《向量數量積的物理背景與定義》課標分析

課程標準對于本節課的要求是：“通過物理中“功”等實例，理

解平面向量的數量積的含義及其物理意義，體會平面向量的數量積與

向量投影的關系，能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判

斷兩個向量的垂直關系。”

本節課的教學正是緊緊圍繞著課程標準的各項要求來進行的。首

先本節課的學習目標與課標相符合的。

再次，本節課的知識生成過程始終體現類比思想，教師引導學生

自主類比學習，獲得新知，發揮學生的主觀能動性，凸顯課堂的主體

地位。

在本節課例題和練習的處理過程中，充分體現了數形結合、分類

討論的思想。在研究數量積運算結果是一個數的過程中即有類比功進

行分析的方法，也有分類討論的方法，還有借助余弦函數圖像數形結

合的方法。練習中更是應用了數形結合使得具體直觀，易于解題。這

樣教師就給學生起了很好的示范作用，使學生在今后的做題過程逐步

積累有效解決問題的方法思想，增強數學素養。

《向量數量積的物理背景與定義》教材分析

《高中課程標準實驗教科書數學必修4（人教B）》第二章第

3節《平面向量的數量積》教材共安排兩課時，其中第一課時主

要研究數量積的概念，第二課時主要研究數量積的坐標運算，本

節課是第一課時。

本節課是繼學生學習了向量的概念、向量的線性運算之后，

探究兩個向量的一種新的運算.教材先以力做功為背景引入向量

的數量積的概念，然后探索向量的數量積的概念及性質。

本節課的重點和難點：

重點：向量數量積的定義及性質

難點：對向量數量積定義及性質的理解和應用

平面向量的數量積是繼向量的線性運算之后的又一重要運算,

也是高中數學的一個重要概念，在數學、物理等學科中應用十分

廣泛。

本節課的主要學習任務是通過物理中“功”的計算抽象出平

面向量數量積的概念，在此基礎上探究數量積的性質，使學生體

會類比的思想方法，進一步培養學生的抽象概括和推理論證的能

力。其中數量積的概念既是對物理背景的抽象，又是研究性質和

運算律的基礎。同時也因為在這個概念中，既有長度又有角度，

既有形又有數，是代數、幾何與三角的最佳結合點，不僅應用廣

泛，而且很好的體現了數形結合的數學思想，使得數量積的概念

成為本節課的核心概念，自然也是本節課教學的重點。

在力做功的計算中，涉及到位移與力的夾角和力在位移方向

上的分力的概念，為此先給出了兩個向量的夾角和向量在軸上的

正射影的概念。學生可以根據在物理中的研究類比、概括出兩個

向量的夾角和向量在軸上的正射影的概念。

為了鞏固落實，在教材例1、例2的基礎上各增加了一問，

加深學生對概念的理解；對性質的探究也通過練習的形式進行，

既讓學生理解了性質，也訓練了學生的推理論證能力。

第二課時打算在第一課時的基礎上，先處理第一課時給學生

留下的作業練習，然后引導學生探究數量積的運算律和坐標運算

公式，而使向量數量積的運算代數化。

《向量數量積的物理背景與定義》學情分析

學生已經學習了任意角的三角函數、向量的概念和向量的線

性運算等知識，對向量的物理背景也有了一定的了解，如：力、

位移、力的合成與分解、力做功的有關知識。經歷半年多的高中

數學學習，學生已經具備了一定的數學建模能力，能從簡單的物

理背景及生活背景中抽象出數學概念。

本節課的重點是向量數量積的定義及性質，難點是對向量數

量積定義及性質的理解和應用。

考慮到高中生回答問題不如小學和初中生踴躍，所以課堂提

問時一般采取教師直接點名讓學生回答。簡單問題讓學生齊答，

需要強調的問題就個別提問學生。

《向量數量積的物理背景與定義》教學設計

洪樓高中

【教材分析】：

《高中課程標準實驗教科書數學必修4（人教B）》第二章

第3節《平面向量的數量積》教材共安排兩課時，其中第一課時

主要研究數量積的概念，第二課時主要研究數量積的坐標運算，

本節課是第一課時。

本節課的主要學習任務是通過物理中“功”的計算抽象出平

