高等數學教案提綱Chapter11InfiniteSeries我們都知道，高等數學的研究對象是函數。到現在為止，我們已經學習了高等數學的主要內容：極限理論和微積分學。這一章所要討論的無窮級數理論，則是更進一步地表示函數、研究函數性質以及進行數值計算的重要工具，它對于微積分學的進一步發展是非常重要的。實際上我們已經知道，導數是一個比值的極限、定積分是一個和式的極限，因此，我們說極限思想貫穿于微積分學的始終，而這一章將提供給我們的是一種“函數逼近”的思想方法。我曾經和大家說過：一本書可以很厚，但基本思想方法不會很多。因此，無論是從思想方法、還是從重要工具的角度，無窮級數的理論都將為我們高等數學的學習帶來新的精彩，從而為我們的學習畫上一個比較圓滿的句號。其實，我們大家對無窮級數并不陌生，我來舉兩個基本的例子：第一個，不知道大家是否記得，在第一章講數列極限時，我曾舉過《莊子》天下篇中的一個中國古典名例“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。記得當時我還曾跟大家開過玩笑，說：“人生太短暫，做不了太多的事情。”但是，當我們有了極限的工具之后，我們卻可以站在有限、把握無窮。這或許就是數學的魅力！現在我們換一個角度來看這個問題：①SKIPIF1<0；這是我們看出來的，不是我們算出來的，因為這是無窮多項和的形式。如果是：SKIPIF1<0那么，各位：誰能告訴我，這個和是什么？②SKIPIF1<0大家都認識，如果現在我問：SKIPIF1<0是什么？大家將作何回答？在中學大家就使用過數學用表，求過SKIPIF1<0的近似值，知道這些數學用表是怎樣造出來的嗎？想知道嗎？實際上，SKIPIF1<0真正的數學定義應該是：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。實際上，我們中學SKIPIF1<0的數學用表，就是取了這個無限和的前三項就可以造出來。現在，無論你是在計算器上、還是在計算機里，你所得到的SKIPIF1<0的值都不過是這個無窮和的有限項的代數和，而且可以達到任意高的精確度。這是什么？這就是“函數的逼近”！我們將在第四節之后向大家做完整的交待。此外，如果從物理學的觀點來看，把一個復雜的運動分解為一系列基本的簡諧運動的疊加形式，這是近代物理中分析處理問題時一個很基本的思想方法。在第七節討論傅立葉級數時，大家將會看到，比如：在無線電技術中的矩形波函數，就可以用一系列正弦波的疊加來無限的逼近。這是后話。實際上，在現代科學技術當中，級數理論以其非常重要的基礎地位而成為現代數學方法中非常重要的數學工具。所以，很多有關這方面的問題，我們都將在這一章當中得到完滿的回答！但是，可能有的人就會說了，為什么要把好好的一個1寫成這種無窮和的形式？這一方面固然是把確定的東西變為某種不確定的東西，可是另一方面，它卻同時也就把某些不易掌握的對象變為我們所熟知的過程了。這里，用的不過是加、減、乘、除運算而已，這是一種思想方法。恩格斯在他的《自然辯證法》一書中就曾說過：“如果沒有無窮級數和二項式定理，我們又能走多遠呢？”當然，我們每個人都希望能走得更遠一些，至少是健康些、快樂些、長久些。下面，我們就來學習這章的第一節：常數項級數的概念與性質。§11.1TheConceptandPropertiesoftheConstantSeries本節教學目的：理解無窮級數收斂、發散以及和的概念，了解無窮級數的基本性質及收斂的必要條件。本節教學重點：無窮級數收斂、發散以及和的概念。本節教學難點：無窮級數收斂、發散以及和的概念，無窮級數收斂的必要條件。這就是我們這節將要介紹的兩個方面的問題。一TheConceptoftheConstantSeries如果給定一個數列SKIPIF1<0，則由它構成的表達式(1)SKIPIF1<0就叫做常數項無窮級數，簡稱級數。其中第SKIPIF1<0項SKIPIF1<0叫做級數的一般項(GeneralTerm)。這個無窮多項的和實際上是形式上的，我們以往研究的都是有限和，那么，這個無窮的和本質的含義是什么？在這個無窮和當中我們看出來它是1，而在后一個無窮和當中我們真的還一時看不出來。究竟什么時候它可以代表這樣一個確定的數，什么時候它又什么都不代表？這個就涉及到級數收斂與發散的概念。這里，我們同樣可以先把無窮級數的形式寫出來SKIPIF1<0，然后，我讓SKIPIF1<0趨向無窮大，所以說，要想研究無限，我們呢從有限來看有限的變化趨勢。這樣，什么叫無窮級數？無非是SKIPIF1<0越取越多，一直到無窮大。這就寫成了一個極限的形式，而極限對我們來說相對是比較熟悉的內容。這時如果我把級數的前SKIPIF1<0項的和拿來，命名為：(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0稱為級數(1)的前SKIPIF1<0項部分和(PartialSum)。那么，這時候，我們看到了：這個級數究竟代表什么就和它的極限建立起來了聯系。即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，…，則它們就構成一個新的數列：SKIPIF1<0，通常稱為級數(1)的部分和數列。SKIPIF1<0，當然，我們也有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。即，給定級數SKIPIF1<0，就有部分和數列SKIPIF1<0；反之，給定數列SKIPIF1<0，就有以SKIPIF1<0為部分和數列的級數這樣一來，級數這無窮多項的和是什么？就與部分和數列SKIPIF1<0的極限建立起了密切的聯系。即：如果數列SKIPIF1<0存在極限，SKIPIF1<0，則稱數列SKIPIF1<0收斂。當著這個數列是收斂的時候，哇！這個級數就代表了一個確定的數值，從而級數SKIPIF1<0；如果數列SKIPIF1<0的極限不存在，則稱數列SKIPIF1<0發散，從而級數SKIPIF1<0不知道會是什么，可能是無窮大，也可能什么都不代表。