教學內容6.1從實際問題到方程序號1

教學時間教具

知識與技能：1.通過對多個實際問題的分析，使學生體會到一元一次方程

教

內

學

容作為實際問題的數學模型的作用。

目

要

求

標2.使學生會列一元一次方程解決一些簡單的應用題。

3.會判斷一個數是不是某個方程的解。

過程與方法：學生自主學習，小組合作，探究，教師指導。

情感態度與價值觀：提高學生的分析能力、應用數學解決實際問題能力。

重點：會列一元一次方程解決一些簡單的應用題。

重點

難點

難點：弄清題意，找出“相等關系”。

教學流程教學內容教法學法設計

導入

在現實生活中，有很多問題都跟數學有關，

例如下面的問題：

問題某校初一年級328名師生乘車外

出春游，已有2輛校車可乘坐64人，還需

租用44座的客車多少輛？

解設還需租用44座的客車x輛，則共可乘

坐44x人.

根據題意列方程得

44x+64=328

探究

你會解這個方程嗎？自己試試看.

評列方程解應用題的基本過程是：

觀察題意，找出等量關系；設未知數，并

列出方程；解所列的方程；寫出答案.

問題在課外活動中，張老師發現同學的年

齡大多是13歲，就問同學：“我今年45歲，

幾年后你們的年齡是我年齡的三分之一？”

13+X=；（45+X）

這個方程不太好解，大家可以用嘗試、

檢驗的方法找出它的解，即只要將x=l,

2,3,4,…代入方程的左右兩邊，看哪

個數能使左右兩邊的值相等，這樣得到

方程的解為x=3.

評使方程左右兩邊的值相等的未知數

的值，就是方程的解.

要檢驗一個數是否為方程的解，只

要把這個數代入方程的左右兩邊，看能

否使左右兩邊的值相等.如果左右兩邊

的值相等，那么這個數就是方程的解.

例1甲、乙兩車間共生產電視機120臺，

甲車間生產的臺數是乙車間的3倍少16,

求甲、乙兩車間各生產電視機多少臺（列

出方程，不解方程）？

例2檢驗下面方程后面括號內所列各數

是否為這個方程的解：

2（x+2）-5（l-2x）=-13,{x=-l,1}

這節課主要講了下面兩個問題：

1.復習了用列方程的方法來解應用題；

2.檢驗一個數是否為方程的解的方法.

1.檢驗下列方程后面括號內所列各數是否

為相應方程的解：

⑴安“

（2）2（y-2）-9（l-y）=3（4y-l）,{-10,10}

2.根據班級內男、女同學的人數編一道應

用題，和同學交流一下.

3.小趙去商店買練習本，回來后問同學：

“店主告訴我，如果多買一些就給我八折

優惠，我就買了20本，結果便宜了1.60元，

你猜原來每本價格多少？”你能列出方程

嗎？

應用

小結

練習

板書設計

教學

反思

6.2解一元一次方程

第一課時

教學目的

1.了解一元一次方程的概念。

2.掌握含有括號的一元一次方程的解法。

重點、難點

1.重點；解含有括號的一元一次方程的解法。

2.難點；括號前面是負號時，去括號時忘記變號。

教學過程

一、復習提問

1.解下列方程：

(l)5x-2=8⑵5+2x=4x

2.去括號法則是什么？“移項”要注意什么？

二、新授

一元一次方程的概念

前面我們遇到的一些方程，例如44x+64=3283+x=(45+x)y-5=2y+l問：大家

觀察這些方程，它們有什么共同特征？

(提示：觀察未知數的個數和未知數的次數。)

只含有一個未知數，并且含有未知數的式子都是整式，未知數的次數是I,這樣的方程

叫做一元一次方程。

例1.判斷下列哪些是一元一次方程

x=3x-2x-3=-I

5x2—3x+l=02x+y=l—3y=5

下面我們再一起來解幾個一元一次方程。

例2.解方程(1)-2(x-l)=4

(2)3(x-2)+l=x-(2x-l)

方程⑴該怎樣解？由學生獨立探索解法，并互相交流

此方程既可以先去括號求解，也可以看作關于僅一1)的一元一次方程進行求解。

第⑵題可由學生自己完成后講評，講評時，強調去括號時把括號外的因數分別乘以括

號內的每一項，若括號前面是“一”號，注意去掉括號，要改變括號內的每一項的符號。

補充例題：解方程3x—[3(x+l)—(1+4)]=1

方程中有多重括號，你會解這個方程嗎？

說明：方程中有多重括號時，一般應按先去小括號，再去中括號，最后去大括號的方法

去括號，每去一層括號合并同類項一次，以簡便運算。

三、小結

本節課我們學習了一元一次方程的概念，并學習了含有括號的一元一次方程的解法。用

分配律去括號時，不要漏乘括號中的項，并且不要搞錯符號。

第二課時

教學目的：

使學生掌握去分母解方程的方法，并從中體會到轉化的思想。對于求解較復雜的方程，

要注意培養學生自覺反思求解的過程和自覺檢驗方程的解是否正確的良好習慣。

重點、難點

1、重點：掌握去分母解方程的方法。

2、難點：求各分母的最小公倍數，去分母時，有時要添括號。

教學過程

一、復習提問

1.去括號和添括號法則。

2.求幾個數的最小公倍數的方法。

二、新授

例1：解方程-

23

分析：如何解這個方程呢?此方程可改寫成

3(x—3)—2(2x+1)

