2025屆河南省安陽市第三十五中學高一數學第二學期期末質量跟蹤監視試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數，若方程恰有三個不同的解，記為，則的取值范圍是()A． B． C． D．2．某中學初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，根據下列頻率分布條形圖（部分）可知，該校女教師的人數為（）A．93 B．123 C．137 D．1673．已知數列且是首項為2，公差為1的等差數列，若數列是遞增數列，且滿足，則實數a的取值范圍是（）A． B．C． D．4．以下有四個說法：①若、為互斥事件，則；②在中，，則；③和的最大公約數是；④周長為的扇形，其面積的最大值為；其中說法正確的個數是（）A． B．C． D．5．函數的最小正周期是()A． B． C． D．6．已知四面體中，，分別是，的中點，若，，與所成角的度數為30°，則與所成角的度數為（）A．90° B．45° C．60° D．30°7．已知一個三角形的三邊是連續的三個自然數，且最大角是最小角的2倍，則該三角形的最小角的余弦值是（）A． B．C． D．8．在中，已知，且，則的值是（）A． B． C． D．9．一個球自高為米的地方自由下落，每次著地后回彈高度為原來的，到球停在地面上為止，球經過的路程總和為（）米A． B． C． D．10．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的值為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設為三條不同的直線，為兩個不同的平面，給出下列四個判斷:①若則；②若是在內的射影，，則；③底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；④若球的表面積擴大為原來的16倍，則球的體積擴大為原來的32倍；其中正確的為___________.12．已知，則____________________________．13．將邊長為1的正方形中，把沿對角線AC折起到，使平面⊥平面ABC，則三棱錐的體積為________.14．已知在數列中，，，則數列的通項公式______．15．如圖，已知，，任意點關于點的對稱點為，點關于點的對稱點為，則向量_______（用，表示向量）16．在中，，，，則的面積是__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某大橋是交通要塞，每天擔負著巨大的車流量.已知其車流量（單位：千輛）是時間（，單位：）的函數，記為，下表是某日橋上的車流量的數據：03691215182124（千輛）3.01.02.95.03.11.03.15.03.1經長期觀察，函數的圖象可以近似地看做函數（其中，，，）的圖象.(1)根據以上數據，求函數的近似解析式；(2)為了緩解交通壓力，有關交通部門規定：若車流量超過4千輛時，核定載質量10噸及以上的大貨車將禁止通行，試估計一天內將有多少小時不允許這種貨車通行？18．已知數列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（1）證明：{an+bn}是等比數列，{an–bn}是等差數列；（2）求{an}和{bn}的通項公式.19．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，點D是AB的中點．求證：(1)AC⊥BC1；(2)AC1∥平面CDB1.20．已知是等差數列，為其前項和，且，.（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，求數列的前項和.21．在我國古代數學名著《九章算術》中將由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”.已知三棱維P-ABC中，PA⊥底面ABC.(1)從三棱錐P-ABC中選擇合適的兩條棱填空_________⊥________，則該三棱錐為“鱉臑”;(2)如圖，已知AD⊥PB垂足為D,AE⊥PC，垂足為E,∠ABC=90°.(i)證明:平面ADE⊥平面PAC;(ii)作出平面ADE與平面ABC的交線l,并證明∠EAC是二面角E-l-C的平面角.(在圖中體現作圖過程不必寫出畫法)

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

由方程恰有三個不同的解，作出的圖象，確定，的取值范圍，得到的對稱性，利用數形結合進行求解即可．【詳解】設

作出函數的圖象如圖：由

則當

時

,,

即函數的一條對稱軸為

，要使方程恰有三個不同的解，則

,

此時

,

關于

對稱，則

當

，即

，則

則

的取值范圍是，選D.【點睛】本題主要考查了方程與函數，數學結合是解決本題的關鍵，數學結合也是數學中比較重要的一種思想方法．2、C【解析】.3、D【解析】

根據等差數列和等比數列的定義可確定是以為首項，為公比的等比數列，根據等比數列通項公式，進而求得；由數列的單調性可知；分別在和兩種情況下討論可得的取值范圍.【詳解】由題意得：，，是以為首項，為公比的等比數列為遞增數列，即①當時，，，即只需即可滿足②當時，，，即只需即可滿足綜上所述：實數的取值范圍為故選：【點睛】本題考查根據數列的單調性求解參數范圍的問題，涉及到等差和等比數列定義的應用、等比數列通項公式的求解、對數運算法則的應用等知識；解題關鍵是能夠根據單調性得到關于變量和的關系式，進而通過分離變量的方式將問題轉化為變量與關于的式子的最值的大小關系問題.4、C【解析】

