生二元一次方程組解法及其應用涕

s課前測試

【題目】課前測試

如圖所示，用8塊相同的長方形地磚，拼成一個長方形圖案（地磚間的縫隙不計），若長

方形的圖案周長為3米，求每塊地磚的長和寬分別是多少？

【答案】0.45米、0.15米

【解析】試題分析由于長方形圖案周長是3米，我們可以設長方形地磚的長和寬分別是X、

V,那么第一個方程就是2x+（x+y）=1.5,現在就要想辦法再找一個關于x和y的方程就

可以解決問題。我們觀察圖案可以發現：圖案的長可以用2x來表示，也可以用x+3y來表

示，因此就有2x=x+3y,兩個構成二元一次方程組求解即可。

解:「長方形的周長為3米，

二1殳每塊長方形地廢的長:為x,變為y.

'"）、?=丫-31

依題營得<_，

=

k2>—.T-T1.5

_Bf.v=0.45

1.1=045

言：長方形地語的長為0,45m,寬為0.15m

故答案為：0.45米，0」5米.

總結：本題考查了二元一次方程組的應用，主要通過觀察圖形得到關于x和y的兩個等量關

系建立方程組求解。

【難度】3

【題目】課前測試

車間里有90名工人,每人每天能生產螺母24個或螺栓15個,若一個螺栓配兩個螺母，那

么應分配多少人生產螺栓，多少人生產螺母才能使螺栓和螺母正好配套？

【答案】40人生產螺栓、50人生產螺母

【解析】試題分析:可以設x人生產螺栓,y人生產螺母，根據總人數可以列方程:x+y=90;

根據一個螺栓配兩個螺母可以知道螺母的數量是螺栓數量的2倍，可以列方程2xl5x=24y,

然后聯立解這個二元一次方程組即可。

解：設應分配x人生一提桂，y人生戶播學.根據題字鬲：

Jx-1=90

12xl5.v=24r，

(>=40

y=50

答：應分配40人生產擺桂.50人生戶援寫才能使捷桂和矮寫正好配齊.

總結：本題考查了二元一次方程組的應用，首先要讀懂題目的意思，根據已知的條件分析找

到2個等量關系，列出方程組求解。

o知識定位

適用范圍滬教版，六年級，成績中等以及中等以下

知識點才既述二元一次方程組是在一元一次方程的基礎上展開進行的，通過本節課的學習

同學們要掌握二元一次方程組的解法以及解應用題，充分將數學上所學的知識結合生活實踐,

從中讓學生體會到數學知識來源于生活、服務于生活，培養學生對數學的熱爰，培養學生運

用數學的意識。

適用對象成績中等以及中等以下

;主意事項大部分學生試聽這個內容主要想聽二元一次方程組的兩種解法代入消元法

和加減消元法。

重點選講：

r----------------------------

①二元一次方程

i

②二元一次方程組及其解法

③二元一次方程組的應用

念知識梳理

念知識梳理1:二元一次方程

回顧：只含有一個未知數且未知數的次數是一次的方程叫做一元一次方程。

根據以上定義，你能快速的給二元一次方程下個定義嗎？

［曾：工園義;含有兩個未知數且未知數的次數是一次的方程叫做二元一次方程。

二元一次

nsw娟祖盥：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二

元一次方程的解。

&nsT^幅迪觸：二元一次方程的解有無數個，二元一次方程的解的全體

叫做這個二元一次方程的解集。

⑥知識梳理2:二元一次方程組及其解法

1、由幾個方程組成的一組方程叫做方程組。如果方程組中含有兩個未知數，且含

未知數的項的次數都是一次，那么這樣的方程組叫做一史就出

［曾：2、在二元一次方程組中，使每個方程都適合的解，叫做二元一狼忌逛恤鼠

解題常用方法—代△消元法、加減消元法

通過“代入”消去一個未知通過將兩個方程相加(或相

數，將方程式轉化為一元一減)消去一個未知數，將方

次方程，這種方法簡稱“代程式轉化為一元一次方程，

入消元法”這種方法簡稱“加減消元法”

解法總結

(1)當方程組的兩個方程中某一方程的未知數系數是絕對值為1的數時，則優先選擇

代入消元法來做；

(2)當方程組中兩介方程的某個未知數的系數相等或互為相反數時，則選擇加減消元

法；

(3)當方程組中同一個未知數系數的絕對值均不相等時，可以把兩介方程的兩邊各自

乘以一個適當的數，使某個未知數的系數的絕對值相等，選擇加減消元法求解。

⑥知識梳理3:二元一次方程組的應用

籀用二元一次方程組解決實際問題的步驟如下：

數學的題

實際同趣

解

方

程

(

組

)

數學網題的解

實際例題的答案

念例題精講

【題目】

題型1:二元一次方程

若關于X、y的方程2x"T+=1是二元一次方程，則m=,n=.

