2025屆廣東省廣州市重點中學九年級數學第一學期期末聯考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．某汽車行駛時的速度v(米/秒)與它所受的牽引力F(牛)之間的函數關系如圖所示．當它所受牽引力為1200牛時，汽車的速度為()A．180千米/時 B．144千米/時 C．50千米/時 D．40千米/時2．如圖，一張矩形紙片ABCD的長，寬將紙片對折，折痕為EF，所得矩形AFED與矩形ABCD相似，則a：A．2：1 B．：1 C．3： D．3：23．如圖,從一塊直徑為的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為90°的扇形.則此扇形的面積為（）A． B． C． D．4．如圖，在中，，，，則A． B． C． D．5．若關于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣1＝0沒有實數根，則a的取值范圍是（）A．a＜2 B．a＞2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣26．等腰三角形底邊長為10，周長為36，則底角的余弦值等于（）A． B． C． D．7．如圖，的直徑，弦于．若，則的長是()A． B． C． D．8．方程x2﹣5＝0的實數解為（）A． B． C． D．±59．拋物線y＝2x2﹣3的頂點坐標是（）A．（0，﹣3） B．（﹣3，0） C．（﹣，0） D．（0，﹣）10．如圖，在⊙中，半徑垂直弦于，點在⊙上，，則半徑等于（）A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．兩個相似三角形的面積比為4：9，那么它們對應中線的比為______．12．如圖，在平面直角坐標系中，直角三角形的直角頂點與原點O重合，頂點A，B恰好分別落在函數，的圖象上，則tan∠ABO的值為___________13．如圖，點A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝4，CD＝3，則⊙O的半徑的長是______．14．在一個不透明的盒子中裝有紅、白兩種除顏色外完全相同的球，其中有a個白球和4個紅球，若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回盒子．通過大量重復試驗后，發現摸到紅球的頻率穩定在20%左右，則a的值約為_____．15．已知方程x2+mx﹣3=0的一個根是1，則它的另一個根是_____．16．如圖，點是矩形中邊上一點，將沿折疊為，點落在邊上，若，，則________．17．拋物線y＝(x-2)2+3的頂點坐標是______.18．小明家的客廳有一張直徑為1.2米，高0.8米的圓桌BC，在距地面2米的A處有一盞燈，圓桌的影子為DE，依據題意建立平面直角坐標系，其中D點坐標為（2,0），則點E的坐標是_____．三、解答題(共66分)19．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝．解這個三角形．20．（6分）如圖，已知二次函數的圖像過點A(-4，3），B(4，4).（1）求拋物線二次函數的解析式.（2）求一次函數直線AB的解析式．（3）看圖直接寫出一次函數直線AB的函數值大于二次函數的函數值的x的取值范圍．（4）求證：△ACB是直角三角形．21．（6分）教練想從甲、乙兩名運動員中選拔一人參加射擊錦標賽，故先在射擊隊舉行了一場選拔比賽．在相同的條件下各射靶次，每次射靶的成績情況如圖所示．甲射靶成績的條形統計圖乙射靶成績的折線統計圖（）請你根據圖中的數據填寫下表：平均數眾數方差甲__________乙____________________（）根據選拔賽結果，教練選擇了甲運動員參加射擊錦標賽，請給出解釋．22．（8分）在等邊中，點為上一點，連接，直線與分別相交于點，且．（1）如圖（1），寫出圖中所有與相似的三角形，并選擇其中的一對給予證明；（2）若直線向右平移到圖（2）、圖（3）的位置時，其他條件不變，（1）中的結論是否仍然成立?若成立請寫出來(不證明)，若不成立，請說明理由；（3）探究:如圖（1），當滿足什么條件時(其他條件不變)，?請寫出探究結果，并說明理由(說明:結論中不得含有未標識的字母)．23．（8分）小濤根據學習函數的經驗，對函數的圖像與性質進行了探究，下面是小濤的探究過程，請補充完整：（1）下表是與的幾組對應值．．．-2-10123．．．．．．-8-30mn13．．．請直接寫出：=，m=，n=；（2）如圖，小濤在平面直角坐標系中，描出了上表中已經給出的部分對應值為坐標的點，再描出剩下的點，并畫出該函數的圖象；（3）請直接寫出函數的圖像性質：；（寫出一條即可）（4）請結合畫出的函數圖象，解決問題：若方程有三個不同的解，請直接寫出的取值范圍．24．（8分）如圖1，在矩形中，，，是邊上一點，連接，將矩形沿折疊，頂點恰好落在邊上點處，延長交的延長線于點．（1）求線段的長；（2）如圖2，，分別是線段，上的動點（與端點不重合），且．①求證：∽；②是否存在這樣的點，使是等腰三角形？若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由．25．（10分）感知定義在一次數學活動課中，老師給出這樣一個新定義：如果三角形的兩個內角α與β滿足α+2β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“類直角三角形”．嘗試運用（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分線．①證明△ABD是“類直角三角形”；②試問在邊AC上是否存在點E（異于點D），使得△ABE也是“類直角三角形”？若存在，請求出CE的長；若不存在，請說明理由．類比拓展（2）如圖2，△ABD內接于⊙O，直徑AB＝10，弦AD＝6，點E是弧AD上一動點（包括端點A，D），延長BE至點C，連結AC，且∠CAD＝∠AOD，當△ABC是“類直角三角形”時，求AC的長．26．（10分）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上的兩點，∠EAD＝45°，將△ADC繞點A順時針旋轉90°，得到△AFB，連接EF．（1）求證：EF＝ED；（2）若AB＝2，CD＝1，求FE的長．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【分析】根據圖像可知為反比例函數，圖像過點（3000,20），代入(k),即可求出反比例函數的解析式，再求出牽引力為1200牛時，汽車的速度即可.【詳解】設函數為(k),代入（3000,20），得，得k=60000，∴，∴牽引力為1200牛時，汽車的速度為=50千米/時,故選C.【點睛】此題主要考查反比例函數的應用，解題的關鍵是找到已知條件求出反比例函數的解析式.2、B【分析】根據折疊性質得到AF＝AB＝a，再根據相似多邊形的性質得到，即，然后利用比例的性質計算即可．【詳解】解：∵矩形紙片對折，折痕為EF，

