河北省涿州市實驗中學2025屆數學九上期末調研試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．一元二次方程的解為（）A． B．， C．， D．，2．若點，是函數上兩點，則當時，函數值為（）A．2 B．3 C．5 D．103．如圖，二次函數y=ax1+bx+c的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），與y軸的交點B在（0，1）與（0，3）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1．下列結論：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若點M（，y1），點N（，y1）是函數圖象上的兩點，則y1＜y1；④﹣＜a＜﹣；⑤c-3a＞0其中正確結論有（）A．1個 B．3個 C．4個 D．5個4．如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于點H，若∠AOC＝60°，OH＝1，則弦AB的長為()A．2 B． C．2 D．45．一個盒子里有完全相同的三個小球，球上分別標上數字-2、1、4隨機摸出一個小球（不放回）其數字記為p，再隨機摸出另一個小球其數字記為q，則滿足關于x的方程有實數根的概率是()A． B． C． D．6．下列說法正確的是（）A．可能性很大的事情是必然發生的B．可能性很小的事情是不可能發生的C．“擲一次骰子，向上一面的點數是6”是不可能事件D．“任意畫一個三角形，其內角和是”7．如圖是一根空心方管，它的俯視圖是（）A． B． C． D．8．如圖所示的中心對稱圖形中，對稱中心是（）A． B． C． D．9．用配方法解一元二次方程x2﹣2x＝5的過程中，配方正確的是（）A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝910．如圖，在菱形中，，是線段上一動點（點不與點重合），當是等腰三角形時，（）A．30° B．70° C．30°或60° D．40°或70°二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC和△A′B′C′是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，且點B(3，1)，B′(6，2)，若點A′(5，6)，則A的坐標為______.12．點P(4，﹣6)關于原點對稱的點的坐標是_____．13．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以AB為邊在第一象限作正方形，點D恰好在雙曲線上，則k值為_____．14．為了估計拋擲同一枚啤酒瓶蓋落地后凸面向上的概率，小明做了大量重復試驗．經過統計發現共拋擲次啤酒瓶蓋，凸面向上的次數為次，由此可估計拋擲這枚啤酒瓶蓋落地后凸面向上的概率約為_______________________(結果精確到)15．在平面直角坐標系內，一次函數y＝k1x+b1與y＝k2x+b2的圖象如圖所示，則關于x，y的方程組的解是________．16．三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2﹣6x+8＝0的解，則此三角形的周長是_____．17．小強同學從﹣1，0，1，2，3，4這六個數中任選一個數，滿足不等式x+1＜2的概率是_____．18．函數沿直線翻折所得函數解析式為_____________.三、解答題(共66分)19．（10分）如圖1，過原點的拋物線與軸交于另一點，拋物線頂點的坐標為，其對稱軸交軸于點.（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，點為拋物線上位于第一象限內且在對稱軸右側的一個動點，求使面積最大時點的坐標；（3）在對稱軸上是否存在點，使得點關于直線的對稱點滿足以點、、、為頂點的四邊形為菱形.若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.20．（6分）如圖，已知拋物線與軸相交于、兩點，與軸相交于點，對稱軸為，直線與拋物線相交于、兩點.（1）求此拋物線的解析式；（2）為拋物線上一動點，且位于的下方，求出面積的最大值及此時點的坐標；（3）設點在軸上，且滿足，求的長.21．（6分）在大課間活動中，體育老師隨機抽取了九年級甲、乙兩班部分女生進行仰臥起坐的測試，并對成績進行統計分析，繪制了頻數分布表和頻數直方圖，請你根據圖表中的信息完成下列問題：（1）頻數分布表中a=，b=；（2）將頻數直方圖補充完整；（3）如果該校九年級共有女生360人，估計仰臥起坐能夠一分鐘完成30次或30次以上的女學生有多少人？（4）已知第一組有兩名甲班學生，第四組中只有一名乙班學生，老師隨機從這兩個組中各選一名學生談心得體會，則所選兩人正好都是甲班學生的概率是多少？22．（8分）解方程：x2－4x－7＝0.23．（8分）解方程：x2﹣2x﹣2=1．24．（8分）如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦BC為5cm，D、E分別是∠ACB的平分線與⊙O，AB的交點，P為AB延長線上一點，且PC＝PE．（1）求AC、AD的長；（2）試判斷直線PC與⊙O的位置關系，并說明理由．25．（10分）如圖，是的直徑，是上半圓的弦，過點作的切線交的延長線于點，過點作切線的垂線，垂足為，且與交于點，設，的度數分別是.用含的代數式表示，并直接寫出的取值范圍；連接與交于點，當點是的中點時，求的值.26．（10分）如圖，二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸相交于點A、B兩點，與y軸相交于點C(0，﹣3)，拋物線的對稱軸為直線x＝1．（1）求此二次函數的解析式；（2）若拋物線的頂點為D，點E在拋物線上，且與點C關于拋物線的對稱軸對稱，直線AE交對稱軸于點F，試判斷四邊形CDEF的形狀，并證明你的結論．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【分析】通過因式分解法解一元二次方程即可得出答案.【詳解】∴或∴，故選C【點睛】本題主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解題的關鍵.2、B【分析】根據點A(x1，5)，B(x2，5)是函數y=x2﹣2x+1上兩對稱點，可求得x=x1+x2=2，把x=2代入函數關系式即可求解．【詳解】∵點A(x1，5)，B(x2，5)是函數y=x2﹣2x+1上兩對稱點，對稱軸為直線x=1，∴x1+x2=2×1=2，∴x=2，∴把x=2代入函數關系式得y=22﹣2×2+1=1．故選：B．【點睛】本題考查了函數圖象上的點的坐標與函數解析式的關系，以及二次函數的性質．求出x1+x2的值是解答本題的關鍵．3、D【分析】根據二次函數的圖項與系數的關系即可求出答案.【詳解】①∵圖像開口向下，，∵與y軸的交點B在(0,1)與(0,3)之間，，∵對稱軸為x=1，，∴b=-4a，∴b>0，∴abc<0，故①正確；②∵圖象與x軸交于點A(-1,0)，對稱軸為直線x=1，∴圖像與x軸的另一個交點為(5,0)，∴根據圖像可以看出，當x=3時，函數值y=9a+3b+c>0，故②正確；③∵點，∴點M到對稱軸的距離為，點N到對稱軸的距離為，∴點M到對稱軸的距離大于點N到對稱軸的距離，∴，故③正確；④根據圖像與x軸的交點坐標可以設函數的關系式為：y=a（x-5）(x+1)，把x=0代入得y=-5a，∵圖像與y軸的交點B在（0，1）與（0，3）之間，，解不等式組得，故④正確；⑤∵對稱軸為x=1，∴b=-4a，當x=1時，y=a+b+c=a-4a+c=c-3a>0,故⑤正確；綜上分析可知，正確的結論有5個，故D選項正確.故選D.【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數y=ax1+bx+c（a≠0）的圖象，當a＞0，開口向上，函數有最小值，a＜0，開口向下，函數有最大值；對稱軸為直線x=，a與b同號，對稱軸在y軸的左側，a與b異號，對稱軸在y軸的右側；當c＞0，拋物線與y軸的交點在x軸的上方.4、A【分析】在Rt△AOH中，由∠AOC＝60°，解直角三角形求得AH＝，然后利用垂徑定理解答即可.【詳解】解：∵OC⊥AB于H，∴AH＝BH，在Rt△AOH中，∠AOC＝60°，OH＝1，∴AH＝OH＝，∴AB＝2AH＝2故選：A.【點睛】本題考查了垂徑定理以及解直角三角形，難度不大，掌握相關性質定理是解題關鍵．5、A【詳解】解：列表如下：