【答案】m=3、n=2

【解析】試題分析：二元一次方程一定滿足有2個未知數，且未知數的次數都是1次，該

題有x、v兩個未知數滿足，所以要滿足次數都是1次。令n-l=l,m-2=l，求出m和n

的值。

解：.■方程2xn"+ym-2=i是關于人y的二元一次方程，

.■.n-l=l,m-2=l,解得n=2,m=3.

故答室為：3;2.

總結：本題主要考查二元一次方程的定義，熟練掌握二元一次方程的定義是解題的關鍵。

【難度】3

題型1變式訓練1:二元一次方程

已知（a-2）x+a2-3+y=l是關于x,y的二元一次方程，則a是值為.

【答案】a/2

【解析】試題分析：二元一次方程一定滿足有2個未知數，且未知數的次數都是1次，該

題y已滿足，X的次數是一次，要使X存在，那么它的系數不能為0即可。

解:依題號1導：a-2=0.

解得aw2.

故答室是：a=2.

總結：本題主要考查二元一次方程的定義，熟練掌握二元一次方程的定義是解題的關鍵。

【難度】3

【題目】

題型1變式訓練2:二元一次方

x=a

若，是方程2x+y=0的一組解，求6a+3b+2的值。

[y=b

【答案】2

【解析】試題分析：把方程的解代入到方程里面，可以得到一個含有a、b的二元一次方程

2a+b=0,到這一步可以觀察與最后所求代數式的關系，把6a+3b可以適當變形，從而求

出結果。

解：把卜.'代入方程2x+y=0.i?2a+b=0,

=b

.-.6a+3b+2=3(2a+b)+2=2.

故答室為：2.

總結：本題解題的關鍵是把方程的解代入原方程，運用整體代入的方法進行求解。

【難度】3

【題目】

題型2:二元一次方程組及其解法

已知x、y滿足方程組;一?二:，求代數式(r)L

【答案】-8

【解析】試題分析：方程組利用代入消元法求出x和y的值，再代入代數式求解。

v-2,1=--l(D

解：方程坦

2x-3j=13②

由①得:x=2y-4③

把③代入②得：4y-8+3y=13,即y=3

把丫=3代入③得:x=2,

則耳式=-8.

總結：本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握運算法則是解題的關鍵。

【難度】3

【題目】

題型2變式訓練1:二元一次方程組及其解法

231

—X——y=—

342

解方程組：中

4(x-y)-3(2x+y)=y

JQ----3-

【答案】8

y=-1

【解析】試題分析：先將分式方程轉化為整式方程再求解。

JS.Y-9I=6(D

t-S.v-2Sr=310

①+②得，37y=37,

解得y=_],

把y=-l代入①得,8x-9x(-1)=6,

解得x=《，

所以，方程組的解是J-.

y=-l

總結：本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握運算法則是解題的關鍵。

【題目】

題型2變式訓練2:二元一次方程組及其解法

2%+v=]+3/71

已知方程組<:,的解x、y滿足x+y<l,且m為正數，求m的取值范圍.

x+2y=l-m

【答案】0<m<|

【解析】試題分析：首先要明白這是關于x、y的二元一次方程組，所以要把方程里面的m

看作已知量，解出X和y都是含有m的式子，再根據x+y<l,m為正數，求出m的取值范

圍。

解：①乂2■②,i?3x=l+7m

1一7加

x=-；——，

n

把x=代入①得"匚也+y=i+3m,

33

1-5Hl

y=F-，

.x+y<1,

——;——~——；——J1

33

-1

丁.

