專題05相似三角形的基本模型（X字型）【模型說明】“X”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“8”字模型，條件：如圖1，AB∥CD；結論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型，條件：如圖2，∠A＝∠D；結論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行雙“8”字模型，條件：如圖3，AB∥CD；】結論：4）斜雙“8”字模型，條件：如圖4，∠1＝∠2；結論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC.【例題精講】例1．（基本模型1）如圖（1）所示：等邊△ABC中，線段AD為其內角角平分線，過D點的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1．（1）請你探究：，是否都成立？（2）請你繼續探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內角角平分線，請問一定成立嗎？并證明你的判斷．（3）如圖（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于點E，試求的值．

例2．（基本模型2）（1）某學?！皩W習落實”數學興趣小組遇到這樣一個題目如圖，在△ABC中，點O在線段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝2：1，求AB的長經過數學小組成員討論發現，過點B作BD∥AC，交AO的延長線于點D，通過構造△ABD就可以解決問題（如圖2）請回答：∠ADB＝

°，AB＝

（2）請參考以上解決思路，解決問題：如圖3在四邊形ABCD中對角線AC與BD相交于點O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的長例3．（培優綜合1）如圖，在中，點D在BC上，，連接AD，，則線段AD的長為．

例4．（培優綜合2）如圖，在矩形中，分別為邊，的中點，與，分別交于點M，N．已知，，則的長為．例5．（與反比例綜合）如圖，把一個等腰直角三角形放在平面直角坐標系中，∠ACB=90°，點C（-1，0），點B在反比例函數的圖像上，且y軸平分∠BAC，則k的值是．例6．（與二次函數綜合）如圖，拋物線與軸交于，兩點，交軸于點，是第一象限內拋物線上的一點且橫坐標為．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，連接，交線段于點，若，求的值．(3)如圖2，已知拋物線的對稱軸交軸于點，與直線，分別交于、兩點．試問是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．【變式訓練1】．如圖，在中，，，，點為上一點，連接，為上一點，于點，當時，求的長．【變式訓練2】．如圖，在中，、分別是、的中點，動點在射線上，交于點，的平分線交于點，當時，．【變式訓練3】．如圖，在等邊邊長為6，O是中心；在中，，，．將繞點A按順時針方向旋轉一周．(1)當、分別在、邊上，連結、，求的面積；(2)設所在直線與的邊或交于點F，當O、D、E三點在一條直線上，求的長；(3)連結，取中點M，連結，的取值范圍為_________．【變式訓練4】．如圖1：拋物線y＝ax2+bx﹣4交x軸于點A、B，連接AC、BC，tan∠ABC＝1，tan∠BAC＝4．(1)拋物線的解析式為；(2)點P在第三象限的拋物線上，連接PC、PA，若點P橫坐標為t，△PAC的面積為S，求S與t的函數關系式；(3)如圖2，在（2）的條件下，當S＝6時，點G為第四象限拋物線上一點，連接PG，CH⊥PG于點H，連接OH，若tan∠OHG，求GH的長．【變式訓練5】．【問題背景】如圖1，在△ABC中，點D在邊BC上且滿足∠BAD＝∠ACB，求證：BA2＝BD?BC；【嘗試應用】如圖2，在△ABC中，點D在邊BC上且滿足∠BAD＝∠ACB，點E在邊AB上，點G在AB的延長線上，延長ED交CG于點F，若3AD＝2AC，BE＝ED，BG＝2，DF＝1，求BE的長度；【拓展創新】如圖3，在△ABC中，點D在邊BC上（AB≠AD）且滿足∠ACB＝2∠BAD，DH⊥AB垂足為H，若，請直接寫出的值________．課后訓練1．如圖，在中，是邊上的中線，是上的一點，且，連結并延長交于點，則等于()．2.正方形中，，點是對角線上的一動點，將沿翻折得到，直線交射線于點．(1)當時，求的度數用含的式子表示；(2)點在運動過程中，試探究的值是否發生變化？若不變，求出它的值若變化，請說明理由；(3)若，求的值．3．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D為AB上一點，連接CD，分別過點A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．（1）求證：AN＝CM；（2）若點D滿足BD：AD＝2：1，求DM的長；（3）如圖2，若點E為AB中點，連接EM，設sin∠NAD＝k，求證：EM＝k．4．如圖，正方形中，為邊上任意點，平分交于點．如圖1，若點恰好為中點，求證：；

在的條件下，求的值；如圖2，延長交的延長線于點，延長交的延長線于點連接當時，求證：．

5．如圖，在等邊△ABC中，點D、E分別在邊AB、BC上，AD=BE，CD與AE交于F．（1）求∠AFD的度數；（2）若BE=m，CE=n．①求的值；（用含有m和n的式子表示）②若=，直接寫出的值．6．在圖中；