設、為對立事件可得出命題①的正誤；利用大邊對大角定理和余弦函數在上的單調性可判斷出命題②的正誤；列出和各自的約數，可找出兩個數的最大公約數，從而可判斷出命題③的正誤；設扇形的半徑為，再利用基本不等式可得出扇形面積的最大值，從而判斷出命題④的正誤.【詳解】對于命題①，若、為對立事件，則、互斥，則，命題①錯誤；對于命題②，由大邊對大角定理知，，且，函數在上單調遞減，所以，，命題②正確；對于命題③，的約數有、、、、、，的約數有、、、、、、、，則和的最大公約數是，命題③正確；對于命題④，設扇形的半徑為，則扇形的弧長為，扇形的面積為，由基本不等式得，當且僅當，即當時，等號成立，所以，扇形面積的最大值為，命題④錯誤.故選C.【點睛】本題考查命題真假的判斷，涉及互斥事件的概率、三角形邊角關系、公約數以及扇形面積的最值，判斷時要結合這些知識點的基本概念來理解，考查推理能力，屬于中等題.5、A【解析】

作出函數的圖象可得出該函數的最小正周期。【詳解】作出函數的圖象如下圖所示，由圖象可知，函數的最小正周期為，故選：A。【點睛】本題考查三角函數周期的求解，一般而言，三角函數最小正周期的求解方法有如下幾種：（1）定義法：即；（2）公式法：當時，函數或的最小正周期為，函數最小正周期為；（3）圖象法。6、A【解析】

取的中點,利用三角形中位線定理,可以得到,與所成角為，運用三角形中位線定理和正弦定理，可以求出的大小，也就能求出與所成角的度數.【詳解】取的中點連接，如下圖所示：因為，分別是，的中點，所以有，因為與所成角的度數為30°，所以，與所成角的大小等于的度數.在中，，故本題選A.【點睛】本題考查了異面直線所成角的求法，考查了正弦定理，取中點利用三角形中位線定理是解題的關鍵.7、B【解析】

設的最大角為，最小角為，可得出，，由題意得出，由二倍角公式，利用正弦定理邊角互化思想以及余弦定理可得出關于的方程，求出的值，可得出的值.【詳解】設的最大角為，最小角為，可得出，，由題意得出，，所以，，即，即，將，代入得，解得，，，則，故選B.【點睛】本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解題時根據對稱思想設邊長可簡化計算，另外就是充分利用二倍角公式進行轉化是解本題的關鍵，綜合性較強.8、C【解析】

由正弦定理邊角互化思想得，由可得出的三邊長，可判斷出三角形的形狀，由此可得出的值，再利用平面向量數量積的定義可計算出的值.【詳解】，，，，，，為等腰直角三角形，.因此，，故選C.【點睛】本題考查正弦定理邊角互化思想的應用，同時也考查了平面向量數量積定義的計算，在求平面向量數量積的計算時，要注意向量的起點要一致，考查運算求解能力，屬于中等題.9、D【解析】

設球第次到第次著地這一過程中球經過的路程為米，可知數列是以為首項，以為公比的等比數列，由此可得出球經過的路程總和為米.【詳解】設球第次到第次著地這一過程中球經過的路程為米，則，由題意可知，數列是以為首項，以為公比的等比數列，因此，球經過的路程總和米.故選:D.【點睛】本題考查等比數列的實際應用，涉及到無窮等比數列求和問題，考查計算能力，屬于中等題.10、B【解析】

化簡式子得到，利用正弦定理余弦定理原式等于，代入數據得到答案.【詳解】利用正弦定理和余弦定理得到：故選B【點睛】本題考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等變換，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①②【解析】