-----------------------------=1

6

所以可以去括號解這個方程，先讓學生自己解。

同學們，想一想還有其他方法嗎?能否把方程變形成沒有分母的一元一次方程，這樣，

我們就可以用已學過的方法解它了。

解法二；把方程兩邊都乘以6,去分母。

比較兩種解法，可知解法二簡便。

想一想，解一元一次方程有哪些步驟？

先讓學生自己總結，然后互相交流，得出結論。

解一元一次方程，一般要通過去分母，去括號，移項，合并同類項，未知數的系數化為

1等步驟，把一個一元一次方程“轉化”成x=a的形式。解題時，要靈活運用這些步驟。

補充例2：解方程上出=,——

523

問：如果先去分母，方程兩邊應同乘以一個什么數？

應乘以各分母的最小公倍數，5、2、3的最小公倍數。

三、小結

1.解一元一次方程有哪些步驟？

2.同學們要靈活運用這些解法步驟，掌握移項要變號，去分母時，方程兩邊每一項都

要乘各分母的最小公倍數，切勿漏乘不含有分母的項，另外分數線有兩層意義，一方面它是

除號，另一方面它又代表著括號，所以在去分母時，應該將分子用括號括上。

第三課時

教學目的：

理解一元一次方程解簡單應用題的方法和步驟；并會列一元一次方程解簡單應用題。

重點、難點

1、重點：弄清應用題題意列出方程。

2、難點：弄清應用題題意列出方程。

教學過程

一、復習

1、什么叫一元一次方程？

2、解一元一次方程的理論根據是什么？

二、新授。

例1、天平的兩個盤內分別盛有51克，45克食鹽，問應該從盤A內拿出多少鹽放到月

盤內，才能兩盤所盛的鹽的質量相等？

先讓學生思考，引導學生結合填表，體會解決實際問題，重在學會探索：已知量和未知

量的關系，主要的等量關系，建立方程，轉化為數學問題。

分析：設應從A盤內拿出鹽X,可列表幫助分析。

等量關系；A盤現有鹽=8盤現有鹽

完成后，可讓學生反思，檢驗所求出的解是否合理。

（盤A現有鹽為51—3=48,盤B現有鹽為45+3=48。）

培養學生自覺反思求解過程和自覺檢驗方程的解是否正確的良好習慣。

例2.學校團委組織65名團員為學校建花壇搬磚，初一同學每人搬6塊，其他年級同學

每人搬8塊，總共搬了400塊，問初一同學有多少人參加了搬磚？

引導學生弄清題意，疏理已知量和未知量：

1.題目中有哪些已知量？

⑴參加搬磚的初一同學和其他年級同學共65名。

⑵初一同學每人搬6塊，其他年級同學每人搬8塊。

⑶初一和其他年級同學一共搬了400塊。

2.求什么？

初一同學有多少人參加搬磚？

3.等量關系是什么？

初一同學搬磚的塊數十其他年級同學的搬磚數=400

如果設初一同學有工人參加搬磚，那么由已知量⑴可得，其他年級同學有(65—x)人

參加搬磚；再由已知量(2)和等量關系可列出方程

6x+8(65-x)=400

也可以按照教科書上的列表法分析

三、鞏固練習

第I題：可引導學生畫線圖分析

等量關系是：AC十CB=400

若設小剛在沖刺階段花了x秒，即ti=x秒，則t2=(65—x)秒，再由等量關系就可列出方

程：

6(65-x)+8x=400

四、小結

本節課我們學習了用一元一次方程解答實際問題，列方程解應用題的關鍵在于抓住能表

示問題含意的一個主要等量關系，對于這個等量關系中涉及的量，哪些是己知的，哪些是未

知的，用字母表示適當的未知數(設元)，再將其余未知量用這個字母的代數式表示，最后根

據等量關系，得到方程，解這個方程求得未知數的值，并檢驗是否合理。最后寫出答案。

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6.3實踐與探索

第一課時

教學目的

讓學生通過獨立思考?，積極探索，從而發現；初步體會數形結合思想的作用。

重點、難點

1.重點：通過分析圖形問題中的數量關系，建立方程解決問題。

2.難點：找出“等量關系”列出方程。

教學過程

一、復習提問

1.列一元一次方程解應用題的步驟是什么？

2.長方形的周長公式、面積公式。

二、新授

問題3.用一根長60厘米的鐵絲圍成一個長方形。

⑴使長方形的寬是長的專，求這個長方形的長和寬。

(2)使長方形的寬比長少4厘米，求這個長方形的面積。

(3)比較(1)、(2)所得兩個長方形面積的大小，還能圍出面積更大的長方形嗎？

不是每道應用題都是直接設元，要認真分析題意，找出能表示整個題意的等量關系，

再根據這個等量關系，確定如何設未知數。

⑶當長方形的長為18厘米，寬為12厘米時

長方形的面積=18X12=216(平方厘米)