∴AF＝AB＝a，

∵矩形AFED與矩形ABCD相似，

∴，即，

∴a∶b＝.

所以答案選B.【點睛】本題考查了相似多邊形的性質：相似多邊形對應邊的比叫做相似比．相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等．3、A【解析】分析：連接AC，根據圓周角定理得出AC為圓的直徑，解直角三角形求出AB，根據扇形面積公式求出即可．詳解：連接AC．∵從一塊直徑為2m的圓形鐵皮上剪出一個同心角為90°的扇形，即∠ABC=90°，∴AC為直徑，即AC=2m，AB=BC．∵AB2+BC2=22，∴AB=BC=m，∴陰影部分的面積是=（m2）．故選A．點睛：本題考查了圓周角定理和扇形的面積計算，能熟記扇形的面積公式是解答此題的關鍵．4、A【解析】先利用勾股定理求出斜邊AB，再求出sinB即可．【詳解】∵在中，，，，∴，∴.故答案為A.【點睛】本題考查的知識點是銳角三角函數的定義，解題關鍵是熟記三角函數的定義.5、B【分析】根據題意得根的判別式，即可得出關于的一元一次不等式，解之即可得出結論．【詳解】∵，，，由題意可知：，∴a＞2，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程（a≠0）的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數根；當，方程有兩個相等的實數根；當，方程沒有實數根．6、A【分析】由題意得出等腰三角形的腰長為13cm，作底邊上的高，根據等腰三角形的性質得出底邊一半的長度，最后由三角函數的定義即可得出答案．【詳解】解：如圖，BC=10cm，AB=AC，可得AC=（36-10）÷2=26÷2=13（cm）．又AD是底邊BC上的高，∴CD=BD=5cm，

