第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年江蘇省南通市海門中學高一（下）學情調研數學試卷（5月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若實數a，b滿足a+bi=iA.2 B.?2 C.2.某工廠生產A，B，C三種不同型號的產品，產品數量之比依次為2：3：5.現用分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本，樣本中A型號產品有16件，則此樣本的容量為(

)A.40 B.80 C.160 D.3203.已知直線l⊥平面α，直線n/?/平面β，則“α/?A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若AB

=(2,A.(?2,?4) B.(5.已知2sin2αA.?17 B.17 C.?6.設λ∈R，已知向量a與b的夾角為π4，|a|=2，|A.12 B.2 C.2 7.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是BDA.14 B.13 C.128.在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，已知c=1，b>c，siA.12 B.32 C.3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知復數z0，z滿足(z0?2)A.z0=3?i B.z0z0?=810.蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底(由三個相同的菱形組成)巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜，如圖是一個蜂巢的正六邊形開口ABCDEF，它的邊長為1，則A.DE=AF?12AD

B.|AC+AE|=3

C.11.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1A.直線AP與直線B1Q是異面直線

B.過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面面積為92

C.三棱錐A1?AB1P三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在△ABC中，B=π4，BC邊上的高等于13.以Ox為始邊作角α(α∈(0,π2))，角α的終邊與單位圓交于點P(x1,y114.近年來，納米品的多項技術和方法在水軟化領域均有重要應用.納米晶體結構眾多，如圖是一種納米晶的結構示意圖，其是由正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為n的幾何體，則該結構的納米晶個體的體積為______．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，E是B1C1的中點，D是BC上一點．

(1)若D是BC16.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，(2b?c)cosA=ac17.(本小題15分)

已知向量a=(cosπ12,sinπ12)，b=(sinα,cosα)．

(1)18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，平面PAD⊥平面PCD，△PAD是邊長為2的正三角形，PC=23，E是PC中點，過點A，B，E19.(本小題17分)

“費馬點”是由十七世紀法國數學家費馬提出并征解的一個問題.該問題是：“在一個三角形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數學家托里拆利給出了解答，當△ABC的三個內角均小于120°時，使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的點P即為費馬點；當△ABC有一個內角大于或等于120°時，最大內角的頂點為費馬點．

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．

(1)若cos(A?C)+cosB=t答案和解析1.【答案】A

【解析】解：因為a+bi=i(1?i)=1+i，

所以a=1，b=1，2.【答案】B

【解析】解：根據分層抽樣的定義和方法可得22+3+5=16n，解得n=80，

故選3.【答案】A

【解析】解：∵直線l⊥平面α，直線n/?/平面β，

∴由α/?/β可得l⊥β，∴l⊥n，

若l⊥n，則l不一定垂直β，∴α與β不一定平行；

4.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查向量運算的三角形法則，向量的坐標運算，屬于基礎題．

根據三角形法則，可以求出BC，再由減法關系即可求解．

【解答】

解：∵BC=AC?A5.【答案】B

【解析】解：2sin2α+sin2αcos2α=2sin2α+2sinαco6.【答案】C

【解析】解：因為向量a與b的夾角為π4，|a|=2，|b|=2，

所以a?b=|a||b|cosπ4=2×7.【答案】D

【解析】解：在棱AA1上存在一點M，且M為AA1的中點，使平面MBD⊥平面OC1D1，此時AMMA1=1．

證明如下：

連接A1C1、MO、C1M、AC，則O是AC中點，

設正方體棱長為1，則AC=A1C1=2，AO=CO=22，

∵O是BD的中點，

∴BO=DO，BC1=DC1，

∴C1O⊥BD，

由MO=1+14?12=32，

C1O=8.【答案】A

【解析】解：在△ABC中，由正弦定理得，asinA=bsinB=csinC，

又因為asinA?bsinB=2csinB+csinC，

所以a2?b2=2bc+c2，由余弦定理得cos9.【答案】AC【解析】解：對于A，因為(z0?2)i=1+i，所以z0?2=1+ii=(1+i)(?i)i×(?i)=?i?i2?i2=1?i，所以z0=3?i，故A正確；