當長方形的長為17厘米，寬為13厘米時

長方形的面積=221(平方厘米)

.?.(1)中的長方形面積比(2)中的長方形面積小。

問：(1)、(2)中的長方形的長、寬是怎樣變化的?你發現了什么?如果把(2)中的寬比

長少“4厘米”改為3厘米、2厘米、1厘米、0.5厘米長方形的面積有什么變化?猜想寬比

長少多少時，長方形的面積最大呢?并加以驗證。

實際上，如果兩個正數的和不變，當這兩個數相等時，它們的積最大，通過以后的

學習，我們就會知道其中的道理。

三、小結

運用方程解決問題的關鍵是抓住等量關系，有些等量關系是隱藏的，不明顯，要聯

系實際，積極探索，找出等量關系。

第二課時

教學目的

通過分析儲蓄中的數量關系、商品利潤等有關知識，經歷運用方程解決實際問題的過程,

進一步體會方程是刻畫現實世界的有效數學模型。

重點、難點

1.重點：探索這些實際問題中的等量關系，由此等量關系列出方程。

2.難點：找出能表示整個題意的等量關系。

教學過程

一、復習

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1.儲蓄中的利息、本金、利率、本利和等含義，關系：利息=本金義年利率X年

數

本利和=本金X利息X年數+本金

2.商品利潤等有關知識。

利潤=售價一成本；

二、新授

問題4.小明爸爸前年存了年利率為2.43%的二年期定期儲蓄，今年到期后，扣除利

息稅，所得利息正好為小明買了一只價值48.6元的計算器，問小明爸爸前年存了多少元？

利息一利息稅=48.6

可設小明爸爸前年存了x元，那么二年后共得利息為

2.43%XXX2,利息稅為2.43%XX2X20%

根據等量關系，得2.43%x?2-2.43%xX2X20%=48.6

問，扣除利息的20%,那么實際得到的利息是多少?扣除利息的20%,實際得到利

息的80%,因此可得

2.43%x?2?80%=48.6

解方程，得x=1250

例1.一家商店將某種服裝按成本價提高40%后標價，又以8折（即按標價的80%）

優惠賣出，結果每件仍獲利15元，那么這種服裝每件的成本是多少元？

大家想一想這15元的利潤是怎么來的？

標價的80%（即售價）一成本=15

若設這種服裝每件的成本是x元，那么

每件服裝的標價為：（1+40%）x

每件服裝的實際售價為：（l+40%）x-80%

每件服裝的利潤為：（l+40%）x?80%-x

由等量關系，列出方程：

（1+40%）x?80%-x=15

解方程，得x=125

答：每件服裝的成本是125元。

三、小結

當運用方程解決實際問題時，首先要弄清題意，從實際問題中抽象出數學問題，然

后分析數學問題中的等量關系，并由此列出方程：求出所列方程的解；檢驗解的合理性。應

用一元一次方程解決實際問題的關鍵是：根據題意首先尋找“等量關系”。

第三課時

教學目的

借助“線段圖”分析復雜的行程問題中的數量關系，從而建立方程解決實際問題，

發展分析問題，解決問題的能力，進一步體會方程模型的作用.

重點、難點

1.重點：列一元一次方程解決有關行程問題。

2.難點：間接設未知數。

教學過程

一、復習

1.列一元一次方程解應用題的一般步驟和方法是什么？

2.行程問題中的基本數量關系是什么？

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路程=速度X時間速度=路程/時間

二、新授

例1.小張和父親預定搭乘家門口的公共汽車趕往火車站，去家鄉看望爺爺，在行駛

了三分之一路程后，估計繼續乘公共汽車將會在火車開車后半小時到達火車站，隨即下車改

乘出租車，車速提高了一倍，結果趕在火車開車前15分鐘到達火車站，已知公共汽車的平

均速度是40千米/時，問小張家到火車站有多遠？

畫“線段圖”分析，若直接設元，設小張家到火車站的路程為x千米。

1.坐公共汽車行了多少路程?乘的土行了多少路程？

2.乘公共汽車用了多少時間，乘出租車用了多少時間？

3.如果都乘公共汽車到火車站要多少時間？

4,等量關系是什么？

如果設乘公共汽車行了x千米，則出租車行駛了2x千米。小張家到火車站的路程

為3x千米，那么也可列出方程。

可設公共汽車從小張家到火車站要x小時。

設未知數的方法不同，所列方程的復雜程度一般也不同，因此在設未知數時要有所

選擇。

三、小結

有關行程問題的應用題常見的一個數量關系：路程=速度X時間，以及由此導出的

其他關系。如何選擇設未知數使方程較為簡單呢?關鍵是找出較簡捷地反映題目全部含義的

等量關系，根據這個等量關系確定怎樣設未知數。

第四課時

教學目的

1.理解用一元一次方程解工程問題的本質規律；通過對“工程問題”的分析進一

步培養學生用代數方法解決實際問題的能力。

2.理解和掌握基本的數學知識、技能、數學思想方法，獲得廣泛的數學活動經驗,

提高解決問題的能力。

重點、難點

重點：工程中的工作量、工作的效率和工作時間的關系。

難點：把全部工作量看作“1”。

教學過程

一、復習提問

1.一件工作，如果甲單獨做2小時完成，那么甲獨做I小時完成全

部工作量的多少？

2.一件工作，如果甲單獨做。小時完成，那么甲獨做1小時，完成

全部工作量的多少？

3.工作量、工作效率、工作時間之間有怎樣的關系？

二、新授

已知：制作一塊廣告牌，師傅單獨完成需4天，徒弟單獨做要6天。

1.怎樣用列方程解決這個問題?本題中的等量關系是什么？

［等量關系是：師傅做的工作量+徒弟做的工作量=1)

