第三章函數的概念與性質

［數學文化］——了解數學文化的發展與應用

1.早期函數概念——幾何觀念下的函數

十七世紀伽利略(GGalileo,意，1564?1642)在《兩門新科學》一書中，幾乎

全部包含函數或稱為變量關系的這一概念，用文字和比例的語言表達函數的關

系.

1673年，德國數學家萊布尼茨首次使用“function”(函數)表示“累”.

萊布尼茨

2.十八世紀函數概念——代數觀念下的函數

1718年約翰?貝努利(BernoulliJohann,瑞，1667?1748)在萊布尼茲函數概念

的基礎上對函數概念進行了定義；1755年，瑞士數學家歐拉將函數定義為“如

果某些變量，以一種方式依賴于另一些變量，我們將前面的變量稱為后面變量的

函數

歐拉

3.十九世紀函數概念——對應關系下的函數

1837年德國數學家狄利克雷提出：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確

定的值與之對應，則y是x的函數

1930年新的現代函數定義為，若對集合M中的任意元素x,總有集合N中的確

定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=/U).元素x稱為

自變元，元素y稱為因變元.

19世紀70年代以后，隨著集合概念的出現，函數概念又進而用更加嚴謹的集合

和對應語言表述，言簡意賅地講述了數學中一個最重要的概念一一函數.

狄利克雷

［讀圖探新］——發現現象背后的知識

例：新中國成立后共進行了六次人口普查

好奇心與年齡的變化

各次普查得到的人口數據如下表：

40*年份195319641982199020002010

3Q：?.總人口數（億）5.96.910.111.312.713.4

2,110111213141-51

函數的概念（圖一）函數的表示（圖二）

函數的最值（圖三）函數的奇偶性（圖四）

問題1：圖一中青少年的好奇心與其年齡，圖二中每次人口普查的年份與其對應

的總人口數是否存在一一對應的關系呢？如何刻畫這些變量間的對應關系呢？

問題2：“菊花”煙花設計者為了達到施放煙花的最佳效果，制造時應精心設計

煙花達到最高點時爆裂，如何確定煙花爆裂的最佳時刻？

問題3：天安門是軸對稱圖形，聯想一下：如何用自然語言描述函數的圖象特征

呢？

鏈接：圖一、圖二中存在一一對應關系，這種變量間的對應關系常用函數模型來

描述，函數可以用圖象法、列表法和解析法來表示；圖三、圖四可以用函數的最

值和奇偶性刻畫函數的性質.

3.1函數的概念及其表示

3.1.1函數的概念

第一課時函數的概念(一)

課標要求素養要求

1.在初中用變量之間的依賴關系描述函

數的基礎上，用集合語言和對應關系刻1.通過對函數概念的理解，提升數學抽

畫函數，建立完整的函數概念；象素養；

2.體會集合語言和對應關系在刻畫函數2.通過求簡單函數的定義域，提升數學

概念中的作用；運算素養.

3.了解構成函數的要素，能求簡單函數

的定義域.

課前預習知識探究

教材知識探究

A情境引入

某物體從高度為44.1m的空中自由下落，物體下落的距離s(m)與所用時間r(s)

的平方成正比，這個規律用數學式子可以描述為s=；gp,其中g取9.8m/s，

bi

問題1時間r和物體下落的距離s有何限制？

提示0WfW3,0WsW44.1.

問題2時間t(0WtW3)確定后，下落的距離s確定嗎？

提示確定.

問題3下落后的某一時刻能同時對應兩個距離嗎？

提示不能.

上新知梳理

函數的概念注意函數概念中的任意性、唯一性

一般地，設A,B是非空的實數集,如果對于集合A中的任

意一個數x,按照某種確定的對應關系方在集合8中都有唯

概念

二確定的數y和它對應，那么就稱/：A-B為從集合A到集

合8的一個函數

對應關

y=/U),

系

三要素

定義域工的取值范圍

值域與x對應的y的值的集合伏

教材拓展補遺

［微判斷］

1.函數的定義域和值域一定是無限集合.(X)

提示函數的定義域和值域也可能是有限集，如犬無)=1.

2.根據函數的定義，定義域中的任何一個x可以對應著值域中不同的y.(X)

提示根據函數的定義，對于定義域中的任意一個數x,在值域中都有唯一確定

的數y與之對應.

3.在函數的定義中，集合3是函數的值域.(X)

提示在函數的定義中，函數的值域是集合8的子集.