,/m>0,

總結：本題考查了二元一次方程組的解，先求出二元一次方程組的解，再求出m的取值范

圍。

【難度】4

【題目】題型3:二元一次方程組的應用

在矩形ABCD中，放入六個形狀、大小相同的長方形，所標尺寸如圖所示，試求圖中陰影

部分的總面積。

【答案】44cm2

【解析】試題分析：由于長方形的長和寬都是未知，所以設長為x,寬為y。觀察圖形利用

圖中已給的數據列關于x和y的方程，整體來看矩形ABCD發現它的長可以用x+3y來表

示，它的寬可以用2y+6=x+y來表示，聯立解二元一次方程組求解。

解：設小板:方形的長為x變為y,如圖可卻,

x+3y=14,①

x+y-2y=6,即x-y=6,②

①-②得4y=8,y=2，代入②得x=8.

因此,大更形ABCD的寬AD=6+2y=6+2x2=10.

邁形ABCD面積=14x10=140（平方星來：），

陰矍部分與面積=140-6x2x8=44（平方屋米）.

總結：本題考查了二元一次方程的應用以及學生對圖表的閱讀能力，根據題目的意思找到兩

個等量關系列出方程組。

【難度】3

【題目】題型3變式練習1:二元一次方程組的應用

某市熱帶植物園的門票價格規定如下表所列，某校七年級（1）、（2）兩個班學生共103

人去該園參觀，其中七（1）班人數不少于30人且不多于50人，經預算，若兩班都以班為

單位分別購票，則總共付1950元。

購袈人數1-50A51~100A100人以上

每人門票價20元18元15元

（1）若兩班學生合在一起作為一個團體購票，則最多可以節省門票多少元？

（2）求兩班各有多少名學生？

【答案】（1）405元；（2）七（1）班48名、七（2）班55名

【解析】試題分析：七（1）班人數不少于30人且不多于50人，單價是20元；因此也可

以推算出七（2）班人數在51—100人之間，單價為18元。

解：(1)最多可以節省：1950-103x15=405(元)

(2)設七年級(1)比有x名學生,七年級(2)比有y名字主，

因為下氏人數不少于30人且不多于50人，

所以依題號，得，.，

[20.V-181=1950

、?=4S

_.

(1=55

香：七年級(1)比有48名學生，七年級(2)JE有55名學生.

總結：本題考查了二元一次方程的應用，注意理解各段票價的意義，這是解題的關鍵。

【難度】3

【題目】題型3變式練習2:二元一次方程組的應用

一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個粗細相同的進水管，當打開4個

進水管時，需要5小時注滿水池；當打開2個進水管時，需要15個小時才能注滿水池，現

需要在2小時內將水池注滿，那么至少要打開多少個小進水管？

【答案】9

【解析】試題分析：先求出每個進水管1小時的注水量，排水管1小時的排水量。

解：設每個進水管1小時的注水量力a.排水管1小時的排水量為b,若唱兩小時三善水池萼二-x個進水菖

'(4a-b)x5=(2a-j))xi5①

、(GT)X2=(447-6)*5②

由①得到4a-b=6a-3b,

即a=b③,

把③代入②得：2(ax-a)=5(4a-a),

即2ax=17a,好得:x=8.5,

由于水置不可能半個，所以至少聶9個進水管才能它兩個小時內注尚水池.

答：至少開9個進水管.

總結：本題考查了二元一次方程的應用，解題的關鍵在于要設進水量和出水量為未知常量。

【難度】3

【題目】興趣篇1

小明的媽媽在菜市場買回3斤蘿卜、2斤排骨，準備做蘿卜排骨湯。

媽媽："今天買這兩樣菜一共花45元，上月買同重量的這兩樣菜只要36元"；

爸爸："報紙上說了蘿卜的單價上漲50%,排骨單價上漲20%";

小明："爸爸、媽媽，我想知道今天買的蘿卜和排骨的單價分別是多少？"

請你通過列方程(組)求解這天蘿卜、排骨的單價(單位：元/斤).

