我國高中數學教材中數學建模的處理

---------以人教版、湘教版、蘇教版和北師大版教材為例

作者：

董玉成/徐斌艷

作者簡介：

董玉成，華東師范大學博士生（上海200062）,新疆師范

大學數學學院及新疆教師教育研究中心講師（新疆烏魯木

齊830054）,主要研究方向為數學問題解決、數學思想、

教師知識；徐斌艷，華東師范大學教授，博士生導師，主

要研究方向為學習理論、數學教育及國際比較.

原發信息：

《課程?教材?教法》（京）2014年第201412期第51-56

頁

期刊名稱：《高中數學教與學》

復印期號：2015年04期

回顧20世紀以來的數學教育理念，我們會發現，自F.克萊因對重視

數學應用的呼吁，到弗賴登塔爾推動的現實數學教育（realistic

mathematicseducation）,到我國倡導的培養"運用數學解決簡單實際

問題的能力"，再到21世紀各國課程文件紛紛對數學建模提出要求，數

學的應用和建模一直受到關注和重視.

應用和建模在數學教育中的價值也同樣得到廣泛、深入的研究.在模型

和建模視角下，教育中的“問題解決"得到超越.有可靠的證據表明，建模

能在各種層次水平有效施教口］

我國從90年代（如不特別指出，本文均指20世紀）開始，國外中學

建模教學的情況開始得到介紹.隨后，對數學建模的教育意義的探討、教學

實驗以及建模活動中學生的心理研究等不斷開展起來.

不過，雖然數學的應用和建模的價值得到了廣泛認同，但在學校或教

室層面的開展遠沒有達到人們所寄予的厚望.比如，文字題曾經作為數學應

用的標志題型被廣泛使用，但往往過分地人工化，求解缺少高水平的認知

和元認知過程，難以反映對現實的數學化.更為嚴重的是，數學文字題的求

解教學有時被教師分門別類，以致變成了找關鍵詞的機械性學習.

一個中德學生建模能力的比較研究表明，在把建模能力劃分為6個等

級的度量尺度下，中國上海和德國巴登一符騰堡州9、10、11年級一千

余名學生的平均能力水平分別為1.75和1.81.0由于第一水平為"學生無

法理解具體的情景，不能識別出任何問題"，所以可以想象，其中相當一

部分學生對于建模是束手無策的.

課程得以實施需要具備兩個基本條件，即合適的師資和充足的課程資

源.在已有師資條件下，教學資源便成為數學建模活動中的最大變量.而在

所有資源中，教科書無疑是最重要的資源.

以下，我們基于國際建模教育研究及我國《普通高中數學課程標準

（實驗）》（簡稱為課程標準），以人民教育出版社（A版）、北京師范

大學出版社、湖南教育出版社以及江蘇教育出版社出版的高中數學教材

（以下簡稱人教版、北師大版、湘教版和蘇教版）為例，對我國教材中的

建模資源進行考察.

一、研究教育中的建模活動的視角和對建模過程的認知

人們雖然對數學應用、建模在數學教育中的重要性達成了共識，但對

數學應用和建模在數學教育中的目的和地位有著不同看法.

在Niss看來，自20世紀60年代以來，對數學建模的角色定位有兩

種不同的基本看法.其一認為，在數學以外的情境為著數學以外的目的使用

數學是數學本身重要的組成部分，所以數學教育的一個基本目的和任務就

在于使學生能夠參與到各種水平的建模活動中.其二認為，把數學應用于數

學以外的情境可以促進學生的數學積極性，所以數學的應用和建模的目的

是為了提高數學學習的動力口］

Kaiser則區分了從19世紀末至今6種對數學建模的不同看法.（1）

現實主義或實用主義建模觀.這種觀點重視建模的功利的或實際的目的，比

如我國所謂培養學習者應用數學解決實際問題的能力.（2）方法論或理論

化的建模觀.這種觀點注重建模在數學和自然界之間建立聯系的重要功能，

認為通過數學模型以及對模型的修訂可以達到認識自然的目的，像弗賴登

塔爾的數學化思想.（3）教育建模觀.強調建模的教育價值，比如建模能使

學習者更好理解世界的本質意義以及通過建模能導入新的數學概念和方法

的學習，并使新概念和方法的意義易于理解.（4）模型誘導和境脈取向.強

調問題解決和心理目標，比如，認為建模能激發學生學習興趣，提供情境

化的學習環境，有利于多重的高水平的認知或元認知參與.（5）社會批判

和社會文化建模觀.強調對建模活動的社會文化屬性和對模型的批判性理

解.（6）建模的認知分析.主要關注對學生建模過程和數學思維的促進分

析

觀點和看法的差異自然導致對如何把數學建模融入數學教學過程中有

著不同的路徑.