［先要求出師傅與徒弟各完成的工作量是多少?］

兩人的工效已知，因此要先求他們各自所做的天數，因此，設師傅做了x天，則徒

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弟做（X+1）天，根據等量關系列方程。解方程得x=2

師傅完成的工作量為=1/2，徒弟完成的工作量為=1/2

所以他們兩人完成的工作量相同，因此每人各得225元。

三、鞏固練習

一件工作，甲獨做需30小時完成，由甲、乙合做需24小時完成，現

由甲獨做10小時；

請你提出問題，并加以解答。

例如（1）剩下的乙獨做要幾小時完成？

（2）剩下的由甲、乙合作，還需多少小時完成？

⑶乙又獨做5小時，然后甲、乙合做，還需多少小時完成？

四、小結

1.本節課主要分析了工作問題中工作量、工作效率和工作時間之間的關系，即工

作量=工作效率義工作時間

工作效率=工作量+工作時間

工作時間=工作量+工作效率

2.解題時要全面審題，尋找全部工作，單獨完成工作量和合作完成工作量的一個等量關

系列方程。

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7.1二元一次方程組和它的解

教學目標

【知識與技能】

理解二元一次方程、二元一次方程組和它們的解的含義，并會檢驗一對數是不是某個二

元一次方程組的解.

【過程與方法】

經歷認識二元一次方程和二元一次方程組的過程，感受類比的學習方法在數學學習過程

中的作用.

【情感、態度與價值觀】

學會用類比的方法遷移知識，體驗二元一次方程組在處理實際問題中的優越性，感受學習

數學的樂趣.

教學重難點

【重點】理解二元一次方程組的解的意義.

【難點】求二元一次方程的正整數解.

教學過程

一、創設情境，引入新課

古老的“雞兔同籠”問題：

“今有雞兔同籠，上有三十五頭,下有九十四足.問雞、兔各幾何?”

教師描述：

這是我國古代數學著作《孫子算經》中記載的數學名題.它曾在好幾個世紀里引起過人

們的興趣，這個問題也一定會使在座的各位同學感興趣.怎樣來解答這個問題呢？

學生思考并自行解答，教師巡視.最后，在學生動手動腦的基礎上，集體討論并給出各個解

決方案.

教師展示幻燈片：

方法1：算籌解法.（孫子算經，用算籌研究代數.）

方法2:圖形解法.（尚不成熟的符號語言，但很直觀.）

方法3:算術解法.

兔數（94+2）-35=12

雞數35-12=23

方法4:一元一次方程的解法.

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解:設雞有x只,則兔有(35-x)只,則可列方程：

2x+4(35-x)=94

解得:x=23

則雞有23只，兔有12只.

請同學們自己思考.

教師不失時機地復習一元一次方程的有關概念，“元”是指什么？“次”是指什么？

二、嘗試活動，探索新知

1.討論二元一次方程、二元一次方程組的概念.

教師提問：

上面的問題可以用一元一次方程來解，那么還有其他方法嗎？

方法6:設有x只雞,y只兔，依題意得：

x+y=35①

2x+4y=94②

針對學生列出的這兩個方程，教師提出如下問題：

(1)你能給這兩個方程起個名字嗎？

(2)為什么叫二元一次方程呢？

(3)什么樣的方程叫二元一次方程呢？

教師結合學生的回答，板書定義1：

含有兩個未知數，并且未知數的指數都是1的方程，叫做二元一次方程.

同時教師引導學生利用一元一次方程進行知識的遷移與類比，讓學生用原有的認知結構

去同化新知識，符合建構主義理念.

教師追問：

在上面的問題中，雞、兔的只數必須同時滿足①、②兩個方程.把①、②兩個二元一次方

程結合在一起，用大括號來連接.我們也給它起個名字，叫什么呢？

學生思考,教師板書定義2:

把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.

2.討論二元一次方程、二元一次方程組的解的概念.

探究活動:滿足x+y=35,且符合問題的實際意義的值有哪些?請填入表中.

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X.??

???

y

教師啟發：

(1)若不考慮此方程與上面實際問題的聯系，還可以取哪些值？

(2)你能模仿一元一次方程的解給二元一次方程的解下定義嗎？

(3)它與一元一次方程的解有什么區別？

教師板書定義3:

使二元一次方程兩邊相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解，記為

教師提問：

那么什么是二元一次方程組的解呢？

學生討論達成共識：

二元一次方程組的解必須同時滿足方程組中的兩個方程.即:既是方程①的解，又是方程

②的解.