-214-2---（1，-2）（4，-2）1（-2，1）---（4，1）4（-2，4）（1，4）---所有等可能的情況有6種，其中滿足關于x的方程x2+px+q=0有實數根，即滿足p2-4q≥0的情況有4種，則P（滿足方程的根）=故選：A．6、D【分析】了解事件發生的可能性與必然事件、不可能事件、可能事件之間的關系．【詳解】解：A錯誤．可能性很大的事件并非必然發生，必然發生的事件的概率為1；B錯誤．可能性很小的事件指事件發生的概率很小，不可能事件的概率為0；C錯誤．擲一枚普通的正方體骰子，結果恰好點數“6”朝上的概率為．為可能事件．D正確．三角形內角和是180°．故選：D．【點睛】本題考查事件發生的可能性，注意可能性較小的事件也有可能發生；可能性很大的事也有可能不發生．7、B【分析】俯視圖是從物體的上面看，所得到的圖形：注意看到的用實線表示，看不到的用虛線表示．【詳解】如圖所示：俯視圖應該是故選：B．【點睛】本題考查了作圖?三視圖，解題的關鍵是掌握看到的用實線表示，看不到的用虛線表示．8、B【分析】直接利用中心對稱圖形的性質得出答案．【詳解】解：如圖所示的中心對稱圖形中，對稱中心是O1．故選：B．【點睛】本題考查中心對稱圖形，解題關鍵是熟練掌握中心對稱圖形的性質.9、B【分析】在方程左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方即可．【詳解】解：方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，得到x2﹣2x+1＝5+1，即（x﹣1）2＝6，故選：B．【點睛】本題考查了配方法，解題的關鍵是注意：（1）把常數項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數．10、C【分析】根據是等腰三角形，進行分類討論【詳解】是菱形，，不符合題意所以選C二、填空題(每小題3分,共24分)11、(2.5，3)【分析】利用點B(3，1)，B′(6，2)即可得出位似比進而得出A的坐標.【詳解】解：∵點B(3，1)，B′(6，2)，點A′(5，6)，∴A的坐標為：(2.5，3).故答案為：(2.5，3).【點睛】本題考查了位似變換：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．12、(﹣4，6)【分析】根據兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反可得答案．【詳解】點P（4，﹣6）關于原點對稱的點的坐標是（﹣4，6），故答案為：（﹣4，6）．【點睛】本題考查了一點關于原點對稱的問題，橫縱坐標取相反數就是對稱點的坐標．13、1【解析】作DH⊥x軸于H，如圖，