［微訓練］

1.函數y=yjx—l的定義域是.

解析只需滿足x—120,

答案｛x\x^1)

2.若兀x)=/—、x+1,則火3)=.

解析負3)=9—小不1=9—2=7.

答案7

［微思考］

1.在函數的概念中，如果函數y=/(x)的定義域與對應關系確定，那么函數的值域

確定嗎？

提示確定，---對應.

2.如果函數y=/(x)的定義域、值域確定，那么對應關系確定嗎？

提示不確定，例如函數的定義域為A={—1,0,1},值域為B={0,1},則

對應關系或Hx)=|x|均可.

課堂互動題型剖析

題型一函數關系的判斷關鍵看任意的x,是否有唯一的y對應

【例1】(1)設M={x|0WxW2},N={y|0WyW2},給出下列四個圖形，其中能

表示從集合M到集合N的函數關系的有()

A.0個B.1個

C.2個D.3個

(2)已知集合4={x|0WxW8},集合8={x|0W無W4},則下列對應關系中，不能看

作是從A到3的函數關系的是()

A./：B/：x^y=^x

C.f：尤-”=5D/：x-^y=x

解析(1)①錯，x=2時，在N中無元素與之對應，不滿足任意性.②對，同時滿

足任意性與唯一性.③錯，x=2時，對應元素y=N,不滿足任意性.④錯，x

=1時，在N中有兩個元素與之對應，不滿足唯一性.

(2)根據函數的定義，對于D,在集合A中的部分元素，在集合B中沒有元素與

它對應，故不正確.

答案(1)B(2)D

規律方法1.根據圖形判斷對應關系是否為函數的方法

(1)任取一條垂直于無軸的直線/;

⑵在定義域內平行移動直線/;

(3)若/與圖形有且只有一個交點，則是函數：若在定義域內沒有交點或有兩個或

兩個以上的交點，則不是函數.

2.判斷一個對應關系是否為函數的方法

T兩非空實數集A，B|----

|函教的概念卜T一對一或多時一I--------T作出判斷|

T」中不能有軻余元素|—

【訓練11⑴若函數y=/U)的定義域為M={x|-2WxW2},值域為N=

{y|0WyW2},則函數y=/(x)的圖象可能是()

(2)已知集合知={-1,1,2,4},N={1,2,4),給出下列四個對應關系：

①尸總②y=x+l,③y=x—1,④尸用，其中能構成從M到N的函數是()

A.①B.②

C.③D.④

解析(1)A中的定義域不是{x1-2WxW2},C中圖形不滿足唯一性，D中的值域

不是{y|0〈yW2},故選B.

(2)只有y=國是符合題意的對應關系，故選D.

答案(1)B(2)D

題型二求函數值求值時，明確函數解析式，代人求值

【例2】已知兀。=存。晝&且尤W—l),g(x)=f+2(xeR).

1I4

(1)求人2),g(2)的值;

(2)求/[g(3)]的值.

解(1)：次幻=72彳,.\A2)=]+2=G，

又:g(x)+2,?*?^(2)—2~-l-2—6.

(2)???g(3)=32+2=ll,

規律方法求函數值的方法及關注點

(1)方法：①已知./U)的解析式時，只需用a替換解析式中的x即得.穴。)的值；②

求1Ag3))的值應遵循由里往外的原則?

(2)關注點：用來替換解析式中x的數a必須是函數定義域內的值，否則求值無

意義.

x~\~1

【訓練2】已知函數人刈=壬.

⑴求42)；⑵求用⑴].

._x+12+13

解⑴.]')=壬，.M2)=4-

1+12/2,

(2加1)=7司=？力*1)]=/(53j2=5

題型三求函數的定義域

定義域是使函數關系式有意義的自變量x的取值范圍

【例3】求下列函數的定義域：

⑴廠

(x+1)2i——

⑵尸一幣~1f

x—1W0,

2

解(1)要使函數有意義，當且僅當，干20，

j+1W0,

解得x>—1且xWl,

所以這個函數的定義域為3f>—1且xWi}.

x+170,

(2)要使函數有意義，自變量x的取值必須滿足

U—xkO,

解得xWl且xW—1,

即函數定義域為{x|x〈l且xW-l}.

規律方法當函數解析式較復雜，要先確定全部限制條件，依次列出不等式或不

等式組，再分別求出每個不等式的解集，最后求出這些集合的交集即為函數的定

義域.