教師板書定義4:

二元一次方程組的兩個方程的公共解叫做二元一次方程組的解.

注意：

二元一次方程組的解是成對出現的，用大括號來連接，表示“且”.

請同學們議一議：

將上述“雞兔同籠”問題的幾種方案進行優劣對比，你有哪些想法呢？

學生通過對比，體驗到從算術方法到代數方法是一種進步.當我們遇到求多個未知量，而

且數量關系較復雜時，列二元一次方程組比列一元一次方程容易,它大大減輕了我們的思維負

擔.

三、例題講解

【例】下列各對數值中不是二元一次方程x+2y=2的解的是()

A.5,6B.2,8

C.3,7D.-2,2

解法分析：

將A、B、C、D中各對數值逐一代入方程檢驗是否滿足方程，選D.

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變式練習:上題中的選項是二元一次方程組的解的是()

解法分析：

在例1的基礎上，進一步檢驗A、B、C、D中各對值是否滿足方程2x+y=-2,使學生明確認

識到二元一次方程組的解必須同時滿足兩個方程.

教師總結：

本例題先檢驗二元一次方程的解,再檢驗二元一次方程組的解，符合從簡單到復雜的認知

規律，使學生更深刻地理解二元一次方程組的解的概念.

四、鞏固練習

1.根據下列語句，列出二元一次方程：

(1)甲數的一半與乙數的3倍的和為11;

(2)甲數和乙數的2倍的差為17.

2.方程x+2y=7在自然數范圍內的解()

A.有無數組B.有兩組

C.有三組D.有四組

3.若mx+y=l是關于x、y的二元一次方程，那么()

A.mWOB.m=O

C.m是正有理數D.m是負有理數

【答案】l.(l)0.5x+3y=ll(2)x-2y=172.D3.A

五、課堂小結

本節課學習了哪些內容?你有哪些收獲?(什么叫二元一次方程?什么叫二元一次方程組？

什么叫二元一次方程組的解?)

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7.2二元一次方程組的解法

第1課時用代入消元法解二元一次方程組

教學目標

【知識與技能】

1.用代入法解二元一次方程組.

2.了解解二元一次方程組時的“消元”思想和“化未知為已知”的化歸思想.

3.會用二元一次方程組解決實際問題.

4.在列方程組的建模過程中，強化方程的模型思想，培養學生列方程解決實際問題的意識

和能力.

5.將解方程組的技能訓練與實際問題的解決融為一體，進一步培養解方程組的能力.

【過程與方法】

通過觀察、驗證、討論、交流等學習方式經歷代入消元的過程，深刻體會到轉化的作用,

發展學生的抽象思維能力,培養學生有條理的表達能力和與人交流的能力.

【情感、態度與價值觀】

1.了解二元一次方程組的“消元”思想、初步理解“化未知為已知”和化復雜問題為簡

單問題的化歸思想中，享受學習數學的樂趣，增強學習數學的信心.

2.培養學生合作交流、自主探索的良好習慣.

3.體會方程組是刻畫現實世界的有效數學模型,培養學生應用數學的意識.

4.在用方程組解決實際問題的過程中，體驗數學的實用性，激發學生學習數學的興趣.

教學重難點

【重點】用代入消元法解二元一次方程組.

【難點】探索用代入消元法將“二元”轉化為“一元”的消元過程.

教學過程

一、創設情境，引入新課

教師出示下列問題：

問題1:籃球聯賽中，每場比賽都要分勝負,每隊勝一場得2分，負一場得1分.某隊為了爭取

較好的名次，想在全部22場比賽中得到40分,那么這個隊勝負場數分別是多少？

問題2:在上述問題中，我們也可以設出兩個未知數,列出二元一次方程組，那么怎樣求解二

元一次方程組呢？

二、嘗試活動，探索新知

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教師引導：

什么是二元一次方程組的解?(方程組中各個方程的公共解)

學生列式計算后回答：

滿足方程①的解有：

滿足方程②的解有:

這兩個方程的公共解是

教師追問：

這個問題能用一元一次方程來解決嗎？

學生思考并列出式子：

設勝x場，負(22-x)場,

解方程:2x+(22-x)=40③

學生觀察并思考：

上面的二元一次方程組和一元一次方程有什么關系？

教師提問：1.在一元一次方程的解法中，列方程時所用的等量關系是什么？

2.方程組中方程②所表示的等量關系是什么？

3.方程②與③的等量關系相同，那么它們的區別在哪里？

4.怎樣使方程②變為只含有一個未知數呢？

結合學生的回答，教師做出講解：

由方程①進行移項得y=22-x,由于方程②中的y與方程①中的y都表示負的場數，故可以把

方程②中的y用(22-x)來代換，即得2x+(22-x)=40.這樣，二元就化為一元了.

解得x=18.

問題解完了嗎?怎樣求y?

將x=18代入方程y=22-x,得y=4.

能代入原方程組中的方程①、②來求y嗎?代入哪個方程更簡便？

這樣，二元一次方程組的解就是

教師歸納并板書：

這種通過代入消去一個未知數，使二元方程轉化為一元方程,從而方程組得以求解的方法

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叫做代入消元法,簡稱代入法.