當y=0時，-3x+3=0，解得x=1，則A（1，0），

當x=0時，y=-3x+3=3，則B（0，3），

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAO+∠DAH=90°，

而∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠ABO=∠DAH，

在△ABO和△DAH中∴△ABO≌△DAH，

∴AH=OB=3，DH=OA=1，

∴D點坐標為（1，1），

∵頂點D恰好落在雙曲線y=上，

∴a=1×1=1．故答案是：1.14、【分析】根據多次重復試驗中事件發生的頻率估計事件發生的概率即可．【詳解】∵拋擲同一枚啤酒瓶蓋1000次．經過統計得“凸面向上”的次數約為10次，∴拋擲這枚啤酒瓶蓋出現“凸面向上”的概率約為＝0.1，故答案為：0.1．【點睛】本題主要考查概率的意義、等可能事件的概率，大量重復試驗事件發生的頻率約等于概率．15、．【分析】利用方程組的解就是兩個相應的一次函數圖象的交點坐標求解．【詳解】∵一次函數y＝k1x+b1與y＝k2x+b2的圖象的交點坐標為（2，1），∴關于x，y的方程組的解是．故答案為．【點睛】本題考查了一次函數與二元一次方程（組）：方程組的解就是兩個相應的一次函數圖象的交點坐標．16、1【分析】先求出方程的兩根，然后根據三角形的三邊關系，得到合題意的邊，進而求得三角形周長即可．【詳解】解：x2﹣6x+8＝0，(x﹣2)(x﹣4)＝0，x﹣2＝0，x﹣4＝0，x1＝2，x2＝4，當x＝2時，2+3＜6，不符合三角形的三邊關系定理，所以x＝2舍去，當x＝4時，符合三角形的三邊關系定理，三角形的周長是3+6+4＝1，故答案為：1．【點睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三邊關系，不能盲目地將三邊長相加起來，而應養成檢驗三邊長能否成三角形的好習慣，熟練掌握一元二次方程的解法是解法本題的關鍵．17、【分析】首先解不等式得x＜1，然后找出這六個數中符合條件的個數，再利用概率公式求解.【詳解】解：∵x+1＜2∴x＜1∴在﹣1，0，1，2，3，4這六個數中，滿足不等式x+1＜2的有﹣1、0這兩個，∴滿足不等式x+1＜2的概率是，故答案為：．【點睛】本題考查求概率，熟練掌握概率公式是解題的關鍵．18、【解析】函數沿直線翻折所得函數圖像開口向下，只要根據軸對稱的性質求出對稱后的頂點坐標即可.【詳解】∵=(x-1)2+3，∴其頂點坐標是（1,3），∵（1,3）關于直線的點的坐標是（1，-1），∴所得函數解析式為(x-1)2-1.故答案為：.【點睛】本題考查了二次函數的軸對稱變換，其形狀不變，但開口方向相反，因此a值為原來的相反數，頂點位置改變，只要根據軸對稱的點坐標特征求出新的頂點坐標，即可確定解析式.三、解答題(共66分)19、（1）；（2）；（3）點的坐標為或【分析】（1）設出拋物線的頂點式，將頂點C的坐標和原點坐標代入即可；（2）先求出點A的坐標，再利用待定系數法求出AC的解析式，過點作軸交于點，設，則，然后利用“鉛垂高，水平寬”即可求出面積與m的關系式，利用二次函數求最值，即可求出此時點D的坐標；（3）先證出為等邊三角形，然后根據P點的位置和菱形的頂點順序分類討論：①當點與點重合時，易證：四邊形是菱形，即可求出此時點P的坐標；②作點關于軸的對稱點，當點與點重合時，易證：四邊形是菱形，先求出，再根據銳角三角函數即可求出BP，從而求出此時點P的坐標.【詳解】（1）解：設拋物線解析式為，∵頂點∴又∵圖象過原點∴解出：∴即（2）令，即，解出：或∴設直線AC的解析式為y=kx＋b將點，的坐標代入，可得解得：∴過點作軸交于點，設，則∴∴∴當時，有最大值當時，∴（3）∵，，∴∴∴為等邊三角形①當點與點重合時，∴四邊形是菱形∴②作點關于軸的對稱點，當點與點重合時，∴四邊形是菱形∴點是的角平分線與對稱軸的交點，∴，∵，.在Rt△OBP中，∴綜上所述，點的坐標為或【點睛】此題考查的是二次函數與圖形的綜合大題，掌握用待定系數法求二次函數的解析式、利用“鉛垂高，水平寬”求面積的最值、菱形的判定定理和分類討論是數學思想是解決此題的關鍵.20、（1）；（2）當時，取最大值，此時點坐標為.（3）或17.【分析】（1）根據對稱軸與點A代入即可求解；（2）先求出，過點作軸的平行線，交直線于點，設，得到，，表示出，根據二次函數的性質即可求解；（3）根據題意分①當在軸正半軸上時，②當在軸負半軸上時利用相似三角形的性質即可求解.【詳解】（1）∵對稱軸為x＝?1，∴?＝?1，∴b＝2a，∴y＝ax2＋2ax?5，∵y＝?x＋3與x軸交于點A（3，0），將點A代入y＝ax2＋2ax?5可得a＝∴.（2）令，解得：，，∴，過點作軸的平行線，交直線于點，設，則，∴，，則，∵，∴當時，取最大值，此時點坐標為.（3）存在，理由：①當在軸正半軸上時，如圖，過點作于，根據三角形的外角的性質得，，又∵，∴，∴，∵，，∴，設，則，又∵，，∴，∴，∴，∴，②當在軸負半軸上時，記作，由①知，，取，如圖，則由對稱知：，∴，因此點也滿足題目條件，∴，綜合以上得：或17.【點睛】本題考查二次函數的綜合；熟練掌握二次與一次函數的圖象及性質，掌握三角形相似、直角三角形的性質是解題的關鍵．21、（1）0.3，4；（2）見解析；（3）198；（4）.【分析】（1）由第一組的頻數和頻率得到總人數，乘以0.2即可得b的值，用1?0.15?0.35?0.20可得a的值；（2）根據表格中第二組的數據將直方圖補充完整；