∴cosC=，即底角的余弦值為，故選：A．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質和三角函數的定義，熟練掌握等腰三角形的“三線合一”是解題的關鍵．7、C【分析】先根據線段的比例、直徑求出OC、OP的長，再利用勾股定理求出CP的長，然后根據垂徑定理即可得．【詳解】如圖，連接OC直徑在中，弦于故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理、垂徑定理等知識點，屬于基礎題型，掌握垂徑定理是解題關鍵．8、C【分析】利用直接開平方法求解可得．【詳解】解：∵x2﹣5＝0，∴x2＝5，則x＝，故選：C．【點睛】本題考查解方程，熟練掌握計算法則是解題關鍵.9、A【分析】根據題目中的函數解析式，可以直接寫出該拋物線的頂點坐標，本題得以解決．【詳解】∵拋物線y＝2x2﹣3的對稱軸是y軸，∴該拋物線的頂點坐標為(0，﹣3)，故選：A．【點睛】本題考查了拋物線的頂點坐標，找到拋物線的對稱軸是解題的關鍵．10、B【分析】直接利用垂徑定理進而結合圓周角定理得出是等腰直角三角形，進而得出答案．【詳解】半徑弦于點，，，，是等腰直角三角形，，，則半徑．故選：B．【點睛】此題主要考查了勾股定理，垂徑定理和圓周角定理，正確得出是等腰直角三角形是解題關鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、2：1．【分析】根據相似三角形的面積的比等于相似比的平方進行計算即可；【詳解】解：∵兩個相似三角形的面積比為4：9，∴它們對應中線的比．故答案為：2：1．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質，掌握相似三角形的性質是解題的關鍵.12、【分析】根據反比例函數的幾何意義可得直角三角形的面積；根據題意可得兩個直角三角形相似，而相似比就是直角三角形?AOB的兩條直角邊的比，從而得出答案.【詳解】過點A、B分別作AD⊥x軸，BE⊥x軸，垂足為D、E,∵頂點A，B恰好分別落在函數，的圖象上∴又∵∠AOB=90°∴∠AOD=∠OBE∴∴則tan∠ABO=故本題答案為：.【點睛】本題考查了反比例函數，相似三角形和三角函數的綜合題型，連接輔助線是解題的關鍵.13、2.5【分析】連接AC，根據∠ABC=90°可知AC是⊙O的直徑，故可得出∠D=90°，再由AD=4，CD=3可求出AC的長，進而得出結論．【詳解】解：如圖，連接AC，∵∠ABC=90°，

∴AC是⊙O的直徑，

∴∠D=90°，

∵AD=4，CD=3，

∴AC=5,∴⊙O的半徑=2.5,故答案為：2.5.【點睛】本題考查的是圓周角定理，熟知直徑所對的圓周角是直角是解答此題的關鍵．14、1【分析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發生的頻率逐漸穩定在概率附近，可以從摸到紅球的頻率穩定在20%左右得到比例關系，列出方程求解即可．【詳解】解：由題意可得，×100%＝20%，解得，a＝1，經檢驗a=1是方程的根，故答案為：1．【點睛】本題主要考查的是頻率和概率問題，此類問題是中考常考的知識點，所以掌握頻率和概率是解題的關鍵.15、-1【解析】設另一根為，則1·=-1，解得，=－1，故答案為－1．16、5【分析】由矩形的性質可得AB=CD=8，AD=BC=10，∠A=∠D=90°，由折疊的性質可求BF=BC=10，EF=CE，由勾股定理可求AF的長，CE的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形∴AB=CD=8，AD=BC=10，∠A=∠D=90°，∵將△BCE沿BE折疊為△BFE，在Rt△ABF中，AF==6∴DF=AD-AF=4在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2=CE2，∴16+（8-CE）2=CE2，∴CE=5故答案為：5【點睛】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵．17、（2，3）【分析】已知解析式為頂點式，可直接根據頂點式的坐標特點，求頂點坐標，從而得出對稱軸．【詳解】解：y=（x-2）2+3是拋物線的頂點式，

