江西省贛州市寧師中學2025屆高一下數學期末質量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在學習等差數列時，我們由，，，，得到等差數列的通項公式是，象這樣由特殊到一般的推理方法叫做（）A．不完全歸納法 B．數學歸納法 C．綜合法 D．分析法2．如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B．C． D．3．正四棱錐的側棱長與底面邊長都是1，則側棱與底面所成的角為（）A．75°B．60°C．45°D．30°4．直線x-2y+2=0關于直線x=1對稱的直線方程是（）A．x+2y-4=0 B．2x+y-1=0 C．2x+y-3=0 D．2x+y-4=05．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．6．下列結論不正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則7．已知，，那么等于（）A． B． C． D．8．已知滿足，且，那么下列選項中一定成立的是()A． B． C． D．9．已知全集，集合，，則為()A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}10．設等比數列滿足，，則（）A．8 B．16 C．24 D．48二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．化簡sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝______.12．某奶茶店的日銷售收入y(單位:百元)與當天平均氣溫x(單位:)之間的關系如下:x012y5221通過上面的五組數據得到了x與y之間的線性回歸方程:；但現在丟失了一個數據，該數據應為____________.13．已知為直線上一點，過作圓的切線，則切線長最短時的切線方程為__________．14．設，為單位向量，其中，，且在方向上的射影數量為2，則與的夾角是___．15．已知等比數列的首項為，公比為，其前項和為，下列命題中正確的是______.（寫出全部正確命題的序號）（1）等比數列單調遞增的充要條件是，且；（2）數列：，，，……，也是等比數列；（3）；（4）點在函數（，為常數，且，）的圖像上.16．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若b·cosC=c·cosB，且cosA＝，則cosB的值為_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設函數，其中.（1）在實數集上用分段函數形式寫出函數的解析式；（2）求函數的最小值.18．已知數列的前項和為，且，.（1）試寫出數列的任意前后兩項（即、）構成的等式；（2）用數學歸納法證明：.19．2019年4月20日，福建省人民政府公布了“3+1+2”新高考方案，方案中“2”指的是在思想政治、地理、化學、生物4門中選擇2門.“2”中記入高考總分的單科成績是由原始分轉化得到的等級分，學科高考原始分在全省的排名越靠前，等級分越高小明同學是2018級的高一學生.已確定了必選地理且不選政治，為確定另選一科，小明收集并整理了化學與生物近10大聯考的成績百分比排名數據x(如x=19的含義是指在該次考試中，成績高于小明的考生占參加該次考試的考生數的19%)繪制莖葉圖如下.(1)分別計算化學、生物兩個學科10次聯考的百分比排名的平均數；中位數；(2)根據已學的統計知識，并結合上面的數據，幫助小明作出選擇.并說明理由.20．已知，，分別為內角，，的對邊，且.（1）求角；（2）若，，求邊上的高.21．如圖所示，在直三棱柱（側面和底面互相垂直的三棱柱叫做直三棱柱）中，平面，，設的中點為D，.（1）求證：平面；（2）求證：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

根據題干中的推理由特殊到一般的推理屬于歸納推理，但又不是數學歸納法，從而可得出結果.【詳解】本題由前三項的規律猜想出一般項的特點屬于歸納法，但本題并不是數學歸納法，因此，本題中的推理方法是不完全歸納法，故選：A.【點睛】本題考查歸納法的特點，判斷時要區別數學歸納法與不完全歸納法，考查對概念的理解，屬于基礎題.2、C【解析】

先通過三視圖找到幾何體原圖，再求幾何體的體積得解.【詳解】由題得該幾何體是一個邊長為4的正方體挖去一個圓錐（圓錐底面在正方體上表面上，圓錐頂部朝下），所以幾何體體積為.故選：C【點睛】本題主要考查三視圖還原幾何體原圖，考查組合體體積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.3、C【解析】如圖：是底面中心，是側棱與底面所成的角；在直角中，故選C4、A【解析】

所求直線的斜率與直線x-2y+2=0的斜率互為相反數，且在x=1處有公共點，求解即可。【詳解】直線x-2y+2=0與直線x=1的交點為P1，3因為直線x-2y+2=0的斜率為12，所以所求直線的斜率為-故所求直線方程為y-32=-故答案為A.【點睛】本題考查了直線的斜率，直線的方程，直線關于直線的對稱問題，屬于基礎題。5、D【解析】

先還原幾何體，再根據形狀求表面積.【詳解】由三視圖知，該幾何體的直觀圖如圖所示，其表面積為，故選.【點睛】本題考查三視圖以及幾何體表面積，考查空間想象能力以及基本求解能力，屬中檔題.6、B【解析】

根據不等式的性質，對選項逐一分析，由此得出正確選項.【詳解】對于A選項，不等式兩邊乘以一個正數，不等號不改變方程，故A正確.對于B選項，若，則，故B選項錯誤.對于C、D選項，不等式兩邊同時加上或者減去同一個數，不等號方向不改變，故C、D正確.綜上所述，本小題選B.【點睛】本小題主要考查不等式的性質，考查特殊值法解選擇題，屬于基礎題.7、B【解析】

首先求出題中，，之間的關系，然后利用正切的和角公式求解即可.【詳解】由題知，，所以.故選：B.【點睛】本題考查了正切的和角公式，屬于基礎題.8、D【解析】

首先根據題意得到，，結合選項即可找到答案.【詳解】因為，所以.因為，所以.故選：D【點睛】本題主要考查不等式的性質，屬于簡單題.9、C【解析】

先根據全集U求出集合A的補集，再求與集合B的并集．【詳解】由題得，故選C.【點睛】本題考查集合的運算，屬于基礎題．10、A【解析】

利用等比數列的通項公式即可求解.【詳解】設等比數列的公比為，則，解得所以.故選：A【點睛】本題考查了等比數列的通項公式，需熟記公式，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1.12、4【解析】