面向量數量積的概念，在此基礎上探究數量積的性質，使學生體

會類比的思想方法，進一步培養學生的抽象概括和推理論證的能

力。其中數量積的概念既是對物理背景的抽象，又是研究性質和

運算律的基礎。同時也因為在這個概念中，既有長度又有角度，

既有形又有數，是代數、幾何與三角的最佳結合點，不僅應用廣

泛，而且很好的體現了數形結合的數學思想，使得數量積的概念

成為本節課的核心概念，自然也是本節課教學的重點。

【學情分析】：

學生已經學習了任意角的三角函數、向量的概念和向量的線

性運算等知識，對向量的物理背景也有了一定的了解，如：力、

位移、力的合成與分解、力做功的有關知識。經歷半年多的高中

數學學習，學生已經具備了一定的數學建模能力，能從簡單的物

理背景及生活背景中抽象出數學概念。

二、【設計思想】：

問題是教學的核心，本節課的設計把“問題”貫穿在課堂的始終。

主要做法如下：

（1）采用“啟發式”問題教學法，用環環相扣的問題將探究活

動層層深入，站在學生思維的最近發展區上啟發誘導。

（2）恰當的利用多媒體課件，通過學生熟悉的實際生活問題引

入課題，拉近數學與現實的距離，激發學生的問題意識和求知欲，調

動學生主體參與的積極性。

（3）在整個數學教學過程中，既要體現學生的主體地位，更要

強調教師的主導地位，在科學講授的同時培養學生清晰的思維和嚴謹

的推理。

在學法上注重以下幾點：

（1）學生類比功的推導過程，概括總結，體驗數學概念“向量

在軸上的正攝影”、“兩個向量的夾角”、“向量的數量積”的生成過程；

（2）在對概念及數量積的性質進行探究時，要有嚴密清晰的思

維和嚴謹的推理論證。

三、【教學目標的設計】：

1.知識與技能：通過物理中“功”等實例，理解平面向量的數

量積的含義及其物理意義，知道平面向量的數量積與向量投影的關系,

能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個向量的垂直

關系。

2.過程與方法：以物體受力做功為背景引入向量數量積的概念，

從數與形兩方面引導學生對向量數量積定義進行探究，通過作圖分析,

運用幾何直觀引導學生類比學習數學概念，體會數學知識抽象性、概

括性和應用性，培養起學生學習數學的興趣。

3.情感態度與價值觀：由具體的功的概念到向量的數量積，使

學生學習從特殊到一般，再由一般到特殊的認知規律，體會類比思想，

數形結合思想，分類討論思想，體驗探究學習的過程，培養學生學習

數學的興趣及良好的學習習慣。

四、【教學準備】

1.教師準備:根據大綱要求以及學生的實際情況先自己備課，再

與組內老師交流，形成學案；制作課件。

2.學生準備：復習力做功的計算公式的推導過程，預習課本知

識。

五、【本節課的重點和難點】：

重點：向量數量積的定義及性質

難點：對向量數量積定義及性質的理解和應用

六、【教學方法】

本節課主要采取教師主導，學生自主探究的學習方法，并結合多

媒體直觀演示，類比分析、數形結合等多種教學手段進行教學。這樣

不僅可以調動學生的積極性。同時也可以使整個課堂活躍起來。

七、【學生的學習方法】

教是為了讓學生更好地學。學生是課堂的主體。我主要指導學生

采用小組討論、類比分析和歸納概括等多種學習方法，真正做到把課

堂還給學生。

八、【教學過程】

（一）復習導入，回顧舊知

（教師提出問題，學生思考并回答）

問題1:前面我們學習了向量的哪些運算？它們的運算結果是什

么？它們與物理學中哪些矢量的運算有聯系？

問題2:對兩個向量還可以做怎樣的運算？

［設計意圖］:溫故知新，新知識與舊知識的區別是什么？引起學

生的學習興趣

（二）創設情境，提出問題

思考1：為了使初速度相同的物體沿光滑水平面繼續前進位移s,

分別給物體施加三個大小相同的力，請問那組會最先到達終點？

［設計意圖］:讓學生進一步感受到數學來源于生活，與生活密切

相關，并能使學生直觀感受力對物體做功產生的不同效果，引出“功”