根據頂點式的坐標特點可知，頂點坐標為（2，3）．

故答案為（2，3）【點睛】考查將解析式化為頂點式y=a（x-h）2+k，頂點坐標是（h，k），對稱軸是x=h．18、(4,0)【解析】根據相似三角形的判定和性質即可得到結論．【詳解】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴，∵BC=1.2，∴DE=2，∴E（4，0）．故答案為：（4，0）．【點睛】本題考查了中心投影，相似三角形的判定和性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．三、解答題(共66分)19、c=12，∠A=30°，∠B=60°.【分析】先用勾股定理求出c，再根據邊的比得到角的度數.【詳解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝，∴，∵，，∴∠A=30°，∠B=60°.【點睛】此題考查解直角三角形，即求出三角形未知的邊和角，用三角函數求角度時能熟記各角的三角函數值是解題的關鍵.20、（1）；（2）；（3）﹣4﹤x﹤4；（4）見解析【分析】（1）由題意把A點或B點坐標代入得到，即可得出拋物線二次函數的解析式；（2）根據題意把A點或B點坐標代入y=kx+b，利用待定系數法即可求出一次函數直線AB的解析式；（3）由題意觀察函數圖像，根據y軸方向直線在曲線上方時，進而得出x的取值范圍；（4）根據題意求出C點坐標，進而由兩點的距離公式或者是構造直角三角形進行分析求證即可.【詳解】解：(1)把A點或B點坐標代入得到，∴拋物線二次函數的解析式為：.（2）把A點或B點坐標代入y=kx+b列出方程組，解得，得出一次函數直線AB的解析式為：..（3）由圖象可以看出：一次函數直線AB的函數值大于二次函數的函數值的x的取值范圍為：﹣4﹤x﹤4.（4）由拋物線的表達式得：C點坐標為（-2，0），由兩點的距離公式或者是構造直角三角形得出，，，．∴，∴△ACB是直角三角形.【點睛】本題考查的是二次函數綜合運用，由題意結合一次函數和勾股定理的運用等進行分析是解題的關鍵.21、（1）【答題空1】66（2）利用見解析.【分析】（1）先求出甲射擊成績的平均數，通過觀察可得到乙的眾數，再根據乙的平均數結合方差公式求出乙射擊成績的方差即可；（2）根據平均數和方差的意義，即可得出結果．【詳解】解：（），乙的眾數為6，．（）因為甲、乙的平均數與眾數都相同，甲的方差小，所以更穩定，因此甲的成績好些．【點睛】本題考查了平均數、眾數、方差的意義等，解題的關鍵是要熟記公式，在進行選拔時要結合方差，方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．22、（1）△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD；（2）均成立，分別為△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，（3）當BD平分∠ABC時，PF=PE．【分析】（1）由兩角對應相等的三角形是相似三角形找出△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，這兩組三角形都可由一個公共角和一組60°角來證明；（2）成立，證法同（1）；（3）先看PF=PE能得出什么結論，根據△BPF∽△EBF，可得BF2=PF?PE=3PF2，因此，因為，可得∠PFB=90°，則∠PBF=30°，由此可得當BD平分∠ABC時，PF=PE．【詳解】解：（1）△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，證明如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∵∠BPF=60°∴∠BPF=∠EBF=60°，∵∠BFP=∠BFE，∴△BPF∽△EBF；∵∠BPF=∠BCD=60°，∠PBF=∠CBD，∴△BPF∽△BCD；（2）均成立，分別為△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，證明如下：如圖（2）∵∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，∴△BPF∽△EBF；∵∠BPF=∠BCD=60°，∠PBF=∠CBD，∴△BPF∽△BCD．