對四個命題分別進行判斷即可得到結論【詳解】①若，垂足為，與確定平面，，則，，則，，則，故，故正確②若，是在內的射影，，根據三垂線定理，可得，故正確③底面是等邊三角形，側面都是有公共頂點的等腰三角形的三棱錐是正三棱錐，故不正確④若球的表面積擴大為原來的倍，則半徑擴大為原來的倍，則球的體積擴大為原來的倍，故不正確其中正確的為①②【點睛】本題主要考查了空間中直線與平面之間的位置關系、球的體積等知識點，數量掌握各知識點然后對其進行判斷，較為基礎。12、【解析】

分子、分母同除以，將代入化簡即可.【詳解】因為，所以,故答案為.【點睛】本題主要考查同角三角函數之間的關系的應用，屬于基礎題.同角三角函數之間的關系包含平方關系與商的關系，平方關系是正弦與余弦值之間的轉換，商的關系是正余弦與正切之間的轉換.13、【解析】

由面面垂直的性質定理可得面，再結合三棱錐的體積的求法求解即可.【詳解】解：取中點,連接，因為四邊形為邊長為1的正方形，則,即,又平面⊥平面ABC，由面面垂直的性質定理可得：面，且,則,故答案為：.【點睛】本題考查了三棱錐的體積的求法，重點考查了面面垂直的性質定理，屬中檔題.14、【解析】

通過變形可知，累乘計算即得結論．【詳解】∵（n+1）an＝nan+1，∴，∴，，…，，累乘得：，又∵a1＝1，∴an＝n，故答案為：an＝n．【點睛】本題考查數列的通項公式的求法，利用累乘法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．15、【解析】

先求得，然后根據中位線的性質，求得.【詳解】依題意，由于分別是線段的中點，故.【點睛】本小題主要考查平面向量減法運算，考查三角形中位線，屬于基礎題.16、【解析】

計算，等腰三角形計算面積，作底邊上的高，計算得到答案.【詳解】，過C作于D，則故答案為【點睛】本題考查了三角形面積計算，屬于簡單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）8個小時【解析】

（1）根據函數的最大最小值可求出和，根據周期求出，根據一個最高點的橫坐標可求得；

（2）解不等式可得．【詳解】(1)根據表格中的數據可得:由，,解得：

由當時，有最大值，則即，得.

所以函數的近似解析式（2）若車流量超過4千輛時，即

所以，則所以，且.所以和滿足條件.所以估計一天內將有8小時不允許這種貨車通行．【點睛】本題考查了根據一些特殊的函數值觀察周期特點，求解三角函數解析式以及簡單應用，屬中檔題．18、（1）見解析；（2），．【解析】

(1)可通過題意中的以及對兩式進行相加和相減即可推導出數列是等比數列以及數列是等差數列；(2)可通過(1)中的結果推導出數列以及數列的通項公式，然后利用數列以及數列的通項公式即可得出結果．【詳解】(1)由題意可知，，，，所以，即，所以數列是首項為、公比為的等比數列，，因為，所以，數列是首項、公差為的等差數列，．(2)由(1)可知，，，所以，．【點睛】本題考查了數列的相關性質，主要考查了等差數列以及等比數列的相關證明，證明數列是等差數列或者等比數列一定要結合等差數列或者等比數列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．19、(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】試題分析：（1）由勾股定理可證得為直角三角形即可證得，由直棱柱可知面，可證得，根據線面垂直的判定定理可證得面，從而可得．（2）設與的交點為，連結，由中位線可證得，根據線面平行的判定定理可證得平面．試題解析：證明：（1）證明：，，為直角三角形且，即．又∵三棱柱為直棱柱，面，面，，，面，面，．（2）設與的交點為，連結，是的中點，是的中點，．面，面，平面．考點：1線線垂直，線面垂直；2線面平行．20、（1）（2）【解析】

（1）由等差數列的通項公式和前n項和公式,利用已知條件求出首項和公差,由此能求出an=2n+3（2）由得,由此能求出數列的前項和.【詳解】解：（1）是等差數列,為其前項和解得：.（2）,,,又.是以3為首項2為公比的等比數列.【點睛