從課程標準對建模的定位來看，包括了實用主義、建模的教育性、模

型誘導等思想.比如，課程標準認為：數學建模是數學學習的一種新的方

式，有利于激發學生學習數學的興趣，增強學生的應用意識，提高其實踐

能力；通過數學建模，學生將了解和經歷解決實際問題的全過程.

除了數學建模的目的、價值、地位，研究者還對它的定義，特別是應

包括的步驟進行了不同思考.這些不同思考不僅表現在不同的理論觀點之

中，也表現在理論和實踐之中.

比如，課程標準對數學建模是這樣敘述的："數學建模是運用數學思

想、方法和知識解決實際問題的過程"，而實際問題應來自“學生的日常

生活、現實世界、其他學科等多方面”[4]101-102.而Niss認為，數學建

模就是用數學模型處理數學以外某情境的現象（性質、特征、關系、原

理、問題、疑難、議題等）的過程，其中，數學模型指建立在數學外領域

到數學領域的映射.

也有研究者認為："數學建模就是在數學的幫助下解決復雜而現實的

問題”.⑸

易見，這三個定義中數學所作用的對象是很不一致的，而以課程標準

最為寬泛.

對于建模過程，有論者把它歸為四類.這種分類略去了對模型驗證和解

釋階段差異的考察，僅考察真實情境（RS）、情境模型或情境的心理表征

（SM/MRS）、真實模型（RM）和數學模型（MM）在不同類型建模周

期里的關系.

這四類分別是：（1）RS—SM/MRS—RM—MM;（2）

SM/MRS+RM—MM,在該類型中，SM/MRS與RM混合在一起；

（3）RS—RM—MM,SM/MRS沒有從RM中分離;（4）RS—MM.

類型（1）中的RS—SM意味著研究者對建模過程中個體的認知過程

的重視.研究者認為，這是建模周期中最重要的過程，意味著對任務的理解

過程.也有研究者用MRS取代SM,認為該術語能更好描述個體在閱讀給

定建模任務過程中或閱讀給定建模任務后所建立的內在記憶圖像.

第（2）種類型一般來說指的是解決文字題的過程.文字題本身意味著

對真實情境的簡化，對文字題的分析和解決即可看作一個建模周期.其中，

情境模型和真實模型是融合的.

第（3）種類型是介于第（1）和第（4）之間的一種類型，使用這種

模型周期的研究者更關注真實的復雜問題本身及其求解，而較少從心理視

角來考慮.這種模型周期通常用在高中階段.

使用第（4）種建模周期的涉及兩類研究者：一類是那些處理"現實

而復雜”問題的研究者，在他們看來，建模就是把真實的生活情境轉換為

數學模型，而無需思考其他；另一類是那些在初中進行建模教學的研究

者，他們認為，對初中生來說，理解真實模型是非常困難的，所以不宜于

區分更多的建模階段46]

從課程標準中給出的建模過程框圖來看，我國對建模周期的劃分大體

屬于第（4）種類型.不同的是，增加了從實際情境中提出問題的過程.這總

體來看是一個更高的要求，但它是否作為建模過程的出發點也許可以討論.

對于（1）（3）兩種建模過程，其代表性建模流程圖分別如圖L下

頁圖2.

圖1、圖2直觀地強調了在建模過程中現實世界和數學之間的交互循

環過程.這種圓環形式是對最初討論建模時所認為的那種靜態的直線型建模

過程的突破，所以建模過程現在往往稱之為"建模周期"，意味著建模過

程是一個需要不斷檢測和修正的過程.在此過程中，那些更有競爭力的模型

不斷產生出來.這兩種建模流程揭示了真實情境中的問題在轉化為數學模型

之前所要經歷的重要過程.這往往為我們所輕視.