三、例題講解

【例1】用代入法解方程組x-y=3,3x-8y=14.

本題較簡單，直接由學生板演，師生共同評價.

【答案】把①代入②，得3(y+3)-8y=14.所以y=-1.把y=-1代入①，得x=2.所以

解后反思，教師引導學生思考下列問題：

(1)選擇哪個方程代入另一方程?其目的是什么？

(2)為什么能代入？

(3)只求出一個未知數的值,方程組就解完了嗎？

(4)把已求出的未知數的值代入哪個方程來求另一個未知數的值較簡便？

(5)怎樣檢驗你運算的結果是否正確呢？

(與解一元一次方程一樣,需檢驗.其方法是將求得的一對未知數的值分別代入原方程組

里的每一個方程中,看方程的左、右兩邊是否相等.檢驗可以口算，也可以在草稿紙上驗算.)

四、課堂小結

你從本節課的學習中體會到代入法的基本思路是什么?主要步驟有哪些呢?讓學生在互

相交流的活動中完成本節課的小結，并能通過總結與歸納,更加清楚地理解代入消元法，體會

代入消元法在解二元一次方程組的過程中反映出來的化歸思想.

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第2課時用加減消元法解二元一次方程組

教學目標

【知識與技能】

1.掌握用加減消元法解二元一次方程組.

2.使學生理解加減消元法所體現的“化未知為已知”的化歸思想方法.

3.體驗數學學習的樂趣，在探索過程中體驗成功的喜悅，增強學好數學的信心.

【過程與方法】

1.通過探索二元一次方程組的解法，了解二元一次方程組的“消元”思想，使學生養成良

好的探索習慣.

2.通過對具體實際問題的分析,組織學生自主交流、探索，經歷列方程的建模過程,培養學

生應用數學的意識.

【情感、態度與價值觀】

1.讓學生在了解二元一次方程組的“消元”思想以及初步理解“化未知為已知”和“化

復雜問題為簡單問題”的化歸思想的過程中，享受學好數學的樂趣，增強學好數學的信心.

2.使學生養成合作交流、自主探索的良好習慣.

3.體會方程組是刻畫現實世界的有效數學模型,培養學生應用數學的意識.

4.在用方程組解決實際問題的過程中，體驗數學的實用性，激發學生學習數學的興趣.

教學重難點

【重點】如何用加減法解二元一次方程組.

【難點】如何運用加減法進行消元.

教學過程

一、創設情境，引入新課

教師提出問題：

王老師昨天在水果批發市場買了2千克蘋果和4千克梨，共花了14元,李老師以同樣的價格

買了2千克蘋果和3千克梨，共花了12元，梨每千克的售價是多少？比一比看誰算得快.

教師總結最簡便的方法：

抵消掉相同部分，王老師比李老師多買了1千克的梨,多花了2元,故梨每千克的售價為2元.

二、例題講解

【例1】解方程組：

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分析在這個方程組中,直接將兩個方程相加或相減，都不能消去未知數X或y,怎么辦?我

們可以對其中一個（或兩個）方程進行變形，使得這個方程組中x或y的系數相等或互為相反數，

再來求解.

解法一（消去x）,將①X2,得8x+2y=28.③

②-③，得y=2.把y=2代入①，得4x+2=14.

x=3.所以

解法二（消去y）請同學們自己完成.

［例2］解方程組:4x+2y=-5,5x-3y=-9.

分析比較方程組中的兩個方程,y的系數的絕對值比較小，將①X3,②X2,就可使y的系

數絕對值相等，再用加減法即可消去y.

【答案】①X3,得12x+6y=-15.③

②X2,得10x-6y=-18.④

③+④，得22x=-33,x=-.把x=-代入①，得-6+2y=-5,y=.所以

師生共析：

1.用加減消元法解二元一次方程組的基本思路仍然是“消元”.

2.用加減法解二元一次方程組的一般步驟：

第一步:在所解的方程組中的兩個方程,如果某個未知數的系數互為相反數，可以把這兩

個方程的兩邊分別相加，消去這個未知數;如果未知數的系數相等，可以直接把兩個方程的兩

邊相減，消去這個未知數.

第二步:如果方程組中不存在某個未知數的系數絕對值相等,那么應選出一組系數（選最

小公倍數較小的一組系數），求出它們的最小公倍數（如果一個系數是另一個系數的整數倍，該

系數即為最小公倍數）,然后將原方程組變形，使新方程組的這組系數的絕對值相等（都等于原

系數的最小公倍數），再加減消元.

第三步:對于較復雜的二元一次方程組，應先化簡（去分母、去括號、合并同類項等，通常

要把每個方程整理成含未知數的項在方程的左邊、常數項在方程的右邊的形式），再作如上加

減消元的考慮.

三、課堂小結

本節課我們主要學習了二元一次方程組的另一種解法——加減法.通過把方程組中的兩

個方程進行相加或相減，消去一個未知數，化“二元”為“一元”.請同學們回憶:加減消元法解

二元一次方程組的基本思想是什么?用加減消元法解二元一次方程組的主要步驟有哪些？

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7.3三元一次方程組及其解法

【教學目標】

1、知識與技能

（1）了解三元一次方程組的概念.