如果我們順便說點題外的話，這種發散的特性在現代科學技術中也同樣有重要的應用，比如，在密碼學中，規律性強的密碼不是好的密碼，唰的一下就被別人破譯了，你們家的那點事別人都知道了。這還是小事，要是國家的大事就慘了。這樣，對于一個無窮級數它的這兩種發展趨勢，我們按照數列的收斂與發散情況就可以很容易的、平行的把它推廣到無窮級數當中去。這就是我們要介紹的：DefinitionTheinfiniteseriesSKIPIF1<0convergesandhassumSKIPIF1<0ifthesequenceofpartialsumsSKIPIF1<0convergestoSKIPIF1<0,thatisSKIPIF1<0.IfSKIPIF1<0diverges,thentheseriesSKIPIF1<0diverges.Adivergentserieshasnosum.定義如果級數SKIPIF1<0的部分和數列SKIPIF1<0有極限SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則稱無窮級數SKIPIF1<0收斂，這時極限SKIPIF1<0叫做這級數的和，并寫成SKIPIF1<0；如果SKIPIF1<0沒有極限，則稱無窮級數SKIPIF1<0發散。顯然，當級數收斂時，其部分和SKIPIF1<0是級數和SKIPIF1<0的近似值，它們之間的差值：SKIPIF1<0叫做級數的余項(RemainderTerm)。用近似值SKIPIF1<0代替SKIPIF1<0所產生的誤差是這個余項的絕對值，即誤差是SKIPIF1<0。從上述定義可知，級數與數列極限有著緊密的聯系。給定級數SKIPIF1<0，就有部分和數列SKIPIF1<0；反之，給定數列SKIPIF1<0，就有以SKIPIF1<0為部分和數列的級數SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。按定義，級數SKIPIF1<0與數列SKIPIF1<0同時收斂或同時發散，且在收斂時，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。數列與級數的如此密切的關系（你中有我，我中有你）表明：對于數列極限的一些結果，無窮級數都有相應的結果。但是，在很多情況下，很難把級數的部分和數列寫成一個易求極限的表達式，而級數采用無窮多項相加這一特殊形式，具有明顯的直觀性，使用起來更方便。因此，數列極限的研究，并不能代替級數的研究。我們既要看到它們本質上、內在上的聯系。又要注意到它們形式上、方法上的區別。Example1討論等比級數（GeometricSeries）SKIPIF1<0的斂散性，其中SKIPIF1<0為公比。解當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，級數收斂；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，級數發散；當SKIPIF1<0時，即當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），級數發散；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0從而SKIPIF1<0的極限不存在，級數發散。綜上，等比級數（GeometricSeries）SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時收斂；當SKIPIF1<0時發散。如：SKIPIF1<0（前面是看出來的，現在是嚴謹、科學的）；SKIPIF1<0發散等等。等比級數既簡單又常用，后面會看到：根據它的斂散性可以推斷出很多其他級數的斂散性，我們應當熟記它的斂散性。Example2TheTheoryofSpringBall（彈力球問題）：一個彈力球有這樣的性質：當它從高度SKIPIF1<0處落到硬地面后，總可以回跳到前一次高度的SKIPIF1<0倍處，其中SKIPIF1<0。回跳起后又落下，一直如此運動。求此球在運動過程中所經過的總距離SKIPIF1<0（假設彈力球總是垂直運動）。解根據題意我們可以建立此問題的簡單數學模型：SKIPIF1<0。如果進一步求此球在運動過程中所花的總時間SKIPIF1<0？留給大家做課外練習。SKIPIF1<0。其中由SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，等等。更多深入、有趣的應用例子大家將在后繼的象“數學建模與數學實驗”等課程中接觸到。特別地，如果你能有幸地被選拔為我們學校參加每年一度的全國大學生數學建模競賽的參賽隊員，經過相對系統的訓練，那你肯定就會更深刻地體會到什么是學數學、什么是用數學，什么是“書到用時方恨少。”期待并努力吧！Example3證明：調和級數(HarmonicSeries)SKIPIF1<0是發散的。證明：用反證法。假若調和級數收斂，設它的部分和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0。顯然，對它的部分和SKIPIF1<0，也有SKIPIF1<0。于是SKIPIF1<0。但另一方面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，與假設矛盾。這矛盾說明調和級數SKIPIF1<0必定發散。Example4判別級數SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的斂散性。解由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則由定義可知，原級數收斂。Example5判別級數SKIPIF1<0的斂散性。