對于B，因為z010.【答案】AC【解析】解：連接AD、BE、CF，則它們交于同一點O，且O為正六邊形的中心，

對于A，DE=OE?OD，

結合OE=AF，OD=12AD，可得DE=AF?12AD，故A項正確；

對于B，連接CE，則△AEC是等邊三角形，邊長AC=3AB=3，

設AD交CE于G，則AG是等邊△AEC的中線，且AG⊥CE，OG=GD，

所以AC+AE=2AG，可得|AC+AE11.【答案】BC【解析】解：選項A，因為P，Q分別是C1D1，DD1的中點，

所以PQ//C1D//AB1，

所以P，Q，A，B1四點共面，

所以直線AP與直線B1Q不可能是異面直線，即選項A錯誤；

選項B，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面就是四邊形PQAB1，

因為PQ//AB1，PB1=AQ，所以四邊形PQAB1是等腰梯形，其中上底PQ=2，下底AB1=22，腰AQ=5，

所以等腰梯形PQAB1的高h=(5)2?(22?22)2=322，

其面積為(2+22)×3222=92，即選項B正確；

選項C，因為△AA1B1是直角三角形，

所以三棱錐A1?AB1P的外接球的球心一定在線段AB1的中垂線上，設球心為O，半徑為R，

分別取AB1和A1B1的中點E，F，連接O12.【答案】?【解析】【分析】本題考查解三角形中，作出圖形，令∠DAC=θ，利用兩角和的余弦求cosA是關鍵，屬于中檔題．【解答】

解：設△ABC中角A、B、C、對應的邊分別為a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，

∵在△ABC中，B=π4，BC邊上的高AD=h13.【答案】(?【解析】解：根據三角函數的定義得y1=sinα，α∈(0,π2)，

由于角α的終邊逆時針旋轉2π3得到角β，

故β=α+2π3，

所以y2=sinβ14.【答案】23【解析】解：設正四面體ABCD的棱長為a，

如圖O為△BCD的中心，則AO⊥平面BCD，

因為BO?平面BCD，

所以AO⊥BO，

因為正△BCD的邊長為a，

所以BO=23×32a15.【答案】證明：(1)連接DE，

因為三棱柱ABC?A1B1C1是正三棱柱，

所以BC/?/B1C1，BC=B1C1，AA1/?/BB1，AA1=BB1，

因為E是B1C1的中點，D是BC中點，

所以EC1//BD，EC1=BD，B1E/?/BD，B1E=BD，

所以四邊形EC1DB，B1EDB均為平行四邊形，

所以BE//C1D，BB1/?/DE，BB1=DE，

所以AA1//DE，AA【解析】(1)連接DE，由題意可證得四邊形EC1DB，B1EDB均為平行四邊形，進而可證得平面AC1D16.【答案】解：(1)因為(2b?c)cosA=acosC，由正弦定理可得：(2sinB?sinC)cosA=sinAcosC，

即2sinBcosA=sin(A+C)，

在△ABC中，可得sin(A+C)=【解析】(1)由題意及正弦定理可得cosB的值，再由角B的范圍，可得角B的大小；

(2)由題意可得a=317.【答案】解：(1)a=(cosπ12,sinπ12)，b=(sinα,cosα)，a//b，

則cosπ12cosα?sinπ12sinα=0，

所以tanα=1tanπ12=1tan(π3?π4)=1+tanπ3tanπ【解析】(1)結合向量平行的性質，即可求解；

(2)①結合向量模公式，以及正弦的兩角和公式，即可求解；18.【答案】解：(1)證明；∵底面ABCD是菱形，∴AB/?/CD，

∵AB?平面PCD，CD?平面PCD，

∴AB/?/平面PCD，

∵平面PCD∩平面ABEF=EF，AB?平面ABEF，

∴AB/?/EF；

(2)證明：由(1)知AB/?/EF，AB/?/CD，∴EF/?/CD，

∵E是PC中點，∴F是PD中點，

∵△PAD是正三角形，∴AF⊥PD，

∵平面PAD⊥平面PCD，

平面PAD∩平面PCD=PD，AF?平面PAD，

∴AF⊥平面PCD，

∵EF?平面PC【解析】(1)根據底面ABCD是菱形，得出AB/?/CD，利用線面平行性質定理得出AB/?/平面PCD，再利用線面平行的性質定理即可得證；

(219.【答案】解：(1)①因為cos(A?C)+cosB=tanAtanCtanAtanC?1，且A+B+C=π，

所以cos(A?C)?cos(A+C)=tanAt