根據回歸直線經過數據的中心點可求.【詳解】設丟失的數據為，則，，把代入回歸方程可得，故答案為：4.【點睛】本題主要考查回歸直線的特征，明確回歸直線一定經過樣本數據的中心點是求解本題的關鍵，側重考查數學運算的核心素養.13、或【解析】

利用切線長最短時，取最小值找點：即過圓心作直線的垂線，求出垂足點．就切線的斜率是否存在分類討論，結合圓心到切線的距離等于半徑得出切線的方程．【詳解】設切線長為，則，所以當切線長取最小值時，取最小值，過圓心作直線的垂線，則點為垂足點，此時，直線的方程為，聯立，得，點的坐標為.①若切線的斜率不存在，此時切線的方程為，圓心到該直線的距離為，合乎題意；②若切線的斜率存在，設切線的方程為，即.由題意可得，化簡得，解得，此時，所求切線的方程為，即.綜上所述，所求切線方程為或，故答案為或．【點睛】本題考查過點的圓的切線方程的求解，考查圓的切線長相關問題，在過點引圓的切線問題時，要對直線的斜率是否存在進行分類討論，另外就是將直線與圓相切轉化為圓心到直線的距離等于半徑長，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題．14、【解析】

利用在方向上的射影數量為2可得：，即可整理得：，問題得解.【詳解】因為在方向上的射影數量為2，所以，整理得：又，為單位向量，所以.設與的夾角，則所以與的夾角是【點睛】本題主要考查了向量射影的概念及方程思想，還考查了平面向量夾角公式應用，考查轉化能力及計算能力，屬于中檔題.15、（3）【解析】

根據遞增數列的概念，以及等比數列的通項公式，充分條件與必要條件的概念，可判斷（1）；令，為偶數，可判斷（2）；根據等比數列的性質，直接計算，可判斷（3）；令，結合題意，可判斷（4），進而可得出結果.【詳解】（1）若等比數列單調遞增，則，所以或，故且不是等比數列單調遞增的充要條件；（1）錯；（2）若，為偶數，則，，因等比數列中的項不為，故此時數列，，，……，不成等比數列；（2）錯；（3），所以（3）正確；（4）若，則，若點在函數的圖像上，則，因，，故不能對任意恒成立；故（4）錯.故答案為：（3）【點睛】本題主要考命題真假的判定，熟記等比數列的性質，以及等比數列的通項公式與求和公式即可，屬于常考題型.16、【解析】

利用余弦定理表示出與，代入已知等式中，整理得到，再利用余弦定理表示出，將及的值代入用表示出，將表示出的與代入中計算，即可求出值．【詳解】由題意，由余弦定理得，代入，得，整理得，所以，即，整理得，即，則，故答案為．【點睛】本題考查了解三角形的綜合應用，高考中經常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理實現邊角互化；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）令，解得的范圍，再結合的意義分段函數形式寫出函數的解析式即可.（2）利用的奇偶性，只需要考慮的情形，只需分兩種情形討論：，當時，分別求出的最小值即可.【詳解】（1），令，得，解得或，（2）因為是偶函數，所以只需考慮的情形，當時，，當時，當時，，當時，，時，.【點睛】本題主要考查函數單調性的應用、函數解析式的求法、不等式的解法等基本知識，考查了運算求解能力，考查分類討論思想、化歸與轉化思想，屬于基礎題.18、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）由，可得出，兩式相減，化簡即可得出結果；（2）令代入求出的值，再由求出的值，可驗證和時均滿足，并假設當時等式成立，利用數學歸納法結合數列的遞推公式推導出時等式也成立，綜合可得出結論.【詳解】（1）對任意的，由可得，上述兩式相減得，化簡得；（2）①當時，由可得，解得，滿足；②當時，由于，則，滿足；③假設當時，成立，則有，由于，則.這說明，當時，等式也成立.綜合①②③，.【點睛】本題考查數列遞推公式的求解，同時也考查了利用數學歸納法證明數列的通項公式，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.19、（1）化學平均數30.2；中位數26；生物平均數29.6；中位數31；（2）見解析【解析】

（1）直接利用平均數的公式和中位數的定義計算化學、生物兩個學科10次聯考的百分比排名的平均數和中位數；（2）從平均數或中位數的角度出發幫助小明選擇.【詳解】解：（1）化學學科全市百分比排名的平均數，化學學科聯考百分比排名的中位數為.生物學科聯考百分比排名的平均數，生物學科聯考百分比排名的中位數為.（2）從平均數來看，小明的生物學科比化學學科百分比排名靠前，應選生物.或者:從中位數來看，小明的化學學科比生物學科百分比排名靠前，應選化學.【點睛】本題主要考查平均數的計算和中位數的計算，考查平均數和中位數的意義，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.20、(1)；(2)【解析】

（1）利用正弦定理化簡已知條件，利用三角形內角和定理以及兩角和的正弦公式化簡，由此求得，進而求得的大小.（2）利用正弦定理求得，進而求得的大小，由此求得的值，根據求得邊上的高.【詳解】解：（1）∵∴∴∴∴即：，∴（2）由正弦定理：，∴∵∴∴∴設邊上的高為，則有【點