如圖（3），同理可證△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD；（3）當BD平分∠ABC時，PF=PE，理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBF=30°．∵∠BPF=60°，∴∠BFP=90°．∴PF=PB又∵∠BEF=60°?30°=30°=∠ABP，∴PB=PE．∴PF=PE．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質、相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判斷是解題的關鍵．23、（1）1，1，0（2）作圖見解析（3）必過點．（答案不唯一）（4）【分析】（1）根據待定系數法求出的值，再代入和，即可求出m、n的值；（2）根據描點法畫出函數的圖象即可；（3）根據（2）中函數的圖象寫出其中一個性質即可；（4）利用圖象法，可得函數與有三個不同的交點，根據二次函數的性質求解即可．【詳解】（1）將代入中解得∴當時，當時，；（2）如圖所示；（3）必過點；（4）設直線，由（1）得∵方程有三個不同的解∴函數與有三個不同的交點根據圖象即可知，當方程有三個不同的解時，故．【點睛】本題考查了函數的圖象問題，掌握待定系數法、描點法、圖象法、二次函數的性質是解題的關鍵．24、（1）2；（2）①見解析；②存在．由①得△DMN∽△DGM，理由見解析【分析】（1）根據矩形的性質和折疊的性質得出AD=AF、DE=EF，進而設EC＝x，則DE＝EF＝8﹣x，利用勾股定理求解即可得出答案；（2）①根據平行線的性質得出△DAE∽△CGE求得CG＝6，進而根據勾股定理求出DG=1，得出AD=DG，即可得出答案；②假設存在，由①可得當△DGM是等腰三角形時△DMN是等腰三角形，分兩種情況進行討論：當MG＝DG=1時，結合勾股定理進行求解；當MG＝DM時，作MH⊥DG于H，證出△GHM∽△GBA，即可得出答案.【詳解】解：（1）如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝1，AB＝CD＝8，∠B＝∠BCD=∠D＝90°，由翻折可知：AD＝AF＝1．DE＝EF，設EC＝x，則DE＝EF＝8﹣x．在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴CF＝BC﹣BF＝1﹣6＝4，在Rt△EFC中，則有：（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝2，∴EC＝2．（2）①如圖2中，∵AD∥CG，∴∠DAE=∠CGE，∠ADE=∠GCE∴△DAE∽△CGE∴＝，∴，∴CG＝6，∴在Rt△DCG中，，∴AD=DG∴∠DAG＝∠AGD，∵∠DMN＝∠DAM∴∠DMN＝∠DGM∵∠MDN=∠GDM∴△DMN∽△DGM②存在．由①得△DMN∽△DGM∴當△DGM是等腰三角形時△DMN是等腰三角形有兩種情形：如圖2﹣1中，當MG＝DG=1時，∵BG＝BC+CG＝16，∴在Rt△ABG中，，∴AM＝AG-MG=．如圖2﹣2中，當MG＝DM時，作MH⊥DG于H．∴DH＝GH＝5，由①得∠DGM=∠DAG=∠AGB∵∠MHG=∠B∴△GHM∽△GBA∴，∴，∴，∴．綜上所述，AM的長為或．【點睛】本題考查的是矩形綜合，難度偏高，需要熟練掌握矩形的性質、勾股定理和相似三角形等相關性質.25、（1）①證明見解析；②CE＝；（2）當△ABC是“類直角三角形”時，AC的長為或．【分析】（1）①證明∠A+2∠ABD=90°即可解決問題．②如圖1中,假設在AC邊設上存在點E（異于點D）,使得△ABE是“類直角三角形”,證明△ABC∽△BEC,可得,由此構建方程即可解決問題．（2）分兩種情形:①如圖2中,當∠ABC+2∠C=90°時,作點D關于直線AB的對稱點F,連接FA,FB．則點F在⊙O上,且∠DBF=∠DOA．②如圖3中,由①可知,點C,A,F共線,當點E與D共線時,由對稱性可知,BA平分∠FBC,可證∠C+2∠ABC=90°,利用相似三角形的性質構建方程即可解決問題．【詳解】（1）①證明:如圖1中,∵BD是∠ABC的角平分線,∴∠ABC＝2∠ABD,∵∠C＝90°,∴∠A+∠ABC＝90°,∴∠A+2∠ABD＝90°,∴△ABD為“類直角三角形”;②如圖1中,假設在AC邊設上存在點E（異于點D）,使得△ABE是“類直角三角形”,在Rt△ABC中,∵AB＝5,BC＝3,∴AC＝,∵∠AEB＝∠C+∠EBC＞90°,∴∠ABE+2∠