的概念，從而類比學習的模型。

（三）類比學習，建構知識

1、環節一

教師提出問題，小組討論

思考2：物體在與水平方向成。角的力廠的作用下，沿光滑水

平面前進了位移s,如何求拉力/對物體做的功？

然后教師根據小組討論結果進行歸納總結如下：

求力對物體做的功必須要把力分解到位移方向上，力在位移方向

上的分力，也叫做力在位移方向上的射影。

問題3：我們能否類比得到向量在一個方向上的分量？

［教師處理方式］讓學生作圖，嘗試將向量:分解到軸/方向上

師生根據學生描述的作圖過程概括歸納出概念：向量在軸上的正

射影及正射影的數量。

［設計意圖］:引導學生通過類比學習，概括歸納出數學概念，體

驗經歷數學概念的生成過程。

2、環節二

問題4：在功的表達式中，。的取值范圍是什么？戊的意義是

什么？

問題5：根據物理上力與位移夾角，我們能否類比得到兩個向量

的夾角？

［教師處理方式］讓學生作圖，嘗試作出兩個非零不共線的夾角

師生根據學生描述的作圖過程概括歸納出概念：兩個向量的夾角。

教師引導學生關注并理解定義中需要強調的地方。

［設計意圖］:引導學生通過類比學習，概括歸納出數學概念，體

驗經歷數學概念的生成過程。

3、環節三

類比生成數量積概念

［教師處理方式］讓學生書寫數量積的表達式，加深印象。教師強

調書寫規范，強調需要注意的地方。

問題6：（小組討論）兩非零向量的數量積是一個實數，那么它

什么時候為正，什么時候為負，什么時候為零？

［教師處理方式］通過學生的討論總結如下：方法一，類比功（正

功、負功、零功）；方法二：對兩個向量的夾角分類討論（學生容易

忽略同向和反向兩種情況）；方法三：借助余弦函數圖像

［設計意圖］:學生通過討論探究，加深對概念的理解，同時一，為

后面數量積的應用做好鋪墊。

4、環節四

問題7：。%=回降。5<￡石>，劃線部分有什么意義？

問題8：想一想，還有沒有其他說法？

［設計意圖］:通過引導，學生得到數量積的幾何意義的不同表述

(四)應用舉例，鞏固提IWJ

例L已知軸/

(1)向量|°$=5,<次，/>=60。，求》在/上的正射影的數量0%,

(2)向量OB=5,<OB,/>=120°,求而在/上的正射影的數量OB”

(3)已知向量G,b,向量|a|=4,|b|=6,<a,b>=60。，求向量M

在向量B上的正射影的數量.

例2：(1)已知|。|=5,|B|=4,a與1的夾角0=120。，求。

(2)已知|加|=5,々在B方向上的正射影的數量為-6,求1?b

［設計意圖］:及時鞏固所學知識，在教材例1、例2的基礎上

分別各增加一問，進一步強化學生對概念的理解

課堂練習1在等邊三角形ABC中，求(1)〈而，/>(2)〈荏，就〉

［設計意圖］：及時鞏固所學知識，對學生易出錯的地方進行訓練。

師生共同總結：在尋找向量夾角時一定要通過平移變成共起點。

課堂練習2在平行四邊形ABCD中，已知|Q|=4,|詬卜3,

NZM8=60°,

求(1)通?旅(2)AB?CD(3)AB?DA

［設計意圖］:及時鞏固所學知識，對學生易出錯的地方進行訓練。

師生共同總結：進行向量數量積計算時，既要考慮向量的模,又要根據

兩個向量方向確定其夾角。

課堂練習3在三角形ABC中，AB.BCX),判斷三角形形狀。

［設計意圖］:數量積的應用，針對學生出現的錯誤，師生共同總

結：借助數形結合更直觀。

課堂練習4設心B為兩個非零向量，2是與B同向的單位向量，

向量"與向量2和夾角為。，貝！J：

—*—*——*I—?