【答案】蘿卜3元/斤，排骨18元/斤

【解析】試題分析：設上月蘿卜的單價是x元/斤，排骨的單價是y元/斤，表示出今天這兩

種菜的單價，然后根據等量關系列方程。

解：役上月蕈卜的單價是x元/尸.排管的單價y元/尸.根據題字得:

3.V-2.1=36

\3(1-50°O)A-2(1-20°O)I=45'

解得：J'-2.

v=15

這天蘿卜的單價是(1+50%)x=(1+50%)x2=3(元/斤),

這天排售的單價是(1+20%)y=(1+20%)xl5=18(元/斤),

有這天蘿卜的聿價是3元/F,排等白聿斤'是18元/尸.

總結：本題考查了二元一次方程的應用，學會利用圖中的已知條件、等量關系列方程。

【難度】3

【題目】興趣篇2

遼南素以“蘋果之鄉”著稱，某汽車公司計劃裝運A、B、C三種蘋果去外地銷售，按規定

每輛汽車只能裝同一種蘋果，且必須裝滿，下表所示為裝運A、B、C三種蘋果的重量及利

潤。

蘋曇品種ABC

每輛汽車運轉量(噸)211.5

每噸羊臭可獲利潤(萬元)574

(1)用10量汽車裝運B、C兩種蘋果13噸到甲地銷售，問裝運B、C兩種蘋果的汽車各

多少量？

(2)公司計劃用20輛汽車裝運A、B兩種蘋果36噸到乙地銷售(每種蘋果不少于1車)，

則利潤是多少？

【答案】(1)裝運B蘋果的汽車4輛，裝運C蘋果的汽車6輛

(2)188萬元

【解析】試題分析：利潤=售價-進價，理解表格數據，找出等量關系列方程。

解：(1)設裝B蘋果的三x里,裝(:蘋果的主y衰，

則x+y=10,x+1.5y=13,

解1屋x=4,y=6,

裝運B蘋果的汽車4輛,C蘋果的汽車6輛:

(2)設裝A蘋果的主a璃，裝B蘋果的三b病.

則a+b=20,2a+b=36,

解得a=16,b=4,

則利潤為10x16+7x4=188.

故利潤為188萬元.

爸：(1)裝運B蘋果的汽主4里,C蘋果的汽主6班(2)利涓為188萬元.

總結：本題考查了二元一次方程組的應用、利潤的計算。難度不大，關鍵在于分析和理解。

【難度】3

【題目】備選試題1

乂+-1

解方程組：23

%+y=4：

x=-1

【答案】

y=5

【解析】試題分析：先將分式方程轉化為整式方程再求解。

解：

3A-2.T=7(D

受理信

2.Y-2,T=S?

②-①得:-x=l,

x=-l,

把x=-l代入①中得:y=5

二方程組的解為：｛"二T

總結：本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握運算法則是解題的關鍵。

【難度】3

【題目】

備選試題2

x+y=3

如果關于x、y的方程組。的解是負數，求a的取值范圍是（）

x-Zy=a-Z

A.-4<a<5B.a>5C.a<-4D.無角軍

【答案】D

【解析】試題分析：用a的代數式分別表示x和y,然后根據x和y都是負數求解a的取值

范圍。

解:將x=3-y代入第二個方程用a表示y得:y=-=^由于y<0;則a>5:

將y=3-x代入第二個方程用a表示x得:x=■由于x<0；則a<-4;綜臺以上a無解.

故選：D.

總結：本題考查了解二元一次方程組，根據x和y的取值范圍確定a的取值范圍。

【難度】3

【題目】備選試題3

x-y=k+2

方程組\,的解適合方程x+y=2,求k的值。

x+6y=k.

【答案】1

【解析】試題分析：這是關于x、y的二元一次方程組，所以把k看作是常量，常規的方法

是把x、y解出來分別用k表示，然后代入方程x+y=2求出k的值。但是細心觀察一下，

兩個方程做一個加法，可以直接得至”+y=k+l,所以k+l=2,這樣更方便。

"卜一if-2①

解：4，，

.V-31?=2②

①+②得，x+y=k+l,

由題意得,k+1=2,

解答.k=l,

總結：本題考查了二元一次方程組的解，掌握加減消元法是解本題的關鍵。

【難度】3

【題目】

備選試題4

在某濃度的鹽水中加入一杯水后，得到新鹽水，它的濃度為20%,又在新鹽水中加入與前

述一杯水的重量相等的純鹽合，鹽水濃度變為33；%,那么原來鹽水的濃度是.

【答案】25%

【解析】試