【訓練3】⑴函數義的定義域為()

B.{x|x>l}

Djx-1或x>l

(2)設全集為R,函數的定義域為則[1<加為(

A.{小>2}B.{x|x<2}

C.W}D.{小，2}

解析(1)要使函數有意義，自變量X的取值必須滿足

2x—120,[x2],

，一以解得

I，N。，[x#±l,

即且xWl,故選C.

(2)自變量x的取值必須滿足2—x20,即xW2,

.,.M={4rW2},；.]RM={X|X>2},故選A.

答案(1)C(2)A

核心素養全面提升

一、素養落地

1.通過本節課的學習，重點提升數學抽象、數學運算素養.

2.函數符號"y=Ax)”是數學中抽象符號之一，"y=/(x)”僅為y是x的函數的

數學表示，不表示y等于/與x的乘積，；U）也不一定是解析式，還可以是圖表或

圖象.

二、素養訓練

1.下列關于函數y=/U）的說法正確的是（）

①y是x的函數；②x是y的函數；③對于不同的無，y也不同；④我。）表示x=a

時，/U）的函數值是一個常數.

A.①④B.②③

C.①③D.②④

解析根據函數的定義，對于不同的x,y可以相同，例如/U）=L

答案A

2.已知函數則4[1=（)

3

B.一

aa

C.aD.3Q

解析0=半=3”?故選D.

a

答案D

3.下列函數中定義域為R的是（)

A.y=《B.y=(x-1)°

C.y=W+3D.y=~

解析A中xNO,B中要求九W1,D中xWO.故選C.

答案c

4函.數/（x）—"手的定義域為（

)

A卜母

C.|xO<x^^|D.{xx<0或OaW,

1—3xNO,i

解析要使?r）有意義，只需滿足，一即xW々且xWO,故選D.

答案D

5.若A={x|0WxW2},8={），|l〈yW2},下列圖形中能表示以A為定義域，B為

值域的函數的是（）

解析A中值域為{y|0WyW2},故錯誤；C,D中值域為{1,2},故錯誤，故選

B.

答案B

課后作業鞏固提高

基礎達標

一'選擇題

1.下列四個圖形中，是函數圖象的是（

A.①B.①③④

C.①②③D.③④

解析由每一個自變量x對應唯一一個凡r）可知②不是函數圖象，①③④是函數

圖象.

答案B

2.設/：X-九2是集合A到集合8的函數，如果集合8={1},那么集合A不可能

是（）

A.{1}

C.{-1,1}D.{-1,0}

解析若集合A={-1,0},則OGA,但02B,故選D.

答案D

3.圖中給出的四個對應關系，其中構成函數的是()

A.①②B.①④

C.①②④D.③④

解析根據函數的定義，可以多對一，或一對一，故選B.

答案B

4.函數1—尤+m的定義域為()

A.{xpWl}B.{x|九20}

C.{x|x》l或xWO}D.{x|04Wl}

1一尤20,

解析由題意可知彳、八解得OWxWL

1x^0,

答案D

5.四個函數：①y=x+l；②>=/；③y=/-1；④其中定義域相同的函數有

()

A.①②③B.①②

C.②③D.②③④

解析①②③中函數的定義域均為R,而④中函數的定義域為{RxWO},故選A.

答案A

二'填空題

9r

6.若fix)=7+2'則1)=.

一一22

解析.AD=772=3-

2

答案3

7.已知函數y(x)=、x—3,.*a)=3,則實數a=.

解析出a)=Na—3=3,/.a=12.

答案12

8.已知集合A={1,2,3},B={4,5},則從A到8的函數/U)有個.

解析利用列表法確定函數的個數.

川)44445555

42)44554455

43)45454545

答案8

三'解答題

9.2018年是中國高鐵發展迅速的一年，山東某一高鐵站1?12月份的客流量走勢

如圖所示.

⑴求對應關系為圖中曲線的函數的定義域與值域；

(2)根據圖象，求9月份所對應的客流量.

解(1)由走勢圖可知，函數的定義域為{x|l〈xW12且xGN*},值域為

{y|100WyW160}.

(2)由圖形知，9月份所對應的客流量約為100萬人次.

10.山東某中學2018級高一同學選科走班情況，選擇人數較多的6個組合分別是

組合代碼組合組合人數

1物化生500

2政史地300

3