（3）利用樣本估計總體的知識求解即可得答案；

（4）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖得所有等可能的結果與所選兩人正好都是甲班學生的情況，再利用概率公式即可求答案．【詳解】解：(1)a=1?0.15?0.35?0.20=0.3；總人數為：3÷0.15=20(人)，b=20×0.20=4(人)；故答案為：0.3，4；（2）補全統計圖如圖：(3)估計仰臥起坐能夠一分鐘完成30或30次以上的女學生有：360×(0.35+0.20)=198(人)；(4)畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結果，所選兩人正好都是甲班學生的有6種情況，∴所選兩人正好都是甲班學生的概率P=.【點睛】本題考查統計圖與概率的計算，找到統計圖中數據的對應關系是解題的關鍵.22、【解析】x2－4x－7＝0,∵a=1,b=-4,c=-7,∴△=(-4)2-4×1×(-7)=44>0,∴x=,∴.23、x1=1+，x2=1﹣．【解析】試題分析：把常數項2移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數﹣2的一半的平方．試題解析：x2﹣2x﹣2=1移項，得x2﹣2x=2，配方，得x2﹣2x+1=2+1，即（x﹣1）2=3，開方，得x﹣1=±．解得x1=1+，x2=1﹣．考點：配方法解一元二次方程24、（1）AC=5，AD=5；（2）直線PC與⊙O相切【分析】(1)、連接BD，根據AB為直徑，則∠ACB=∠ADB=90°，根據Rt△ABC的勾股定理求出AC的長度，根據CD平分∠ACB得出Rt△ABD是等腰直角三角形，從而得出AD的長度；(2)、連接OC，根據OA=OC得出∠CAO=∠OCA，根據PC=PE得出∠PCE=∠PEC，然后結合CD平分∠ACB得出∠ACE=∠ECB，從而得出∠PCB=∠ACO，根據∠ACB=90°得出∠OCP=90°，從而說明切線.【詳解】解：(1)、①如圖，連接BD，∵AB是直徑∴∠ACB=∠ADB=90°，在RT△ABC中，AC=②∵CD平分∠ACB，∴AD=BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形∴AD=AB=×10=5cm；(2)、直線PC與⊙O相切，理由：連接OC，∵OC=OA∴∠CAO=∠OCA∵PC=PE∴∠PCE=∠PEC，∵∠PEC=∠CAE+∠ACE∵CD平分∠ACB∴∠ACE=∠ECB∴∠PCB=∠ACO∵∠ACB=90°，∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，OC⊥PC，∴直線PC與⊙O相切．考點：(1)、勾股定理；(2)、直線與圓的位置關系.25、（1）β=90°－2α（0°＜α＜45°）；（2）α=β=30°【分析】（1）首先證