（2）會用“代入”、“加減”把三元一次方程組化為“二元”、進而化為“一元”方程來

解決.

（3）能根據三元一次方程組的具體形式選擇適當的解法.

2、過程與方法

讓學生認識三元一次方程組的求解關鍵在于“消元”，進一步熟練掌握“代入”、“加減”

消元的方法.

3、情感態度

讓學生感受把新知轉化為己知，把不會的問題轉化為學過的問題，把難度大的問題轉化

為難度較小的問題這一化歸思想，體會數學學習的方法.

【教學重點】

三元一次方程組的解法及“消元”的基本思想。

【教學難點】

根據方程組的特點，選擇消哪個元，選擇用什么方法消元.

【教學過程】

一、復習導入

1.什么叫做二元一次方程組？

2.解二元一次方程組有哪幾種方法？它們的基本思想是什么？

二、目標展示

1、了解三元一次方程組的定義；

2、掌握簡單的三元一次方程組的解法；

3、進一步體會消元轉化思想.

進入新課

三、自主探究

小明手頭有12張面額分別為1元、2元、5元的紙幣，共計22元，其中1元的紙幣的

數量是2元紙幣數量的4倍。求1元、2元、5元紙幣各多少張。

探究：

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1、這個問題中包含有幾個相等關系：

2、這個問題中包含有幾個未知數：

3、你能根據等量關系列出方程嗎？

四、合作交流

產y+z=12①

+2y+5z=22②

—=4y③

師：觀察方程①、②與二元一次方程（組）比較有什么相同點？有什么不同點？請回答。

問題：1、什么叫三元一次方程？

2、什么叫三元一次方程組？

生：1、都含有三個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1,像這樣的整式方程叫

做三元一次方程

2、含有三個未知數，每個方程中含未知數的項的次數都是1,并且一共有三個方程，

像這樣的整式方程組叫做三元一次方程組

師：怎樣解三元一次方程組？

三元一次方程組消元二元一次方程組消元一元一次方程

例1解方程組

「+y+z=2①

Uy+z=O②

1z=4.③

1、化“三元”為“二元”考慮消去哪個未知數（也就是三個未知數要去掉哪一個？）

2、化“二元”為“一元”

注意：如果三個方程中有一個方程是二元一次方程（如例1中的③），則可以先通過對

另外兩個方程組進行消元，消元時就消去三個元中這個二元一次方程（如例1中的③）中

缺少的那個元。缺某元，消某元在三元化二元時，對于具體方法的選取應該注意選擇最恰

當、最簡便的方法。

五.當堂訓練

「

z-<+y+z=12/x+y=7

（1）yx+2y+5z=22（2）y+K

—x=4y.z+x=l>>

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六、達標測評

解下列三元一次方程組

^+y+z=10x-2yp

lx+y=18y-)H

jT+z2Z+XL

附加題解下列三元一次方程組

[3x-y+z=42x-3y+儼3

(1)J<+3y-z=12(2)

(3)3x-2y+zg

<.x+y+z=6x+2y-3zL

七、課堂小結：

說說你的收獲。。。。。。

八、板書設計：

7.3三元一次方程組及其解法

1、三元一次方程及方程組的概念：

2、解三元一次方程組的基本思想與方法:

--消元法

3、知識應用：

九、【教后反思】

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7.4實踐與探索

第一課時

教學目的

通過學生積極思考、互相討論，經歷探索事物之間的數量關系，形成方程模型，解方程

和運用方程解決實際問題的過程，進一步體會方程是刻畫現實世界的有效數學模型。

重點、難點

1,重點：讓學生實踐與探索，運用二元一次方程組解決有關配套問題的應用題。

2.難點：尋找相等關系以及方程組的整數解問題。

教學過程

一、復習

列二元一次方程組解決實際問題的步驟是什么?其中什么是關鍵？

二、新授

問題L學生閱讀教科書并與同伴討論、交流，探索解題方法，鼓勵學生多角度地思考,

只要學生的方法有道理，就要給予肯定和鼓勵。鼓勵學生進行質問和大膽創新。

學生有困難，教師加以引導：

1.本題有哪些已知量？

⑴共有白卡紙20張。

(2)一張白卡紙可以做盒身2個或盒底蓋3個。

(3)1個盒身與2個盒底蓋配成一套。

2.求什么？

⑴用幾張白卡紙做盒身?幾張白卡紙做盒底蓋？

3.若設用x張白卡紙做盒身，y張白卡紙做盒底蓋。

那么可做盒身多少個?盒底蓋多少個？

[2x個盒身，3y個盒底蓋]

4.找出2個等量關系。

(1)用做盒身的白卡紙張數十用做盒底蓋的自卡紙張數：20。

⑵已知⑶可知盒底蓋的個數應該是盒身的2倍，才能使盒身和盒底蓋正好配套。

根據題意，得

x+y=20

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3y=2x2x

解出這個方程組。

以上結果表明不允許剪開白卡紙，不能找到符合題意的分法。

如果允許剪開一張白卡紙，怎樣才能既符合題意且能充分利用白卡紙呢？

用8張白卡紙做盒身，可做8X2二16(個)

