BF，FC．點G是FC與BP的交點．①若CD＝2PC時，求證：BP⊥CF；②若CD＝n?PC（n是大于1的實數）時，記△BPF的面積為S1，△DPE的面積為S2．求證：S1＝（n+1）S2．【分析】（1）利用SAS，證明△BCP≌△DCE；（2）①在（1）的基礎上，再證明△BCP≌△CDF，進而得到∠FCD+∠BPC＝90°，從而證明BP⊥CF；②設CP＝CE＝1，則BC＝CD＝n，DP＝CD﹣CP＝n﹣1，分別求出S1與S2的值，得S1＝（n2﹣1），S2＝（n﹣1），所以S1＝（n+1）S2結論成立．【解答】證明：（1）在△BCP與△DCE中，，∴△BCP≌△DCE（SAS）．（2）①∵CP＝CE，∠PCE＝90°，∴∠CPE＝45°，∴∠FPD＝∠CPE＝45°，∴∠PFD＝45°，∴FD＝DP．∵CD＝2PC，∴DP＝CP，∴FD＝CP．在△BCP與△CDF中，，∴△BCP≌△CDF（SAS）．∴∠FCD＝∠CBP，∵∠CBP+∠BPC＝90°，∴∠FCD+∠BPC＝90°，∴∠PGC＝90°，即BP⊥CF．②證法一：設CP＝CE＝1，則BC＝CD＝n，DP＝CD﹣CP＝n﹣1．易知△FDP為等腰直角三角形，∴FD＝DP＝n﹣1．S1＝S梯形BCDF﹣S△BCP﹣S△FDP＝（BC+FD）?CD﹣BC?CP﹣FD?DP＝（n+n﹣1）?n﹣n×1﹣（n﹣1）2＝（n2﹣1）；S2＝DP?CE＝（n﹣1）×1＝（n﹣1）．∵n2﹣1＝（n+1）（n﹣1），∴S1＝（n+1）S2．證法二：∵AD∥BE，∴△FDP∽△ECP，∴＝，∴S1＝S△BEF．如下圖所示，連接BD．∵BC：CE＝CD：CP＝n，∴S△DCE＝S△BED，∵DP：CP＝n﹣1，∴S2＝S△DCE，∴S2＝S△BED．∵AD∥BE，∴S△BEF＝S△BED，∴S1＝（n+1）S2．【點評】本題是幾何綜合題，考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形、圖形的面積等學問點，試題的難度不大．24．如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上的點，且AF⊥BE．（1）求證：AF＝BE；（2）如圖2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且MP⊥NQ．MP與NQ是否相等？并說明理由．【分析】（1）依據正方形的性質可得AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，再依據同角的余角相等求出∠ABE＝∠DAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△DAF全等，再依據全等三角形的證明即可；（2）過點A作AF∥MP交CD于F，過點B作BE∥NQ交AD于E，然后與（1）相同．【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，∴∠DAF+∠BAF＝90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF＝BE；（2）解：MP與NQ相等．理由如下：如圖，過點A作AF∥MP交CD于F，過點B作BE∥NQ交AD于E，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形AMPF與四邊形BNQE是平行四邊形，∴AF＝PM，BE＝NQ，∵在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，∴∠DAF+∠BAF＝90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF＝BE；∴MP＝NQ．【點評】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，主要利用了正方形的四條邊都相等，每一個角都是直角的性質，同角的余角相等的性質，利用三角形全等證明相等的邊是常用的方法之一，要嫻熟駕馭并靈敏運用．25．如圖①，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且PE＝PB．（1）求證：△BCP≌△DCP；（2）求證：∠DPE＝∠ABC；（3）把正方形ABCD改為菱形，其它條件不變（如圖②），若∠ABC＝58°，則∠DPE＝58度．【分析】（1）依據正方形的四條邊都相等可得BC＝DC，對角線平分一組對角可得∠BCP＝∠DCP，然后利用“邊角邊”證明即可；（2）依據全等三角形對應角相等可得∠CBP＝∠CDP，依據等邊對等角可得∠CBP＝∠E，然后求出∠DPE＝∠DCE，再依據兩直線平行，同位角相等可得∠DCE＝∠ABC，從而得證；（3）依據（2）的結論解答．【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，∵在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS）；（2）證明：由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP＝∠CDP，∵PE＝PB，∴∠CBP＝∠E，∵∠1＝∠2（對頂角相等），∴180°﹣∠1﹣∠CDP＝180°﹣∠2﹣∠E，即∠DPE＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠ABC，∴∠DPE＝∠ABC；（3）解：與（2）同理可得：∠DPE＝∠ABC，∵∠ABC＝58°，∴∠DPE＝58°．故答案為：58．【點評】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，菱形的性質，等邊