(l}a-e=e-a=\acos6>(2)證明：aA.b^a-b=O

J—>—>—?—*

(4)COS6=*|(5)證明：a-b工a-b

［教師處理方式］:教師讓學生解答并討論，通過投影儀展示學生

的解答并由學生講解。教師適當糾正，并強調性質(2)(3)(4)的

重要應用。

［設計意圖］:以練習的形式，學生探究出數量積的性質，加深對

性質的理解。

(五)課堂小結，鞏固提升

［教師處理方式］:先讓學生說，教師課件展示表格總結。

［設計意圖］:通過表格類比功的計算進行總結，既體現本節課的

知識內容，也凸顯本節課的類比學習方法。

(六)啟迪生活，回扣引例

學習中，很多同學覺得自己很努力，但是成績仍然沒有提高，或

者提高很小。我覺得，同學們應該反思自己的努力方向與期望的目標

方向是否一致。只有當努力的方向與目標的方向是同向時，我們才能

在最短的時間內獲得成功。從這個角度看，我們可以說“成功=努力?正

確的目標”成功等于努力與正確目標的數量積!

［設計意圖］:啟發學生感悟生活，使學生體會數學來源于生活,

服務于生活。

（七）布置作業

P115習題2-3A組1、2、3題

P109練習B組1、2

《向量數量積的物理背景與定義》測評練習

1、若IZI=8,|知=4,「與9的夾角9=60°貝!J"*b=.

2、若〉?B=-25,|a||h|=25,貝卜〉?b>=

3、若|1|=5,|對=3,Z-b=12,貝加在「方向上的射影數量為一

_____271_

4.若a,b=-9,|a|=3,<a?b>=—,貝！JIBI=

o

5.如圖，在等腰Rtaze。中/4=90°,40=1,則油?Bt=.

c

《向量數量積的物理背景與定義》效果分析\、\

J------j—

通過本節課的學習，絕大多數學生達到了本節課的課標女小：I、

“通過物理中“功”等實例，理解平面向量的數量積的含義及其物理

意義；2、體會平面向量的數量積與向量投影的關系；3、能運用數量

積表示兩個向量的夾角；4、會用數量積判斷兩個向量的垂直關系。

課堂上師生配合默契，學生聽講認真，效果不錯，現在我把本節

課評測練習的批改情況給大家通報并分析一下：

1、若IZI=8,|知=4,［與B的夾角。=60°貝L-b=.

2、若［?1=一25,|Z||b|=25,貝?b>=

3、若|1|=5,|3|=3,：?3=12,貝物在「方向上的射影數量為一

3--??__2九

4.右a?b=-9,|a|=3,<a?b>=~~-,貝!J|。I=

o

5.如圖，在等腰RtaZSC中/力=90°,AB=1,則“

油-Bt=?

A'.

評測練習1——4是對概念直接考察或是簡單變形，

學生掌握的非常好，通過率100%,說明學生本節課的學習是非常成

功的。

評測練習5是在平面圖形內考察數量積，要求學生既要能找到向

量的模，又要能找準向量的夾角。有五位同學依然沒有找對向量的夾

角，說明對課上所作的強調沒有引起重視。

《向量數量積的物理背景與定義》觀評記錄

主講人：

參評人員：數學組全體教師及教研員王義東老師

優點：(1)教態親切自然，親和力強，教師講課時比較投入，有激情；

聲音洪亮，吐詞清楚，思路清晰，分析到位。并且師生配合好。

(2)以物體受力做功為背景引入，學生直觀感受力對物體做功產

生的不同效果，學生容易接受。

(3)對教材內容進行了重構，調整知識點的學習順序，教學過程

更加自然、順暢。

(4)整堂課運用了類比的思想，由“功”類比到“向量的數量積”，

讓學生更好的理解概念的內涵和外延，更容易接受新知識,

有利于知識的遷移，并培養學生的創新能力。

(5)每講完一類例題，教師及時總結這類題的解題步驟及應該注

意的問題，讓學生加深了印象。

建議：(1)有些語言的表述不夠準確，比如平面向量的數量積的幾何

意義，我們可以用語言說成什么？

(2)對于向量數量積的性質，由學生討論、展示完成