用II張白卡紙做盒底蓋，可做3X11=33(個)

將余下的I張白卡紙剪成兩半，一半做盒身，另一半做盒底，一共

可做17個包裝盒，較充分地利用了材料。

三、鞏固練習

某農場300名職工耕種51公頃土地，計劃種植水稻、棉花和蔬菜，已知種植各種植物

每公頃所需勞動力人數及投入的設備資金如下表：

農作物品種水稻棉花蔬菜

每公頃需勞動力4人8人5人

每公頃需投入資金1萬元1萬元2萬元

己知該農場計劃在設備上投入67萬元，應該怎樣安排這三種作物的種植面積，才能使所

有職工都有工作，而且投入的設備資金正好夠用？

先讓學生自主探索，與伙伴交流。

對有困難的學生教師加以引導。(提問式)

1.本題中有哪些已知量？

⑴安排種三種農作物的人數共300名；

(2)安排種三種農作物的土地共51公頃；

⑶每種農作物每公頃所需要的職工數；

⑷每種農作物每公頃需要投入的資金：

⑸三種農作物需要的資金和為67萬元。

2.求什么？

分別安排多少公頃種水稻，多少公頃種棉花，多少公頃種蔬菜？

如果設安排x公頃種水稻，y公頃種棉花，那么由已知⑵可知，種蔬菜有(51-x-y)公頃。

這樣根據已知，⑶可得種水稻4x人，棉花8y人，蔬菜5(51-x-y)人.根據已知⑷可得,

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種三種農作物所需的資金分別為x萬元、y萬元2(51-x-y)萬元己知量中的(1)、⑸就是兩個

等量關系.因此，列方程組

4x+8y+5(51-x-y)=300

x+y+2(51-x-y)=67

本題也可以列三元一次方程組求解，若有學生嘗試用這種方法，應給予鼓勵，鼓勵有

余力的學生自己探索、研究、體會，不要求統一規定。

第二課時

教學目的

讓學生綜合運用已有的知識，經過自主探索、互相交流.去嘗試用二元一次方程組解決

與生活密切相關的問題，在探索和解決問題的過程中獲得體驗，得到發展。

重點、難點

1.重點：讓學生實踐與探索，運用方程或方程組解決幾何圖形中的數量關系。

2.難點：尋找相等關系。

教學過程

一、復習提問

列二元一次方程組解決實際問題的關鍵是什么？

二、新授

上一節課我們探索了2個與生活密切相關的問題，它們都可以利用二元一次方程組來解

決。今天我們再宋探索一個有趣的問題。

讓學生充分思考，并與伙伴交流后，教師可以提出以下問題：

這里講的''其中的奧秘”，是指什么？

“奧秘”是指用這8塊大小一樣的矩形拼成的正方形，為什么中間會留下一個邊長為

2mm的小正方形的洞?其中的道理是什么？

教師可以作以下引導：

1.觀察小明的拼圖，你能發現小長方形的長xmm與寬ymm之間的數量關系嗎？

(根據矩形的對邊相等，得3x=5y)

2.再觀察小紅的拼圖，你能寫出表示小矩形的長xmm與寬ymm的另一個關系式嗎？

因為AB=CD+DE+FG,所以有x+25y=2x+2

即2y-x=2

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解方程組3x=5y

2y-x=2

8個小矩形的面積和=8xy=8X10X6=480(mm2)

大正方形的面積=(x+2y)2=(10+2X6)2=484(mm2)

484—480=4=22

因此小紅拼出的大正方形中間還留下了一個恰好是邊長為2mm的小正方形。

問題：有沒有這樣的8個大小一樣的小矩形，既能拼成像小明那樣成的大矩形，又能拼成一

個沒有空隙的正方形呢？

三、小結

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課題名稱8.1認識不等式

三維目標1.了解不等式和不等式的解的概念，會判斷一個數是不是某個不等式的解，能

舉出一個不等式的幾個解.

2.探索不等式的解集并能在數軸上表示出來.

重點目標列出簡單的不等式難點目標不等式的解集的理解，并能在數軸上表示

出來.

導入示標世紀公園的票價是:每人5元，一次購票滿30張可少收1元.某班有27名少先隊員

去世公園進行活動.當領隊王小華準備好了零錢到售票處買了27張票時，愛動腦的李

敏同紀學喊住了王小華,提議買30張票.但有的同學不明白.明明只有27個人，買30張

票,豈不浪費嗎?那么,究竟李敏的提議對不對呢?是不是真的浪費呢

目標三導學做思一、什么是不等式和不等式的解？

導學：1.如果有x人去世紀公園，按實際人數買票要付款___________元，按30人

買票要付款____________兀.

2.買30張票反而合算，就是按實際人數買票所付的款大于按30人買票所付的

款,將這個關系用式子表示出來是_____________________.

3.x取21時上式成立嗎？，x取25呢？x取哪些數值時，上式成立？

導做：獨立思考，小組交流展示

導思：1.像上面出現的120<135,5