解由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可知原級數收斂。對于本題，雖然后面會有更簡潔的解法，但本題解法在于復習部分分式的技巧。如果級數為：SKIPIF1<0，其斂散性如何？（只分析，不詳解）解由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故原級數收斂。顯然運算技巧更高一籌。二NecessaryConditionforConvergenceTheorem(NecessaryConditionforConvergence)IftheseriesSKIPIF1<0converges,thenSKIPIF1<0.定理（級數收斂的必要條件）如果級數SKIPIF1<0收斂，則SKIPIF1<0。證明設級數SKIPIF1<0的部分和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0。兩點說明：1、定理的逆否命題（級數發散的充分條件）是：對級數SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，則級數SKIPIF1<0必定發散。因此，級數收斂的必要條件是我們今后審斂時第一件要做的事情。例如：級數SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以此級數發散。2、特別值得注意的是：定理的逆命題不成立。即，級數的一般項趨于0并不是級數收斂的充分條件。有些級數雖然一般項趨于0，但仍然是發散的。最典型的例子就是：調和級數SKIPIF1<0，雖然它的一般項趨于0，但前面已經證明它是發散的。三PropertiesofConvergentSeries給定的級數是否收斂？收斂級數的和有什么性質？這是無窮級數的基本問題。應予以更多的注意。實際上，整個級數部分的內容也主要圍繞這兩個問題展開的。一般說來，級數的前SKIPIF1<0項部分和SKIPIF1<0的通式是難以寫出的，因此，根據定義判斷級數的收斂性以及求收斂級數的和是困難的。而判定一個級數的收斂或發散，顯然是級數理論中的重要問題。譬如，從級數的和來看，欲求其和，首先需判定收斂，若判定了收斂，即使難以求精確和，也可以取足夠多項的部分和作為和數相當好的近似值。為了更深入地研究級數收斂性的判別（簡稱判斂）問題，我們先介紹級數的基本性質。Property1IfSKIPIF1<0convergestoSKIPIF1<0,thenSKIPIF1<0alsoconverges,andSKIPIF1<0.性質1如果級數SKIPIF1<0收斂于和SKIPIF1<0，則級數SKIPIF1<0也收斂，且其和為SKIPIF1<0。Property2IfSKIPIF1<0、SKIPIF1<0convergestoSKIPIF1<0andSKIPIF1<0respectively,thenSKIPIF1<0alsoconverges,andSKIPIF1<0.性質2如果級數SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別收斂于和SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則級數SKIPIF1<0也收斂，且其和為SKIPIF1<0。性質2也說成：兩個收斂級數可以逐項相加與逐項相減。說明：與極限的運算法則相類似，我們可有（簡言之）：“兩個收斂級數一般項的代數和級數必收斂；一收斂級數與一發散級數一般項的代數和級數必發散；兩個發散級數一般項的代數和級數可能收斂也可能發散。”大家自己去論證或舉出反例。Property3Deleting,addingandalteringthefinitetermsoftheinfiniteserieskeeptheconvergenceoftheseries.性質3在級數中去掉、加上或改變有限項，不會改變級數的收斂性。說明：必須注意的是，當級數收斂時，和是會改變的。這條性質可以使得我們在需要的時候，可以人為地對級數的有限項加以改造（這條性質也表明級數太“偉大了”）。Property4Thetermsofaconvergentseriescanbegroupedinanyway(providedthattheorderofthetermsismaintained),AndthenewseriesSKIPIF1<0willconvergewiththesamesumastheoriginalseries.性質4如果級數SKIPIF1<0收斂，則對這級數的項任意加括號后所成的級數（不改變原來的順序）也收斂，且其和不變。證明設級數SKIPIF1<0的部分和為SKIPIF1<0，加括號后所成的級數（相應于前SKIPIF1<0項）的部分和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，依次類推有SKIPIF1<0。可見，數列SKIPIF1<0是數列SKIPIF1<0的一個子數列。由數列SKIPIF1<0的收斂性以及收斂數列與其子數列的關系可知，數列SKIPIF1<0必定收斂，且有SKIPIF1<0，即加括號后所成的級數收斂，且其和不變。注意：如果加括號后所成的級數收斂，則不能斷定去括號后原來的級數也收斂。例如，級數SKIPIF1<0收斂于零，但級數SKIPIF1<0確是發散的。根據性質4可得如下Corollary如果加括號后所成的級數發散，則原來的級數也發散。事實上，倘若原來級數收斂，則根據性質4知道，加括號后的級數就應該收斂了。四CauchyConvergenceCriteriaTheorem(CauchyConvergenceCriteria)TheseriesSKIPIF1<0convergesifandonlyifforanySKIPIF1<0,thereisanaturalnumberN,suchthatforanySKIPIF1<0,andany