回到課程標準，除了前面已介紹的有關建模的定位、定義和流程，我

們還特別注意到課程標準在對數學建模內容的設置說明中談到：高中數學

課程要求把教學建模思想以不同的形式滲透在各模塊和專題內容之中，并

在高中階段至少安邦取為完整的一次數學建模活動44]98這意味著課程標

準對建模流程的要求是靈活的.另外，它在對“數學建模"專題的"要求”

中提出，學生"對同樣的問題，可以發揮自己的特長和個性，從不同的角

度、層次探索解決的方法”[4]102.這意味著問題是開放的.

基于以上分析，我們下面進入對我國教科書中建模部分內容的考察.

二、教材中建模內容的分析

為簡便起見，這里對建模內容的分析僅限于表1中出現的四套教材的

第一冊，不對其他各冊相關內容進行討論.

從這四冊教材的目錄來看，建模專題安排所處位置從教材內容上來看

大致相同，都是放在全書的最后，即基本初等函數I之后（表1）.

因為課程標準要求把建模思想貫穿在各部分教學內容中，所以在分析

建模專題前，我們先對專題前的教材內容進行全文本分析，了解四套教材

中提及數學模型的次數和語境情況.

可以發現，四套教材在不同程度上都提及了"模型""數學模型"

"函數模型”.

人教版教材不僅在章節的引言部分論及模型，還在介紹具體函數時聯

系到模型：不僅討論了特定函數作為模型在解決實際問題中的應用，還把

模型作為引入新概念的工具，如函數概念的引出.

湘教版的亮點在于涉及應用的案例整體更具情境性.在指數函數的導入

中，教材使用了一個“射線在介質中的衰減"的"探索問題”.這一探索問

題大體上反映了真實建模的過程.教材還就此介紹了什么是"數學模型"，

什么是數學建模，并提及數學建模就是"把實際問題理想化、簡單化”.這

一安排使不斷提及的數學模型的相關概念落到了實處.

相對于課程標準，四套教材對“數學模型”的闡釋更明確和具體.

下面我們具體討論教材中的建模專題.

人教版教材的建模專題由兩部分組成.第一部分是用投資和銷售激勵兩

個案例說明幕函數、指數函數、對數函數的增長速度存在重大差異；第二

部分是"函數模型的應用實例"，含汽車行駛、人口增長、桶裝水銷售四

個案例.第四個案例如下：

某地區不同身高的未成年男性的體重平均值如表所示(略)：

(1)根據表提供的數據，能否建立恰當的函數模型，使它能上匕較近

似地反映這個地區未成年男性體重ykg與身高xcm的函數關系？試寫出

這個函數模型的解析式.

(2)若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，那么這

個地區一名身高175cm,體重78kg的在校男生的體重是否正常？

解決該問題后，教材寫道："解題過程，體現了根據收集到的數據的

特點，通過建立函數模型，解決實際問題的基本過程□教材接著給出

了異于課程標準的建立函數模型過程的框圖，但沒有給出框圖的文字說

明，也沒有給出數學建模的定義和建模過程的一般性說明.人教版教材的案

例多且難度適中，給一線教師提供了豐富且有操作性的資源.

而蘇教版教材使用了三個例題來說明"函數模型及其應用".比如，例

3是這樣的：

在經濟學中，函數f(X)的邊際函數Mf(x)定義為Mf(x)=f

(x+l)-f(x).某公司每月最多生產100臺報警系統裝置，生產x臺(x

)的收入函數為R(x)=3000x-20x2(單位：元)，其成本函數

為C(x)=500x+4000(單位：元)，利潤是收入與成本之差.

(1)求利潤函數P(x)及邊際利潤函數MP(x);

(2)利潤函數與邊際利潤函數是否具有相同的最大值？

教材最后總結道：通過上述三個例子，我們可以看出，解決實際問題

通常按"實際問題立數學模型T導到數學結果一解決實際問題”的程

序進行，其中建立數學模型是關鍵」8］教材同樣沒有給出數學模型及數學

建模的定義或說明，也沒有對建模過程進行詳細解釋.

北師大版教材在"實際問題的函數建模"一節以遞進關系介紹了"實

際問題的函數刻畫""用函數模型解決實際問題""函數建模案例"三部

分內容.這三部分內容分別包含的例題數是3、2、1,其中"實際問題的函

數刻畫”并不是急于直接套用某個具體函數，而是注重函數關系的揭示和

函數的實際意義為何.其中的兩個案例如下：

問題1當人的生活環境溫度改變時，人體代謝率也有相應的變化，表

4-2(略)給出了實驗的一組數據，這組數據能說明什么？

問題3如同4-7(略)，在一條彎曲的河道上，設置了6個水文監測

站，現在需要在河邊建一個情報中心，從各監測站沿河邊分別向情報中心

鋪設專用通信電纜.怎樣刻畫專用電纜的長度？

"函數建模案例”則提供了一個真實情境的問題，亦即在燒開水時如

何才能做到煤氣最省，并就該問題比較詳細地展示了"真實情境一真實模

型（煤氣灶旋轉鈕的位置影響煤氣流量）一建立數學模型（搜集數據、擬

合函數）一求解函數最值一檢驗（燒水驗證）一反思"的建模全過程.最

后，作者概括了什么是“數學建模"以及"建模過程圖"，與課程標準一

致.

總的來看，北師大版教材中選取的案例有開放性，對建模教學來說有

挑戰性，需要深層次認知水平和多策略參與.

湘教版教材的"函數模型及其應用"包括"幾種函數增長快慢的比

較"和"形形色色的函數模型"兩部分內容.

"幾種函數增長快慢的比較"通過圖象詳細比較了指數函數、一次函

數、幕函數和對數函數的增長快慢，并以四個有趣且契合學生關切的例子

簡單說明了不同函數增長速度的差異是如何被利用的.

"形形色色的函數模型"則討論了"數據的函數模擬"和"什么叫做

函數建模"."數據的函數模擬"主要比較了在數據給定的情況下用不同函

數進行模擬時如何評價何種函數模型最優；"什么叫做函數建模"用語言

闡釋了什么叫"數學建模"，以及數學建模過程的四個步驟.

根據上面對課程標準及國際數學建模教育研究情況的介紹，我們對以

上數據作進一步討論.

雖然課程標準認為“數學建模"是"貫穿于整個高中數學課程的重要

內容"，”不單獨開設，滲透在每個模塊或專題中"，但四套教材還是都

選擇了在第一冊單獨設立"函數模型及其應用"或"實際問題的函數建

模”.這可能有利于凸顯數學建模這一新內容，也便于介紹相關知識點.

可能是為了體現課程標準的"貫穿""滲透"思想，人教版教材在全

冊教材的不同地方提及了"函數模型"這一語詞.不過這一概念以及"數學

模型”都沒有進行定義或解釋，且"建模過程"及框圖沒有放入教材中.

湘教版教材顯然也貫穿了建模理念，同時對"數學建模""數學模

型"以及"建模過程”進行了定義與解釋，但建模過程的框圖表征也沒有

納入教材.

北師大版教材和蘇教版教材主要采取了集中處理方式.其中，北師大版

教材按課程標準形式解釋了“數學建模"和展示了"建模過程”的直觀圖.

不過其建模案例充分闡釋了數學建模的過程，超越了所給出的直觀表征圖

的步驟.蘇教版沒有給出相應概念的定義與解釋，但提供了建模過程的線性

框圖.

雖然湘教版教材提供了建模過程的詳細的文字說明，北師大版教材在

案例中體現了完整的建模周期，但總的來看，四套教材都沒有把建模過程

置于重要位置.

正如課程標準所要求的，實際問題應來自“學生的日常生活、現實世

界、其他學科等多方面"，所以，四套教材在"函數模型及其應用"中使

用了3~6個不等的實際問題案例，體現了問題來源的多樣性.

從教材中數學建模的角色定位來看，數學建模在教材中有兩個基本功

能.一是反映函數模型在解決實際問題中的作用.這是四套教材所著力的，

這從建模專題所處的位置可得到說明.有人把這種建模組織方式稱為"說明

性應用"(illustrativeapplications).另一是通過建模引入新的數學內

容.比如，湘教版通過“射線在介質中的衰減”的探索性問題推動指數函數

的學習具有模型